(完整word版)高考数学函数专题

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高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练(含答案)-word

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。

(完整word版)高中数学函数的凸凹性例讲

高中数学函数的凸凹性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠函数凹凸性问题是高考中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质.①掌握增量法解决凹凸曲线问题 ②函数的凹凸性定义及图像特征一、凸凹函数定义：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（b a ,）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（b a ,）上的下凸函数；（2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（b a ,）上的上凸函数。

二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数）图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方;上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

2切线斜率特征图3（下凸函数）图4（上凸函数）下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小；简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。

3增量特征：图5（下凸函数）图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小；简记为：增量下大上小．．．．．．。

弄清了上述两类凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题．三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数；（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数；定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.四、函数凹凸性的应用题型1：图形与图像问题◇题目：一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．练一练：◇题目：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图9所示，那么水瓶的形状是（图10中的）图7图8（）．（1998年全国高考题）图9 图10解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．讲一讲：◇题目：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是（）．Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先上凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．练一练：◇题目：（06重庆理）如下图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）C图17解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是上凸的，在［π，2π］上是下凸的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是下凸的，后来在［π，2π］上是上凸的，故选D．◇题目：（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解：设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为上右图.因为函数V 1（h ）、V 2（h ）为下凸函数, V 1（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量， ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 1> 0.5H =h 4；同理V 2（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量，ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 2> 0.5H =h 4；所以h 1> h 4、 h 2> h 4；由V 1（h ）、V 2（h ）图象可知，h 从H →h 2，ΔV 1（h ）>ΔV 2（h ）,而0.5 V 1（h ）>ΔV 1（h ）,ΔV 2（h ）=0.5 V 2（h ）,则当ΔV 1（h ）=0.5 V 1（h ）时h 1> h 2，所以答案为A.题型2：函数与图像问题◇题目：在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时，2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。

【高中数学】函数的奇偶性专题复习(绝对原创!)

【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ； )()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += （3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-= （8）221()lg lgf x x x =+；（9）xx x x f -+-=11)1()(例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x xx x f 的奇偶性。

)(0)0(:2x f f -==解 )()()(,0,022x f x x x f x x -=-=--=-<->有时即当)()()()(,0,022x f x x x f x x -=--=-=->-<有时即当.)(),()(为奇函数故总有x f x f x f =-∴第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档

(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一具位置旋转到另一具位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一具零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。

假如角的终边在坐标轴上，就以为那个角别属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k kαθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角别一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，所以，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。

（答：25-o；536π-）(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k kαθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边对于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边对于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边对于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边对于直线x y =对称，则α＝____________。

(完整word版)高等数学辅导讲义.doc

第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、求分段函数的复合函数例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。

