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数项级数经典例题大全 (1)

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函数项级数典型例题

函数项级数典型例题

的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠

有关级数的典型例题

有关级数的典型例题

n > N 1 时， x n ↘． 现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少． 利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (

典型例题一数项级数

典型例题一数项级数

(a2 n1 a2 n )
n 1

(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1

2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2 n )收敛，则 un 收敛。
散，而 (un vn ) 收敛。
n 1

故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n

nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数 ，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1

u
n 1

n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1

A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但 则 n n 从而 un un1 u1 n 1

典型例题一数项级数共53页文档

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典型例题一数项级数
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

数项级数经典例题大全

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第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

数学分析12数项级数总练习题

数学分析12数项级数总练习题

第十二章 数项级数总练习题1、证明：若正项级数∑n u 收敛，且数列{u n }单调，则n ∞n nu lim +→=0.证：∵级数∑n u 收敛，∴n ∞n u lim +→=0，∴单调数列{u n }必递减.由柯西准则知，任给正数ε，存在N ，对n>N ，有0<u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 又当n>N 时，u N+i ≥u n , i=1,2,…,n-N ，从而当n>N 时，0<(n-N)u n ≤u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 取n>2N ，则0<2n u n ≤(n-N)u n <2ε， 即0<nu n <ε (n>2N)，故n ∞n nu lim +→=0.2、若级数∑n a 与∑n c 都收敛，且不等式a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)成立. 证明级数∑n b 也收敛. 若∑n a 与∑n c 都发散，问∑n b 一定发散吗？ 证：∵a n ≤b n ≤c n ，∴ 0≤b n -a n ≤c n -a n ，又级数∑n a 与∑n c 都收敛， ∴正项级数∑)a -(c n n 收敛，根据比较原则，正项级数∑)a -(b n n 收敛， ∴∑n b =∑)a -(b n n +∑n a 收敛.若∑n a 与∑n c 都发散，∑n b 不一定发散，如：当∑n a =∑)n1(-,∑n c =∑n 1时，∑n a 与∑n c 都发散， 而∑n b =∑2n1满足a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)，但∑n b 收敛.3、若nn∞n b a lim+→=k ≠0, 且级数∑n b 绝对收敛，证明∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，能推得∑n a 收敛吗？证：∵n n ∞n b a lim+→=k ≠0, ∴nn∞n b a lim +→=|k|>0, 又∑|b |n 收敛， 根据比较原则知∑|a |n 收敛，∴∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，则∑n a 不一定收敛. 如：取a n =n (-1)n+n 1，b n =n (-1)n ，则nn ∞n b a lim +→=n(-1)n1n (-1)lim n n∞n ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→n (-1)1lim n ∞n =1≠0, 且∑n b =∑n (-1)n收敛，但∑n a =∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n 1n(-1)n 却发散.4、(1)设∑n u 为正项级数，且n1n u u +<1，能否断定∑n u 收敛？ (2)对于级数∑n u ，有n1n u u +≥1，能否断定级数∑n u 不绝对收敛，但可能条件收敛?(3)设∑n u 为收敛的正项级数，能否存在一个正数ε，使得ε1n∞n n 1u lim++→=c>0. 解：(1)不能. 如取u n =n1，则n 1n u u +=1n n +<1，但∑n u =∑n1却发散. (2)不能. ∵n1n u u +≥1，∴|u n+1|≥|u n |≥|u 1|>0. ∴|u |lim n ∞n +→≠0，从而n ∞n u lim +→≠0，∴级数∑n u 发散.(3)不一定. 如：对收敛的正项级数∑p n1(p>1)，则总存在ε=p-1>0，有1)-p (1p ∞n n 1n 1lim ++→=1>0.但对收敛的正项级数∑n n1，却对任何正数ε，有ε1n ∞n n 1n 1l i m ++→=ε-1-n ∞n n 1lim +→=0.5、证明：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则级数∑n n b a 也收敛.证：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则任给正数ε， 存在N 1，使当n>N 1时，对任何自然数p ，都有∑+=pn n k k a <ε，且存在N 2，使当n>N 2时，对任何自然数p ，都有|b b |k pn nk 1k ∑+=+-<ε.由)b (b n 1n ∑-+收敛知：其部分和数列)b (b k n1k 1k ∑=+-=b n+1-b 1有界，即|b n |<M(n=1,2,…).由阿贝尔变换知：当n>N=max{N 1,N 2}时，对任何自然数p 有：∑+=pn nk k kb a=∑∑∑+=+-+=+-++=++++-+⋯+-+-pn nk kp n 1p n nk k p n 1p n 1n nk k 2n 1n n 1n n a b a )b b (a )b b (a )b b (≤|b n -b n+1||a n |+|b n+1-b n+2|∑+=1n nk k a +…+|b n+p-1-b n+p |∑-+=1p n nk ka+|b n+p |∑+=pn nk ka≤ε∑-+=+-1p n nk k 1k b b+εM ≤ε(ε+M). 根据柯西准则，级数∑n n b a 收敛.6、设a n >0，证明级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是收敛的.证：∵a n >0，∴级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是正项级数，其部分和S n =∑=+⋯++n1k k 21k )a 1()a 1)(a 1(a =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯++-+⋯+n 1k k 211-k 1)a 1()a 1)(a 1(1)a 1()a 1(1 =1-)a 1()a 1)(a 1(1n 21+⋯++<1，即{S n }有界，∴该级数收敛.7、证明：若级数∑2n a 与∑2n b 收敛，则级数∑n n b a 和级数∑+2n n )b (a 也收敛，且(∑n n b a )2≤∑2n a ·∑2n b ，∑+2n n)b (a≤∑2na+∑2nb.证：∵|a n b n |≤2b a 2n2n +，且∑2n a 与∑2n b 收敛，∴∑n n b a 绝对收敛. 从而∑+2n n )b (a =)b b a 2(a 2n n n 2n ∑++也收敛.由柯西—旋瓦兹不等式：(∑=n1k k k b a )2≤∑=n 1k 2ka ·∑=n1k 2k b ，及明可夫斯基不等式：∑=+n1k 2k k)b (a≤∑=n1k 2ka+∑=n1k 2kb，令n →∞取极限，得证！。

