第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量
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8
二、波的能量
波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
以平面简谐纵波为例，如图。取棒元x ，质量为
m = Sx
其动能 波函数为
Ek
1 Δmv2 2
yAcos(t
1 SΔxv 2 x)
2
u
振动速度 vdyAsi n(tx)
dt
u
棒元的动能
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin
2
(t
x) u
波传到时棒元的应变
叠加原理；
如果y1和y2都是波动方程的解
2 y1 t2
u2
2 y1 x2
2 y2 t2
u2
2 y2 x2
将以上两式相加，得
2(y1y2) t2
u22(y1x2y2)
y1 y2 是波动方程的解，是两列波的叠加。所以
说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠
加原理
7
在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比 例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是 说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波， 当这样的波传来时，所引起的形变是很小的。
13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
wEEA22si2 n(tx)
Δ V SΔ x
u
15
2. 波的平均能量密度
波的能量密度在一个周期内的平均值，称为 平均能量密度。
w 1 T A22 sin2 (t x )
T0
平衡位置时的总能量： E Emax
最大位置时的总能量：
E 0
12
2. 还有一点需要指出的，这就是势能属于谁的问 题。 在波动中介质体元的势能是由介质体元自身 的形变引起的，所以这份势能就应该属于形变体 元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互 作用着的各个物体，或者说，形变体元自身就是 一个由相互作用的物体所组成的系统 .
u
A22 1 T sin2 (t x ) 1 A22
T0
u2
上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、 频率的平方和介质密度的乘积成正比。
16
四、波的能流和能流密度 (energy flux density)
1. 能流
单位时间内通过介质中某 面积的能量，称为通过该面 积的能流。
S u
P wSu A22 sin2 (t x ) Su
a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为
弦上 横波
2 y x2
T
2 y t 2
u T
T
ut
T
T — 张力
— 线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
细棒中纵波
2
x2
Y
2
t 2
FS
F
Y S
x
x
杨氏模量：单 位形变时单位 面积受的力。
ul
Y
Y — 固体棒的杨氏模量
— 固体棒的密度
c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
x) u
0]
2 y x2
A
2
u2
cos[ (t
x) u
0 ]
2 y x2
1 u2
2 y t2
说明
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、 化学中的扩散等过程；
(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程
2 f 2 f 2 f 1 2 f x2 y2 z2 u2 t2
第三节 振动合成
1
§7-6 波动方程和波的能量
•无色散介质 一维波动方程
2y 1 2y x2 u2 t 2
•解的形式：
综量是 x ut 的函数
介质中 的波速
f x ut
当然包括 y Acos t kx 平面简谐波
由
y(x,t)
A cos[ (t
x) u
0 )]
知
2 y t2
A
2
cos[ (t
波源振动的周期和频率相同。
(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大
小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。
f . 电磁波传播速率
电磁波场分量
u
1
真空中
y E
O
z
H
2 y x2
1 u2
2 y t 2
c 1 2.9979 108 m s1
00
u
x
波动方程是线性的方程，从理论上保证了波动满足
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
n
wenku.baidu.com
Δy Δx
9
f
根据胡克定律
n＝
S Y
f
YSn
YS Δy k Δy Δx
式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。
势能为
Ep
1 2
k (Δy)2
1 2
YS Δx
(Δy)2
1 Y(S 2
Δx)( y )2 x
当x0时， x y yx
yxA usin （t-x u）
Ep
1 Y (Sx) A2 2
u
2. 平均能流
在一个周期内的平均值，称为通过该面的平均能流 。
P wuS 1 A2 2uS
2
17
3. 能流密度 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均
能流，称为能流密度，也称波强度。
I P wu 1 A2 2u
S
2
五、波的吸收
波在介质中传播时，实际是衰减的，传播的越 远，振幅越小，减小的能量转变为介质的热能。
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
这与振动的情形是不同的，对于振动，系统的
总机械能是恒定的。
11
讨论：
1. 参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规 律在随时间变化：
E kE p2 1A 2 2(S x)sin 2(tu x)
