第八章 无穷级数

1000 10000 11111 ，
1 1
9
9
10
9
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛程恰好 等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起点
1 1111 处追上并超过乌龟.
9
10
例2
讨论无穷级数
1 1 3
1 35
un
收
敛,则必有
lim
n
un
0.
n1
证明 un Sn Sn1,
lim
n
Sn
S
，
lim
n
un
lim(
n
Sn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0.
13
若级数
un
收
敛,则必有
lim
n
un
0
.
n1
说明：
1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；
例如 1 2 3 (1)n1 n
234
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和 乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假 定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺 的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟 仍然前于他10米,…,
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
再如，cos
2
cos
4
cos
8
cos
2n
lim cos 2n 1 0 ,
级数发散。
14
2、必要条件不充分：
若
lim
n
un
0 ,级数却不一定收敛.
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
第八章 无穷级数
1
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和 乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假 定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺 的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟 仍然前于他10米,…,
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？
2
第一节 常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
n1
(a 0)
如果 | q | 1，
当 q 1时, Sn na 发散
当 q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
Sn不
存
在,
发散
综上所述,
aq n1
n1
当 | q | 1时, 收敛 当 | q | 1时, 发散
a 1q
7
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：
n1
n
n
再举一个重要例子：
调和级数 1 1 1 1 1 ,
n1 n
23
n
lim 1 0 ,但级数是否收敛? n n
15
调和级数 1 1 1 1 1 ,
n1 n
23
n
讨论
S2n
Sn
1 n1
1 n
2
1 2n
n 2n
1 2
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
n1
的收敛性.
解 如果 q 1，
Sn
a
aq
aq2
aqn1
a aqn 1q
，
当 | q | 1时,
lim qn 0
n
lim
n
Sn
a 1
q
收敛
当 | q | 1时, lim qn n
lim
n
Sn
发散
6
aqn1 a aq aq2 aqn1
计算圆的面积
正六边形的面积 a1
正十二边形的面积
正 3 2n 形的面积
a1 a1
a2 a2
an
即 A a1 a2 an
R
3
1、级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
— (常数项)无穷级数
级数的部分和
n
Sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 ,, Sn u1 u2 un ,
的时间为 1000 100 ,在这段时间里,乌龟又爬了v 100 100 米,
10v v
v
阿基里斯为跑完这段路又花费时间 100 10 ,此时乌龟又在他前面 10v v
10 米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和为 10
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？
8
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论
就会不攻自破.
设乌龟的速度为 v,则阿基里斯的速度为 10v,他跑完 1000 米所化
(2n
1 1) (2n
1)
的收敛性.
解
un
1 (2n 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
,
Sn
1 1 3
1 35
1 (2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 (n ) , 2 2n 1 2
4
2、级数的收敛与发散:
当 n 时,如果级数 un 的部分和数列{Sn } 有极限 S ,
n1
即
lim
n
Sn
S
,则称无穷级数
un 收敛,
n1
这时极限 S 叫做级数 un 的和，并写成
n1
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
5
例1 讨论等比级数(几何级数)
级数收敛, 且和为1 .
2
11
例3 讨论级数 ln(1 1 ) 的敛散性.
n1
n
解
un
ln(1
1) n
ln(n 1) lnn ,
所以
Sn ln2 ln1 ln3 ln2 ln(n 1) lnn
ln(n 1) n
所以级数发散.
12
级数收敛的必要条件
定理 若级数