1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
(2)从A村去B村的道路有3条,从B村去C 村的道路有2条,从A村经B村去C村,不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解:
由于此三位数的数字允许重复,分三步: 百、十、个位数各有5种取法, 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么如何计数呢?
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字,以A1,A2,…,B1,B2,…的方式 给教室里的座位编号,总共能变出多少个不 同的号码?
解答
由题意画图如下:
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析:
B.36个
C.24个
D.18个
先分类,再分步,据题意,当个位数是2时, 万位数是3,4,5,其他随便,共有 3×3×2×1=18种;当个位数是4时,万位数是2, 3,5,其他随便,共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
(1)从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4 种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1(202X年福建卷7)某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少 有1名女生,那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类,再分 步!
2. (202X年四川文科第9题)用数字1,2,3, 4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的 五位偶数共有______.B
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(人教A版2019选择性必修第三册)
(2)在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?
[解析](1)设购买笔支,笔记本本,则得将的取值分为三类:①当时,,因为为整数,所以可取,,,,共有4种方案.②当时,,因为为整数,所以可取,,共有2种方案.③当时,,因为为整数,所以只能取2,只有1种方案.由分类加法计数原理得不同的购买方案有(种).
情境设置
新知生成
分步乘法计数原理完成一件事需要经过个步骤,缺一不可,做第一步有种方法,做第二步有种方法,,做第步有种方法.那么,完成这件事共有种方法.
新知运用
例2已知集合,表示平面上的点,问:
(1)可表示平面上多少个不同的点?
(2)可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)可表示多少个不在直线上的点?
方法总结 利用两个计数原理解题时的三个注意点:
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法;类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律;混合型问题一般是先分类再分步.
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高,能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢?是什么计数法?
课件12:§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2. 分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完 成这件事的不同方法共有N=m·n种. (2)分步乘法计数原理的推广:完成一件事需要分成n个步 骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方 法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的不 同方法共有N=m1·m2·…·mn种.
类型2 分步乘法计数原理 典例2 已知a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8, 9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个 数有____2_4___个. 【解析】圆方程由三个量a,b,r确定,a,b,r分别 有3种、4种、2种选法,由分步乘法计数原理,表示 不同的圆的个数为3×4×2=24(个).
(3)分为三类: 第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原 理知,不同的选法有5×2=10(种). 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,不同的选法有 5×7=35(种). 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,不同的选法有 2×7=14(种). 综上所述,不同的选法有10+35+14=59(种).
归纳升华 解两个计数原理的综合应用题时,最容易出现不知道 应用哪个原理解题的情况,其思维障碍在于没有区分 该问题是“分类”还是“分步”,突破方法在于认真 审题,明确“完成一件事”的含义.具体应用时灵活 性很大,要在做题过程中不断体会和思考,基本原则 是“化繁为简”.
变式训练 一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡, 另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡,共 有多少种不同的取法? (2)某人的手机是双卡双待机,想得到一张移动和一张联 通卡供自己使用,问一共有多少种不同的取法?
计数问题竞赛讲义题一
计数问题竞赛讲义一一.分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理完成一件事情,有n 类不同方案,在第1类方案中有1m 种不同的方法,在第2类方案中有2m 种不同的方法……在第n 类方案中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法. 说明:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2.分步乘法计数原理完成一件事情,需要n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.说明:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点:①首先要确定“完成一件什么事”,然后确定怎样去完成?(即需要“分类”还是“分步”)②分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次要保证分类时做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次要保证“步骤完整”,即必须并且只需连续完成这n 个步骤,这件事才算完成.【例题选讲】例1 .在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 使其和大于20的不同取法又共有多少种?例2.75600有多少个正约数?有多少个奇约数?例3.(排数问题)用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1) 可以组成多少个数字不重复的三位数?(2) 可以组成多少个数字允许重复的三位数?(3) 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?(4) 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?(5) 可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数?例4.(1)集合A },,,,{321n a a a a =的子集有多少个?为什么?(2)设B A ,,)(k i A i ≤≤1为集合, ①满足}{b a B A ,= 的集合有序对(A ,B )有 对?为什么?②满足}{321n a a a a B A ,,,=的集合有序对(A ,B )有 对?