当某介质体元通过平衡位置时，形变和速度都 达到最大，故势能和动能也都出现最大值；当达 到最大位移时，形变和速度都为零，故势能和动 能也都出现零值。即：
二、波的能量
波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
以平面简谐纵波为例，如图。取棒元x ，质量为
m = Sx
其动能 波函数为
Ek
1 Δmv2 2
yAcos(t
1 SΔxv 2 x)
2
u
振动速度 vdyAsi n(tx)
dt
u
棒元的动能
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin
2
(t
x) u
波传到时棒元的应变
叠加原理；
如果y1和y2都是波动方程的解
2 y1 t2
u2
2 y1 x2
2 y2 t2
u2
2 y2 x2
将以上两式相加，得
2(y1y2) t2
u22(y1x2y2)
y1 y2 是波动方程的解，是两列波的叠加。所以
说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠
加原理
7
在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比 例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是 说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波， 当这样的波传来时，所引起的形变是很小的。
13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
wEEA22si2 n(tx)
Δ V SΔ x
u
15
2. 波的平均能量密度
波的能量密度在一个周期内的平均值，称为 平均能量密度。
w 1 T A22 sin2 (t x )
T0
平衡位置时的总能量： E Emax
最大位置时的总能量：
E 0
12
2. 还有一点需要指出的，这就是势能属于谁的问 题。 在波动中介质体元的势能是由介质体元自身 的形变引起的，所以这份势能就应该属于形变体 元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互 作用着的各个物体，或者说，形变体元自身就是 一个由相互作用的物体所组成的系统 .
u
A22 1 T sin2 (t x ) 1 A22
T0
u2
上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、 频率的平方和介质密度的乘积成正比。
16
四、波的能流和能流密度 (energy flux density)
1. 能流
单位时间内通过介质中某 面积的能量，称为通过该面 积的能流。
S u
P wSu A22 sin2 (t x ) Su
a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为
弦上 横波
2 y x2
T
2 y t 2
u T
T
ut
T
T — 张力
— 线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
细棒中纵波
2
x2
Y
2
t 2
FS
F
Y S
x
x
杨氏模量：单 位形变时单位 面积受的力。
ul
Y
Y — 固体棒的杨氏模量
— 固体棒的密度
c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
x) u
0]
2 y x2
A
2
u2
cos[ (t
x) u
0 ]
2 y x2
1 u2
2 y t2
说明
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、 化学中的扩散等过程；
(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程
2 f 2 f 2 f 1 2 f x2 y2 z2 u2 t2
第三节 振动合成
1
§7-6 波动方程和波的能量
•无色散介质 一维波动方程
2y 1 2y x2 u2 t 2
•解的形式：
综量是 x ut 的函数
介质中 的波速
f x ut
当然包括 y Acos t kx 平面简谐波
由
y(x,t)
A cos[ (t
x) u
0 )]
知
2 y t2
A
2
cos[ (t
波源振动的周期和频率相同。
(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大
小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。
f . 电磁波传播速率
电磁波场分量
u
1
真空中
y E
O
z
H
2 y x2
1 u2
2 y t 2
c 1 2.9979 108 m s1
00
u
x
波动方程是线性的方程，从理论上保证了波动满足
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
n
wenku.baidu.com
Δy Δx
9
f
根据胡克定律
n＝
S Y
f
YSn
YS Δy k Δy Δx
式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。
势能为
Ep
1 2
k (Δy)2
1 2
YS Δx
(Δy)2
1 Y(S 2
Δx)( y )2 x
当x0时， x y yx
yxA usin （t-x u）
Ep
1 Y (Sx) A2 2
u
2. 平均能流
在一个周期内的平均值，称为通过该面的平均能流 。
P wuS 1 A2 2uS
2
17
3. 能流密度 单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均
能流，称为能流密度，也称波强度。
I P wu 1 A2 2u
S
2
五、波的吸收
波在介质中传播时，实际是衰减的，传播的越 远，振幅越小，减小的能量转变为介质的热能。
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
这与振动的情形是不同的，对于振动，系统的
总机械能是恒定的。
11
讨论：
1. 参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规 律在随时间变化：
E kE p2 1A 2 2(S x)sin 2(tu x)
当某介质体元通过平衡位置时，形变和速度都 达到最大，故势能和动能也都出现最大值；当达 到最大位移时，形变和速度都为零，故势能和动 能也都出现零值。即：