天津市天津一中2019学年高一下学期期末考试 数学试题

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2019年天津市高一数学下期末一模试题附答案

2019年天津市高一数学下期末一模试题附答案

2019年天津市高一数学下期末一模试题附答案一、选择题1.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A .5B .7C .9D .112.已知向量()cos ,sin a θθ=v ,()1,2b =v ,若a v 与b v 的夹角为6π,则a b +=v v ( )A .2B .7C .2D .13.若,则( )A .B .C .D .4.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .73B .8π3- C .83D .7π3- 5.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x -4)=f (x ),且在区间[0,2]上f (x )=x ,若关于x 的方程f (x )=log a |x |有六个不同的根,则a 的范围为( ) A .6,10B .6,22C .(2,22D .(2,4)6.当x ∈R 时,不等式210kx kx -+>恒成立,则k 的取值范围是( ) A .(0,)+∞B .[)0,+∞C .[)0,4D .(0,4)7.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2cos 2b C a c ⋅=+,若3b =,则ABC ∆的外接圆面积为( )A .48π B .12π C .12π D .3π8.若||1OA =u u u v ,||3OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v,点C 在AB 上,且30AOC ︒∠=,设OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈,则mn的值为( ) A .13B .3C 3D 39.1()xf x e x=-的零点所在的区间是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .3(1,)2D .3(,2)210.(2018年天津卷文)设变量x ,y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A .6B .19C .21D .4511.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为( ) A .7B .6C .5D .412.若函数()(1)(0x xf x k a a a -=-->且1a ≠)在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是( )A .B .C .D .二、填空题13.()sin101370+=oo_____14.已知a 0>,b 0>,且111a b +=,则b3a 2b a++的最小值等于______. 15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为____.16.等边ABC ∆的边长为2,则AB u u u v 在BC uuu v方向上的投影为________.17.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______18.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(−∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f (2-),则a 的取值范围是______.19.若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x -4y +4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程为____________.20.若()1,x ∈+∞,则131y x x =+-的最小值是_____. 三、解答题21.某市为了考核甲,乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民,根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:(1)分别估计该市的市民对甲,乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲,乙两部门的评分高于90的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲,乙两部门的评价.22.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2﹣2x . (1)求f (0)及f (f (1))的值; (2)求函数f (x )的解析式;(3)若关于x 的方程f (x )﹣m =0有四个不同的实数解,求实数m 的取值范围,23.已知平面向量()3,4a =v ,()9,b x =v ,()4,c y =v,且//a b v v ,a c ⊥v v .(1)求b v 和c v;(2)若2m a b =-v v v ,n a c =+v v v ,求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.24.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ,y.奖励规则如下:①若3xy ≤,则奖励玩具一个; ②若8xy ≥,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 25.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点.(1)求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ; (2)求证:1C F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E ABC -体积.26.已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+,,,. ()1证明数列{}n b 为等差数列;()2求数列{}n a 的通项公式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】1353333,1a a a a a ++===,5153355()25522S a a a a =+=⨯==,选A. 2.B解析:B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模,再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r,()1,2b =r ,所以||1a =r ,||3b =r. 