解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。

2022年高考数学三角函数大题精品专题专练(word版)01面积问题1

面积问题11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos )b a C -=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）由正弦定理得2(sin sin cos )B A C C -=，又 sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，2cos sin A C C ∴，又sin 0C ≠，2cos A ∴=，cos A ∴= 故在ABC ∆中，30A =︒；（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，222242cos30(23)b c bc b c bc ∴=+-︒=+-，44(223bc ∴=+-，ABC ∴∆面积11sin 2324S bc A bc ==+．故ABC ∆面积的最大值为2+． 2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC ∆面积的最大值．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由于0A π<<，sin 0A ≠，所以1sin cos()sin 62B B B B π=-=+，即1sin 2B B ，则tan B 0B π<<，所以3B π=．（2）由余弦定理，得22122c a ca ac ca ac =+--=（当且仅当a c =时，取“=” )，从而1sin 3323S ca π=，所以ABC ∆的面积取得最大值3．如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上的一点，24DE AE ==，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠．（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE ∆的面积S 为83，求BC ．解：（1）2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠，22222222BE BC CE CE BC BE BE CE BC BE BC CE BC+-+-=⋅+⋅=⋅⋅，所以1cos 2BEC ∠=，即3BEC π∠=；（2）设AEB α∠=，则23DEC πα∠=-，2(0)3πα<<，因为24DE AE ==，所以2cos cos AE DE αα==，422cos()cos()33DE CE ππαα==--， BCE ∆的面积12383sin 8323cos cos()2sin(2)136S BE CE πππααα=⋅⋅==--- 所以sin(2)16πα-=，即262ππα-=，所以3πα=，此时4BE =，8CE =，BCE ∆中，由余弦定理得2222cos BC BE CE BE CE BEC =+-⋅∠， 11664248482=+-⨯⨯⨯=．故43BC =4．已知平面四边形ABCD 内接于圆O ，3AB BC ==，60ABC ∠=︒．（1）若3CD ，求ABD ∠所对的圆弧AD 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）连接AC ，3AB BC ==，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆为等边三角形，3AC =，平面四边形ABCD 内接于圆O ，180ABC ADC ∴∠+∠=︒（四点共圆），120ADC ∴∠=︒，由余弦定理可得，2222AD DC AC AD DC +-=⋅．COS ADC ∠， ∴3AD ，设ABC ∆的外接圆半径为R ，2sin ACR ABC =∠，3AC =，60ABC ∠=︒3R ∴OAD ∴∆为等边三角形，∴圆弧AD 所对于应的角3πα=，333AD R ππα==．（2）在ACD ∆中，2222AD DC AC AD DC ADC +-=⋅⋅∠， 120ADC ∠=︒，3AC =，229AD DC AD CD ∴+=-⋅，222AD CD AD CD +⋅，3AD CD ∴⋅，当且仅当3AD CD == ∴四边形ABCD 面积1111sin 60sin1203332222ABC ACD S S S AB BC AD DC =+=⋅⋅︒+⋅⋅︒⨯⨯⨯= ∴四边形ABCD 面积S =5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对应边，已知cos cos a C b c A =+．（1）求A ；（2）若sin()B A -=，c =ABC ∆的面积．解：（1）cos cos a C b c A =+，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos A C CB C A =+，又A B C π++=，sin sin[()]sin()B A C A Cπ∴=-+=+，∴sin cos sin cos cos sin sin cos A C C A C A C CA =++， ∴2sin cos C C A =，又(0,)C π∈，sin0C ∴>， ∴cosA = (0,)A π∈，∴4A π=．（2）sin()B A -=，即sin()4Bπ-=， 304B π<<，可得442B πππ-<-<，∴cos()4B π-==， ∴sinsin()sin()sin[()]cos()4424CA B B B Bππππ=+=+=-+=-= 又∴sin sin[()])cos()]4444B B B B ππππ=-+=-+-==，在ABC ∆中，由正弦定理可知：25sin c R C ===， ∴52R =，（其中R 为ABC ∆外接圆半径），∴221523102515sin 2sin sin sin 2()2221052ABC S ab C R A B C ∆===⨯⨯⨯⨯=． 6．（1）如图，在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点P 经过5s 所转过的弧长．（2）在ABC ∆中，已知1tan 2A =，1tan 3B =且最长边为1，求ABC ∆的面积．解：（1）因为P 是弦的中点，所以OP AB ⊥，因为10AO cm =，6AB cm =，所以4OP cm =，因为轮子以4弧度/秒的速度旋转，选择5s ，所以所转过的弧长45480l cm cm =⨯⨯=；（2）因为1tan 2A =，1tan 3B =，所以tan tan tan tan()1tan tan 1A BC A B A B +=-+==--，所以34C π=，所以C ∠为最大角，所以1c =，由1tan 2A =，1tan 3B =可得5sin A =，10sin B =，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ==，所以sin sin c A a C =，sin sin c B b C =，所以ABC ∆的面积251011sin sin sin sin 1510sin 22sin sin 2sin 1022c A c B c A B S ab C C C C ==⨯⨯===⨯． 7．如图，半圆O 的直径为2cm ，A 为直径延长线上的-点，2OA cm =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．设AOB α∠=．（1）当3πα=时，求四边形OACB 的周长；（2）点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？最大值为多少？解：（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos 14212cos 33AB OA OB OA OB πα=+-⋅=+-⨯⨯=，即3AB =，于是四边形OACB 的周长为421343353OA OB AB AB +++=+++=+；（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos 14212cos 54cos AB OA OB OA OB ααα=+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，所以54cos AB α=-，0απ<<，于是四边形OACB 的面积为2133sin sin (54cos )244AOB ABC S S S OA OB AB ααα∆∆=+=⋅+=+- 5353sin 3cos 2sin()434πααα=-+=-+，当32ππα-=，即56πα=时，四边形OACB 的面积取得最大值5324+． 8．已知ABC ∆中，3sin cos AC A BC B ⋅=⋅．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）已知3C π=，1003AB =，若D 、E 是边BC 上的点，使6DAE π∠=，求当ADE ∆面积的最小时，BAD∠的大小．解：（Ⅰ）3sin cos AC A BC B ⋅=⋅， ∴3sin sin sin cos B A A B ⋅=⋅，(0,)A π∈，sin 0A ∴≠，得3tan B =，又(0,)B π∈，6B π∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，6B π=，又3C π=，ABC ∴∆为直角三角形，且2BAC π∠=，AB =100AC ∴=，设BAD α∠=，[0α∈，]3π，则56BDA πα∠=-，在ABD ∆中，由5sin sin()66AD AB ππα=-，得sin()6AD α=-，由3CAE πα∠=-，3C π∠=，得3AEC πα∠=+，在ACE ∆中，由sin sin()33AEAC ππα=+，得sin()3AE α=+，由11sin 24ADE S AD AE DAE ∆=⋅⋅∠==． [0α∈，]3π，2[0α∴∈，2]3π，可得当sin 21α=，即4πα=时，S 取得最小值，故当ADE ∆面积的最小时，4BAD π∠=．。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

(完整word版)高考数学知识点归纳总结,推荐文档

高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。

2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。

且：有假为假，全真为真。

非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。

常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如果函数 yf x 对于一切 x R ，都有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