1数项级数(成贤)

1数项级数(成贤)
n 1

则 级数
( A). 3

n 1
un
(B ). 7 (D ). 9
(C ). 8
3.若 un 发散, 则下列结论正确的是
n 1

1 ( A). 收敛 n 1 un
( B). ( un 0.0001)发散
n 1

Hale Waihona Puke (C ). un1000 发散
( D). k un 发散
2
收敛
ln3 n 6. lim 0, n n ln3 x ln2 x ( 3 ln x ) f ( x ) ( ) 0( x 27), 2 x x ln3 n 1 又 , n n
条件收敛
三. 1.设 limn (e 1)un 1( p 0),
发散
u n 1 4. lim n u n
(n 1) n 1 1 n (1 ) n 1 a (n 1)! n e lim lim n n n n a a a n n!
e a 时, 收敛; e a 时, 发散.
n (n 2) cos 3 (n 2) , 5. 3n 3n (n 2) 1 3n 收敛, n

( A). 发散
(C ). 条件收敛
(B ). 绝对收敛
( D). 敛散性与a 有关
a 7.设 a 0, 则级数 (1) (1 cos ) n n 1
n

( A). 发散

(B ). 绝对收敛
(C ). 条件收敛
( D). 敛散性与a 有关
8.设 0, an 收 敛 ，
1
收敛
un 1 2. lim n u n

第十二章数项级数

第十二章数项级数

第十二章 数项级数一、单选题（每题2分） 1、 设常数0k >,则级数21(1)nn k nn +∞=+-∑( ) A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与k 有关 2、 设a 是常数，则级数()21sin n na n +∞=⎡⎤⎢⎣∑（ ） A ．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与a 的取值有关 3、 级数()1(1)1cos 0n n a a n +∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数（ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与a 有关 4、 设常数0λ>，且级数21n n a +∞=∑收敛，则级数1(1)nn +∞=-∑ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与λ有关 5、 设0(1,2,3,)n a n >=，且级数1n n a +∞=∑收敛，常数0,2πλ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则级数21(1)tan n n n n a n λ+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑（ ）A . 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与λ有关 6、 设()1ln 1nn u ⎛=- ⎝，则级数（ ） A .1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都收敛 B.1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都发散C.1nn u+∞=∑收敛而21nn u+∞=∑发散 D.1nn u+∞=∑发散而21nn u+∞=∑收敛7、 设10(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是（ ） A .1n n a +∞=∑ B.()11nn n a +∞=-∑C.1n +∞= D.()211nn n a +∞=-∑8、 下列各选项正确的是（ ）A. 若21nn u+∞=∑和21nn v+∞=∑都收敛，则()21nn n uv +∞=+∑ 收敛B. 若1n nn u v=∑ 收敛，则21nn u=∑和21nn v=∑都收敛C. 若正项级数1n n u +∞=∑发散，则1n u n≥D. 若级数1nn u+∞=∑收敛，且()1,2,n n u v n ≥=，则级数1n n v +∞=∑也收敛9、 若级数1nn a+∞=∑和1nn b+∞=∑都发散，则（ ）A .()1nn n ab +∞=+∑ 发散 B. 1n nn a b+∞=∑发散C.()1nn n ab +∞=+∑发散 D.()221nn n ab +∞=+∑发散10、n a 和n b 符合（ ）条件，可由1nn a+∞=∑发散推出1nn b+∞=∑发散。

