线性代数试题精选与精解含完整试题与详细答案2020考研数学基础训练

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线代参考答案(完整版)

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

2020考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案,强..

考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案，强烈推荐）习题部分一．填空（每题2分）１．设方程组22112122x x kx x kx x 有非零解，则k。

2．线性方程组960654032321321321x x x x x x x x x 有非零解，则。

3．方程组211111111321x x x aa a有无穷多解，则a。

4．非齐次线性方程组b AX（A 为m n 矩阵）有惟一解的的充分必要条件是____________。

5．设A 是n 阶方阵,21,是齐次线性方程组O AX 的两个不同的解向量,则A。

6．设A 为三阶方阵，秩2A r ，321,,是线性方程组b b AX 的解，已知10131321,，则线性方程组b AX 的通解为。

7．三元线性方程组b AX的系数矩阵的秩2A r ，已知该方程组的两个解分别为1111，1112，则b AX 的全部解可表为。

8．设1686493436227521a A，欲使线性齐次方程组O AX 的基础解系有两个解向量，则a =。

9．当a时，线性方程组233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。

10．方程组321011032x x x =0的基础解系所含向量个数是___ ______。

11．若5元线性方程组b AX的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则Ar 。

12．设线性方程组414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则4321a ,a ,a ,a 应满足条件。

13．设齐次线性方程组为021nx x x ，则它的基础解系中所包含的向量个数为。

14．设21,是非齐次线性方程组b AX 的解向量，则21是方程组的解向量．15．设s,,,21为非齐次线性方程组b AX 的一组解，如果ssc c c 2211也是该方程组的一个解，则sc c c 21。

16．设矩阵1111110A ，则齐次线性方程组O X A E 的一个基础解系为。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

(2020年编辑)线性代数试题及答案

线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

c)(A *kA )(B *A k n)(C *-A kn 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

(完整版)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。

（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。

=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。

（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。

(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。

若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。

(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。

2020年08月04184线性代数真题及答案

2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。

A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。

参见教材P116。

4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。

m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。

130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。

13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。

120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。

设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。

6C。

2 D. –24。

设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。

A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。

｜A|≠0时B=C5。

已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。

2C。

3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。

有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。

有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。

设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。

考研线性代数习题集（带答案）

考研线性代数习题集（带答案）第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++ ; 10. 2 10001200000210001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a . 2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-；2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.∏-=-11)(n k ka5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数考研题库及答案

线性代数考研题库及答案线性代数考研题库及答案线性代数作为数学的一个重要分支，是应用广泛且基础性强的学科。

对于考研学子来说，掌握线性代数的知识是非常重要的。

在备考过程中，做题是必不可少的一环。

本文将为大家介绍一些线性代数考研题库及答案，希望能够对大家的备考有所帮助。

一、基础知识题1. 下列哪个不是向量的性质？A. 加法交换律B. 乘法结合律C. 乘法分配律D. 加法结合律答案：D解析：向量的加法满足交换律、结合律，乘法满足结合律和分配律。

2. 设A为n阶方阵，下列哪个等式成立？A. A^T = -AB. A^T = AC. A^T = A^2D. A^T = A^{-1}答案：B解析：方阵的转置就是将矩阵的行变成列，列变成行，所以A的转置等于A本身。

二、定理证明题1. 证明：矩阵A与B相似的充要条件是存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。

答案：略解析：这是线性代数中的一个重要定理——矩阵相似。

证明的思路是从定义出发，利用矩阵的运算性质和可逆矩阵的性质进行推导。

三、应用题1. 已知向量组v1 = (1, 2, 3)^T，v2 = (2, 3, 4)^T，v3 = (3, 4, 5)^T，求向量组的秩。

答案：2解析：将向量组写成矩阵形式，进行初等行变换，化为阶梯型矩阵，统计非零行的个数即为秩。

2. 设A为n阶方阵，若存在非零向量X，使得AX = X，则矩阵A的特征值为多少？答案：1解析：根据特征向量的定义，AX = λX，其中λ为特征值，X为特征向量。