为什么?③满足}{32121n k a a a a A A A ,,,=的集合有序组},,,(21k A A A 有 组?为什么? 例5.(染色问题)将4种不同的颜色涂在下列图中的区域上,每一个区域涂一种颜色,相邻区域涂不同颜色,则不同的涂法种数各有多少?分析:对每一块区域逐一涂色:第一块:有4种颜色选择;第二块有3种;第三块有2种;第四块有2种,只有四块区域全涂完这件事情才算完成了,所以涂色种数为:482234=⨯⨯⨯你还有别的解答方法吗?(能否从颜色的角度入手考虑?)①用4色:共有241234=⨯⨯⨯(种);②用3色:共有24234=⨯⨯(种);所以一共有482424=+(种)变式:(1)如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上5种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为若变为图二呢?(2)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物,如图,要求每部分栽种一种植物,相邻部分不能栽种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有多少种栽种方案?二.排列与组合 1.排列:从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数? 有多少个约数? 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解:2520=23×32×5×7 = × 分四步完成: 分四步完成: 第一步: 第一步:取20,21,22,23,24有4种; 种 第二步: 第二步:取30,31,32有3种; 种 第三步:取50,51有2种; 第三步: 种 第四步: 第四步:取70,71有2种。 种 由分步计数原理,共有4× × × = 种 由分步计数原理,共有 ×3×2×2=48种 练习: 张 元币 元币, 张 角币 角币, 张 分币 分币, 张 分币 分币, 练习:5张1元币,4张1角币,1张5分币,2张2分币,可组成 多少种不同的币值?( 张不取, ?(1张不取 角不计在内) 多少种不同的币值?( 张不取,即0元0分0角不计在内) 元 分 角不计在内 元:0,1,2,3,4,5 , , , , , 角:0,1,2,3,4 , , , , 分:0,2,4,5,7,9 , , , , , 6×5×6-1=179 × × - =
பைடு நூலகம்
(染色问题) 染色问题)
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种? 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种?
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
公开课分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题,每个子问题有一 个明确的解决策略,然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中,将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题,然后 分别计算这些简单问题的解,最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中,将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题,然后分 别计算这些简单问题的解,最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理,学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法,选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法,因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理,用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情,需要分成$n$个步骤,做第$1$步有$m_1$种不同的方法,做第$2$步有 $m_2$种不同的方法,……,做第$n$步有$m_n$种不同的方法,则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题,然后分别解决这 些简单问题,最后将结果合并。
6.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
少要用多少个字节表示?
分析:
第1位 第2位 第3位
第8位 ......
第1位 第2位 第3位
第8位 ......
2种 2种
2种
2种
2种 2种
2种
2种
256*256=65536
两 例7:计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行
分析:
“选出2幅画,分别挂
1、“要完成的一件事”:在左、右两边墙上”
2、如何完成:“分步”
追问1:你还能给出不同 的解法吗?
第1步:从3幅画中选2幅,有3种选法; (甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丙) 第2步:将选出的两幅画挂好,有2种挂法;
N=3✖2=6种.
例5:给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z, 后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名?
个 计 路(程序从开始到结束的线),以便知道需要提供多少个测试数据。一般的,一个程序模块又许
数 原
多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问:这个程序模块有多少条执行路径?
理 另外为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数,你能帮助程序员设计一个测试方式,以
的 实
减少测试次数吗?
际
开始
数 多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问:这个程序模块有多少条执行路径?
原 理
另外为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数,你能帮助程序员设计一个测试方式,以
的 减少测试次数吗?
实 际
开始
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 课件
问题 5 若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、 人力资源学,那么,这名同学可能的专业选择共有多少种? 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法,在 B 大学中有 4 种专业选择方 法,在 C 大学中有 3 种专业选择方法.又由于三所大学没有 共同的强项专业,因此根据分类加法计数原理,这名同学可 能的专业选择种数为 5+4+3=12. 小结 如果完成一件事有 n 类不同方案,在第 1 类方案中 有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方 法,……,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成 这件事共有 m1+m2+m3+…+mn 种不同的方法.
小结 解两个计数原理的综合应用题时,最容易出现不知道应 用哪个原理解题的情况,其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”,突破方法在于认真审题,明确“完成 一件事”的含义.具体应用时灵活性很大,要在做题过程中不 断体会和思考,基本原则是“化繁理:完成一件事有两类不同方案,在第 1
类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法,那么完成这件事共有 N= m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第 1 步 有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N= m×n 种不同的方法.
