数值分析(计算方法)
数值分析-计算方法-插值a
500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
x1
x2
利用
x0 6 , x1 4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
50 0
Lf1内要( (5端1x 8插计)点 ) 通算s，0 常的i.x 7插n 7 优x6值12 2 所于4效,在外果R 1 的推(x 较) 区。f 好(f x 间选)2 ( 。 ! 的择x s )(x ix ,n 6 f)x (( x 4 )) 4 s 2 |( ix x n , 6 )x x ( ( 4 6 )|, 4)
Ln ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n=1
线性插值
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graL n1 g(exB)asa is0 */，a1x 使得
L满1( 足x0 )条 件y0 l,i(Lx1j)(=x1 )ij/*yK1 ronecker Delta */
f(x)L (x) n
f ( ) (n1)
ni
i
项式是唯一存在的。
证明： 由插值条件可知，插值多项式Ln(x)的系数ai满足线性
方程组
1
x 0
xn 0
a0
y 0
1
x 1
xn 1
a1
y 1
1
x n
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
数值分析-计算方法-方程求根a-文档资料
6.3 Fixed-Point Iteration
例 用收敛定理考察例题6.1两种解法的收敛性。 解 考察等价方程：
3 x g ( x ) x 1 1
当x∈[1.4, 1.6]时g1(x)∈[1.4, 1.6], 并且有 1 g ( x ) 1 1 2 33 (x 1 ) 所以迭代方程 xk+1= g1(xk) 收敛。 考察等价方程：
k k 1 0
( k = 1, 2, … )
且存在极限
1 L x * x k 1 x lim g * k x * x k
6.3 Fixed-Point Iteration
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
令 f a g ( x ) b ( x ) g ( x ) x
( b ) g ( b ) b 0 f ( a ) g ( a ) a 0 ,f
f (x) 有根
② 不动点唯一？
~ ~ g ( x ) 反证：若不然，设还有 x ，则 ~ ~ ~ ~ 在 x* 和x 之间。 g ( x *) g ( x ) g ( ξ ) ( x * x ), x* x
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
b a b a k k |x x*| k k 2 2
b a ln b a ln ε ε k k 2 ln 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢 请同学们自行设计计算程序。
xk
k xk
1
6 1.32470
1.25992
7 1.32471
数值分析与数值计算方法
数值分析与数值计算方法数值分析与数值计算方法是现代科学与工程领域中的重要学科，它涉及到利用计算机和数值方法解决数学问题的理论和技术。
本文将从数值分析的基本概念、应用领域以及常见的数值计算方法等方面进行探讨。
一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究数学算法与计算机实现相结合的学科，旨在通过数学模型的建立和数值计算方法的选择，对实际问题进行定量分析和计算。
它不仅包括了数值计算方法的研究，还包括了误差分析、计算复杂性和算法设计等内容。
数值分析的核心任务是将问题转化为数学模型和计算机可处理的形式，通过数值计算方法求解模型得到近似解。
数值分析的基本思想是通过将连续问题离散化，将其转化为离散的代数问题，然后利用数值计算方法进行求解。
二、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学和工程领域，例如物理学、化学、生物学、经济学、计算机科学等。
在实际的科学研究和工程应用中，常常需要对现象进行数值建模和计算求解，以获得更加准确的结果。
在物理学中，数值分析用于求解微分方程、积分方程等物理模型，并模拟和预测天体运动、流体流动等自然现象。
在化学和生物学中，数值分析被用于计算分子结构、化学反应动力学等问题。
在经济学中，数值分析可以用于建立经济模型、进行风险评估和决策分析。
三、常见的数值计算方法1. 插值和拟合方法：插值和拟合方法用于根据已知数据点的函数值，构造出一个逼近原函数的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。
2. 数值积分方法：数值积分方法用于计算函数在一定区间上的定积分。
常见的数值积分方法有梯形规则、辛普森规则等。
3. 数值微分方法：数值微分方法用于在离散数据点上估计函数的导数。
常见的数值微分方法有中心差分法和向前差分法等。
4. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的数值解。
常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法等。
5. 线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法用于求解线性代数方程组的数值解。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。
6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。
9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
数值分析计算方法复习(典型例题)解析
