4.6 保角变换解法

( )−
() ()
( )− ( )
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使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社
其中 =
=|
() ，
( )|
=
() () () ()
=
() ()
，
=
=|
() ( )|
上式便可求解物理平面中沿孔口的法/切向，即曲线正交坐标轴的应力/位移分量（如有需要*，再用 B 方法寻找其对应 物理平面的位置）
B. Cauchy 积分确定 ( )和 ( )（以外→内变换 ( → )为例） 将上面的*式代入(2)式中力边界条件，并将 ( )和 ( )的组合项（即未知系数项）放到等式左边
( )+
() ()
( )+
( )= ( )
(3)
其它的已知的系数( , , , )（即已知系数项）移到等式右边
( )= ∫ ( )+ ( ) −
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弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问 题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将原物理平面上复杂几何域映射成像平面 上的中心单位圆、半无限平面等。
1、保角变换（映射）
坐标轴 宗量（边界宗量）
−
+ 2πi
− ( ) + 2πi
−
= 2πi
−
l ( )在圆内域是解析的 l 是位于圆内域的点
1 2πi
()
−
= ()
l ( )=∑ l 位于圆内域
在圆外域是解析的 1
( ) = − 2πi
1
()
2πi
−
= (∞) = +
() ()
1
− ( ) + 2πi
−
∞ =0
() ( )+ ( ) ( )+ ( )=
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4、返回物理平面
最终的目标是得到物理平面上的应力、位移场等。前面已经求解了像平面的势函数，我们可以通过 2 种方法来求解物理平 面上的力学量： A. 简单情况求解析解：
通过找逆映射函数 = ( )，然后求解物理平面上的 K-M 函数 ∗( ), ∗( )，然后通过应力和位移组合求解；
*注：有时我们只关心应力集中的数值不关心位置，这时就不需要求物理平面的位置（如 P207）。
无限域孔口问题的保角变换求解流程
写出映射函数： = ( )
远方应力场 确定 ,
孔边外力的主矢量 确定 ,
代入像平面的势函数级数形式：
( ) = − ln + ( ) + ( ) ( ) = − ln + ( ) + ( )
接下来就可以利用 4.5 节介绍的复数级数方法，来求解单位圆域的 ( )和 ( )。我们只需要用将 平面 K-M 函数的 级数代入(2)式左边，并把右边已知外力也在 平面展开成 F 级数，比较左右两边的系数就可求解。
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像平面的边界条件
: ∗( ) + ∗ ( ) + ∗( ) − =
∗( ) + ∗( )
: ∗( ) − ∗ ( ) − ∗( ) = 2 [ ∗( ) + ∗( )]
级数法/Cauchy 积分
单值级数部分
() ()
像平面 K-M 势函数
() ()
利用逆映射函数 = ( )
物理平面 K-M 势函数
() ()
物理平面上对应的边界是复杂的几何形状，它的边界条件
: ∗( ) + ∗ ( ) + ∗( ) − = ∫ ∗( ) + ∗( ) (1)
: ∗( ) − ∗ ( ) − ∗( ) = 2 [ ∗( ) + ∗( )]
由于单位圆边界力学问题（利用 4.5 节方法来求解）的求解相对简单。因此，我们可以把物理平面的复杂边界转到像平面 来形成单位圆来求解，这需要把(1)式从 平面转到 平面，即变换 ∗( ) → ( )， ∗ ( ) → ( )和 ∗( ) → ( )。
= ( )＝
1 +
| |≤1
外→外变换 ( → )
= ( )＝ +
| |≥1
内→内变换 ( → )
= ( )＝
| |≤1
内→外变换 ( → )
= ( )＝
| |≥1
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3、转入像平面
3.1 边界条件表达式的转换：
( )+ ( ) ( )+ ( )
其中
( )=∑ ( )=∑
( ) = ln + ( ) = ln +
+ () + ()
其中
( )=∑ ( )=∑
上表中势函数的形式第一、二项中系数 ( , )与孔边外载的主矢量有关，系数( , )与远方应力场有关，而 = = 0。 由可见 平面的势函数主要就是确定第三项的参数，即 ( )和 ( )。下面介绍两种方法来求 ( )和 ( )。 A. 复数级数方法确定 ( )和 ( )
ln − (
)
() ()
−2
( )−
()
(3)’
(3)’式中系数均为已知，即 为 的函数。其中前 3 项与外载有关，后 2 项与远方应力场有关。将其化为 Cauchy 积分
∮