又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r3123372=+⨯+=, 所以7a b +=r r,故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量的数量积,向量的模的计算,属于中档题.3.D解析:D 【解析】试题分析:,且,故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系.4.B解析:B 【解析】 【分析】由三视图可知,该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得,故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积,就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得,故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构,考查不规则几何体体积的求解方法,属于基础题.5.A解析:A 【解析】由()4f x f x -=()得:4T =,当010]x ∈(,时,函数的图象如图:()()()26102f f f ===,再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根,则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根,可得log 62 log 102a a<⎧⎨>⎩,解得610a ∈(,),故选A.点睛:本题主要考查了函数的周期性,奇偶性,函数的零点等基本性质,函数的图象特征,体现了数形结合的数学思想,属于中档题;首先求出()f x 的周期是4,画出函数的图象,将方程根的个数转化为函数图象交点的个数,得到关于a 的不等式,解得即可.6.C解析:C 【解析】当0k =时,不等式210kx kx -+>可化为10>,显然恒成立;当0k ≠时,若不等式210kx kx -+>恒成立,则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点,则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得:04k <<,综上k 的取值范围是[)0,4,故选C. 7.D解析:D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=,再利用正弦定理求出外接圆的半径,即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+,所以22222a b c a ac +-=+, 所以222a b c ac -+=-, 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.B解析:B【解析】【分析】利用向量的数量积运算即可算出.【详解】解:30AOC︒∠=Qcos,OC OA∴<>=u u u r u u u r2OC OAOC OA⋅∴=u u u r u u u ru u u r u u u r()mOA nOB OAmOA nOB OA+⋅∴=+u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r2=1OA=Q,OB=,0OA OB⋅=u u u r u u u r=229m n∴=又CQ在AB上m∴>,0n>3mn∴=故选:B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用,向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.9.B解析:B 【解析】 函数f (x )=e x ﹣1x 是(0,+∞)上的增函数,再根据f (12)=e ﹣2<0,f (1)=e ﹣1>0,可得f (12)f (1)<0,∴函数f (x )=e x ﹣1x 的零点所在的区间是(12,1),故选B .点睛:判定函数的零点所在区间,只需计算区间端点处的函数值,并判断是否异号,只要异号,则区间内至少有一个零点存在.10.C解析:C 【解析】分析:首先画出可行域,然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点,最后求解最大值即可.详解:绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程:51x y x y +=⎧⎨-+=⎩,可得点A 的坐标为:()2,3A ,据此可知目标函数的最大值为:max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛:求线性目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值,当b >0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最大,在y 轴截距最小时,z 值最小;当b <0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上截距最小时,z 值最大.11.B解析:B 【解析】由题意知,点P 在以原点(0,0)为圆心,以m 为半径的圆上,又因为点P 在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以15m -=,故选B.考点:本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力.12.A解析:A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式,然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数,∴f (0)=0,∴k =2, 经检验k =2满足题意, 又函数为减函数, 所以01a <<, 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2,且单调递减, 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像,指数函数的性质,函数的单调性和奇偶性的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13.【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果:【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析:1【解析】 【分析】tan 60o,切化弦后,利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70o oo o,利用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70⋅oo o,由sin 20cos70=o o 可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70sin101sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0=++⋅=o o o ooooo ooo o()cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60-=⋅==⋅==o oo o o oo o o o o o o本题正确结果:1【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题,涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.14.11【解析】分析:构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解:当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛:本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析:11 【解析】分析:构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++,化简整理,应用基本不等式,即可得出答案. 