工程力学(静力学与材料力学)8弯曲刚度
梁弯曲时的变形和刚度计算
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
弯曲刚度公式
弯曲刚度公式
弯曲刚度是物理力学上用于评估弯曲模量，即弹性弯曲荷载和扭曲变形程度之间的相互关系的重要参数。
通常，当某一部件在受到载荷作用下发生扭转作用时，弯曲刚度计算公式便可以发挥作用，该公式可用来衡量材料的弯曲刚度的实际情况。
为了计算一个物体的弯曲刚度，根据力学原理，弯曲刚度的计算公式为:
EI=F·L/θ，其中EI为弯曲刚度，F为受力，L为横截面有效长度，θ为弯曲变形的
角度。
首先，计算弯曲刚度前，需要确定所使用的物质的材料性质。
除特殊情况（如拉伸杆的弯曲刚度）外，大多数材料的弯曲刚度计算直接需要对材料的弹性模量和横截面截面积进行精确的测量。
其次，根据施加的位移大小来测定横截面的变形量，参照有效长度，并采用角度值来表示，即θ=L/ρ，其中L为实际位移量，ρ为有效
长度。
最后，将上述参数代入公式EI=F·L/θ进行计算，即可得到模型的弯曲刚度。
需要注意的是，弯曲刚度的计算公式的有效性仅限于弹性物质和表面光滑的情况，若物质为粘弹性物质或形状不规则，弯曲刚度的计算公式仍需根据实际情况灵活运用。
综上所述，弯曲刚度是衡量材料弹性弯曲刚度的重要参数，用于评估力学弯曲模量之间的相互关系。
此外，根据不同情况，弯曲刚度的计算公式也有所差异。
因此，应根据材料性质及形状，正确使用弯曲刚度的计算公式，以获取最准确的结果，从而帮助分析研究的问题。
第八章 弯曲刚度详解
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明
L1
A
C
f L1
A 刚化AC段C
L1
A
C
+
=
L2
P
fB x
f f1 f2
L2
P 等价
B
L2
P
C
Bf1x
L2
P 等价
f L1
P L2
B
刚化BC段
A f
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚
、设计载荷： 度常处于从属地位。特殊构件例外）
[例7] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长
a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40kN/m ，弹性模量
E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
第八章 弯曲刚度
§8-1 弯曲变形与位移
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充 方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
v
f
C1
P
2.转角：横截面绕其中性轴转
x
动的角度。用 表示，顺时
Fy mA
RA RB RB l
F 0 F 1.5l
0
RRBA
0.5F 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
第 8 章 弯曲刚度解读
试：根据刚度要求确定该轴的直径d。
A
Fp
B
C
a
d
l
第 8 章
弯曲强度
A
Fp
弯曲刚度计算
B
C
a
d
l
解： 1．查表确定 B 处的转角 2．根据刚度设计准则确定轴的直径
3 4
FP la B＝－ 3EI
梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。
A
x
F
l
B
x
MA FA
w
解：1. 建立坐标系 2. 求支反力 3. 列弯矩方程
FA F
M A Fl
M( x ) F( l x )
第 8 章
弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
A
x
l
F
B
x
w
4. 建立挠曲线近似微分方程并积分 EIw( x ) F ( l x ) 2 x EIw( x ) EI F ( lx ) C 2 2 3 lx x EIw ( x ) F ( ) Cx D 2 6 5. 确定积分常数 边界条件 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 ,
第 8 章
弯曲强度
简单静不定梁
q
A
a
q
B
a
C
A
a
C F Cy
B
a
6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不 定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。
变形协 调方程
wC 0
wC 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第8章.弯曲刚度
16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
3 1 l EIq 2＝－ FP x 2＋ FP x－ C 2 8 2 4 3 1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 EIw2＝－1 FP x 3＋ 1 FP x－ l C 2 x D2 8 8 6 4
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和 C的转角分别为
3 FP l 3 wB 256 EI
18
7 FPl 2 qA 128 EI
5 FPl 2 qB － 128 EI
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
例 题 2
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。均 布载荷集度为q ，梁的弯曲刚 度为EI 、长度为l。q、EI 、l 均已知。 求：梁的弯曲挠度与 转角方程，以及最大挠度 和最大转角。
14
l x l 4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
积分后，得
3 1 l 2 EIq 2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 8 2 4
3 EIq 1 FP x 2 C1 8
2
1 1 l 3 EIw2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 x D2 8 6 4
ql 3 C , 6 ql 3 D 24
24
dw x 0，q = 0 dx