函数项级数典型例题

函数项级数典型例题

1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠
，由于其一般项不趋向于
0，
∑ 故级数发散；当 a
< b 时，级数化为
∞ (−1)n
n
=1
1
+
⎛ ⎜⎝
a b
⎞n ⎟⎠
，其一般项不趋向于
0，级数发散.
同样，在 x = R 时，级数发散，综上所述，所求收敛域为 x = (−R, R) ，其中 R = max{a,b} .
∞
例 6 求幂级数 ∑(2n +1) xn 的收敛域，并求其收敛域内的和函数. n−0
n−0
n−0
n−0
∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ x S (t )dt = ∞ 2
x (n +1)tndt −
x
∞
t ndt
∞
=2
xn+1 −
x1Leabharlann dt0n=0 0
0 n=0
n=0
0 1−t
∫ = 2x − x 1 dt 1− x 0 1−t
求导得
S
(x)
=
2
(1− x)2
−1 1−
x
=
1+ x
(1− x)2
的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0

第十二章数项级数

第十二章数项级数

第十二章 数项级数选择题1．若正项级数收敛，则下面级数一定收敛的是（ ）；(A) (B)(C) (D)2．下列级数中是条件收敛的级数有（ )；(A) (B)(C) (D)3． 级数 条件收敛;等价于( )(A) 收敛 (B) 发散(C) 收敛且 发散 (D)收敛4． 正项级数收敛是级数收敛的( )(A)充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 上述均不对5． 设常数k>0, 则级数(A) 发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散6． 设正项级数收敛, 则级数.(A) 是条件收敛的 (B) 是绝对收敛的(C )可能收敛也可能发散 (D) 上述均不对7．设常数k>0 ,则级数( )(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散与k 的取值有关8．已知级数 与 都发散,则( )(A) 必发散 (B)必发散(C) 必发散 (D)必发散9．下面级数绝对收敛的是( )(A) (B)(C) (D)10．F(p)= , F 的定义域为( )(A) [0,1] (B) (0,1] (C) (0,1) (D) (1,)11．下面级数收敛的是( ) (A) ∑∞=1!3n n n n n (B) (C) (D)∑-∞=1)1(n n a (a>1)填空题1．设级数∑∞=-1)1(n n u收敛，则= ( )；2．级数,当p= ______________时条件收敛.3．.级数满足莱布尼兹判别法的两个条件,___________________________则它是收敛的.4．.若 ,则级数∑∞=1n n u__________ ,若 则级数_____________5． 级数之和为________________6． 若 收敛 则x=____________7．设>0则数列与级数∑∞=1n n a 的关系是___________________计算题1．已知级数a n =2,,求2．判别级数 的敛散性.3．求级数 的和4．求级数的和证明题1．设}{,0n n a a >单调减少趋于零，证明级数∑⋅-∞=+-111)1(n n n n a a 收敛（8分）2．用级数知识证明当, 是比高阶的无穷小 . （10分）3．设a n > 0 , 证明级数是收敛的.(8分)4．设a n >0, a n >a n+1 (n=1,2,…)且 证明级数 收敛. （10分）5．若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n c 都收敛且a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…) 则∑∞=1n n b 也收敛. (8分)选择题答案1．C 2． B 3． C 4． A 5． C 6．B7．C 8． C 9． C 10．.D 11．B填空题答案1． 1 2． p= -1 3．.ln(1+x) ,ln 4．发散, 绝对收敛5． 6． x>1, 7. 同敛散。