详解:Q111a b+=, ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >,0b >,∴0b a >,0ab>, ∴2b aa b+≥,当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a++≥+=. ∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11. 点睛:本题考查基本不等式的性质与应用,同时考查了整体思想与转化思想的运用.15.【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径;(2)直棱 解析:92π 【解析】设正方体边长为a ,则226183a a =⇒= ,外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性,球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求球的半径;(3)如果设计几何体有两个面相交,可过两个面的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心,本题就是第三种方法.16.【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知:则:且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析:1-【解析】【分析】建立直角坐标系,结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知:()0,0A ,()2,0B ,()1,3C , 则:()2,0AB =uu u r ,()1,3BC =-u u u v ,2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ,10BC =u u u v ,据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB ⋅-==-u u u v u u u v u u u v .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,向量投影的定义与计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.【解析】【分析】【详解】解:从1234这四个数中一次随机取两个数有(12)(13)(14)(23)(24)(34)共6种情况;其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即(12)(24);则其概率为;故答解析:13【解析】【详解】解:从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况; 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种,即(1,2),(2,4); 则其概率为2163=; 故答案为13. 解析:简单考察古典概型的概率计算,容易题.18.【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得 解析:13(,)22【解析】【分析】【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减,又()f x 是偶函数,则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->,则12a -<112a -<,解得1322a <<. 19.x -y +2=0【解析】【分析】设直线l 方程为y =kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为(00)圆C2的解析:x -y +2=0【解析】【分析】设直线l 方程为y =kx +b ,由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称,利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ,从而得到直线方程.【详解】由题意可得圆C 1圆心为(0,0),圆C 2的圆心为(﹣2,2),∵圆C 1:x 2+y 2=4和圆C 2:x 2+y 2+4x ﹣4y +4=0关于直线l 对称,∴点(0,0)与(﹣2,2)关于直线l 对称,设直线l 方程为y =kx +b , ∴2020k ---n =﹣1且022+=k •022-+b , 解得k =1,b =2,故直线方程为x ﹣y =﹣2,故答案为:x -y +2=0.本题考查圆与圆关于直线的对称问题,可转为圆心与圆心关于直线对称,属基础题.20.【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解:(当且仅当取等号)故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析:3+【解析】【分析】 由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--,然后利用基本不等式即可求解. 【详解】解:x 1>Q ,()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥=,(当且仅当13x =+取等号)故答案为3.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值,解题的关键是配凑积为定值,属于基础试题.三、解答题21.(1)该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67;(2)0.1,0.16;(3)详见解析.【解析】试题分析:(1)50名市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的平均数即为甲部门评分的中位数.同理可得乙部门评分的中位数.(2)甲部门的评分高于90的共有5个,所以所求概率为550;乙部门的评分高于90的共8个,所以所求概率为850.(3)市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,且甲部门的评分较集中,乙部门的评分相对分散,即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小.试题解析:解:(1)由所给茎叶图知,将50名市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故甲样本的中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为6668672+=,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知,50位市民对甲,乙部门的评分高于90的比率为580.1,0.165050==,故该市的市民对甲,乙部门的评分高于90的概率的估计分别为(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高,评价较为一致,对乙部门的评价较低,评价差异较大.(注:考生利用其它统计量进行分析,结论合理的同样给分).考点:1平均数,古典概型概率;2统计.22.(1)f (0)=0,f (1)=﹣1(2)()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩(3)(﹣1,0) 【解析】【分析】(1)根据题意,由函数的解析式,将x =0代入函数解析式即可得f (0)的值, 同理可得f (1)的值,利用函数的奇偶性分析可得f (f (1))的值;(2)设x <0,则﹣x >0,由函数的解析式分析f (﹣x )的解析式,进而由函数的奇偶性分析可得答案;(3)若方程f (x )﹣m =0有四个不同的实数解,则函数y =f (x )与直线y =m 有4个交点,作出函数f (x )的图象,由数形结合法分析即可得答案.