6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review
数值分析与计算方法的基本原理
数值分析与计算方法的基本原理数值分析与计算方法是一门涉及数学、计算机科学和工程学的学科，主要研究如何利用数值计算的方法解决实际问题。
本文将从数值分析和计算方法的基本原理两个方面进行论述。
一、数值分析的基本原理数值分析的基本原理是通过数学方法对实际问题进行近似计算，以获得问题的数值解。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面。
1. 数值逼近数值逼近是指通过一系列已知的数值来近似表示一个函数或者数值。
其中最常用的方法是插值和拟合。
插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数值相等；拟合是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数的差别最小。
插值和拟合可以用于曲线拟合、数据预测等问题。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算的方法对函数的积分进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法通过将积分区间划分成若干小区间，在每个小区间上用简单的数值计算方法来估计积分值，然后将这些估计值相加得到近似的积分值。
3. 数值微分数值微分是指通过数值计算的方法对函数的导数进行近似计算。
常用的数值微分方法有有限差分法和微分拟合法。
有限差分法通过计算函数在某一点的前后差值来估计导数的值；微分拟合法通过在某一点附近构造一个拟合函数，然后计算该函数的导数来估计原函数的导数。
4. 数值代数数值代数是指通过数值计算的方法解决线性代数方程组、非线性方程和矩阵特征值等问题。
常用的数值代数方法有高斯消元法、迭代法和特征值分解等。
这些方法通过将复杂的代数问题转化为简单的数值计算问题来求解。
二、计算方法的基本原理计算方法是指利用计算机进行数值计算的方法，它主要涉及数值计算软件、算法设计和计算机编程等方面。
1. 数值计算软件数值计算软件是指专门用于进行数值计算的软件工具，如MATLAB、Python的NumPy库和SciPy库等。
这些软件提供了丰富的数学函数和数值计算工具，方便用户进行各种数值计算操作。
数值分析计算方法
void main(void)
{
double fa=fc(1),fb=fc(3),a=1,b=3,f,x0;
int k=0;
for(;b>a&&b-a>=pow(10,-4)*0.5;)
{
仁fc((a+b)/2);
if(仁=0)
{ x0=(a+b)/2; break;
}Байду номын сангаас
else if(fa*f<0)
{
double y;
y=pow((3*x+1),1.0/3);
return y;
}
double Derivative1(double x)
{
double y;
y=pow((3*x+1),-2.0/3);
return y;
} double Iterate2(double x) {
double y;
y=(1-x*x*x)/3.0;
1.19 817
1.23223
作五次插值，并求x1=0.46，x2=0.55，x3=0.60时的函数近似值.
1■实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析 各自的优缺点。
2.算法描述：
3.源程序：
拉格朗日插值：
#include<stdio.h>
#define k2
void main()
三•实验三：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=s in( x)/x的积分, 并与准确值比较判断精度。
1■实验目的：通过实例体会各种算法的精度。熟练掌握复化梯形，复化辛普森, 复化柯特斯求积方法的程序。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
(整理)数值分析计算方法超级总结
工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。
4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3%,求半径r 的相对 误差的允许范围。
5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？二. 插值问题:1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。
数值分析与计算方法
数值分析与计算方法数值分析与计算方法是一门应用数学科学，应对处理数值计算问题的方法与技巧进行研究与应用。
它主要关注如何使用数值方法来近似求解数学问题，特别是那些无法以解析方法解决的问题。
本文将介绍数值分析与计算方法的基本概念、常用算法以及应用领域。
一、数值分析与计算方法的概念数值分析与计算方法是研究如何通过数值计算来解决数学问题的一门学科，它主要包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、常微分方程的数值解、线性方程组的数值解等内容。
数值分析与计算方法的研究对象包括数值算法和数值方法，并通过计算机软件和硬件来实现数值计算。
二、常用数值分析与计算方法算法1. 数值逼近：数值逼近是通过有限个已知的点来近似一个函数的值，常用的数值逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
2. 插值与外推：插值与外推是通过已知点列的函数值来确定一个函数，以便在给定区间上任意点处计算函数值。
常用的插值与外推方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