根据题意可得AX = X，所以特征值λ为1。

四、综合题1. 设A为3阶方阵，已知A的特征值为1，2，3，求A的特征向量。

答案：略解析：根据特征值和特征向量的定义，解线性方程组(A-λI)X = 0，其中λ为特征值，X为特征向量，求解得到特征向量。

总结：线性代数考研题库及答案主要涵盖了基础知识题、定理证明题、应用题和综合题等不同类型的题目。

通过做题可以帮助考生巩固知识、理解概念，并提高解题能力。

中国科学技术大学2020年线性代数与解析几何考研试题及解答

E −b 01
Ab bT 1
E0
A − bbT 0
=
,
−bT 1
01
E0 −bTA−1 1
Ab bT 1
E −A−1b
A
0
=
.
01
0 1 − bTA−1b
于是可以得到 1 − bTA−1b > 0.
充分性. 根据上面的两个矩阵等式可得结论.
2
3. 我不认可这道题, 因为二次型是指多项式, 而不是矩阵.
4. 常规题目, 把基放在一起找出最大线性无关组的个数得维数.
5. A 的特征多项式为 x(x − 2)2, 由于可对角化, 最小多项式为一次因式的乘积并且要包含所有的特征值, 于是最小多项式为 x(x − 2). 因此 A(A − 2E) = 0, 解得 a = −1.
2. (15分) 设 A 是 n 阶复方阵且不可对角化, 试证明存在非零矩阵 B, 使得 AB = BA 且 Bn = 0.
3. (20 分) 在 M2(C) 上定义线性变换 A : X → AX, A = 1 2 , 求 A 的特征值和特征向 01
量, Jordan 标准型.
4. (20分) 给定行向量集合 S : (具体表达式不详), 试求它的极大线性无关组并给出证明.
二. 1. 与 2017 年解答题第一题没有多大区别, 按照那里的做法去做就行了.
2. 由 Jordan 标准型的理论知道, 存在可逆矩阵 P, 使得 P −1AP = J, 其中 J 为 A 的 Jordan 标准型, 记 J0 为把 J 的对角线上元素全换为零所得的矩阵. 那么, 由于 A 不可对角化, 则 J0 = 0. 又由于 J J0 = J0J, 故取 B = P J0P −1 即可.

线性代数考试题及答案考研

线性代数考试题及答案考研一、选择题1. 设矩阵A的秩为1，矩阵B与矩阵A相抵消，那么矩阵B的秩为：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 不确定2. 若矩阵A可逆，且AB=0，则：- A. A可逆，B不可逆- B. B可逆，A不可逆- C. A和B都可逆- D. A和B都不可逆二、填空题1. 若向量组\[a_1, a_2, a_3\]线性相关，则至少存在不全为零的实数\[c_1, c_2, c_3\]，使得\[c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 =\_\_\_\_\_\_。

2. 设矩阵\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，矩阵\[A\]的特征值是\_\_\_\_\_\_。

三、解答题1. 已知矩阵\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵\[B\]的逆矩阵。

2. 设\[x\]是\[3 \times 1\]的列向量，\[A\]是\[3 \times 3\]的矩阵，若\[Ax = 0\]，证明\[x\]是矩阵\[A\]的零空间的基。

答案一、选择题1. 正确答案：A. 0解析：若矩阵B与矩阵A相抵消，则B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩小于等于A的秩。

由于A的秩为1，所以B的秩为0。

2. 正确答案：D. A和B都不可逆解析：若AB=0，则A和B至少有一个是不可逆的。

因为如果A可逆，则AB=I，这与AB=0矛盾。

同理，如果B可逆，则AB=I，也与AB=0矛盾。

二、填空题1. 正确答案：0解析：线性相关意味着存在不全为零的系数使得向量和为零向量。

2. 正确答案：2, -1解析：通过计算特征多项式\[|A - λI| = 0\]，解得特征值为2和-1。

三、解答题1. 解：矩阵B的逆矩阵计算如下：\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B)\]其中，\[\det(B) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0\]，因此矩阵B 不可逆，没有逆矩阵。