数项级数1——利用级数的概念和性质讨论级数的敛散性

数项级数1——利用级数的概念和性质讨论级数的敛散性

数项级数1利用级数的概念和性质讨论级数的敛散性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。

例 利用定义判定几何级数()00n n aq a ∞=≠∑的收敛性。

例 利用定义判定级数()()∑∞=+−112121n n n 的收敛性。

例利用定义判定级数1n ∞=∑的收敛性。

例 利用定义判定级数11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性。

例 已知级数∑∞=1n nu收敛于s ，则级数∑∞=2n nu收敛于 。

例 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv 都收敛，则()1nn n uv ∞=−∑必收敛，对吗？ 例 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都收敛，则()1nn n uv ∞=+∑必收敛，对吗？例 若∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n nv都发散，则()1nn n uv ∞=+∑必收敛，对吗？ 例 若∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv都发散，则()1nn n uv ∞=+∑必收敛，对吗？例 若∑∞=1n nu发散，把∑∞=1n nu的前100项都删除后得到级数∑∞=1n nv，则∑∞=1n nv必收敛，对吗？ 例 若∑∞=1n nu发散，对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，则∑∞=1n nv必收敛，例 若∑∞=1n nu收敛，对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，则∑∞=1n nv必收敛，对吗？ 例 对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛，对吗？ 例 对级数∑∞=1n nu的项加括号后得到级数∑∞=1n nv，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散，对吗？例 判定级数11n ∞=∑的收敛性。

例 判定级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121sin 1n n 的收敛性。

例 0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的（ ）条件。

A 、必要；B 、充分；C 、充要；D 、既非必要也非充分； 二、上面例题的详细解答。

数学分析 第九章_数项级数复习

数学分析 第九章_数项级数复习
n + a + 4 n2 + n + b
(2a −1) n + a2 − b
( )( ) = n + a + 4 n2 + n + b (n + a) + n2 + n + b
( ) ∑ 当a = 1 , ∞ n + a − 4 n2 + n + b 收敛 2 n=1
( ) ∑ 当(2a −1) ≠ 0, lim bn = 2a −1 ∞ n + a − 4 n2 + n + b 发散
3
≤ lim n
n
=1⇒
∞
n cos2 nπ 3 收敛
n→∞
2n
2 n→∞
n
2
n =1
2n
3）方法 I
(n +1)n
n+2
( ) ( ) lim an+1 = lim
a n→∞ n
n→∞
2 n+1 2 + n + 2 nn−1
2
n+1
( ) 2n2 + n +1 2
n+1
n+1
( ) =
lim
n→∞
2n2 + 5n + 4 ⎟⎠
=
e ⋅1 = 2e
1 <1 2
∞
⇒∑
nn−1
收敛
n+1
( ) n=1 2n2 + n +1 2
( ) ( ) ∑ ( ) 方法 II：
nn−1
n+1 <
2n2 + n +1 2

数项级数审敛法例题及知识点总结

数项级数审敛法例题及知识点总结

数项级数的审敛法方法分别有根据级数性质判断、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、交错级数审敛法（莱布尼茨定律）、判断绝对收敛和条件收敛。