例 1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A、B 两
所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
9.1第一节 分类加法计数原理
考向二 分步乘法计数原理[自主练透型] 1.(2016·课标全国Ⅱ)如图,小明从街道的E处出发,先到 F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活 动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
解析:先确定从E到G的步骤,再分别考虑每一步中最短路 径的条数,最后求出最短路径的总条数.
从E到G需要分两步完成:先从E到F,再从F到G.从F到G的 最短路径,只要考虑纵向路径即可,一旦纵向路径确定,横向
路径即可确定,故从F到G的最短路径共有3条.如题图,从E到 F的最短路径有两类:先从E到A,再从A到F,或先从E到B,再 从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同,所 以从A到F,从B到F最短路径的条数都是3,所以从E到F的最短 路径有3+3=6(条).所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6×3=18.
二、必明2个易误点 1.分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方 法都能完成这件事情,类与类之间是独立的. 2.分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只 是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相关联 的.
【小题热身】
1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或 “×”).
答案:10
悟·技法 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为 若干类,各类的方法相互独立,每类中的各种方法也相对独 立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2.使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准, 都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.
答案:C
答案:B
3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共 有( )
分类加法原理和分步乘法原理
分类加法原理和分步乘法原理分类加法原理和分步乘法原理是概率论中常用的计数原理,它们在解决组合计数问题时非常有用。
本文将详细介绍这两个原理的概念、应用场景以及实际计算方法,希望能对读者有指导意义。
一、分类加法原理分类加法原理是指将一个计数问题分成若干个互不相交的子问题,然后将各个子问题的计数结果累加起来得到总的计数结果。
换句话说,分类加法原理认为,如果一个事件可以被划分为若干个不相交的情况,那么它所有情况的计数结果之和就是总的计数结果。
举个例子来说明分类加法原理的应用。
假设有一家商店,它的商品有3种颜色(红色、蓝色、绿色),每种颜色都有2种尺寸(大号、小号)。
现在要计算这家商店的商品总数。
根据分类加法原理,我们可以将这个问题划分为两个子问题:计算每种颜色的商品总数,然后将这些结果相加。
假设红色、蓝色、绿色商品的数量分别为3、4、2,那么总的商品数量就是3+4+2=9。
分类加法原理除了可以用于计算组合问题的数量,还可以用于计算各种可能性的总数,比如排列问题和概率问题。
二、分步乘法原理分步乘法原理是指将一个多步骤的计数问题分解成若干个独立步骤,然后将各个步骤的计数结果相乘得到总的计数结果。
简而言之,分步乘法原理认为,如果一个多步骤的事件的计数问题可以被分解成若干个独立的子问题,那么它的总的计数结果就是各个子问题计数结果的乘积。
举个例子来说明分步乘法原理的应用。
假设有一家餐厅,它的菜单上有3种汤品选择(番茄汤、鸡肉汤、蘑菇汤),每种汤品有2种配料选择(鸡肉块、海鲜)。
现在要计算在这家餐厅用餐的菜单组合总数。
根据分步乘法原理,我们可以将这个问题分解成两个子问题:计算汤品选择的数量,然后计算配料选择的数量,最后将这两个数量相乘。
假设汤品选择的数量为3,配料选择的数量为2,那么菜单组合总数就是3 * 2 = 6。
分步乘法原理类似于分类加法原理,但是不同的是,分步乘法原理适用于计算多步骤问题的总数,而分类加法原理适用于计算一个事件的不同情况之和的总数。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题:要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。
可以将该集合分为若干个子集,分别计算每个子集中满足条件的元素的数目,然后将这些数目相加即可得到最终的结果。
例如,一些班级有30个学生,其中有10个男生和20个女生,要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。
可以将问题分解为两个部分,分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数,然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
2.多重条件计数问题:要计算满足多个条件的元素的数目。
可以将满足不同条件的元素分为不同的类别,然后计算每个类别中满足条件的元素的数目,最后将这些数目相加得到最终的结果。
例如,一些商店有3种颜色的衬衫(红色、蓝色和绿色),每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。
要计算购买2件衬衫的方法数目,其中要求至少购买一件红色的衬衫。
可以将购买2件衬衫分为两种情况:一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫,另一种是购买两件红色的衬衫。
然后分别计算这两种情况下的购买方法数目,最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤,每个步骤的计数独立进行,最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。
该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题,使得每个步骤的计数更加直观和容易。
分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况:1.顺序计数问题:要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。
可以将该事件分为若干个步骤,分别计算每个步骤的可能性,然后将这些可能性相乘得到最终的结果。
例如,一些球队有10名队员,要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。
可以将选择队员分为三个步骤:先选择首发中锋(有10种选择),然后选择首发后卫(有9种选择),最后选择首发前锋(有8种选择)。
然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。