() + ∮
() () ()
+∮
()
=∮
(4)
得共轭方程，并化简
()
( )+
( )+ ( )=
()
1
()
1
() ()
1
()
1
2πi
若我们取物理平面的坐标轴( , )和像平面的坐标轴( , 由式(5)和复平面坐标变换关系，得
)所取的方向一致，就可以得到如下角度关系（如上图） =+
⎧
∗+ ∗=
+
= 4Re
() ()
⎪
∗− ∗+2 ∗ = ⎨
− +2
=
()
()
() ()
+
()
(5)
⎪ ⎩
2
∗ + ∗ ＝2
[+
]＝ ( )
| ( )|
利用下面的关系：
K-M 函数 导数
∗( )＝ ∗[ ( )] = ( ) ∗( )＝ ∗[ ( )] = ( )
⎧ ∗ ( )＝ ⎪
∗( ) ＝
()
=
() ()
⎪ ⎨
∗ ( )＝
() ()
⎪ ⎪ ∗ ( )＝ ⎩
∗ ( )＝
()
()
()
=
()
()
已知边界
力： ∗( )＝ ∗ ( ) ＝ ( ) ∗( )＝ ∗ ( ) ＝ ( )
我们可以由坐标变换关系直接由像平面的势函数求得物理平面的应力/位移。
∗
y
∗
0
x
0
图 1 物理平面的和像平面的对应关系
物理平面中：直角坐标轴( , )和曲线正交坐标轴( ∗ , ∗ )的夹角为 ；
像平面中：直角坐标轴( , )和极坐标轴( , )的夹角为 ；
而 像平面的极坐标轴( , ) —> 物理平面的曲线正交坐标轴( ∗ , ∗ ) 的夹角为 ( )的辐角
求应力 和位移
分别求位置 = ( )、应力及位移：
()
⎧ ⎪⎪
+ = 2 ( ) + ( ) = 4Re ( )
2
()
− +2 ⎨
= () () () + ()
⎪⎪ ⎩
2[ +
]＝
( )−
() ()
( )− ( )
或
⎧ ⎪⎪
⎨
∗ + ∗ = 4Re
() ()
∗− ∗+2 ∗ 源自文库 2
()
()
() () +
我们还必须把 K-M 函数的级数形式也转换到 平面。即把映射的级数形式 = ( )（表 2）代入物理平面的级数形式，得
外→内变换 ( → )
= ( )＝
1 +
| |≤1
外→外变换 ( → )
= ( )＝ +
| |≥1
物理平面
( ) = ln + + ( ) = ln + +
像平面
( ) = − ln + * ( ) = − ln +
, ,
))之间的数值关系。
注：考虑到圆域，B 方法一般采用极坐标的方法来求解比较方便。这时只需把上面的(1)中组合公式表示成极坐标形式，
然后把(1)中映射改成 ( , )＝ ( )＝
= ( , )，而 ( , ) = = ( , )。
C. 复杂情况求数值解 方法 2
→∗ →∗
由于孔口问题中，人们常常关心孔边沿的应力/位移分布，所以求解沿孔边界线的切线和法向方向的应力/位移更具意义！
1
()
1
() ()
1
()
1
2πi
−
+ 2πi
− ( ) + 2πi
−
= 2πi
−
l ( )=∑
在圆外域是解析的
l 位于圆内域
l ( )在圆内域是解析的 l 位于圆内域
1
()
2πi
−
= (∞) = +
∞ =0
1
()
2πi
−
= ()
(
)
=
−
1 2πi
() ()
1
− ( ) + 2πi
−
上表中的 ( )和 ( )的表达式的右端第一项与变换函数 ( )（即孔的形状）有关，称几何项。第二项与孔边和远 方的外力有关，称为载荷项。
B. 复杂情况求数值解 方法 1
→ →
(如：上面 4 种级数形式的映射关系就没办法逆映射)：
(1) 先把应力组合转到像空间，
⎧ + = 2 ( ) + ( ) = 4Re[ ( )]
⎪ − +2
= ( ) 2[ ̅ ( ) + ( )]
(5)
⎨
⎪ ⎩
2
[
+
]＝
( )−
() ()
( )− ( )
并利用像平面中解得的 ( ), ( )求解应力和位移分量，即分别得到了 (ξ, η)~
()
⎪⎪2 ⎩
∗+
̅ ∗＝
|
() ( )|
()
( )−
( )− ( )
()
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位移： ∗( )＝ ( ) ∗( )＝ ( )
注： ∗ ( )和 ∗ ( )在转换边界条件不需要，但后面的应力组合转换要用*^*
得到像平面上的边界条件：
:
( )+
() ()
( )+ ( )−
=∫
( )+ ( )
:
( )−
() ()
( )− ( )=2
( )+ ( )
(2)
3.2 K-M 函数的级数形式的转换：
(ξ, η) (ξ, η) , (ξ, η)
(ξ, (ξ,
ηη))分量之间的数值。
(2) 再把上面计算过的 值，代入到映射关系 ＝ ( )中求位置 ( , )，分别得到了 (ξ, η)~ ( , )的数值关系。
(3) 比较上面的计算数值，就得到了 ( , )~
(, ) (, ), ( , ))
( (
域（边界）
物理平面 , , ,
象平面 , , ,
伸缩率 幅角
映射关系： = ( )
映射的导数： ( ) =
|| | ( )| = | |
|| Arg ( ) = Arg | |
= Arg − Arg =
2、保角变换函数的形式
物理平面的复杂几何形状→像平面的单位圆的几种映射的具体（级数）形式
外→内变换 ( → )