奥数：排列组合的基本理论和公式

一、排列组合的基本理论和公式，排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合。

(一)两个基本原理是排列和组合的基础：

(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。

这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。

这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。

3

C表示从5个元素中取出3个，总共有多少种不同的取5

法。这是组合的运算。例如：从5个人中任选三个人去参加

比赛，共有几种选法？这就是从5个元素中取出3个的组合

运算。可表示为3

C。其计算过程是35C=5!/[3!×(5-3)!]

5

叹号代表阶乘，5!=5×4×3×2×1=120，3!=3×2×1=6，

（5-3）！=2！=2×1=2，所以3

C=5!/[3!×(5-3)!]=120/(6×2)=10

5

针对上面例子，就是从5个人中任选三个人去参加比赛，共

有10几种选法。

排列组合公式：

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。

！—阶乘，如 9！＝9×8×7×6×5×4×3×2×1。

举例：

Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多

少个三位数？

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序

有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9×8×7个三位数。计算公式＝3

P＝9×8×7。

9

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数3

C= 9！/3！×6！=9×8×7/3×2×1

9