3. 数值微积分：数值微积分是通过数值方法进行微积分运算，包括数值积分和数值微分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
4. 常微分方程的数值解：常微分方程的数值解是通过数值方法求解微分方程的近似解。
常用的数值解法包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法等。
5. 线性方程组的数值解：线性方程组的数值解是通过数值方法求解线性方程组的近似解。
常用的数值解法有高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
三、数值分析与计算方法的应用领域数值分析与计算方法在科学计算、工程计算、金融计算等领域具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 科学计算：数值计算在物理学、化学、生物学等自然科学领域中具有重要的应用，例如在偏微分方程的数值解、数值模拟等方面。
2. 工程计算：数值计算在工程设计、结构分析、电力系统仿真等工程领域中发挥重要作用，例如在有限元分析、流体力学计算等方面。
数值分析(计算方法)介绍
Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当k→∞时，tk →t* （问题2: 证明该结论！）。大家知道，任何形式的重复都可看成是 “时间”的量度。Zeno在刻画人龟追赶问题中设置了两个“时钟”：一 个是日常的钟，另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟，不妨称之为 Zeno钟。Zeno公式（2）表明，当Zeno钟趋于∞时人才能追上龟，Zeno 正是据此断言人永远追不上龟。
9
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2019/12/20
算法设计技术
J. G. Liu
引例
古希腊哲学家Zeno在两千多年前提出过一个骇人听闻的命题： 一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前面的一只乌龟。这就 是著名的Zeno悖论。
Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设人与龟 同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时间便能追上它； 但实际上在这段时间内龟又爬了一段路程，从而人又得重新追 赶，如下图所示，这样每追赶一次所归结的是同样类型的追赶 问题，因而这种追赶过程“永远”不会终结。
Numerical Analysis
2019/12/20
J. G. Liu
数值分析
——插值、拟合与数值微积分
主讲： 刘敬刚
School of Math. & Phys.
1
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2019/12/20
数值分析(计算方法)简介
• 引例
School of Math. & Phys.
11
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
数值分析-计算方法-插值b精品文档
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1]
f [x0, …, xn+1]
例：已知 si6 n1 2,si4 n1 2,si3 n2 3
3.2 Newton’s Interpolation
分别利用 1次、2次 Newton 插值公式计算 sin 50。
解一：取 x 0 /6 ,x 1 /4 ,x 2 /3 构造差商表
? 注： 由唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其
余f项[x 也,x 相0,同.，.,Nx .即nn (]x)k ＝1(x L) n(xf()(n n 1 )1 ()! x) k 1(x)
f[x0,..,x .k]f(k k)(!), (xm,ix n m)ax
xi
f (xi)
f [xi, xj]
f [xi, xj , xk]
500 5
18
π/6
1/2
π/ 4
1/√2 0.79110
π/ 3
√3/2 0.60703
Байду номын сангаас
…
…
…
N 1 (x ) f (x 0 ) f [ x 0 ,x 1 ] (x x 0 )
-0.35155
x 0
x1
x2
sin 50 = 0.7660444…
差商(亦称均差) /* divided difference */
f[x i,xj]f(x x i) i x fj(xj) (ij,x ixj)
1阶差商 /* the 1st
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
f[x i,x j,x k]f[x i,x x ji] x fk [x j,x k](i k ) 2阶差商
数值分析计算方法实验报告
数值分析计算方法实验报告实验报告：数值分析计算方法摘要：数值计算方法是现代科学与工程领域中常用的重要工具。
本实验通过对比分析三种不同的数值计算方法，包括二分法、牛顿迭代法和弦截法的优劣，以及在实际问题中的应用。
实验结果表明，不同的数值计算方法适用于不同的问题，合理选择方法可以提高计算的精度和效率。
一、引言在科学研究和工程实践中，很多问题并不能通过解析方法得到精确解。
数值计算方法可以通过近似计算得到问题的数值解，为科学研究和工程设计提供可靠依据。
本实验主要研究三种常见的数值计算方法，即二分法、牛顿迭代法和弦截法，并通过实例验证其有效性和适用性。
二、方法介绍1.二分法：二分法是一种简单但有效的数值计算方法，适用于通过连续函数的反函数求解根的问题。
其基本思想是将查找区间通过中点划分为两个子区间，根据函数值的符号变化，选择新的查找区间，直到满足精度要求为止。
2.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种基于函数导数的数值计算方法，适用于求解非线性方程的根的问题。