考研线性代数习题及答案（一）

考研线性代数基础习题及答案（一）1．计算下列二阶行列式：．计算下列二阶行列式：（1）3125--；（2）log 11log a b b a )1b ,a 0,¹>且（b a ；（3）x x y x yx+-；（4）21111t t t +-+. 解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-132）=log log 10b aa b ×-= 3）=22()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 32．计算下列三阶行列式：．计算下列三阶行列式：（1）111101112---；（2）12111516312---；（3）0230ba cbc a-；（4）111c b ca b a---. 解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ´´+-´´+---= 4) =22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：（1）264315；（2）542163. 解：1）6G = 偶排列偶排列 2）9G = 奇排列奇排列4．确定i 和j 的值，使得9级排列级排列（1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列；成偶排列；（2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列. 解：1）当8,3i j ==时成偶排列时成偶排列 2）当8,6i j ==时成奇排列时成奇排列5．利用行列式定义计算下列行列式．利用行列式定义计算下列行列式（1）010010100101001D =；（2）12340000000000a a D a a =. 解：1）(2143)21124334(1)1D a a a a G =-= 2）(2143)142332411234(1)D a a a a a a a a G=-=6．利用行列式性质计算下列行列式：．利用行列式性质计算下列行列式：（1）313023429722203-；（2）3211040220110102；（3）1234234134124123；（4）213131071242115-----. （5）xy x y y x y x x yxy+++; （6）222a b c a b c b c a b cac a b++++++. 解：1) =312103430455223121--=-=--- 2) =10100002602100302=--3) =100010001113110010101601222124411111104-==-------- 4) =10001001138100085521005725401151143==------5) =00x x x y x x y yx y x x y x xx y y x y +++++=0000xyx y y x x y x y y x y x yx y x-++--- 332()x yxyx y x y xy x x y y =+=-+-+-6) =222a b c a bc b c a b c a c a b++++++ =22a b ca b c a b c c b c ab ca c ab ++------++++ 111()22a b c cb c ab cac a b--=++++++=111()022022a b c b c a b c a c c a b --++++++++ 111()0()022a b c a b c a b a cc a b--=++++-++++ =32()a b c ++7．计算下列行列式：．计算下列行列式：（1）1123103230n n nD --=--；（2）111222121212n n n n a a a n a a a nD a a a n++++++=+++（n ≥2）；（3）11221110001100011000010011n n n n a a a a D a a a +-----=---；（4）0121111111000101210001n i n na a a D a i n a a +-=¹=（其中0，，，，，）.解：1) 10001200!1n D n n-==-2) 1°当n =2时，12n D a a =-2°当n ＞2时，11111222222122120212n nn n n n a a a n a a na a a n a a n D a a a na a n++++++++=+=++++3) 110000110000110010001000011n D+--==-4) 01211201111110000000010000nn n i i n na a a D a a a a a a a +=-æö==-ç÷èøå8．解方程：．解方程：（1）2212134526032113212x x ---=--+-- （2）11001()01001x y z x x y z y z=其中、、均为实数. 解：1)22(9)(1)0x x --=3x =±或1x =± 2)22211x y z ---=0x y z ===9．用克拉默法则解下列线性方程组：．用克拉默法则解下列线性方程组：（1）123123133243421132411x x x x x x x x x --=ìï+-=íï-+=î（2）1234123423412342513232222420x x x x x x x x x x x x x x x -++=ìï++-=ïí++=-ïï-++=î解：1)1234112412141142311234111124311432113,,1211211211342342342324324324x xx --------====------------2) 12251115112111113121311231032223220222214201422042D D D -----===----34251125111121113243220322211214D D ----==---- 312412341,0,,1DDDDx x x x DDDD\=======-10．k 取何值时，下面的方程组仅有零解？取何值时，下面的方程组仅有零解？（1）320720230x y z kx y z x y z +-=ìï+-=íï-+=î（2）0020kx y z x ky z x y z ++=ìï+-=íï-+=î解：1) ) 当当32163725630,,5213kk k --=-¹¹-即时仅有零解仅有零解2) ) 当当1111(1)(4)0,14,211kk k k k k -=+-¹¹¹-即且时仅有零解仅有零解（B ）1．填空题．填空题（1）设1234134()124123x f x x x=，则方程f (x )=0的根为____________；（2）1111111111111111xx y y +-+-=________________；（3）设行列式3040222207005322--，则第四行各元素余子式之和的值为__________；（4）n 阶行列式阶行列式00010000001n a a D a a==__________ （5）设n 阶行列式阶行列式13521120010301n n D n-=则D n 的第一行各元素的代数余子式之和11121n A A A +++= ______________. 解：1) ()(2)(3)(4)0f x x x x =---= 2,3,4x x x \===2) =22x y 3) -284) 2nn a a--5) 21!(1)nk nk =-å2．选择题．选择题（1）下列行列式中，不等于零的是（）下列行列式中，不等于零的是（）. A ．1231110.50.50.5---B. 1231110.5 1.5 2.5 C. 1531210.54 2.5D. 111412125---- （2）已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（）. A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m（3）多项式10223()71043173x x x f x x-=--中的常数项是（中的常数项是（）. A ．3 B ．-3 C ．15 D ．-15 （4）设行列式1234123412341234()a a a a x a a a x a f x a a xa a a xa a a --=--，则方程()f x =0的根为（的根为（）. A ．1234,a a a a ++ B ．12340,a a a a +++ C ．1234,a a a a --D ．12340,a a a a ----（5）n 阶行列式D n 为零的充分条件是（为零的充分条件是（）. A ．主对角线上的元素全为零．主对角线上的元素全为零B ．有(1)2n n -个元素都等于零个元素都等于零 C ．至少有一个（n -1）阶子式为零）阶子式为零D ．所有（n -1）阶子式均为零）阶子式均为零解：D 、A 、A 、B 、D 3．证明：32222()22a b c a a b b c a b a b c ccc a b----=+---. 证明证明: : : 左左=111()2222a b c bb c a bc cc a b++---- 33111()00()0a b c b c aa b c c a b=++---=++---4．证明：1111111112222222222a bb cc aa b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++. 解：11111111112222222222ab c c a b b c c a ab c c a b b c c a a b c c a b b c c a ++++=+++++++++左 =1112222ab cab c a b c5．计算下列n 阶行列式：阶行列式：（1）0000100002001000000nD n n=-；（2）123121221321321221n n n n n D n n nn n ---=---- ；（3）210001210000021012n D ---=--；（4）12323413452121n n D n n =-. 解：解： 1) (1)(2)((1),(2)1,)2(1)!(1)!n n n n nnD n n --G --=-=-2) 11111111110222111120022211111nn n n n Dn n n ------------=--=---12(1)2(1)n nn --=-+3) 100000210001200100012n D n ---=--=+-- 4) 1231341(1)145221111n n n n D n +=- =1230111(1)01112111n n n n n-+-(1)12(1)(1)2n n n n n +-+=-×6．用数学归纳法证明．用数学归纳法证明2112122222122122121111n n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a a a a a ++==++++12cos sin(1)sin n q qq+=2cos sin 3sin q q q==sin(1)sin k qq=sin(2)sin k qq=又又111x x x =解：211112122212111()1n n i j j i n n nn n a a a a a a D a a a a a --£££-==-Õ123,0n D D D x D ===== 11231,0n D x x x x D \======10．若齐次线性方程且．若齐次线性方程且1234123412341234020300x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=ìï+++=ïí+-+=ïï+++=î有非零解，则a 、b 应满足什么条件？应满足什么条件？解：当11112110113111a a b =-即2(1)4a b +=时,方程组有非零解方程组有非零解..。