(完整word版)高中数学函数图像总结,推荐文档

编制者;石嘉炜
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．。

(word完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)43964.doc

实用文档参考公式：如果事件 A、B互斥，那么P( A B) P( A)P( B)如果事件 A、B相互独立，那么P(AgB)P( A)gP( B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2,⋯n) 球的表面积公式S 4R2其中 R 表示球的半径球的体积公式V 3 R34其中 R表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数 1 3i =1 iA 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合 A＝ {1.3. m }，B＝{1，m} ,A U B＝A, 则 m=A 0 或3B 0 或 3C 1或3D 1 或 33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为A x2 + y2 =1B x2 + y2 =116 12 12 8C x2 + y2 =1D x2 + y2 =18 4 12 44 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中， AB=2， CC= 2 2 E 为 CC的中点，则直线AC与平面1 1 1 BED的距离为A 2B 3C 2D 1（5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n，a5=5， S5=15，则数列的前100项和为(A) 100(B)99(C)99(D)101 101101100100（6）△ ABC中， AB边的高为 CD，若a· b=0， |a|=1 ， |b|=2 ，则(A)（ B）(C)(D)3（7）已知α为第二象限角， sin α＋ sin β =3，则 cos2α =555 5--9(D) 3(A) 3 （B ） 9 (C)（8）已知 F1、 F2 为双曲线 C ： x2 -y 2 =2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1|=|2PF2| ，则 cos ∠ F1PF2=1 334(A) 4（ B ） 5(C)4(D)51（ 9）已知 x=ln π， y=log52 ， z=e 2，则 (A)x ＜ y ＜ z （ B ） z ＜ x ＜y (C)z ＜ y ＜ x (D)y＜ z ＜ x(10) 已知函数 y ＝ x2 -3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝（A ） -2 或 2 （ B ） -9 或 3 （C ） -1 或 1 （ D ）-3 或 1（ 11）将字母 a,a,b,b,c,c, 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ A ） 12 种（ B ） 18 种（ C ） 24 种（ D ） 36 种7（12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝ 3。

高中数学函数练习题(完整版)

高中数学函数练习题(完整版).doc1、在A、B、C、D四个函数中，只有函数y=1/(x+1)的值域是(0,+∞)，因此答案为A。

2、由题意可得：f(-2)=f(2)=3，即2a+12a+a=3，解得a=-1/2.在闭区间[-2,2]上，f(x)的最小值是f(0)=-a=1/2，因此答案为A。

3、对于函数y=x-2x^2+3，在[0,m]上有最大值3，最小值2，因此其开口向下，且顶点在[0,m]上。

由于开口向下，顶点为最大值，因此m=1，即答案为A。

4、设函数f(x)=log_a(x)，则f(a)=1，f(2a)=log_a(2a)=1+log_a2，由题意可得：f(2a)=3f(a)，即1+log_a2=3，解得a=1/4，因此答案为B。

5、在区间[0,1]上，f(x)的最大值为a+log_a2，最小值为a+log_a1=a，因此有：a+log_a2+a=2a，解得a=2，因此答案为D。

6、由题意可得：y-2xy/(x-1)^3的最小值为-1/3，1/(x-1)的最大值为正无穷，因此答案为正无穷和-1/3.7、由于XXX(ax+2x+1)的值域为R，因此ax+2x+1>0，解得a>-1/2.又因为XXX(ax+2x+1)=lg(a)+lg(x+2x+1/a)>0，解得a>0.因此a的取值范围为(0,1/2)。

8、将x=y=1代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，得f(2)=f(1)+f(1)+2=4.又因为f(1)=2，因此f(0)=f(1)+f(-1)+2(1)(-1)=0.9、将x=0代入f(x+1)=(1/3)(1/(x^2-1))，得f(1)=(1/3)(1/2)=1/6.因此f(x)=f(x+1-1)=f(x+1)-2(x+1-1)=f(x+1)-2x-2，代入f(x+1)=(1/3)(1/(x^2-1))，得f(x)=(1/3)(1/[(x-1)(x+1)])-2x-2，因此函数f(x)的值域为R。

(word完整版)高三数学三角函数选择题专项练习真题

三角函数选择题1.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 2.若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56 3.要得到函数4y sin x =-（3π ）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位 4. “sin cos αα=”是“cos 20α=”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要5.已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）.A.233 B. 235 C. 211 D. 2136.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（）A B ．2 C ． D ．37. o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）（B （C ）12- （D ）128.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位 ( B ）向右平移12π个单（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位 9.函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( ) (A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈10.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+11.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 12.【2015陕西高考，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．1013.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-14.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（） A.512π B.3π C.4π D.6π 15.已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 ( )A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π= 16.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）()()()()...32.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称17.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所的图象对应的函数 ()A 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减()B 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()C 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减()D 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 18.函数f (x )=cos的最小正周期是 ( )A. B.πC.2π D.4π 19.函数f(x)=cos的最小正周期是 ( )A. B.πC.2πD.4π 20.已知函数()3cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（）A.2πB.23πC.πD.2π21.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2y x =的图像（）A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移4π个单位22.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位23.若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（）A.8π B.4π C.83π D.43π 24.为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（）A.向左平行移动21个长度单位B. 向右平行移动21个长度单位 C.向左平行移动1个长度单位 D. 向右平行移动1个长度单位25.为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度26.钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=2,则AC= ( )A.5 B. 5 C.2 D.127.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。

(完整word版)三角函数高考题及答案

1.（上海，15)把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是（） A 。

（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C 。

（y +1）sin x +2y +1=0D.－（y +1)sin x +2y +1=02.（北京,3）下列四个函数中，以π为最小正周期,且在区间（2π,π）上为减函数的是（） A.y =cos 2xB.y ＝2｜sin x ｜C.y ＝（31)cos xD.y =－cot x3。

（全国，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f (x ）可以是（） A 。

sin x B 。

cos x C.sin2x D.cos2x4.（全国，6)已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限,则在[0,2π］内α的取值范围是（） A.（2π,43π）∪(π，45π） B.（4π，2π)∪(π，45π） C.（2π，43π)∪（45π，23π）D 。

（4π,2π）∪（43π，π） 5.（全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（）A.{x |2k π－43π〈x 〈2k π+4π,k ∈Z }B 。

{x ｜2k π+4π<x 〈2k π+45π,k ∈Z } C.｛x |k π－4π<x 〈k π+4π，k ∈Z ｝ D.{x ｜k π+4π<x 〈k π+43π，k ∈Z ｝ 6.(全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π)的最小正周期是（）A 。

