数项级数经典例题大全 (1)

第十二章 数项级数

1 讨论几何级数 ∑∞

=0n n q 的敛散性.

解 当1||

110

∞→-→--==∑=n q q q q S n n

k k

n . 级数收敛;

当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;

当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()

n n S )1(12

1

-+=

, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数

∑∞

=0

n n q 当且仅当 1||

q

-11

( 注意n 从0开始 ).

2 讨论级数

∑∞

=+1)1(1n n n 的敛散性.

解 用链锁消去法求.

3

讨论级数∑∞

=12

n n

n 的敛散性.

解 设 ∑=-+-++++==

n

k n n k n n n k S 1

1

322212322212 ,

=n S 211432221 232221++-++++n n n

n , 1322

212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S

12

2

11211211

→--⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=

+n n n ,

) (∞→n . ⇒ n S →2, ) (∞→n .

因此, 该级数收敛.

4、

讨论级数∑

∞

=-1352n n n 的敛散性.

解

5

2

, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.

5、 证明2-p 级数

∑∞

=121

n n

收敛 .

证 显然满足收敛的必要条件.令 21

n

u n =

, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p

k p

k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112

2

1 ,1

11)

)(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |

∑=+p

k k

n u

1

|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，

令其小于ε，确定N .

6、

判断级数∑∞

=1

1

s i n n n n 的敛散性.

(验证 0→/n u .

级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要

条件) 7、

证明调和级数∑

∞

=11n n 发散.

证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n

n ln 1 1

211 )1ln(+<+++

<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )

注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.

8、 考查级数

∑∞

=+-1

2

11

n n n

的敛散性

.

解 有 , 2 11 012222n

n n n n <+-⇒>+- 9、 判断级数

()()

+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n

的敛散性.

解 1 43

4132lim lim

1<=++=∞→+∞→n n u u n n

n n ⇒∑+∞<.

10、 讨论级数∑>-)

0( 1

x nx

n 的敛散性.

解 因为) ( , 1

)1(1

1∞→→+⋅+=-+n x n n x nx

x n u u n n n n . 因此, 当10<

∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.

11、

判断级数∑+n

n n n !

21的敛散性

.

注: 对正项级数

∑n u ，若仅有

11<+n

n u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1

和

∑2

1

n , 均有 11<+n

n u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、 研究级数

∑-+n

n 2) 1 (3的敛散性 .

解 12

12)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→n

n

n n n

n u ⇒∑+∞<. 13、

判断级数∑⎪⎭

⎫

⎝⎛+2

1n n n 和∑⎪⎭

⎫

⎝⎛+2

1n n n 的敛散性 .

解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .

14、 讨论

-p 级数∑∞

=11n p

n 的敛散性.

解 考虑函数>=p x

x f p ,1

)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分

⎰+∞

1

)(dx x f

当1>p 时收敛, 10≤

∑∞

=1

1

n p n 当1>p 时收敛,当10≤

01

→/p

n , 级数发散. 综上,-p 级数

∑∞

=11

n p

n

当且仅当1>p 时收敛.