【详解】(1)根据题意,当x ≥0时,f (x )=x 2﹣2x ;则f (0)=0,f (1)=1﹣2=﹣1,又由函数f (x )为偶函数,则f (1)=f (﹣1)=﹣1,则f (f (1))=f (﹣1)=﹣1;(2)设x <0,则﹣x >0,则有f (﹣x )=(﹣x )2﹣2(﹣x )=x 2+2x ,又由函数f (x )为偶函数,则f (x )=f (﹣x )=x 2+2x ,则当x <0时,f (x )=x 2+2x ,∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩(3)若方程f (x )﹣m =0有四个不同的实数解,则函数y =f (x )与直线y =m 有4个交点,而y =f (x )的图象如图:分析可得﹣1<m <0;故m 的取值范围是(﹣1,0).【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象,涉及方程的根与函数图象的关系,注意利用数形结合法分析与应用,是中档题.23.(1)()9,12b =v ,()4,3c =-v ;(2)34π. 【解析】【分析】(1)利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ,a c ⊥r r ,列方程求出x 、y 的值,可得出向量b r 和c r的坐标; (2)求出m u r 、n r 的坐标,利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r夹角的余弦值,由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】 (1)()3,4a =r Q ,()9,b x =r ,()4,c y =r ,且//a b r r ,a c ⊥r r ,3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩, 解得123x y =⎧⎨=-⎩,因此,()9,12b =r ,()4,3c =-r ; (2)()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ,()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ,则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ,()()22345m ∴=-+-=u r ,227152n =+=r设m u r 与n r 的夹角为θ,2cos ,552m n m n m n ⋅∴===⨯⋅u r r u r r ,0θπ≤≤Q ,则34πθ=. 因此,向量m u r 与向量n r 的夹角为34π.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角,解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算,考查计算能力,属于中等题.24.(Ⅰ)516.(Ⅱ)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)两次记录的所有结果为(1,1),(1,,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. 满足xy≤3的有(1,1),(1,,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以小亮获得玩具的概率为516. (Ⅱ) 满足xy≥8的有(2,4),(3,,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个,所以小亮获得水杯的概率为616; 小亮获得饮料的概率为5651161616--=,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.25.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3 【解析】试题分析:(1)由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直;(2)证明直线与平面平行;(3)求三棱锥的体积就用体积公式.(1)在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥底面ABC ,所以1BB ⊥AB ,又因为AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面11B BCC ,因为AB ⊂平面ABE ,所以平面ABE ⊥平面11B BCC .(2)取AB 中点G ,连结EG ,FG ,因为E ,F 分别是11A C 、BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG=12AC , 因为AC ∥11A C ,且AC=11A C ,所以FG ∥1EC ,且FG=1EC ,所以四边形1FGEC 为平行四边形,所以1//C F EG ,又因为EG ⊂平面ABE ,1C F ⊄平面ABE ,所以1//C F 平面ABE .(3)因为1AA =AC=2,BC=1,AB ⊥BC ,所以,所以三棱锥E ABC -的体积为:113ABC V S AA ∆=⋅=111232⨯⨯=3.考点:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明;考查几何体的体积的求解等基础知识,考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.26.(1)见解析;(2)21n a n =+ 【解析】【分析】(1)已知递推关系取倒数,利用等差数列的定义,即可证明.(2)由(1)可知数列{}n b 为等差数列,确定数列{}n b 的通项公式,即可求出数列{}n a 的通项公式.【详解】 ()1证明:10a Q ≠,且有122n n n a a a +=+, ∴()*0n a n N ≠∈, 又1n nb a =Q , ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++===+=+,即()*112n n b b n N +-=∈,且1111b a ==, ∴{}n b 是首项为1,公差为12的等差数列. ()2解:由()1知()111111222n n n b b n -+=+-⨯=+=,即112n n a +=, 所以21n a n =+. 【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法,考查了运用取倒数法求数列的通项公式,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.。

天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题

天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题