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
1 4 EIw q l x Cx D 24
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度
课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)
弯曲刚度文档
弯曲刚度1. 弯曲刚度的概念弯曲刚度是一个物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的量化指标。
它描述了物体在弯曲过程中的抗弯刚度，即物体受到一定弯曲力后，发生的弯曲程度与力的大小之间的关系。
2. 弯曲刚度的计算公式弯曲刚度可以通过以下的计算公式来表示：EI = M/f其中，EI 为弯曲刚度，M 是作用在物体上的弯矩，f 是物体所发生的弯曲程度。
3. 弯曲刚度的单位和量纲弯曲刚度的单位是 Nm²，它是由力的单位 N 乘以长度的单位 m 的平方得到的。
在 SI 系统中，弯曲刚度的单位可以简化为 Nm²。
4. 弯曲刚度与材料的关系弯曲刚度与材料的性质密切相关。
不同的材料具有不同的弯曲刚度，这取决于材料的组成和结构。
一般来说，材料的强度和刚度越高，它的弯曲刚度也越大。
5. 弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程设计和材料选择中起着重要的作用。
在设计中，了解材料的弯曲刚度可以帮助工程师确定材料是否适用于特定的应力条件下。
此外，也可以通过调整材料的组成和结构来改变弯曲刚度，以满足特定的设计要求。
6. 弯曲刚度的影响因素弯曲刚度受到多种因素的影响，其中包括材料的性质、截面形状、截面尺寸、载荷大小等。
例如，增加物体的截面尺寸可以增加弯曲刚度；增加材料的刚度可以提高弯曲刚度。
7. 弯曲刚度的测试方法常用的测试方法包括悬臂梁法、三点弯曲法和四点弯曲法等。
这些方法都可以测量物体在不同的弯曲条件下的弯曲变形程度，从而计算出弯曲刚度。
8. 弯曲刚度与其他刚度指标的关系弯曲刚度与其他刚度指标，如剪切刚度和压缩刚度等相关，它们共同描述了物体在不同受力条件下的刚度表现。
这些刚度指标之间的关系可以用来评估材料的力学性能和应用范围。
9. 结论弯曲刚度是一个描述物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的指标。
它与材料的性质、截面形状和尺寸、载荷大小等因素密切相关，可以通过不同的测试方法来测量和计算。
了解和掌握弯曲刚度对于工程设计和材料选择具有重要意义，有助于优化设计和提高材料的力学性能。
材料力学 弯曲刚度
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
解：1.将梁上的荷载变 为三种简单的情形。
w Cw C 1w C 2w C 3
BB1B2B3
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
2.由挠度表查得三种情形下C
截面的挠度和B 截面的转角。
5 ql 4
w C 1 384
, EI
1 ql 4 w C 2 48 EI ,
×
×
√
×
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
5、积分法求解小挠度微分方程举例
例题1
左端固定、右端自由的 悬臂梁承受均布荷载。均布 荷载集度为q ，梁的弯曲刚度
为EI 、长度为l。q、EI 、l 均
已知。
求：梁的挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x w
o
x
M
M
o
M
x d2w M
M
dx2 EI
w
M
0,
d2w dx2
0
w
M
0,
d2w dx2
0
因此, M 与 w的正负号正好相反，所以
d2w M(x) dx2 EI （小挠度微分方程）
近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了 w2 项。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
2. 小挠度微分方程的积分
6
EIw1qlx4CxD
24
C
ql3 ,
6
D ql3 24
5． 确定挠度与转角方程
w24qEIlx44l3xl4
q
6EI
lx3l3
6． 确定最大挠度与最大转角
弯曲刚度
Fb (l 2 b2 )3
max 9 3EIl (
)
用叠加法求梁的变形
➢ 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独 作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1P2 Pn ) 1(P1) 2 (P2 ) n (Pn )
(P1P2 Pn ) 1(P1) 2 (P2 ) n (Pn )
EI2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
C2 x2
D2
B B x
FBy
➢由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, 1(0) 0 x2 l, 2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a) x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
代入求解，得
C1
C2
1 6
2
2
6
EI q l2x2 q4
➢ 确定积分常数
x 0, A 0 ; x 0, 0 ;
A
C0
D0 y
x
x
EI B
l
➢ 转角方程
ql3 6EI
(
x3 l3
3
x2 l2
3 x) l
➢ 挠度方程
ql 4 24EI
(
x4 l4
4
x3 l3
6
x2 l2
,B
ml 6EI
C
ml 2 16EI
力偶作用
端转角大
A
B
Pl 2 16 EI
C
Pl 3 48EI
A
B
ql3 24 EI
C
5ql 4 384EI
例:求图示梁AB端面的转角和C截面的挠度。
P m=Pl
工程力学(静力学与材料力学)弯曲强度(剪力图与弯矩图)-PPT文档资料
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
范钦珊教育与教学工作室
工程力学(静力学与材料力学）
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工程力学（静力学与材料力学）
材料力学
弯曲强度－剪力图与弯矩图
