高斯消元法(线性代数及其应用)

换化为行阶梯形——消元过程；
(2)继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换化成行 最简形，从而直接写出原方程组的解——回代过程. 这种解线性方程组的方法称为高斯消元法.
例题库
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x1 x2 4 x3 1 r2 r3 x2 3 x3 1 7 x2 18 x3 1
x1 x2 4 x3 1 r3 7 r2 x2 3 x3 1 3 x3 6
1 1 4 1 r2 r3 0 1 3 1 0 7 18 1
a1n x1 a2 n x2 x x amn n
a1n a2 n amn
常 数 项 矩 阵
b1 b2 bm
增广矩阵
a11 a21 A (A ) am 1
第3章
向量 线性方程组
从一个目标出发，打破思维定势，多 角度、多方面、多层次进行或横、或纵、 或顺、或逆的灵活思考，可以获得不一的 解决方案 . 这种根据问题要求，沿不同方 向去探求多种答案的发散思维，是创造力 的“源” . 透视线性方程组，从展开形式 到矩阵形式，再到向量形式，为我们的思 维打开了遨想之门。
1 1 4 3 4 6 1 2 7
1 4 0
例题库
r2 3 r1 r3 r1
x1 x2 4 x3 1 7 x2 18 x3 1 x2 3 x3 1
r2 3 r1 r3 r1
1 1 4 1 0 7 18 1 0 1 3 1
r3 7 r2
1 1 4 1 0 1 3 1 0 0 3 6
例题库
x1 x2 4 x3 1 r3 7 r2 x2 3 x3 1 3 x3 6
r3 7 r2
1 1 4 1 0 1 3 1 0 0 3 6
例题库
第3.1节
一、线性方程组的概念
定义1
高斯消元法
n个变量、 m个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m1 x1 a m x 2 a mn x n bm
r1 r2
3 x1 4 x2 6 x3 4 x1 x2 4 x3 1 x 2 x 7 x 0 2 3 1
r1 r2
4 1 2
6 4 7
4 1 0
x1 x2 4 x3 1 3 x1 4 x2 6 x3 4 x 2 x 7 x 0 2 3 1
b1 b2 bm
例题库
线性方程组与其增广矩阵相互唯一确定!
二、高斯消元法
例1 解线性方程组 解
3 x1 4 x2 6 x3 4 x1 x2 4 x3 1 x 2 x 7 x 0 2 3 1
方程组增广阵 3 A 1 1
称为n元线性方程组; xj 为变量,aij 为第i个方程变量xj的系数, bi为第i个方程的常数项, i =1,2,…m; j =1,2,…,n.
例题库
若记
未知量矩阵
系数矩阵
A (a ij ) mn
a11 a21 am 1
a12 a22 am 2
a12 a22 am 2
得
4 x1 x 2 5 x 3 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
4 5 2
观察知:高斯消元法求解线性方程组与对线性方程组增广矩阵 进行初等行变换一一对应 ！解线性方程组可以利用其增广阵 进行初等行变换实现.
例题库
综上所述，得到用消元法解方程组的步骤： (1)写出方程组的增广矩阵，对其施行初等行变