方法一 根据级数性质判断等比级数Sn =a +aq +⋯+aq n−1=a(1−q n ) 当|q|<1时，级数收敛当|q|>1时，级数发散当|q|=1时，讨论P 级数1+1p +1p +⋯+1p 当P>1时，级数收敛当P<=1时，级数发散调和级数级数∑1n ∞n=1发散 例题：根据级数性质判断级数收敛性1、 ∑(12n +13n )∞n=1解：由∑12∞n=1为首项为12，q=12的等比级数 因为|12|<1,所以级数收敛由∑13∞n=1为首项为13，q=13的等比级数 因为|13|<1,所以级数收敛由收敛+收敛=收敛，所以原级数收敛 2、 ∑1n 2∞n=1解：由∑1n 2∞n=1为p=2的P 级数因为p>1,所以原级数收敛3、 ∑3n ∞n=1 解：由∑3n ∞n=1，知级数为调和级数，所以收敛 方法二 比较审敛法如果级数∑Un ∞n=1=U 1+U 2+⋯+U n +⋯满足条件Un ≥0(n =1、2、…),则称为正项级数如果∑Un ∞n=1和∑Vn ∞n=1满足正项级数，在0≤Un ≤Vn 的情况下，若级数∑Vn ∞n=1收敛，则级数∑Un ∞n=1收敛，若级数∑Un ∞n=1发散，则级数∑Vn ∞n=1发散。

比较审敛法步骤（1） 如果还需写通项公式写出通项公式（2） 找出小于谁或大于谁（3） 比较大小例题：根据比较收敛法求其收敛性 1、12+15+110+1n+⋯+1n +1 解：通项公式为1n +1 由0≤1n +1≤1n因为∑1n ∞n=1为p=2>1的P 级数，所以级数收敛 所以原级数收敛2、∑(n 2n+1)n ∞n=1解：由0≤(n 2n+1)n ≤(12)n 因为∑(12)n ∞n=1是q= 1 2<1的等比级数，所以级数收敛 所以原级数收敛方法三 比值审敛法设∑Un ∞n=1为正项级数，如果lim n→∞U n+1Un =ρ 当ρ<1时，级数收敛当ρ>1时，级数发散当ρ=1时，级数可能收敛可能发散 例题：用比值审敛法判断其收敛性 1、 ∑n 33n ∞n=1解：lim n→∞U n+1Un =lim n→∞(n+1)33∗3n n =13<1 所以级数收敛2、 ∑1n!∞n=1 解：lim n→∞U n+1Un =lim n→∞1(n+1)!∗n!=lim n→∞1n+1→0<1所以级数收敛方法四 根植审敛法（柯西判别法）设设∑Un ∞n=1为正项级数，如果lim n→∞√U n n =ρ 当ρ<1时，级数收敛当ρ>1时，级数发散当ρ=1时，级数可能收敛可能发散 例题：用根值审敛法判断其收敛性1、 ∑(2n+13n+1)n ∞n=1 解: lim n→∞√U n n =lim n→∞√(2n+13n+1)n n = lim n→∞2n+13n+1=23<1 所以该级数收敛方法五 交错级数审敛法可以表示为∑(−1)n−1∞n=1U n 、∑(−1)n ∞n=1U n其中U n >0,n =1,2…(莱布尼茨定律)如果级数∑(−1)n−1∞n=1U n 满足 (1)、U n ≥U n+1(2)、lim n→∞U n =0 那么级数收敛例题用交错级数审敛法求其收敛性1、∑(−1)n−1∞n=112n−1解：满足交错级数由U n =12n−1≥U n+1=12n+1且lim n→∞12n−1=0所以该级数收敛2、、∑(−1)n−1∞n=11n∗3解：满足交错级数由U n =1n∗3≥U n+1=1(n+1)∗3且lim n→∞1n∗3=0所以该级数收敛判断级数绝对收敛还是条件收敛如果正项级数∑|Un|∞n=1收敛，那么得级数∑Un ∞n=1绝对收敛如果正项级数∑|Un|∞n=1发散，那么得级数∑Un ∞n=1条件收敛1、：∑(−1)n−1∞n=112解：由∑|12∞n=1|发散所以原级数不是绝对收敛 由莱布尼茨定律U n =12n ≥U n+1=12n+1 lim n→∞12n=0 所以该级数条件收敛2、 ∑sin na(n+1)2∞n=1 解：由0≤|sin na (n+1)2|≤1n 2 由级数∑1n ∞n=1为p=2>1的P 级数 所以∑|∞n=1sin na(n+1)|收敛 所以原级数绝对收敛。

