(完整版)大学高数公式大全

Fx f
( x, y) xd 3， Fy f
( x, y) yd 3， F z
D (x2 y2 a2 )2
D ( x2 y2 a2) 2
( x, y) xd
fa
3
D ( x2 y 2 a2 ) 2
柱面坐标和球面坐标：
x r cos 柱面坐标： y r sin , f ( x, y, z)dxdydz
yn 1)]
空间解析几何和向量代数：
空间 2点的距离： d M 1M 2 向量在轴上的投影： Pr j u AB
(x2 x1) 2 ( y 2 y1 )2 ( z2 z1 )2 AB cos , 是 AB与 u轴的夹角。
Pr j u (a1 a 2) Pr ja1 Pr ja 2
a b a b cos a xbx ay by a zbz ,是一个数量 ,
cos
2
2
2 sin
sin
2
2
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·倍角公式：
sin 2 2 sin cos cos2 2cos2 1 1 2 sin2 cos2 sin2
ctg2
ctg 2 1 2ctg
2tg tg 2 1 tg 2
高等数学公式
sin3 cos3
tg3
3sin 4 sin3 4 cos3 3cos 3tg tg3 1 3tg 2
Fy {
Fz , Fz
Fx , Fx
Fy }
G ( x, y, z) 0
Gy G z Gz G x Gx G y
曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则： 1、过此点的法向量： n { F x (x0 , y0, z0 ), F y ( x0 , y0, z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0)} 2、过此点的切平面方程 ： Fx ( x0 , y0, z0)( x x0) Fy ( x0 , y0, z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
设 f x ( x0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) 0，令： f xx ( x 0 , y0 ) A , f xy ( x 0 , y 0 ) B , f yy ( x 0 , y 0 ) C
AC
2
B
A 0时，
0 , ( x0 , y0 )为极大值
A 0 , ( x0 , y0 )为极小值
x ( x, y)d
D
, y M y
( x, y) d
M
D
y ( x, y)d
D
( x, y)d
D
平面薄片的转动惯量： 对于 x轴 I x
y2 ( x, y)d , 对于 y轴 I y
x 2 ( x, y)d
D
D
平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a 0)的引力： F { Fx , Fy , Fz}，其中：
·反三角函数性质： arcsin x
arccos x arctgx
arcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（ Leibniz ）公式：
(uv)( n ) u ( n) v
n
C
k n
u
(
n
v k ) (k )
k0
nu ( n 1) v
n(n 1) u (n 2) v 2!
n(n 1) ( n k 1) u( n v k) (k ) k!
隐函数 F ( x, y) 0， dy dx
F F
x y
d2 ，
dx
y
2
( x
隐函数 F ( x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
x Fz
y Fz
Fx )＋ (
Fy
y
Fx ) dy Fy dx
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高等数学公式
F (x, y,u, v) 0
隐函数方程组：
J
( F ,G)
a
n2
b
抛物线法： f ( x)
ba [( y0
yn)
a
3n
yn 1) y1 2( y2
yn 1 ] y4
定积分应用相关公式：
功： W F s 水压力： F p A
引力： F
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值： y
b
1 f (x)dx
b aa
b
均方根： 1 f 2(t )dt b aa
yn 2 ) 4( y1 y3
a b c cos , 为锐角时，
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高等数学公式
平面的方程：
1、点法式： A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0，其中 n { A, B, C}, M 0 (x0, y0 , z0 ) 2、一般方程： Ax By Cz D 0
3、截距世方程： x
y
z 1
abc
平面外任意一点到该平 面的距离： d
·和差角公式：
sin(
) sin cos cos sin
cos(
) cos cos sin sin
tg tg
tg (
)
1 tg tg
ctg ctg 1
ctg (
)
ctg ctg
·和差化积公式：
sin sin
2 sin
cos
2
2
sin sin 2 cos
sin
2
2
cos cos cos cos
2 cos
·半角公式：
sin 2
1 cos cos
2
2
1 cos 2
1 cos 1 cos
sin
1 cos 1 cos
sin
tg
ctg
2
1 cos
sin
1 cos
2
1 cos
sin
1 cos
·正弦定理： a
b
c 2R
sin A sin B sin C
·余弦定理： c2 a 2 b 2 2ab cosC
函数 z f ( x, y)在一点 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)
f i
f j
xy
它与方向导数的关系是 ：f grad f (x, y) e，其中 e cos i sin l
单位向量。
j ，为 l 方向上的
f 是 gradf (x, y)在l上的投影。 l
多元函数的极值及其求法：
x2 a2
x2 a2 ) C
高等数学公式
2
2
I n sin n xdx cosn xdx
0
0
x 2 a 2 dx x x 2 a 2 2
x 2 a 2 dx x x 2 a2 2
a 2 x 2 dx x a 2 x2 2
n1 n In 2
a2 ln( x
2
x2 a2 ) C
a2 ln x
2
x2 a2 C
arshx ln( x x2 1）
archx ln( x x2 1)
1 1x arthx ln
2 1x
sin x
lim
1
x0 x
lim (1 1 ) x e
x
x
2.718281828459045...