天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1.要从已编号(1~50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A .5,10,15,20,25B .3,13,23,33,43C .1,2,3,4,5D .2,4,8,16,322.已知m 个数的平均数为a ,n 个数的平均数为b ,则这m n +个数的平均数为( ) A .2a b+ B .a bm n++ C .ma nba b++D .ma nbm n++3.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于S4的概率是( ) A .14B .12C .34 D .234.经过(0,2)A ,(3,3)B -两点的直线方程为( ) A .35100x y +-= B .3560x y ++= C .5360x y +-=D .5360x y ++=5.过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是( ) A .450x y +-= B .450x y -+= C .4100x y --=D .4140x y +-=6.根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据,可以求出甲、乙的中位数分别为( )A .24和29B .26和29C .26和32D .31和297.已知M 为z 轴上一点,且点M 到点(1,0,1)A -与点(1,3,2)B -的距离相等,则点M 的坐标为( ) A .(3,0,0)B .(0,2,0)-C .(0,0,6)D .(0,0,3)-8.已知直线3y kx =+与圆22(1)(2)4x y -++=交于M ,N 两点,若||MN =则k 的值为( ) A .512-B .125C .125-D .125±9.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A .15B .25C .35D .4510.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是A .[]26,B .[]48,C .D .⎡⎣第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.12.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为________. 13.已知直线134x y+=分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,则||AB 等于________.14.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x +4y -12=0的公共弦的长为___.15.已知三点A (1,0),B (0,C (2,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________.三、解答题16.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;17.甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.18.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为圆心的圆与直线4x -=相切。

2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年天津一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题(共10小题).1.若复数z1对应复平面内的点(2,﹣3),且z1•z2=1+i,则复数z2的虚部为()A.﹣B.C.﹣D.2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,则n⊥αC.若m⊥α,m∥n,则n⊥αD.若α⊥β,m⊥α,则m∥β3.设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4),且⊥,∥,则|+|=()A.B.C.D.104.某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为()A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,求像体AD的高度()(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)A.4.0米B.4.2米C.4.3米D.4.4米6.如图,O是△ABC的重心,=,=,D是边BC上一点,且=3,则()A.=B.=C.=D.=7.在△ABC中,sin2=(a、b、c分别为角A、B、C的对应边),则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形8.下列各对事件中,不互为相互独立事件的是()A.掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D.甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”9.已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,则球O的体积等于()A.B.C.D.10.已知边长为2的菱形ABCD中,点F为BD上一动点,点E满足=2,=﹣,则的最小值为()A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣二、填空题11.i是虚数单位,则||的值为.12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,则一次试验中,事件(表示事件B的对立事件)发生的概率为.13.若一个圆柱的侧面展开图是正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是.14.在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上一点,且,则的值是.15.在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,若a2﹣b2=bc,sin C=2sin B,则A=.16.在△ABC中,∠BAC=60°,||=2,=2,||=,则||=;设=λ﹣(λ∈R),且•=4,则λ的值为.三、解答题17.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若a=,b=2.求:(ⅰ)边长c;(ⅱ)sin(2B﹣C)的值.18.某校参加夏令营的同学有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其所属年级情况如表:高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(Ⅰ)用表中字母写这个试验的样本空间;(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,写出事件M的样本点,并求事件M发生的概率.19.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SD=1.(1)求证:BC⊥SC;(2)求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小;(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.20.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.参考答案一、选择题1.若复数z1对应复平面内的点(2,﹣3),且z1•z2=1+i,则复数z2的虚部为()A.﹣B.C.﹣D.