初中数学直角三角形模型总结——完整全面版2018.5.28

初中数学直角三角形模型总结——完整全面版

（概念研究+模型总结+精选例题+优化练习）

第一部分 直角三角形研究

一、直角三角形的判定条件

[角] 有一个角为90度的三角形叫做直角三角形

两个锐角互余的三角形

[边] 如果三角形的三条边存在两边的平方和等于另外一边的平方和

那么这个三角形叫做直角三角形

如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形叫

做直角三角形

二、直角三角形的性质

[角] 两个锐角互余

[边] 三角形的三条边存在两边的平方和等于另外一边的平方和 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

[高线] 三直角模型 高线与高线分得斜边的两部分的关系

一直角边与斜边上的高线分得的线段之间的关系

[中位线] 连接两直角边上的中点得到的中位线与斜边上的中线相等

两直角边上中点与斜边中点的连线可以构成一个矩形

三、特殊的直角三角形

[特殊角] [30度的角 ] 30度的角所对的直角边等于斜边的一半

在直角三角形中，如果有一直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度

[45度的角] 两条直角边相等，斜边等于一直角边的倍 [边] → 三边关系 ： 在直角三角形中，两直角边的平方等于斜边的

平方，

四、直角三角形分类

锐角中没有30度和45度角的直角三角形

等腰直角三角形

有一个角等于300

的直角三角形

第二部分 模型总结

1）斜边中线模型

直角三角形ABC 中，∠ACB=90，D 点平分AB ，则CD=AD=BD ∠B= ∠BCD ，∠A= ∠ACD

2）共斜边模型

直角三角形BAC

和直角三角形BEC ，∠BAC 和∠BEC 都为90度， D 点为BC

的中点，则AD=DE

3）勾股定理

已知Rt 三角形ABC,如图，有

a2+b2=c2

即，在直角三角形中已知两边长利用勾股定理求第三边。

4）特殊角转化模型

105度=45度+60度 75度=45度+30度 75度=45度+30度 120度=90度+30度

150度=90度+60度

5

若∠C =90度，∠A=30度 则有 a :b :c=1: 3:2

若三角形ABC 为等腰直角三角形，则有 a :b :c=1:1: 26）直角边共线模型

（1）DC=AB/tan a α-AB/tan β

（2）AD 2-BD 2=AC 2-BC 2

C

D E

第三部分 精选例题

例1：如图三角形ABC ，CD 垂直AB 于D 点，BE 垂直AC 于E 点，连接DE ，

分别取DE ，BC 的中点G 、F 两点，连接GF ，求证：GF 垂直于BC

例2、已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12

BC

证明：取BC 中点M ，连结EM,DM 先证EM=DM ⇐EM=12

BC=DM

再证：∠2=π-∠1-∠3

=π-（π-2∠ABC ）-（π-2∠ACB ）=060

则△EDM 为等边三角形，所以有DE=DM=12

BC

例3、直角三角形三边的长分别为5、4、m,则此三角形斜边上的高为（）

A ．12/5 B.2040/41 C.5/2 D. 12/5 或2041/41 分析与解题：若5为斜边，则m=3 高为12/5

若m 为斜边，则m=41高为2041/41

例4、某三角形的两角分别为105度，45度，且45度角所对的边长为2厘米，则该三角形

的周长为多少？

分析与解题：做AD 垂直DC

AB=2,AD=1,DC=1,BD= 3,AC=2

所以三角形ABC 周长为2+ 3+ 2+1=3+3+ 2

例5、已知，如图三角形ABC 中，∠ABC=90度，D 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，

DE 与CF 平行且相等。 求证：AE=DF 定对象：AE=DF 定角度：全等

分析与解题：DB=DA ，∠BCA=90度→DC=DA →∠1=∠2 DE//FA →∠1=∠3→∠2=∠3 在三角形ADE 与三角形DCF 中

∠2=∠3，DE=CF ，DC=DA 所以△ADE ≌△DCF

M A

B

D

E

C

213F

G

E

D

A B

C

1

B

B A D

C

F E

2

A

B

C

D

所以AE=DF

例6、已知，一个三角形的三条边长为a,b,c 满足方程组

7b a +=8c a +=9

c

b + 求三角形的面积 分析与解题：设

7b a +=8c a +=9

c

b +=k a+b=7k,a+c=8k,b+c=9k

解得a=3,b=4,c=5 因此a 2+b 2=c 2

所以此三角形为直角三角形， 所以面积=1/2ab=1/2*3*4=6

例7、直角三角形ABC 中，∠B=95度，∠ADB=45度，

∠ACB=60度，DC=10厘米，则AB 为多少厘米？

定对象：AB 的长 定角度：勾股定理

分析与解题：设AB=x,则BD=x,BC=x-10 AC=2(x-10) 在直角三角形ABC 中 [2（x-10）]2=(x-10) 2+x 2

x=15+53或15-53

例8、已知，如图△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG 垂直CE ，G 是垂足。

求证：（1）G 是CE 的中点 （2）＜B=2＜BCE 分析：（1）解题思路：GE=CG ←DG=CE 且DE=DC ←BE=DC 且 DE=BE ←BE=AE 且AD 垂直BC

（2） 解题思路：过D 做DM//CE DM//CE →＜MDB=＜ECB

＜ABC=＜EDM →＜MDB=＜EDM →＜EDM=2＜ECB

BE=DE →＜B=＜EDB →＜B=2＜ECB

第四部分 优选分层练习题

1：（A ） 已知直角三角形的两边长为12，13，则此直角三角形的周长和面积为多少？

2：(C)已知三角形两边长为3，4，要使这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

B

A

D

C

β

α

Ａ

Ｂ

Ｄ

Ｆ

A

B

C

D

G

M

E