6πB 。

2π C.32πD 。

3π7。

（全国，9）已知θ是第三象限角,若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ) A 。

322 B.－322 C 。

32D.－32 8。

(全国，14)如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（） A.2B.－2C 。

(完整版)高考数学历年函数试题及答案

设（x ）是定义在R 上的偶函数, 其图象关于直线x=1对称, 对任意x1,x2∈[0, ]都有（Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。

2.设函数（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.3. 已知函数（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中, 画出函数在区间上的图象4. （本小题满分12分）求函数的最小正周期、最大值和最小值.5. （本小题满分12分）已知在R上是减函数, 求的取值范围.6.△ABC的三个内角为A.B.C, 求当A为何值时, 取得最大值, 并求出这个最大值7.设a为实数, 函数在和都是增函数, 求a的取值范围.8.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的x 都有f(x)＜c2成立, 求c的取值范围.9.已知函数 , .（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数, 求的取值范围.10.在中, 内角A.b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知 , 且 , 求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线上, 若该曲线在点P 处的切线通过坐标原点, 求的方程12.设函数图像的一条对称轴是直线（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13.已知二次函数的二次项系数为 , 且不等式的解集为（Ⅰ）若方程有两个相等的根, 求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数, 求的取值范围解答： 2.解: （Ⅰ）由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠- 故既不是奇函数, 也不是偶函数.（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.2,1,2,3)(22x x x x x x x f由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433.解)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数的最小正周期为π, 最大值为 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是4.解:.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数的最小正周期是 , 最大值是最小值是 5.解: 函数f(x)的导数: .（Ⅰ）当（）时, 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以, 当是减函数；（II ）当时, =由函数在R 上的单调性, 可知当时, ）是减函数；（Ⅲ）当时, 在R 上存在一个区间, 其上有所以, 当时, 函数不是减函数. 综上, 所求的取值范围是 6.解：由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cosAC B =+ 2sin 2cos 2cos 2cos AA CB A +=++2sin 22sin 212A A +-=.23)212(sin 22+--=A 当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π 7.解：),1(23)('22-+-=a ax x x f其判别试.81212124222a a a -=+-=∆ （ⅰ）若,26,08122±==-=∆a a 即当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a x x所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以 ,232>a即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a （ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈ 依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.26<a 由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a 综上, a 的取值范围为即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9.解: （1）求导: 当时, , , 在上递增；当 , 由求得两根为即在递增, 递减,⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增；（2）（法一）∵函数在区间内是减函数, 递减, ∴ , 且 , 解得: 。

高中试卷-专题4.5 函数应用(含答案)

专题4.5 函数应用1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点．(3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2。