其基本思想是通过对初始值的不断迭代来逼近方程的根，在每次迭代中利用切线的斜率来更新迭代值。
3.弦截法：弦截法是一种近似求解非线性方程根的数值计算方法。
其基本思想是通过初始两个近似解的连线与坐标轴交点的位置，来逼近真实解。
在每次迭代中，通过计算连线与坐标轴的交点来更新迭代值，直到满足精度要求为止。
三、实验内容1.实现二分法、牛顿迭代法和弦截法的数值计算算法；2.通过给定的实例，在同样的精度要求下对三种方法进行比较；3.分析并总结三种方法的优缺点及适用范围。
四、实验结果通过对比实例的计算结果可得到如下结果：1.二分法在给定的实例中，二分法需要进行较多的迭代次数才能达到所要求的精度，计算效率较低，但由于其简单的计算过程和保证收敛性的特点，适用于绝大多数连续函数的求根问题。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法的计算速度快且稳定，收敛速度相对较快，但对初始值的选择要求较高。
如果初始值选择不当，可能会导致迭代结果发散。
数值计算中的数值分析与计算方法
数值计算中的数值分析与计算方法随着计算机技术的不断进步，数值计算已经成为现代科学和工程计算的基础。
这就要求我们不仅要熟练掌握数值计算的基本原理和方法，同时也需要深入了解数值计算中的数值分析与计算方法。
数值分析是指将数学问题转换为计算机可解决的问题的过程。
因为计算机只能处理有限个数字，而大多数数学问题需要使用无限个数字来描述，因此需要进行数值化处理。
而数值计算方法则是指使用计算机进行数值计算的具体方法。
在数值分析中，最基本的概念是误差。
误差是指计算结果与真实值之间的差别。
在数值计算中，误差不能完全避免，但可以通过优化算法来减小误差。
因此，数值计算中的算法设计是非常重要的。
数值计算中最常用的算法之一是迭代法。
迭代法是通过不断逼近真实值来得到数值解的方法。
例如，牛顿迭代法就是一种常用的迭代法。
它通过不断逼近函数的零点来求解方程。
迭代法在数值计算中应用广泛，因为它具有简单、可靠的特点。
另一个重要的数值计算方法是插值法。
插值法是指通过已知函数值，估计给定函数的值的方法。
例如，拉格朗日插值法就是一种常用的插值法。
它通过构造一个多项式函数来逼近给定函数。
插值法在图像处理、信号处理等领域中也有着广泛的应用。
在数值计算中，还有一些重要的概念，如截断误差、舍入误差等。
截断误差是指使用近似的方法求解问题所产生的误差，而舍入误差则是指由计算机数字舍入所引起的误差。
这些误差可能会对数值计算的精度产生影响。
为了减小误差，我们需要考虑使用更加高效、精确的数值计算方法。
例如，若使用高精度浮点数进行计算，可以极大地提高计算精度。
还可以使用符号计算方法，将计算结果表示为解析表达式，从而避免误差的累积。
总的来说，数值分析与计算方法是数值计算中非常重要的部分。
只有深入了解这些理论知识，才能够在实际计算中发挥更大的作用，解决真实世界中的问题。
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2017/2/21
J. G. Liu
数值计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性 和实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校 仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算 方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程。
则有方程 设人龟起初相距 S ，两者的速度分别为 V 和 v ，
Vt vt S
易得人追上龟所花的时间是
（1）
S t* V v
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v0 a0
vk x vk 1 ak
(k 1,2,)
——考虑问题1
算 法 流 程 图
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2 迭代法的校正技术
有些问题的“大事化小”过程似乎无法了结。Zeno悖论 强调人“永远”赶不上龟正是为了突出这层含义。这是 一类无限逼近的过程，适于用所谓预报校正技术来处理。
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tk-1
tk
V
v
Sk-1
V Sk
v
图示: 人龟追赶过程
耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思 想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达 为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速度分别为与，记 表示逼近过程的第步人与龟的间距，另以表示相应的时间，相邻 两步的时间差。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一赶两个过 程：
若用bk表示前k项的部分和，则有
（1）
b0 a0 bk bk 1 ak , k 1,2,, n
则计算结果即为所求的和值：
（2 ）
S bn
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（3）
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考虑
P( x) a0 x a1x
n
n 1
an1x an
ak x
k 0
n
nk
利用缩减技术可得如下算法：
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数值计算方法，是一种研究如何求解数学问题数值近
似解的方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法， 简称计算方法。包括直接方法和迭代方法!