2020考研数学之线性代数基础测试题6

2020考研数学之线性代数基础测试题6一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（）A ．aB ．-bC ．0D ．abc2．若三阶方阵A 等价于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100000020，则A 的秩是（） A ．0 B ．1 C ．2D ．33．设A 为n 阶方阵，且A 3=E ，则以下结论一定正确的是（） A ．A =EB ．A 不可逆C ．A 可逆，且A -1=AD ．A 可逆，且A -1=A 24．设A 为3阶矩阵，若|A |=k ，则|-k A |是（） A ．-k 4 B ．-3k C ．-kD ．k 35．设α1，α2，α3线性相关，则以下结论正确的是（） A ．α1，α2一定线性相关B ．α1，α3一定线性相关C ．α1，α2一定线性无关D ．存在不全为零的数k 1，k 2，k 3使k 1α1+k 2α2+k 3α3=06．设u 1, u 2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解，则以下结论正确的是（） A ．u 1+ u 2是Ax =b 的解B ．u 1- u 2是Ax =b 的解C ．k u 1是Ax =b 的解（这里k ≠1）D ．u 1- u 2是Ax =0的解7．设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A 的行列式|A |等于（） A ．3 B ．4 C ．9D ．158．设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321，则A 是（） A ．正交矩阵 B ．正定矩阵C ．对称矩阵D ．反对称矩阵9．二次型f(x 1, x 2)=2221214x x 6x x ++的矩阵是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4421B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4061 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4151 10．设ξ1，ξ2是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（）A ．ξ1+ξ2是λ对应的特征向量B ．2ξ1是λ对应的特征向量C ．ξ1,ξ2一定线性相关 D ．ξ1，ξ2一定线性无关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