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第7章A 弯曲强度－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面 内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形 形式称为 弯曲 （ bending ）。主要承受弯曲的杆件称为 梁 （beam）。 在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种 内力。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系
剪力方程与弯矩方程
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图
结论与讨论
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是 均匀的。 对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发 生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截 面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚度虽然 没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是 怎样变化的。
第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
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第7章A 弯曲强度(1)－剪力图与弯矩图
弯曲刚度计算公式
弯曲刚度计算公式。
弯曲刚度是一个重要的机械性能参数，它可以说明材料在受到弯曲力作用时的反应，从而决定机械部件的强度。
弯曲刚度的计算公式是：
F = E*I/L
其中F表示刚度，E表示材料的弹性模量，I表示横截面的惯性矩，L表示横截面的弯曲长度。
弹性模量是材料的力学性能参数，用来衡量材料在受到应力时的变形程度。
它最常用的单位是GPa，表示一个材料在受到一个施加力
1N时，所受到的应力为1Pa，所受到的变形为1m。
惯性矩是指横截面在受到外力时，受到的力矩。
它受到横截面的形状和材料的影响，一般情况下，惯性矩的单位是m4。
L是指横截面的弯曲长度，也就是横截面受到弯曲力时，材料所受到的变形量。
它的单位是m。
由上面可以看出，弯曲刚度是由材料的弹性模量、横截面的惯性矩、横截面的弯曲长度三个因素决定的。
因此，为了提高材料的弯曲刚度，可以采取以下措施：
1、提高材料的弹性模量：可以选择更优质的材料，或者通过改变材料的组织结构，使材料的弹性模量提高。
2、提高横截面的惯性矩：可以采用更结实的横截面形状，使横截面的惯性矩更大，或者采用更轻质的材料，使横截面的惯性矩更小。
3、减少横截面的弯曲长度：可以采取结构改进措施，减少机械部件的长度，从而减少弯曲长度。
弯曲刚度是一个重要的机械性能参数，它的计算公式是F=E*I/L，来自材料的弹性模量、横截面的惯性矩和横截面的弯曲长度三个参数决定的。
为了提高材料的弯曲刚度，可以采取以上措施。
弯曲刚度的表示
弯曲刚度的表示弯曲刚度是描述材料抵抗弯曲变形的能力的指标。
在物理学和工程学中，弯曲刚度是一个非常重要的概念，尤其在结构分析和材料科学中。
它可以通过材料的弹性模量、截面形状和尺寸等因素来衡量。
一、弯曲刚度的定义弯曲刚度定义为材料在受到弯曲应力时，抵抗变形的能力。
在数学表达式上，它可以通过弹性力学中的挠曲线方程来描述。
对于一个简支梁，其挠曲线方程可以写成：f(x) = -剪切挠度。
其中，f(x)是梁上某点的挠度，即该点在弯曲变形后的垂直位移，x是沿梁长方向的坐标，剪切挠度是与弯曲刚度相关的物理量。
二、影响弯曲刚度的因素1. 材料类型：不同材料的弹性模量、屈服强度等力学性能不同，因此抵抗弯曲变形的能力也不同。
例如，钢材和铝合金具有较高的弯曲刚度，而塑料和橡胶则较低。
2. 截面形状和尺寸：截面形状和尺寸也会影响材料的弯曲刚度。
例如，较粗的梁具有较高的弯曲刚度，而细长且薄的梁则较低。
对于具有空心截面的梁，由于截面面积较小，其弯曲刚度也会降低。
3. 温度和湿度：这些环境因素可以影响材料的力学性能，进而影响其弯曲刚度。
例如，在高温下，材料的弹性模量和屈服强度可能会降低，导致其弯曲刚度下降。
而湿度也可能引起材料的老化或腐蚀，从而降低其弯曲刚度。
4. 应力历史：材料的应力历史也可能对其弯曲刚度产生影响。
例如，经过预先加载或变形的材料可能会发生塑性变形或应力松弛，从而改变其弯曲刚度。
三、弯曲刚度的测量和应用1. 实验测量：通过实验方法测量材料的弯曲刚度是常用的方法之一。
实验中，通常将试样放在一个弯曲装置中，如三点弯或四点弯装置，并施加一定的横向荷载，然后测量试样的挠度和曲率。
通过这些测量数据，可以计算出材料的弯曲刚度。
2. 工程应用：在工程中，弯曲刚度是一个非常重要的参数，因为它直接影响结构的稳定性和变形行为。
例如，桥梁、房屋和机械零件等结构都需要具有足够的弯曲刚度来承受外部荷载并保持其形状和功能。
因此，在设计这些结构时，需要对材料的弯曲刚度进行评估和优化。
第8章弯曲刚度(完整版)
因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩 方程M = M(x)，将其代入 EIw( x ) M ( x ) ，对
x连续积分后有：
EIw M ( x ) dx C1 EIw [ M ( x ) dx ] dx C1 x C 2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角 方程 = (x) = w'(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也 就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。
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弯曲刚度
5
1.梁的曲率与位移
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲
刚度之间存在下列关
系：
M ＝ EI
1
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弯曲刚度
6