数值计算方法的计算对象是线性代数，微积分，常微
S vtk tk 1 , k 0,1,2, V
(2)
Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当 k→∞时，tk →t* （ ——考虑问题2 ）。大家知道， 任何形式的重复都可看成是“时间”的量度。Zeno在 刻画人龟追赶问题中设置了两个“时钟”：一个是日 常的钟，另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟，不 妨称之为Zeno钟。Zeno公式（2）表明，当Zeno钟趋于 ∞时人才能追上龟，Zeno正是据此断言人永远追不上 龟。
分方程中的数学问题。内容包括： 求解线性方程组的数值方法; 计算矩阵特征值和特征向量的数值方法; 非线性方程和非线性方程组的迭代解法; 插值与拟合; 数值微积分; 常微分方程数值解等问题。
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追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间
tk
Sk 1
赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程
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Sk vtk
V
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数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
主讲：
刘敬刚
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一、引例 考虑如下线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 或者： Ax b
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引例
§ 1.1 算法设计技术
古希腊哲学家 Zeno( 芝诺 ) 在两千多年前提出过一个骇人 听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前 面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。
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首先看一个简单的例子：
x1 x2 1 2 x1 x2 0
x1 1 x2 2
（若是更高阶的
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二、研究对象和主要内容
实际问题 数学模型 算法设计
应用数学
程序设计
计 算 数 学
上机求解
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方程组呢？）
若行列式用按行（列）展开的方法计算 ， 用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数: (n 1)(n 1)n ! 当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有 理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑:
数值解法 = 算法 + 计算机。
人类的计算能力是计算工具和计算方法效率的乘积，提高计算方 法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科 学技术和社会生活的各个领域中，成为继实验和理论研究之后的 第三种研究方法。
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数值分析的基本概念
内容:
1、算法设计技术 2、误差 3、数值计算中需要注意的一些问题 4、算法的稳定性 5、病态问题
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Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设 人与龟同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时 间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路 程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一 次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程 “永远”不会终结。
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S0 S , Sk Sk 1 v
V
k 1, 2,
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1 直接法的缩减技术 数列求和问题：
S a0 a1 an
若以人和龟之间的距离 Sk 定义问题的规模大小，则 上述过程将问题规模压缩了 v V 倍：
V v 由于龟的速度远远小于人的速度，故 V 很小，因此
S k S k 1 v
按上述步骤很快问题的规模 Sk 就可以忽略不计，从而 得到人追上龟所花时间 t k ，Zeno的解释可用如下过程 表示：
——Zeno算法 可见，Zeno算法的设计思想是，将人龟追赶计算化归为简单的行 程计算的重复，它的设计方法是逐步压缩计算模型的规模，这种 “化大为小”的设计策略称为规模缩减技术，简称缩减技术。 算法的设计精髓：“简单”的重复生成复杂！
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参考书目：
1 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 2 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000. 3 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001. 4 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.
5 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.
学习过程中应该注意以下几个方面： 认清算法的计算对象； 掌握基本的计算方法及其原理； 用C++语言编制程序，在计算机上对算法进行验
证； 对于算法要勤思考多比较！
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