函数零点的判定定理条件结论函数y ＝f (x )在[a ，b ]上(1)图象是连续不断的曲线(2)f (a )f (b )< 0y ＝f (x )在(a ，b )内有零点3．四种函数模型的性质函数性质 y ＝a x (a ＞1)y ＝log a x (a ＞1)y ＝x n (n ＞0)y ＝kx ＋b (k ＞0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对较快不变图象的变化越来越陡越来越平随n 值而不同直线上升4．三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y ＝a x (a ＞1)和幂函数y ＝x n (n ＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x >x n .(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y ＝log a x (a ＞1)和幂函数y ＝x n (n ＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n ＜a x .1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A2．已知函数()20,,021x x x f x x ³ì-í-î＝＜，若函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．01b <<B ．0b <C ．20b -<<D ．10b -<<【答案】D【解析】如图，作出f (x )图像，函数()()g x f x b =-有两个零点，等价于y ＝f (x )与y ＝b 图像有两个交点，则10b -<<．故选：D ．3．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,¥+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ×<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C4．基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：ln 20.69»）（）A ．0.9天B ．1.8天C ．1.2天D ．3.6天【答案】D【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()e t I t \=，当0=t 时，(0)1I =，则0.38e 4t =，两边取对数得0.382ln 2t =，解得2ln 23.60.38t =»．故选：D 5．已知1x ，2x 分别是方程e 20x x +-=，ln 20x x +-=的根，则12x x +=（）A ．1B ．2C D 1【答案】B【解析】由题意可得1x 是函数e x y =的图象与直线2y x =-+交点A 的横坐标，2x 是函数ln y x =图象与直线2y x =-+交点B 的横坐标，因为e x y =的图象与ln y x =图象关于直线y x =对称，而直线2y x =-+也关于直线y x=对称，所以线段AB 的中点就是直线2y x =-+与y x =的交点，由2y xy x =ìí=-+î，得11x y =ìí=î，即线段AB 的中点为(1,1)，所以1212x x +=，得122x x +=，故选：B 6．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间()0,16，()0,4，()0,2内，那么下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 在区间()0,1内有零点B ．函数()f x 在区间()0,1或()1,2内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16上无零点D ．函数()f x 在区间()1,16内无零点【答案】C【解析】由题意，函数()f x 唯一的一个零点在()0,2内，则函数在[)2,+¥上无零点，但零点与1的大小未知，排除A ，B ，D 选项，故选：C7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ££时，设y kx =，将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =，当10x >时，设a y x=，将点(10,8)代入a y x=得：10880a =´=，则此时80y x =，综上，()4010580(10)x x y x x ì££ïï=íï>ïî，当010x ££时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x =，则当4y ³时，520x ££，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟），故选：C ．8．已知函数()21,22,21x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则方程()1f f x éù=ëû的实数根的个数为（）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】令()f x t =，则()1=f t ，①当2t …时，||211t -=，||22t \=，||1t \=，即1t =±，②当2t >时，211t =-，3t \=，画出函数()f x 的图象，如图所示，若1t =-，即()1f x=-，无解；若1t =，直线1y t ==与()y f x =的图象有3个交点，即()1f f x éù=ëû有3个不同实根；若3t =，直线3y t ==与()y f x =的图象有2个交点，即()1f f x éù=ëû有2个不同实根；综上所述，方程[()]1f f x =的实数根的个数为5个，故选：B ．9．若关于x 的方程()44240x xa ++×+=在[]1,2-上有实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．25,82éù--êúëûB ．25,2¥æù--çèûC ．[]25,8--D ．[)8,-+¥【答案】A【解析】当[]1,2x Î-时，令12,42x t éù=Îêúëû，则()2240t a t +++=，可得()42a t t -+=+，设()4g t t t =+，其中1,42t éùÎêúëû，任取1t 、21,42t éùÎêúëû，则()()()()()()1212121212121212124444t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t ---æöæö-=+-+=--=ç÷ç÷èøèø.当12122t t £<£时，12144t t <<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以，函数()4g t t t =+在1,22éùêúëû上为减函数；当1224t t £<£时，12416t t <<，则()()120g t g t -<，即()()12g t g t <，所以，函数()4g t t t=+在[]2,4上为增函数.所以，()()min 24g t g ==，11722g æö=ç÷èøQ ，()45g =，则()max 11722g t g æö==ç÷èø，故函数()4g t t t =+在1,42éùêúëû上的值域为174,2éùêúëû，所以，()17442a £-+£，解得2582a -££-.故选：A.10．已知函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的，则“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间[],a b 内有零点”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立；反之，若函数2y x =在[]1,1-上满足()()110f f ->，但其有零点0x =，故必要性不成立；所以“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间[],a b 内有零点”的充分不必要条件故选：A11．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（）A ．－5B ．－2C ．2D ．3【答案】A【解析】因为0x =不是方程的解, 所以方程可变形为1||x a x+=, 可考虑函数||y x a =+与1y x=的图象共有三个公共点,如图，当0a ³时，仅1个公共点，不符合；当0a <时，结合图象，由方程1(0)x a x x-+=<有一解，可得2a =-，所以2a <-符合要求.故选：A12．已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ì-<ï=í-+³ïî，若方程()()f x m m =ÎR 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ×××的取值范围是（）A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）【答案】D【解析】由方程()()f x m m =ÎR 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <£．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<，由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--，所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+³的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x £<，423x <£，且344x x +=，所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+Î，则1234[3,4)x x x x Î．故选：D.二、多选题13．下列说法正确的是（）A ．已知方程e 8x x =-的解在()(),1k k k Z +Î内，则1k =B ．函数()223f x x x =--的零点是()1,0-，()3,0C ．方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间()1,0-内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是12a <<.D ．