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线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6D.12【答案】C【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。

有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。

本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。

【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。

热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。

2.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120C.120D.180 【答案】A【解析】本题考查了行列式的计算。

行列式可以根据任意一行（列）展开。

一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。

【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。

近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。

需重点掌握。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,1）11.若,0211=k 则k=_______.答案：1/2。

3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4D.8【答案】C【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。

由于11,AA-=由已知| A -1 |=2，从而12A =，所以3122842A A ==⨯=。

【提醒】牢记公式：11,AA-=n kA k A =，AB A B =，以及由*AA A E =推出的1*n A A-=。

其中n 为A 的阶数。

【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。

热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。

【历年考题链接】（2008,4）4．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（） A ．（-5）n AB ．-5AC ．5AD ．5n A答案：A 。

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示【答案】B【解析】本题考查了向量组线性相关性。

由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。

本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。

【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。

如：向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。

【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。

热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。

【历年考题链接】（2008,7）5.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关答案：B 。

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。

本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。

由结论可知，A的秩为4。

【提醒】另外要牢记基础解系的含义：首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。

【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2010,1）6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：D。

6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )A.A与B相似B.| A |=| B |C.A与B等价D.A与B合同【答案】C【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。

因为r(A)=r(B)，故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。

【提醒】（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。

（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。

相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。

（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。

若A与B合同，则它们也是等价的。

【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,7）7.若A与B相似，则（）A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|答案：D。

7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0B.2C.3D.24 【答案】D 。

【解析】本题考查了特征值的性质。

已知A 为3阶方阵，特征值分别为2,1,0，根据性质：,(),()()A A A λϕλλϕλϕ若是矩阵的特征值是关于的多项式则是的特征值（含负指数），可得，A+2E 的特征值为2+2，1+2,0+2，即：4,3,2。

再根据性质：若n 阶矩阵 A 的特征值为12,,,n λλλ，则12n A λλλ=，可得，| A +2E |=4╳3╳2=24。

【提醒】110,A A λλλ--≠若（）是矩阵的特征值则的特征值为；若n 阶矩阵 A 的特征值为12,,,n λλλ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++。

【点评】本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,7）18.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E |=___________. 答案：24。

（2010,1）9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 =（）A.4B.5C.6D.7答案：B8.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同C.| A |=| B |D.A 与B 有相同特征值【答案】B【解析】本题考查了相似矩阵的性质。

首先，相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值；其次，由定义，A 与B 相似则存在可逆矩阵P ，使得P -1AP=B 。

因为可逆矩阵P -1和P 都能写成若干初等矩阵的乘积，而左乘初等矩阵相当于相应行变换，右乘初等矩阵相当于相应列变换，由P -1AP=B 可知，A 通过若干初等变换可以互相转化为B ，从而A 与B 是等价的。

用排除法可知本题选B 。

【提醒】（1）若存在可逆矩阵P ，使得P ，AP=B ，则称A 与B 合同。

若A 与B 合同或相似，则它们也是等价的，反之不一定成立。

（2）若存在正交矩阵P ，使得P -1AP=B ，则可以得到A,B 合同。

【点评】本题与上面的第6题都考察了矩阵等价、合同、相似等概念和性质，这些内容需重点掌握，常出现在选择和填空题中。

热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2007,10）8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（）A ．121B ．71C ．7D ．12答案：A 。

9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2D.4【答案】D 。

【解析】本题考查了向量的正交性。

如果0Tαβ=，则向量,αβ正交。

向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，由0Tαβ=得，12(2)310t ⨯+-⨯+⨯=，解得4t =。

【提醒】3维向量正交性和空间解析几何中的向量垂直是相同的。

记得什么是正交矩阵吗？【点评】本题涉及内容近年常考，多出现填空中。

热度：☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2008,7）9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定【答案】B 。

【解析】本题考查了实对称矩阵正定性的判定。

n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的 n 个特征值全是正数。

n 阶对称矩阵A 是负定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全小于零。

n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

【提醒】n 阶对称矩阵A 正定的另一个充分必要条件是：A 的 n 个顺序主子式全大于零。

【点评】正定性的判定是考察的重点。

本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。

热度：☆☆☆☆。

【历年考题链接】（2007,10）20．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足_____________.答案：0a <<二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

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