2.分步限制问题:要计算满足多个条件的元素的数目。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
当要确定一个组合的数量时,分类加法计数原理就可以归结到两种状态:
1)它的子集的数量可以用加法的方式表示
2)它的数量受它的子集的数量的影响,以及它子集之间的关系。
因此,如果要确定一个总体的数量,就要先获得它包含的子集的数量,然后把子集的数量相加得到总体的数量。
分步乘法计数原理又叫乘法定理,也是组合数学中关于组合数学性质
的一个定理,它的基本思想是:一个总体有一定的数量和性质。
这种性质
可以是概率、数量或其他特性。
它可以使用乘法的方式表示。
当要确定一个组合的数量时,分步乘法计数原理就可以归结到两种状态:
1)它的子集的数量可以用乘法的方式表示
2)它的数量受它的子集的数量的影响,以及它子集之间的关系。
因此,如果要确定一个总体的数量,就要先获得它包含的子集的数量,然后把子集的数量相乘得到总体的数量。
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
学科素养: 数学建模、数学抽象.
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__,在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__,做
件 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法,做
法,所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4=20(条).]
4.书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书,第 2 层放有 5 本不同的数学书, 第 3 层放有 6 本不同的体育书.从第 1,2,3 层分别各取 1 本书,则不同的 取法种数为________.
解析: 由分步乘法计数原理知,从第 1,2,3 层分别各取 1 本书,不 同的取法共有 4×5×6=120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法,区域 1 有 3 种选法,区域 2 有 2 种选法,区域 4 从区域 1,2 所选颜色中选有 2 种选法,区域 5 可选剩下的一种和区域 1,2 所选被区域 4 选剩下的一种,有 2 种选法,共有 4×3×2×2×2=96 种.
答案: 144;96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N=m__+__n_种不同的 完成这件事共有 N=_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”;分步的关键在于要正确 设计分步的程序,即合理分类,准确分步.在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制.
1.分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于 其中一类.
2.分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间“相互独立, 分步完成”.
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
15
5 课堂练习
规律方法
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
5 课堂练习
变1
满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数
对(a,b)的个数为(
A.14
B.13
)
C.12
D.10
解析 由关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,得a=0,b∈R或a≠0时,ab≤1.
6.1分类加法计数原理与分步乘
法计数原理(1)
1 新知引入
计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个地数是计数的基本方法.
但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”,以提
高效率呢?下面先分析一个简单的问题,并尝试从中得出巧妙的计数方法.
思考1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共
哪一步,这件事都不可能完成,即各步之间是关联的,相互依存的,只有前步完成
后步才能进行.
(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才
能完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,即分步要做到步骤完整.
5 课堂练习
变2
用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个两位数?
选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9 种不同的选法;从一、四班学
生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有
8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;
从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.
所以,共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=
5 课堂练习
第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理
甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4×3×2=24(种),故选 C.
答案 C
4.(2010 ·湖南 )在某种信息传输过程中, 用 4 个数字的一个排列 (数字允许重复 )表示一个信息,
不同排列表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数
字相同的信息个数为 ( ).
法二 满足条件的四位数可分为三类:第一类含有一个 2,三个 3,共有 4 个;第二类含有三 个 2,一个 3 共有 4 个;第三类含有二个 2,二个 3 共有 C24=6(个),因此满足条件的四位数 共有 2× 4+ C24=14(个). 答案 14
此类问题,首先将完成这件事的过程分步,然后再找出每一步中的方法有多少种, 求其积.注意:各步之间相互联系,依次都完成后,才能做完这件事.简单说使用分步计数 原理的原则是步与步之间的方法 “相互独立,逐步完成 ”. 【训练 2】 由数字 1,2,3,4, (1)可组成多少个 3 位数; (2)可组成多少个没有重复数字的 3 位数; (3)可组成多少个没有重复数字的三位数, 且百位数字大于十位数字, 十位数字大于个位数字. 解 (1)百位数共有 4 种排法;十位数共有 4 种排法;个位数共有 4 种排法,根据分步计数原 理共可组成 43=64 个 3 位数. (2)百位上共有 4 种排法;十位上共有 3 种排法;个位上共有 2 种排法,由分步计数原理共可 排成没有重复数字的 3 位数 4× 3× 2= 24(个 ). (3)排出的三位数分别是 432、 431、421、321,共 4 个.