若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则一定有()()0f a f b ×<【答案】AC【解析】对于A ，令()e 8x f x x =+-，显然()f x 为增函数，因为(1)e 18e 70f =+-=-<，22(2)e 28e 60f =+-=->，所以()f x 在(1,2)内有唯一零点，所以方程e 8x x =-在(1,2)内有唯一解，因为方程e 8x x =-的解在()(),1k k k Z +Î内，所以1k =，故A 正确；对于B ，令2()230f x x x =--=，得1x =-或3x =，所以函数()223f x x x =--的零点是1-和3，故B 不正确；对于C ，令22()24f x x ax a =-+-，依题意可得(1)0(0)0(2)0f f f ->ìï<íï<î，即2221240404410a a a a a ì++->ï-<íï-+-<î，解得12a <<，故C 正确；对于D ，因为(1)()(2)f x x x =--在(0,3)上有两个零点，但是(0)(3)2240f f =´=>，故D 不正确；故选：AC14．已知函数()y f x =的图象在区间[]0,1上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（）A ．若()()010f f ×<，则()y f x =在()0,1内至少有一个零点B ．若()()010f f ×>，则()y f x =在()0,1内没有零点C ．若()y f x =在()0,1内没有零点，则必有()()010f f ×³D ．若()y f x =在()0,1内有唯一零点，()()010f f ×<，则()f x 在()0,1上是单调函数【答案】AC【解析】因为()f x 在[0，1]上连续，A ．(0)f f ×（1）0<，由零点存在定理可知，()y f x =在(0,1)内至少有一个零点，故正确；B ．当21()4f x x x =-+时，满足(0)f f ×（1）0>，但在(0,1)内有一个零点12，故错误；C ．()y f x =在(0,1)内没有零点，则必有(0)f f ×（1）0…等价于(0)f f ×（1）0<，则()y f x =在(0,1)内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；D ．()y f x =在(0,1)内有唯一零点，(0)f f ×（1）0<，但()f x 在(0,1)上不一定是单调函数，比如211()44f x x æö=--ç÷èø，故错误．故选：AC ．15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x ，对应的五分记录数据记为y ，现有两个函数模型：①52lg =+y x ；②15lg=-y x．（参考数据：0.110 1.25»）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（）A ．选择函数模型①B ．选择函数模型②C ．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9D ．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8【答案】BD【解析】当0.1x =时，代入52lg =+y x 得：523y =-=，代入15lg=-y x得：514y =-=.故选择函数模型②.A 错误；B 正确.对于C ：当5y =时，由15lg=-y x解得：1x =，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C 错误；对于D ：当 4.9y =时，由15lg =-y x解得：0.8x =，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D 正确.故选：BD16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x 台()*N x Î的收入函数()2300020R x x x=-（单位：元），其成本的数()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为()P x ，则以下说法正确的是（）A ．()P x 取得最大值时每月产量为63台B ．边际利润函数的表达式为()()*248040NMP x x x =-ÎC ．利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值D ．边际利润函数()MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】对于A 选项，()()()22025004000P x R x C x x x =-=-+-，二次函数()P x 的图象开口向下，对称轴为直线250062.540x ==，因为N x *Î，所以，()P x 取得最大值时每月产量为63台或62台，A 错；对于B 选项，()()()()()()2212012500140002025004000MP x P x P x x x x x éù=+-=-+++---+-ëû()248040N x x *=-Î，B 对；对于C 选项，()()()max 626374120P x P P ===，因为函数()248040MP x x =-为减函数，则()()max 12440MP x MP ==，C 对；对于D 选项，因为函数()248040MP x x =-为减函数，说明边际利润函数()MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D 对.故选：BCD.17．设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =-，()(2)f x f x -=--，当(1,1]x Î-时，2()1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．(2022)1f =B ．当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-C ．(3)y f x =+为奇函数 D ．方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当10x -<<时，()01f x <<，当01x ££时，()01f x ≤≤，函数()y f x =的定义域为R ，有()(2)f x f x =-，又()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =---，因此有(2)(2)x x f f =----，即(4)()f x f x +=-，于是有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，从而得函数()f x 的周期8T =，对于A ，()()()()()2022252866201f f f f f =´+==-=-=-，A 不正确；对于B ，当45x ££时，041x £-£，有0(4)1f x £-£，则()(4)[1,0]f x f x =--Î-，当56x ££时，423x -£-£-，0(2)41x £-+£，有0[(2)4]1f x £-+£，()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+Î-，当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-，B正确；对于C ，(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+，函数(3)y f x =+为奇函数，C 正确；对于D ，在同一坐标平面内作出函数()y f x =、lg(1)y x =+的部分图象，如图：方程()lg(1)f x x =+的实根，即是函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象交点的横坐标，观察图象知，函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象有5个交点，因此方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解，D 正确.故选：BCD三、填空题18．若方程11()()1042x xa +-+=有正数解，则实数a 的取值范围是_______.【答案】30a -<<【解析】设1(2xt =，由0x >，得01t <<，因为方程11()()1042x xa +-+=有正数解，所以方程210t t a +-+=在()0,1上有实根．因为2(1)1a t =-++，当01t <<时，112t <+<，所以21(1)4t <+<，所以24(1)1t -<-+<-，所以23(1)10t -<-++<，所以30a -<<.故答案为：30a -<<.19．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg ，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s ，当燃料质量为()e 1kg m -时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s ，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.52»）【答案】51【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，则[]{}22ln 2ln ((e 1)ln()k m m m m -=+--+，解得2k =，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，则[]{}7.922ln()ln (e 1)am m m m -=+-+-[]1e7.922ln2ln(1)1a a +\-==+-2ln(1)7.9a \+=，得27.9(1)e a +=152a \+=»，51a \»则燃料质量是箭体质量的51倍故答案为：51.20．已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】()3,0-【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ì<ïí<ïî，即2030a <ìí+<î，解得a ÎÆ；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ì>ïí>ïî，即2030a >ìí+>î，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是()3,0-．故答案为：()3,0-．21．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()2log f x x =，对于结论（1）当0x <时，()()2log f x x =-；（2）方程()0f f x =éùëû根的个数可以为4,5,7；（3）若函数212y f ax x æö=-+ç÷èø在区间[]1,2上恒为正，则实数a 的范围是1,2æö+¥ç÷èø；（4）若()02f =，关于x 的方程()()220f x f x --=éùëû有5个不同的实根.说法正确的序号是___．