不等式培优重难点题型

不等式培优重难点题型

【题型归纳】①整数解问题；②有解无解问题；③同解集问题；④方程的解或不等式的解集是另一个不等式的解；⑤不等式组的解满足某种条件.

【例1】 求不等式()()()111112326

x x x +--≥-的正整数解.

【变式练习】

练习1. 关于的x 不等式30x a -≤只有两个正整数解，求a 的取值范围.

练习2. 若不等式()()21319x x +<-+的最小整数解是方程153

x mx -=的解，求代数式224m m -+的值.

【例2】 若关于x 的不等式组302741

x a x x +>⎧⎨

+>-⎩的整数解共有4个，求a 的取值范围.

【变式练习】试确定实数a 的取值范围，使不等式组()1023544133x x a x x a +⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩

恰有两个整数解.

【例3】 若不等式组5300

x x m -≥⎧⎨

-≥⎩有解，求m 的取值范围.

【变式练习】若不等式组24020x x a ->⎧⎨

-+<⎩无解，求a 的取值范围.

【例4】 若不等式组302741

x a x x +>⎧⎨

+>-⎩的解集为0x <，求a 的取值范围.

【变式练习】已知不等式组2123

x a x b -<⎧⎨

->⎩的解集是11x -<<，求()()11a b +-的值.

【例5】 若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式()15a x a -<+成立，求a 的取值范围.

【变式练习】已知1x =是不等式组()()352,23425x x a x a x -⎧<-⎪⎨⎪-<+-⎩

的解，求整数a 的值.

【例6】 整数k 取何值时，方程组3223

x y k x y +=⎧⎨-=-⎩的解满足条件：1x <且1y >

【变式练习】

练习1. 已知32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪+>⎩

，求a 的取值范围.

练习2. 已知关于,x y 的方程组2315x y k x y k -=⎧⎨

+=-⎩的解均为正数，求k 的取值范围.

【例7】 如果关于x 的不等式组7060x m x n -≥⎧⎨

-<⎩的整数解仅为1,2,3，那么适合这个不等式的整数对(),m n 共有多少对

【例8】 已知,a b 为实数，不等式()2340a b x a b -+-<的解集为49

x >，求不等式()4230a b x a b -+->的解集.

【变式练习】如果关于x 的不等式()250m n x m n --->的解集为107

x <

，求关于x 的不等式()0mx n m >≠的解集.

【拓展提升】

练习1. 解不等式组：()()232,6216,321523

x x x x x x ⎧+>-⎪--<⎨⎪+-<-⎩

练习2. 若()23620x x y m -+--=，当m 满足什么条件时y 为正数

练习3. 已知1234567,,,,,,a a a a a a a 是彼此互不相等的正整数，且它们的和等于159，求其

中最小1a 的最大值.

练习4. 求适合不等式20009999x x -+≤的整数x 的个数.

练习5. 对于整数,,,a b c d ，符号

a b d c

表示运算ac bd -.已知1134b d <<，求b d +的值.

练习6. 先阅读下列例题，再按要求完成作业.

例题：解一元二次不等式()()32210x x -+>. 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①320210x x ->⎧⎨

+>⎩或②320210x x -<⎧⎨+<⎩，解不等式组①得23x >，解不等式组②得12

x <. 所以一元一次不等式()()32210x x -+>的解集是23x >或12

x <. 作业题：求下列不等式的解集：（1）()()4350x x -+<； （2）

23051x x ->+ 【例1】 若,a b

满足57b =

，求3s b =的取值范围。

变式1. 若,,a b c 满足396b b c ==，求c 可能取得的最大值。

变式2. 若,a b 满足b a s b a 32,75322-==+，则s 的取值范围是_______________。

变式3.

【例2】 ①求25a a -++的取值范围；

②已知实数,a b 1032b b =-+--，求的22a b +最大值。

变式1. 若314x x ++-=，求x 的取值范围；

变式2. 若374x x +++>，求x 的取值范围；

设a 、b 为正整数，且满足：91.09.0,5956≤<≤+≤b

a b a ，试求22b a -的值。 思路点拨：化二元一次不等式组为一元一次不等式组是接本列关键。

如果t ＞0，试证t

bt a ++1必在a 与b 之间． 解关于x 的不等式组()⎩

⎨⎧+->+-<-821563x m x mx mx mx 【例3】 已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值。

变式1. 已知z y x ,,都为自然数，且y x <，当1998=+y x ，2000=-x z 时，求z y x ++的最大值。

只有两个正整数介于分数

1988与n n ++1988之间，则正整数n 的所有可能值之和是多少