2.挠度与转角的相互关系 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变， 这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
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弯曲刚度
19
（2）位移边界条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束 条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于
零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： w=0， θ ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及
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弯曲刚度
9
3.研究梁的挠度和转角的目的：
(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大 挠度是否超过按要求所规定的容许值；
(2) 解超静定梁。如下图所示梁。
F1 A FA FC
C
F2 B FB
工程力学中的弯曲刚度与刚度优化设计
工程力学中的弯曲刚度与刚度优化设计工程力学中的弯曲刚度是指材料、结构或系统在受到弯曲作用时的抵抗变形的能力。
弯曲刚度是工程设计中非常重要的一个参数，影响着结构的稳定性、安全性和使用寿命。
本文将详细介绍工程力学中的弯曲刚度的概念、计算方法以及刚度优化设计的应用。
一、弯曲刚度的概念与计算方法1. 弯曲刚度的概念弯曲刚度是指材料或结构在受到弯曲作用时所表现出的抵抗变形的能力。
一般来说，弯曲刚度可以通过弯曲刚度系数（bending stiffness）来表示，它是弯曲力矩对应的曲率和截面惯性矩的比值。
2. 弯曲刚度的计算方法计算弯曲刚度的方法根据不同的工程问题和结构类型而有所不同。
对于一维梁的弯曲刚度计算，可以使用梁的基本弯曲理论，根据梁的几何形状、材料的力学性质以及施加载荷的形式进行计算。
对于复杂的结构或系统，可以使用有限元分析等数值方法进行计算。
二、刚度优化设计的概念与方法1. 刚度优化设计的概念刚度优化设计是指在满足工程要求的前提下，通过合理设计结构的尺寸和布局，以提高结构的弯曲刚度。
刚度优化设计可以使结构在承受荷载时变形较小，增强结构的稳定性和抗震性能，提高结构的使用寿命。
2. 刚度优化设计的方法刚度优化设计的方法分为直接优化方法和参数化优化方法两种。
直接优化方法主要是通过对结构的形状、截面和材料等进行优化，以提高结构的弯曲刚度。
参数化优化方法则是通过对结构的参数进行调整，以实现刚度的优化设计。
常用的优化算法有遗传算法、蚁群算法等。
三、刚度优化设计的应用案例1. 建筑结构的刚度优化设计在建筑结构设计中，刚度优化设计可以减少结构的变形和振动，提高结构的整体稳定性和抗震性能。
通过对结构的布局、尺寸和材料等进行优化，可以达到节约材料、降低成本的效果。
2. 机械结构的刚度优化设计在机械结构设计中，刚度优化设计可以提高机械系统的精度和稳定性，减少机械运动过程中的变形和振动。
通过优化机械结构的刚度，可以提高机械系统的工作效率和使用寿命。
弯曲刚度文档
弯曲刚度1. 弯曲刚度的定义在材料力学中，弯曲刚度是指材料或结构在弯曲加载下产生的抗弯能力。
弯曲刚度是描述材料或结构在受外力作用下沿曲线形变情况的重要参数。
2. 弯曲刚度的计算方法弯曲刚度的计算方法根据材料的类型和加载条件的不同而有所差异。
下面介绍两种常见的计算方法：2.1 杆件的弯曲刚度计算对于直线杆件的弯曲刚度计算，可以使用欧拉-伯努利弯曲理论来进行近似计算。
该理论假设杆件在弯曲时保持线弹性，即材料的应力-应变关系为线性。
计算弯曲刚度的基本公式为：EI = (1/3) * F * L^3 / δ其中，EI 为弯曲刚度，F 为施加在杆件上的力，L 为杆件的长度，δ 为杆件在弯曲时的挠度。
E 表示杨氏模量，I 表示杆件的截面惯性矩。
2.2 板件的弯曲刚度计算对于板件的弯曲刚度计算，可以使用薄板理论来进行近似计算。
薄板理论假设板件在弯曲时保持平面，即材料在平面内的应力-应变关系为线性。
计算弯曲刚度的基本公式为：EI = D * h^3 / 12其中，EI 为弯曲刚度，D 为板件的弯曲刚度系数，h 为板件的厚度。
3. 弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程中具有重要的应用价值。
以下是几个应用弯曲刚度的常见领域：3.1 结构设计在建筑和机械结构设计中，弯曲刚度是一个重要的设计参数。
通过合理选择材料和结构形式，可以满足结构在受弯曲载荷下的稳定性和强度要求。
3.2 材料选择不同材料的弯曲刚度不同，因此在选择材料时需要考虑材料的弯曲刚度。
对于需要具有较高刚度的应用场景，可以选择具有较高弯曲刚度的材料。
3.3 加工过程控制在材料加工过程中，弯曲刚度可以用于控制加工过程中的变形情况。
通过了解材料的弯曲刚度，可以采取相应的措施来减小加工引起的变形。
4. 弯曲刚度的影响因素弯曲刚度受多个因素的影响，以下是常见的影响因素：4.1 材料性质材料的弯曲刚度与其弹性模量和截面形状有关。
不同材料的弯曲刚度存在显著差异。
4.2 结构形式结构形式对弯曲刚度有较大影响。
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梁的小挠度微分方程及其积分
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解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段M1x Nhomakorabea3 4
FP x
0
x
l 4
BC段
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
M1
x
3 4
FP x
梁的小挠度微分方程及其积分
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EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
C ql3 , 6
D ql3 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l
4
q 6EI
l
x3
l
3
第8章 弯曲刚度
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机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