【答案】（1）（2）（4）【解析】令0x <，则0x ->，2()log ()f x x \-=-，又函数为偶函数，2()()log ()f x f x x \=-=-，故（1）正确；令()t f x =，则()0f t =，()f x 为R 上的偶函数，①若(0)0f =,可得0=t 或1或1-，由()1f x =可得2x =或2-;()1f x =-时,可得12x =±,当()0f x =时，0,1,1x =-，[()]0f f x \=的根的个数共7个；②若(0)0f ≠,且(0)1f =或(0)1f =-,则1t =或1-,所以由①知函数[()]0f f x =的根的个数可为5个;③若(0)0f ≠，且(0)1f ≠且(0)1f ≠-,比如(0)2f =,则1t =或1-, 所以由①知函数()0f f x =éùëû的根的个数为4个，故（2）正确;若函数212y f ax x æö=-+ç÷èø在区间[]1,2上恒为正，即221log (02ax x -+>在[]1,2恒成立，可得2102ax x -->在[]1,2恒成立，即2112a x x>+恒成立，2211111(1)222x x x +=+-Q ，又1112x££，1x \=时，2112x x+取得最大值32，则32a >，故（3）错误；由()()220f x f x --=éùëû解得()2f x =或()1f x =-，当()2f x =时，4x =±，0，当()1f x =-时，12x =±，综上方程有5个根，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）四、解答题22．已知函数()3()log 91xf x kx =++是偶函数.(1)当0x ³，函数()y f x x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()3()log 32xh x m m =×-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围.【答案】(1)(),0¥-(2)()1,+¥U 【解析】(1)解：()f x Q 是偶函数，()()f x f x \-=，即33log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对任意R x Î恒成立，23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x ---+\=+-+===-+，1k \=-．即()3()log 91xf x x =+-，因为函数()y f x x a =-+有零点，即方程3log (91)2x x a +-=-有实数根．令3()log (91)2x g x x =+-，则函数()y g x =与直线y a =-有交点，333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+-Q 33911log log (1)99x xx +==+，又1119x +>，31()log (109x g x \=+>，0a \->，所以0a <，即a 的取值范围是(),0¥-．(2)：因为()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx xx f x x -+=æç=+-ö÷èø=+-=+，又函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，则关于x 的方程()33log (32)log 33x x xm m -×-=+只有一个解，所以3233x x x m m -×-=+，令3(0)x t t =>，得2(1)210m t mt ---=，①当10m -=，即1m =时，此方程的解为12t =-，不满足题意，②当10m ->，即1m >时，此时()2244(1)410m m m m D =+-=+->，又12201mt t m +=>-，12101t t m -=<-，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当10m -<，即1m <时，由方程2(1)210m t mt ---=只有一正根，则需244(1)(1)0202(1)m m mm ì--´-=ï-í->ï-î，解得m =综合①②③得，实数m 的取值范围为：()1,+¥U ．23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本)，销售收入()R x 满足()()20.4 4.20.80510.2(5)x x x R x x ì-+-££=í>î，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？【答案】(1)20.4 3.2 2.8,(05)()8.2,(5)x x x f x x x ì-+-££=í->î(2)当工厂生产400万台产品时，盈利最多，240元/台【解析】(1)依题意，()2G x x =+，设利润函数为()f x ，则()()()()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x f x R x G x x x ì-+-££=-=í->î，，要使工厂有盈利，即解不等式()0f x >，当05x ££时，解不等式20.4 3.2 2.80x x -+->．即2870x x -+<．1715x x \<<\<£，．当5x >时，解不等式8.20x ->，得8.2x <．58.2x \<<．综上，要使工厂盈利，x 应满足18.2x <<，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)05x ££时，()20.4(4) 3.6f x x =--+，故当4x =时，()f x 有最大值3.6．而当5x >时，()8.25 3.2f x <-=所以，当工厂生产400万台产品时，盈利最多．又4x =时，()42404R =(元/台)，故此时每台产品售价为240(元/台)．24．已知函数()()4log 412xx f x =+-与()44log 23x g x a a æö=×-ç÷èø.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)偶函数(2){}13a a a >=-或【解析】(1)∵()()4log 412xx f x =+-的定义域为R ，()()()()444log 41log 41log 40x x x f x f x x x ---=+-+-=-=∴()()f x f x =-，∴()f x 为偶函数.(2函数()()()F x f x g x =-只有一个零点即4414log 2log 223x xx a a æöæö+=×-ç÷ç÷èøèø即方程1422023x xx a a +=×->有且只有一个实根.令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根.①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，若方程有两相等正根，则()()()2443130a a D =--´-´-=，且()40231aa >´-，解得3a =-；满足题意20x t =>③若方程有一个正根和一个负根，则101a -<-，即1a >时，满足题意20x t =>.∴实数a 的取值范围为{}13a a a >=-或.25．已知函数()22x xf x =--．(1)判断函数f (x )(2)解不等式：()f x <；(3)若关于x 的方程14()223x xf x m m -=×--只有一个实根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析；(2)1(,2-¥；(3){－3} U （1，+∞）.【解析】(1)f (x )在R 上单调递增；任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则()()112212 (22)(22)x x x x f x f x =------1212122(122x x x x =+×(-)∵12x x <∴12022x x <<，∴()()120f x f x <-．即()()12f x f x <．∴函数f (x )在R 上单调递增．(2)∵1()2f =∵()f x <，∴1()(2f x f <，又∵函数f (x )在R 上单调递增，∴12x <，∴不等式的解集为1(,2-¥．(3)由14()223x xf x m m -=×--可得，4(1)2203x x m m ×=----，即24122103x x m m ×-×=（-）-，此方程有且只有一个实数解．令2x t =，则t >0，问题转化为：方程24(1)103m t mt -=--有且只有一个正数根．①当m =1时，34t =-，不合题意，②当m ≠1时，（i ）若△=0，则m =－3或34，若m =－3，则12t =，符合题意；若34m =，则t = －2，不合题意，（ii ）若△>0，则m <－3或34m >，由题意，方程有一个正根和一个负根，即101m -<-，解得m >1．综上，实数m 的取值范围是{－3} U （1，+∞）．26．设()y f x =是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x y ､都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <；③()31f =-.(1)求()119f f æöç÷èø,的值；(2)判断函数()y f x =的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数k ，使不等式()()22f kx f x +-<有解，求正数k 的取值范围. 【答案】(1)()10f =，129f æö=ç÷èø；(2)()f x 在R +上是单调递减的函数，证明见解析；(3)1,9¥æö+ç÷èø.【解析】(1)根据题意，令1y =，有()()()1f x f x f =+对任意x 都成立，所以()10f =.因为()()1131,3333f f f f æöæö=-´=+ç÷ç÷èøèø可得113f æö=ç÷èø，1111229333f f f æöæöæö=´==ç÷ç÷ç÷èøèøèø；(2)()f x 在R +上是单调递减的函数，理由如下：对任意的()1212,0,,0x x x x ¥Î+<<，有：211x x >，()()()()()22121111110x x f x f x f x f x f x f x f x x æöæö-=-×=-->ç÷ç÷èøèø，所以()f x 在R +上是单调递减的函数.(3)()()()212229f kx f x f kx kx f æö+-=-<=ç÷èø，由于()f x 在R +上是单调递减，只需要210,20,29kx x kx kx >->->有解，即291810kx kx -+<，又因为k 是正数，只需要2Δ324360k k =->，即19k >或0k <（舍）当19k >时，因为二次函数()29181g x kx kx =-+的对称轴是1x =，一定有()01g =，()1190g k =-<，所以在()0,1内()()22f kx f x +-<必定有解.综上可知，k 的取值范围是1,9¥æö+ç÷èø.。