【精品】级数例题讲解(一)

【精品】级数例题讲解(一)

高等数学（1)学习辅导(12）级数例题讲解（一）（一）、填空题1．若数项级数收敛，则_________。

解：由级数收敛的必要条件知,.应填：0lim =∞→n n a 2.当 时，几何级数aq n n =∞∑0收敛；当________时，发散。

解:由几何级数的性质可知，当1<q 时，∑∞=1n n aq收敛．1≥q ∑∞=1n n aq 发散．应填：1<q ；1≥q3。

级数当________时收敛；当________时发散。

解：由p －级数的性质可知：1>p ，收敛；1≤p ，发散。

应填：1>p ；1≤p4.级数()151n n n-=∞∑１是 级数．解：级数∑∞=151n n 收敛，级数∑∞=11n n发散，由级数的性质可知∑∞=-1)151(n n n 是发散级数． 应填：发散5. 当________时，级数收敛。

解：由莱布尼兹判别法知，0>p ,级数收敛。

应填：0>p6.幂级数的收敛半径是_______,收敛区间是__________.解：由几何级数的性质可知,1<x ，级数收敛1≥x ，级数发散应填：1=R ;)1,1(-。

二、单项选择题1．若数项级数收敛，S n 是此级数的部分和，则必有（）。

（A)（B ）（C ）S n 有极限(D ）S n 是单调的解:由级数收敛的定义，知C 真确应选C2.下列级数中，（ ）收敛． A.12n n =+∞∑１； B 。

1n n =+∞∑１； C.()-+=+∞∑12n n n n １；D 。

()-=+∞∑1n n n １解：由-p 级数的收敛性可知A,B 选项中的级数发散；C 选项中的级数一般项不趋于0，由收敛的必要条件知其发散；()-=+∞∑1nn n １满足莱布尼茨判别法的条件，所以收敛，故选项D 正确．应选D3.若条件（)成立，则级数发散，其中S n 表示此级数的部分和。

（A ）（B ）（C ）(D)不存在解：由级数收敛的必要条件知,D 正确应选D4。

数项级数部分(201308)习题及解答

数项级数部分(201308)习题及解答
cn （2） 若对于所有的正整数 n 满足： un - cn +1 un +1
¥ 1 发散，则 å un 也发散； n=1 cn n=1 ¥ ¥ 1 ³a （ a > 0 为常数） ， 且 å 收敛， 则 å un n=1 cn n=1 ¥
也收敛。 20.求级数 å
x 1
k +2 的和。 k ! ( k 1)!+ (k + 2)! + + k =1
17. 已知 lim nun 存在,
n ¥
å n(un - un-1 ) 收敛,证明: å un
n=1 ¥ n=1 ¥ n=1 n=1
¥
¥
收敛.
18.设数列 {an } 是单调的，而且 å an 收敛，试证： å n(an - an +1 ) 收敛。 19.设有正实数数列 {un },{cn } ，试证明： （1）若对于所有的正整数 n 满足： cn un - cn +1un +1 £ 0 ，且 å
¥ æ1ö 1ö ÷ 收敛，而 å f æ ÷ 发散。 ç ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç èn ø è nø n =1
24. 设 函 数 f (x ) 在 (-¥, +¥) 上 有 定 义 ， 在 x = 0 的 某 个 邻 域 内 有 一 阶 连 续 导 数 且
lim
x 0 ¥ f (x ) = a > 0 ，证明 å (-1)n f x n =1
当 a > 2 时， 取 b 使得 a > b > 2 ，则由于当 n 充分大时 ln(n !) ln n n n ln n ln n 1 ln n 1 < a = = a-1 = b -1 ⋅ a-b < b -1 na n na n n n n ¥ ¥ ln(n !) 1 收敛。 由 å b -1 收敛，故 å a n =1 n n =1 n 5.判别级数
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第十二章 数项级数1 讨论几何级数 ∑∞=0n n q 的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解 用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n ,) (∞→n . ⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、 证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证 0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、 考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、 判断级数()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、 讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、 研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、 讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、 设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