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90 °- α 90 °+ α 180 °-α 180 °+α 270 °-α 270 °+α 360 °-α 360 °+α
a2
x
arcsin C
2
a
2u
1 u2
x
2du
sinx
1 u2 ， cosx
1 u2 ， u
tg ， dx 2
1 u2
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高等数学公式
一些初等函数：
两个重要极限：
ex e x 双曲正弦 : shx
2
双曲余弦 : chx ex e x 2
双曲正切 : thx
shx chx
ex ex
ex ex
ln
C
2a a x
dx
arcsin x C
2
2
ax
a
dx cos2 x
sec2 xdx tgx C
dx sin 2 x
csc2 xdx
ctgx C
secx tgxdx secx C
cscx ctgxdx cscx C
a xdx a x C ln a
shxdx chx C
chxdx shx C dx ln( x
z
(t)
(t )在点 M (x0 , y0, z0 )处的切线方程： x x0
(t)
(t 0)
y y0 (t0 )
z z0 (t0 )
在点 M 处的法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t 0)( z z0 ) 0
F ( x, y, z) 若空间曲线方程为：
0 ,则切向量 T
Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程： x x0 m
二次曲面：
y y0 n
z z0 p
x x0 mt t,其中 s { m, n, p}; 参数方程： y y0 nt
z z0 pt
1、椭球面：
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
2、抛物面： x2 y 2 z（, p, q同号） 2 p 2q
1 1 x2
基本积分表： 三角函数的有理式积分：
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
secxdx ln secx tgx C
csc xdx ln csc x ctgx C
dx 1
x
2
2
arctg C
ax a
a
dx
1 xa
x2 a2
ln 2a x a
C
dx
1 ax
a2 x2
两向量之间的夹角： cos
a xbx a y by a zbz
2
2
2
ax ay az
2
2
2
bx by bz
c ab
i jk ax ay az , c bx by bz
a b sin .例：线速度： v w r .
向量的混合积：[ ab c] (a b ) c 代表平行六面体的体积 。
ax ay az bx by bz cx cy cz
导数公式：
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
(secx) secx tgx
(csc x) csc x ctgx
(a x ) a x ln a
(log a x)
1 x ln a
高等数学公式
(arcsin x)
1 1 x2
(arccos x)
1 1 x2
1
( arctgx )
2
1x
( arcctgx )
3、过此点的法线方程：
x x0
y y0
z z0
F x ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) F z (x0, y 0, z0 )
方向导数与梯度：
函数 z f ( x, y)在一点 p( x, y)沿任一方向 l的方向导数为： f l
f cos x
f sin y
其中 为 x轴到方向 l 的转角。
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b) f (a) f ( )(b a)
柯西中值定理： f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
当 F( x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率：
uv(n )
弧微分公式： ds 1 y 2 dx,其中 y tg
平均曲率：K
G(x, y,u, v) 0
(u,v)
u 1 ( F ,G) v 1 (F , G)
x J ( x, v)
x J (u, x)
u 1 ( F ,G) v 1 (F , G)
y J ( y,v)
y J (u, y)
FF
u
v Fu Fv
G G Gu Gv
uv
微分法在几何上的应用：
x 空间曲线 y
. : 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变 s
M 点的曲率： K lim
d
s 0 s ds
y .
(1 y 2 )3
直线： K 0;
半径为 a的圆： K 1 . a
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化量； s： MM 弧长。
高等数学公式
定积分的近似计算：
b
矩形法： f ( x)
a
b n a ( y0
y1
b
梯形法： f ( x) b a[ 1 ( y0 yn )
3、双曲面：
单叶双曲面：
x
2 2
y2
2
z2 21
abc
双叶双曲面：
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
（1 马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分： dz
z dx
z dy du
u
u
u
dx dy dz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算： z dz f x ( x, y) x f y (x, y) y
多元复合函数的求导法 ：
则： AC B 2 0时， 无极
值
AC B 2 0时 , 不确定
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高等数学公式
重积分及其应用：
Baidu Nhomakorabea
f ( x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
2
曲面 z f ( x, y)的面积 A
z 1
D
x
2
z dxdy
y
平面薄片的重心： x M x M
sin cos tg ctg
-sin α cos α -tg α -ctg α cos α sin α ctg α tg α cos α -sin α -ctg α -tg α sin α -cos α -tgα -ctg α -sin α -cos α tg α ctg α -cos α -sin α ctg α tg α -cos α sin α -ctg α -tg α -sin α cos α -tg α -ctg α sin α cos α tg α ctg α
z f [u(t ), v(t)] dz z u z v dt u t v t
z f [u(x, y), v( x, y)] z z u z v x u x vx
当u u( x, y)， v v( x, y)时，
du u dx u dy dv v dx v dy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：