(完整版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)

函数【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法：③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域；⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）求函数解析式的题型有：1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；3）已知函数图像，求函数解析式；4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．1 （4）证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -，判断正负号②用导数证明：若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，)x A ∈（⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数（5）求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法（6）复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数；②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集（7）一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增；在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或，上是单调递减【1.3.2】奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 函数周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x) ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) xy =→直线y=f -1(x);⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a ->，则()m f q = ①若02b x a -≤，则()M f q = ②02bx a ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2bq a ->，则()M f q =①若02bx a -≤，则()m f q = ②02bx a ->，则()m f =．>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x >O -=f(p)f (q) ()2bf a -x>O -=f(p)f (q) ()2bf a -0x x >O -=f (p) f (q) ()2b f a -0x x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -x <O -=f (p) f(q) ()2bf a -x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -0xx <O -=f(p) f (q)()2bf a -x<O-=f(p) f (q)()2bfa -0x第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

(word完整版)高一数学必修一函数专题

高一数学必修一函数专题(教师版)一.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称•(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：①定义法；f(x) f( x) 0②利用函数奇偶性定义的等价形式：f( x) 1( f(x) 0).f (x)③图像法：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.(3)函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反•②若f (x)为偶函数，贝U f( x) f (x) f (| x |).③若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0) 0.④奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.二.函数的单调性1. 函数单调性的定义：(1)如果函数f x对区间D内的任意x-! ,x2，当x1 x2时都有f % f x2，则f x在D内是增函数；当x1 x2时都有f为f x2，则f x在D内是减函数.(2)设函数y f (x)在某区间D内可导，若f X 0，则y f (x)在D内是增函数；若f x 0，则y f (x)在D内是减函数.2•单调性的定义的等价形式：(1)设x1 ,x2 a,b，那么匚勺——^-x^ 0 f x在a,b上是增函数；x1 x2(2) --------------------------------------- 设x1 ,x2 a,b，那么f x2 0 f x 在a,b 上是减函数；x1 x23.证明或判断函数单调性的方法：(1) 定义法：设元作差变形判断符号给出结论•其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；⑵复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数•解决问题的关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；(3)图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；(4)导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.(5)利用常用结论判断：①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③在公共定义域内，增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f (x)减函数g(x)是增函数；减函数f (x)增函数g(x)是减函数；④复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，三.函数的周期性.(1)类比“三角函数图像”得：①若y f (x)图像有两条对称轴x a,x b(a b)，则y f (x)必是周期函数，且一周期为T 2|a b| ；②若y f (x)图像有两个对称中心A(a,O), B(b,O)(a b)，则y f(x)是周期函数，且一周期为T 2|a b| ；③如果函数y f (x)的图像有一个对称中心A(a,O)和一条对称轴x b(a b)，则函数y f(x)必是周期函数，且一周期为T 4|a b| ；(2)由周期函数的定义“函数f(x)满足f x f a x (a 0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：函数f (x)满足 f x f a x，则f(x)是周期为2a的周期函数。

(完整word版)指数函数复习专题(含详细解析)

第讲指数函数时间：年月日刘老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1．在区间上为增函数的是（ B ）A ． B． C． D．2．函数是单调函数时，的取值范围( A ）A． B ． C ． D．3．如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有（ A ）A．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值4．函数，是（ B ）A．偶函数 B ．奇函数 C．不具有奇偶函数 D ．与有关5．函数在和都是增函数，若，且那么（ D )A． B． C． D ．无法确定6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（ B ）A． B． C． D．12三、方法培养☆专题1：指数函数的定义一般地，函数x y a =(a ＞0且a ≠1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R 。

例1指出下列函数那些是指数函数:（１）4x y =(２）x y 4=(３)4xy -= (４))4(-=xy (５）π=y x（6）x y 24=（7）xxy =（８）)1,21(()12≠>=-a a y a x解析：利用指数函数的定义解决这类问题。

解：(１），（５），（８）为指数函数变式练习11函数2(33)x y a a a =-+⋅是指数函数，则有（）Ａ．ａ＝１或ａ＝２Ｂ．ａ＝１Ｃ．ａ＝２Ｄ．ａ＞０且1≠a 答案：C 2. 计算:105432)(0625.0833416--+++π; 解：（1）105432)(0625.0833416--+++π =（425)21+（827)31+（0。

062 5）41+1-21=（25）2×21+（23）313⨯+（0。

5）414⨯+21=25+23+0。

5+21 =5;☆专题2：指数函数的图像与性质一般地，指数函数y=a x在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a ＞1 0＜a ＜1 图象3性质 ①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1),即x=0时y=1④在R 上是增函数，当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时，y ＞1 ④在R 上是减函数，当x ＜0时，y＞1；当x ＞0时,0＜y ＜1在同一坐标系中作出y=2x和y=（21）x 两个函数的图象，如图2—1-2-3。