矩形的性质和判定

精心整理

【考点精讲】

【典例精析】

例题1如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，M 为EF 中点。设AM 的长为x ，试求x 的最小值。

思路导航：根据勾股定理的逆定理求出△ABC 是直角三角形，得出四边形AEPF 是矩形，所以AM ＝EF ＝AP ，在Rt △ABC 中利用AP 求出x 的最小值。

，∴AB 2＋AC 2＝AEPF 时S △BAC 是求出⊥AC ，PGC ≌△确定PE 形CGED ACB ＝∠B PGC （AAS FAC ，DE ∥AB （1）求证：AE ∥BC ；

（2）求证：四边形AECD 是矩形；

（3）BC ＝6cm ，S A E CD ＝12cm 2，求AB 的长。

思路导航：（1）先根据已知条件求出AD ⊥BC ，再根据AE 平分∠FAC ，得出∠EAD ＝90°，从而证出AE ∥BC ；（2）先判定四边形AECD 是平行四边形，再根据∠ADC ＝90°，证出四边形AECD 是矩形；（3）由BC ＝6cm ，得出CD ＝3cm ，再根据S A E C D ＝12cm 2，得出AD ＝4，利用勾股定理求出

AC 的长即可。

答案：（1）证明：∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∵AE 平分∠FAC ，∠FAE ＋∠EAC ＋∠CAD ＋∠BAD ＝180°，∴∠EAC ＋∠CAD ＝∠EAD ＝90°，∴AE ∥BC ；

（2）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE ＝CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴四边形AECD是矩形；

（3）解：∵BC＝6cm，∴CD＝3cm，∵S AEC D＝12cm2，∴AD＝4，∴AB＝AC＝＝5，∴AB的长是5cm。

点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，用到的知识点是平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，这类问题一般要综合利用各种有关性质，是中考命题的热点。

【总结提升】

1.关于矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

*5.如图所示，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是__________。

三、解答题

*6.已知：如图所示，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF。求证：DE＝DF。

**7.如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG。

（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；

（2）若四边形DEFG是矩形，点O所在位置应满足什么条件？说明理由。

1.D解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形。

2.C解析：如图，连接BD。∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2，即∠ABC ＝90°。又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴EF＝BD。∵BD的最小值为直角三角形ABC斜边上的高，AC·BD＝AB·AC，∴BD＝4.8，∴EF的最小值为4.8，故选C。

3.D解析：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE，交ED的延长线于点Z，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，根据勾股定理得：AH＝4，根据三角形的面积公式得：BC?AH＝AB?CQ，即：6×4＝5CQ，解得：CQ＝，∵CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，∴∠CQE＝∠QEZ＝∠Z＝90°，∴四边形