第8章 弯曲刚度
d2w M dx 2 EI
d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
采用向下的w坐标系，有
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d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 均布载荷集度为q ，梁的弯曲
刚度为EI 、长度为l。q、EI 、
l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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O
x
w
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分
梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
d2w M
dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
解：2．建立梁的弯矩方程
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x
M(x)
FQ(x)
从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束 力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以 考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，
θ＝0。
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布
载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，θ1＝ θ2等等。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(4)
2020年6月3日
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工程力学（静力学与材料力学）
小挠度微分方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
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力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
小挠度情形下
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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在Oxw坐标系中，挠度与转角存 在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠度曲线较为
平坦，即很小，因而上式中tan。
于是有
dw
dx w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
第8章 弯曲刚度
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
根据上一章所得到的结果， 弹性范围内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横截面上的 弯矩、弯曲刚度之间存在下列 关系：
1＝M
EI
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
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EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为： x 0，w 0 x 0， = dw 0 dx
C ql3 , 6
D ql3 24
第8章 弯曲刚度
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是 限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度 失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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解： 3． 将弯矩表达式代入小挠 度微分方程并分别积分
EI
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
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解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP
x＋FP
x－
l 4
l 4
x
l
梁的小挠度微分方程及其积分
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w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。
于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得
到：
wmax
wB
ql 4 8EI
小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是 指约束对于挠度和转角的限制：
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于 零：w=0;
max
B
ql 3 6EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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例题 2
已知：简支梁受力如
图所示。FP、EI、l均为已
知。求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
第二篇 材料力学
第8章 弯曲刚度
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