证明：由于∑∞=1n n a 收敛，因而，{}n a 收敛于0，故，存在N ，使得n>N 时，||1n a £，因而，n>N 时，221nn a n ≤， 故，由比较判别法得：∑∞=12n nna 收敛。

18、证明：若∑∞=--11||n n n a a 收敛，则}{n a 收敛。

证明：由于∑∞=--11||n n n a a 收敛，则由Cauchy 收敛准则，对0e >，存在N ，当n>N 时，对任意的正整数p ，成立11||||n n n p n p a a a a e +++--++-<L ，因而，11||||||n p n n n n p n p a a a a a a e ++++--?++-<L ，再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛。

19、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=+1||11n n a 发散。

分析 证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。

证明：由于∑∞=1n n a 收敛，故lim 0n n a ??=，因而， l i m (1||)n n a ??+=，故，∑∞=+1||11n n a 发散。

20、判断下列具体级数的敛散性1、0 , 111>+∑∞=a a n n ； 2、0, ][ln 11>∑∞=p n n p； 3、∑∞=-1!!)!12(n n n ； 4、∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n ；5、∑∞=+110)!1(n nn ； 6、∑∞=122n n n 。

分析 对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为11p n n ¥=å、1nn q ¥=å，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n 幂次或n ！形式的级数常用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法，更复杂的题目则需选用更精细的判别法。

解、1）、]1,0(∈a ， }11{na +不收敛于0，此时，级数发散；1>a 时，nn a a 111<+ ，由比较判别法得收敛。

2、分析结构，发现对比级数为11kn n ¥=å的形式，只需比较通项收敛于0的速度。

由于对任意的p >0,(ln )lim 0pn n n??=, 故 ，由比较判别法可知：11[ln ]pn n ¥=å发散。

3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。

记(21)!!!n n u n -=，则121lim lim 211n n n nu n u n +?ギ+?+==>+，故，该级数发散。

4）、由通项结构为n 幂次形式，采用Cauchy 判别法。

记()21nnn u n =+，则1l i l i m 1212n nn n ?+?==<+，故，由Cauchy 判别法知该级数收敛。

5）、由通项结构可知用D ’Alembert 判别法。

记(1)!10n nn u +=，则12l i m l i m 10n n nnu n u +?ギ+?+==+?，故，该级数发散。

6）、用Cauchy 判别法。

记22n n n u =，则1l i 2n ??=， 故，该级数收敛。

21、判断下列具体级数的敛散性。

1）、2(1)21s i n n n n xdx xpp¥+=åò2）、∑⎰∞=-111n n dx xx3）、∑⎰∞=+11)1l n (n n dx x分析 通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法：1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式} { , 0)( , )(1n a a n a x f dx x f u n n>=⎰+递增趋于∞+。

2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。

3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式⎰=na n dx x f u 0)(，其中}{n a 单减趋于0。

在上述3种方法中，常用1、3两种方法，这是考点。

解：1）、从类型看，适用于第一种方法。

此级数与广义积分⎰∞+πdx x x22sin 具相同的敛散性，由于21dx xp+?ò收敛，因而由比较方法，⎰∞+πdx x x22sin 收敛，故，该级数也收敛。

2）、典型的第3种方法处理的题型。

由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于0→x 时，x xx ~1-，因而，⎰⎰-=n n n ndx x dx xx u 123101~~1，故此级数应收敛。

上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选 择，下面的方法属于直接比较法。

对充分大的n ，当n x 10<<时，211≤-x，故 231013420ndx x u n n =≤≤⎰， 且级数3121n n+?=å收敛，因而，原级数收敛。

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