重心

三者定义
1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。

(与组成该物体的物质有关)
重心只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。

在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。

2、质心：指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。

与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。

值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。

说明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心. 如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。

质心和重心的关系就好象质量与重量的关系
3、形心：物体的几何中心。

(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。

一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。

当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。

据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；
只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。

对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。

重心
重心在工程中具有重要的意义。

例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。

总之，重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。

本节介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。

一、重心的概念及其坐标公式
地球表面附近的物体，都受到地球引力的作用。

地球对其表面附近物体的引力称为物体的重力，重力的大小称为物体的重量。

重力作用在物体的每一微小部分上，为一分布力系，这些分布的重力实际组成一个空间汇交力系，力系的汇交点在地心处。

可以算出，在地球表面相距30m的两点上，重力之间的夹角也不超过1" 。

因此，工程上把物体各微小部分的重力视为空间平行力系是足够精确的，一般所说的重力，就是这个空间平行力系的合力。

一个不变形的物体（即刚体）在地球表面无论如何放置，其平行分布的重力的合力作用线，都通过该物体上一个确定的点，这一点就称为物体的重心。

所以，物体的重心就是物体重力合力的作用点。

一个物体的重心，相对于物体本身来说就是一个确定的几何点，重心相对于物体的位置是固定不变的。

下面根据合力矩定理建立重心的坐标公式。

如图3-20所示，取直角坐标系Oxyz，其中z轴平行于物体的重力，将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分M i的重力为W i，其作用点的坐标为x i、y i、z i，设物体的重心以C表示，重心的坐标为x C、y C、z C。

图3-20
物体的重力为
应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有
(1)
由式(1)即可求得重心的坐标x C、y C。

为了求坐标z C，可将物体固结在坐标系中，随坐标系一起绕x轴旋转90°，使y轴铅垂向下。

这时，重力W与W i都平行于y轴，并与y轴同向，如图3-20中带箭头的虚线所示。

然后对x轴应用合力矩定理，有
（2）
由式(1)和(2)得到物体重心C的坐标公式为
(3-22)
如果物体是均质的，这时，单位体积的重量γ=常量。

以ΔV i表示微小部分M i的体积，
以V=∑ΔV i表示整个物体的体积，则有
和，代入式(3-22)，得
(3-23)
这说明，均质物体重心的位置与物体的重量无关，完全取决于物体的大小和形状。

所以，均质物体的重心又称为形心。

确切地说：由式(3-22)所确定的点称为物体的重心；由式
（3-23）所确定的点称为几何形体的形心。

对于均质物体，其重心和形心重合在一点上。

非均质物体的重心与形心一般是不重合的。

如果将物体分割的份数为无限多，且每份的体积无限小，在极限情况下，式(3-23)可改写成积分形式
(3-24)
一些简单几何形状的均质物体的重心（形心），都可由积分公式(3-24)求得。

表3-2
列出了几种常用物体的重心（形心），可供查用。

工程中常用的型钢（如工字钢、角钢、槽钢等）的截面的形心，可从机械设计手册中查得。

二、质心的概念及其坐标公式
如图3-21所示，设质点系由n 个质点组成，第i 个质点M i 的质量为m i ，相对于固定点O 的矢径为r i ，整个质点系的质量为
，则质点系的质量中心（简称质心）C 的矢
径为 (3-25)
图3-21
质心反映了质点系质量分布的一种特征，它是质点系中一个特定的点。

当质点系中各质点的相对位置发生变化时，质点系质心的位置也随之改变。

而刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，其内各质点的相对位置是固定的，因此刚体的质心是刚体内某一确定点。

质心的概念及其运动在动力学中具有重要地位。

式(3-25)的矢量式一般用于理论推导，而在实际计算质心位置时，常用直角坐标形式。

如图3-21所示，取直角坐标系Oxyz，第i 个质点M i的坐标为x i、y i、z i，质心的坐标为x C、y C、z C。

由式(3-25)分别向x、y、z轴投影，得
(3-26)
式(3-26)为质点系质心的坐标计算公式。

对于质量均匀分布的刚体，单位体积的质量（密度）ρ=常量。

以ΔV i表示微小部分M i的体积，以V=∑ΔV i表示整个物体的体积，将
代入式(3-26)，可得式（3-23）。

可见，均质刚体的质心和形心的位置是重合的。

在地球表面附近，重力与质量成正比，将代入式(3-22)，可得式（3-26），因此，在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。

应当注意，质心和重心是两个不同的概念。

重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。

三、确定物体重心位置的方法
前面所述的重心和形心坐标公式，是确定重心或形心位置的基本公式。

在实际问题中，可视具体情况灵活应用。

对于均质物体，如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。

下面介绍几种工程中常用的确定重心位置的方法。

1.组合法
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体组成的，这些简单形体的重心通常是已知的或易求的，这样整个组合形体的重心就可用式(3-23)直接求得。

2.负面积法
如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积），仍可利用式(3-23)来求形体的重心。

3.实验法（平衡法）
如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。

(1)悬挂法对于形状复杂的薄平板，确定重心位置时，可将板悬挂于任一点A，如图3-24a所示。

根据二力平衡原理，板的重力与绳的张力必在同一直线上，故物体的重心一定在铅垂的挂绳延长线AB上。

重复使用上法，将板挂于D点，可得DE线。

显然，平板的重心即为AB与DE两线的交点C，如图3-24b所示。

图3-24
(2)称重法对于形状复杂的零件、体积庞大的物体以及由许多构件组成的机械，常用此法确定其重心的位置。

例如，连杆本身具有两个相互垂直的纵向对称面，其重心必在这两个平面的交线，即连杆的中心线AB上，如图3-25所示。

其重心在x轴上的位置可用下法确定：先称出连杆的重量W，然后将其一端支于固定支点A，另一端支于磅秤上。

使AB处于水平位置，读出磅秤上读数FNB，并量出两支点间的水平距离l，则列平衡方程为
得
图3-25。