颜色 ).
根据分步计数原理共有 5×4×3×3=180 种涂色方法. 法二 由于 A、 B、C 两两相邻,因此三个区域的颜色互不相同,共有
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类:从高二(1)班男生中选有30种不同的方法; 第二类:从高二(2)班男生中选有30种不同的方法; 第三类:从高二(3)班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题, 各个步骤中的方法相互依存,只有各 个步骤都完成才算做完这件事.
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海,
可以坐直达客车或直达火车,
客车每天有3个班次,火车每天有2个班次,
请问你共有多少种不同的走法客?车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析:完成从南宁到北海这件事有2类方案, 所以,从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征? 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
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1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案)(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除1. 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标:知识与技能:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题;过程与方法:培养学生的归纳概括能力;情感、态度与价值观:引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型:新授课课时安排:2课时教具:多媒体、实物投影仪第一课时引入课题先看下面的问题:①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法?②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法?要解决这些问题,就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说,就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课,我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理(1)提出问题问题:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?问题:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?探究:你能说说以上两个问题的特征吗?(2)发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有=N+mn种不同的方法.(3)知识应用例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢分析:由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法,在 B 大学中有 4 种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有5+4=9(种).变式:若还有C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有1m 种不同的方法,在第2类方案中有2m 种不同的方法,在第3类方案中有3m 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事情有n 类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?一般归纳:完成一件事情,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类, m1 = 1×2 = 2 条第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A 到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习1.填空:( 1 )一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人只会用第 1 种方法完成,另有 4 人只会用第 2 种方法完成,从中选出 l 人来完成这件工作,不同选法的种数是_ ;( 2 )从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条,从 A 村经 B 的路线有_条.第二课时2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题:用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字,以1A ,2A ,…,1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?用列举法可以列出所有可能的号码:我们还可以这样来思考:由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9 = 54 个不同的号码.探究:你能说说这个问题的特征吗?(2)发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ⨯=种不同的方法.(3)知识应用例1.设某班有男生30名,女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?分析:选出一组参赛代表,可以分两个步骤.第 l 步选男生.第2步选女生.解:第 1 步,从 30 名男生中选出1人,有30种不同选择;第 2 步,从24 名女生中选出1人,有 24 种不同选择.根据分步乘法计数原理,共有30×24 =720种不同的选法.探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,做第3步有3m 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事情需要n 个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?一般归纳:完成一件事情,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6变式1,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?2若颜色是2种,4种,5种又会什么样的结果呢?练习2.现有高一年级的学生 3 名,高二年级的学生 5 名,高三年级的学生 4 名. ( 1 )从中任选1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法村去 C 村,不同 ( 2 )从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?【分析】①要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第1、2、3层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机和文艺书各1本,再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解: (1) 从书架上任取1本书,有3类方法:第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4 种方法;第2 类方法是从第2 层取1本文艺书,有3 种方法;第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 )从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书,可以分成3个步骤完成:第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法;第 2 步从第 2 层取1本文艺书,有 3 种方法;第 3 步从第3层取1 本体育书,有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .(3)26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?解:从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:第 1 步,从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种选法;第 2 步,从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上,有 2 种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是N=3×2=6 .6 种挂法可以表示如下:分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事,分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.例3.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?分析:按照新规定,牌照可以分为 2类,即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解:将汽车牌照分为 2 类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;第2步,从剩下的25个字母中选 1个,放在第2位,有25种选法; 第3步,从剩下的24个字母中选 1个,放在第3位,有24种选法; 第4步,从10个数字中选1个,放在第 4 位,有10种选法;第5步,从剩下的 9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;第6步,从剩下的 8个字母中选1个,放在第6位,有8种选法.根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26 ×25×24×10×9×8=11 232 000(个) .同理,字母组合在右的牌照也有11232 000 个.所以,共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000(个) .辆汽车上牌照.用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.练习1.乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++(展开后共有多少项?2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前四位的数字是不变的,后四位数字都是。