【分析】由已知求得z1,代入z1•z2=1+i,变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解:由题意,z1=2﹣3i,又z1•z2=1+i,∴,∴复数z2的虚部为.故选:B.2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,则n⊥αC.若m⊥α,m∥n,则n⊥αD.若α⊥β,m⊥α,则m∥β【分析】在A中,α与β相交或平行;在B中,n∥α或n⊂α;在C中,由线面垂直的判定定理得n⊥α;在D中,m与β平行或m⊂β.解:设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则:在A中,若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故B错误;在C中,若m⊥α,m∥n,则由线面垂直的判定定理得n⊥α,故C正确;在D中,若α⊥β,m⊥α,则m与β平行或m⊂β,故D错误.故选:C.3.设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4),且⊥,∥,则|+|=()A.B.C.D.10【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式,解出x、y的值求出向量的坐标,从而得到向量的坐标,再由向量模的公式加以计算,可得答案.解:∵,且,∴x•2+1•(﹣4)=0,解得x=2.又∵,且,∴1•(﹣4)=y•2,解之得y=﹣2,由此可得,,∴=(3,﹣1),可得==.故选:B.4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为()A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,6【分析】利用分层抽样的性质结合频率分布直方图能求出第2,3,4组抽取的人数.解:采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,则第2抽取的人数为:8×=2人,第3组抽取的人数为:8×=2人,第4组抽取的人数为:8×=4人.故选:C.5.雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,求像体AD的高度()(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)A.4.0米B.4.2米C.4.3米D.4.4米【分析】在Rt△DBC中求出BC,再利用Rt△ABC的边角关系求出AC的值,即得AD 的大小.解:在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,所以BC=CD=2.3米;在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,BC=2.3米,所以tan70.5°=,AC=BC tan70.5°=2.3×2.842=6.5366≈6.5(米),所有AD=AB﹣CD=6.5﹣2.3=4.2(米),即像体AD的高度为4.2米.故选:B.6.如图,O是△ABC的重心,=,=,D是边BC上一点,且=3,则()A.=B.=C.=D.=【分析】由O为△ABC的重心,则点E为BC的中点,且,又由=3,得:D是BC的四等分点,再利用平面向量的线性运算可得则=﹣+,故得解解:如图,延长AO交BC于E,由已知O为△ABC的重心,则点E为BC的中点,且由=3,得:D是BC的四等分点,则=﹣+,故选:A.7.在△ABC中,sin2=(a、b、c分别为角A、B、C的对应边),则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状.解:因为sin2==,即,由余弦定理可得,可得a2+b2=c2,所以三角形是直角三角形.故选:B.8.下列各对事件中,不互为相互独立事件的是()A.掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D.甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”【分析】利用对立事件和互斥事件的概念求解.解:根据事件的特点易知,事件M是否发生对事情N发生的概率没有影响,故M与N 是相互独立事件,故A,B,D属于相互独立事件.对于C:由于第一次摸到球不放回,因此会对第二次摸到球的概率产生影响,所以这两个事件不是相互独立事件;故选:C.9.已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,则球O的体积等于()A.B.C.D.【分析】根据直线平面的垂直问题得出Rt△SBC,Rt△SAC中AC的中点O,判断SC 为球O的直径,又可求得SC=2,球O的半径R=1,求解即可.【解答】解;∵SA⊥平面ABC,AB⊥BC,∴SA⊥BC,AB⊥BC,∴BC⊥面SAB,∵BS⊂面SAB,∴SB⊥BC,∴Rt△SBC,Rt△SAC中AC的中点O,∴OS=OA=OB=OC,∴SC为球O的直径,又可求得SC=2,∴球O的半径R=1,体积,故选:B.10.已知边长为2的菱形ABCD中,点F为BD上一动点,点E满足=2,=﹣,则的最小值为()A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣【分析】根据=﹣,根据线性运算进行变换可求得∠DAB=;以菱形对角线交点为原点,对角线所在直线为坐标值建立平面直角坐标系,利用坐标表示出,得到关于t的二次函数,求得二次函数最小值即为所求.解:由题意知:=,设∠DAB=θ,所以=()•()=2=4cosθ﹣4cosθ=﹣,所以cosθ=,又θ∈(0,π),所以,以AC与BD交点为原点,AC为x轴,BD为y轴建立如图所示的直角坐标系,所以A(﹣,0),C(,0),D(0,1),B(0,﹣1),E(),设F(0,t),则=(,t),=(﹣,t+),所以=﹣2+t(t+)=t2=(t)2﹣,当t=时,取最小值,故选:D.二、填空题11.i是虚数单位,则||的值为.【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算.解:由题意,可知:===2﹣3i,∴||=|2﹣3i|==.故答案为:.12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,则一次试验中,事件(表示事件B的对立事件)发生的概率为.【分析】基本事件总数n=6,利用列举法求出事件(表示事件B的对立事件)包含的基本事件的个数,由此能求出一次试验中,事件(表示事件B的对立事件)发生的概率.解:掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,基本事件总数n=6,事件(表示事件B的对立事件)包含的基本事件有:2,4,5,6,共4个,则一次试验中,事件(表示事件B的对立事件)发生的概率为:P(A∪)==.故答案为:.13.若一个圆柱的侧面展开图是正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是.【分析】由圆柱的侧面展开图是正方形,我们易得圆柱的高与底面周长相等,设侧面的正方形边长为A后,易分别计算出侧面积和全面积,代入计算后,易得结果.解:可以设该侧面的正方形边长为A,则S侧面积=A2全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案:14.在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上一点,且,则的值是﹣.【分析】取基底为,,把所求向量转化为用基底表示,即可求出结论.解:因为△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上一点,且,∴=﹣=﹣();则=(+)•(+)=(﹣)•(﹣)=﹣﹣+•=﹣×22﹣×12+×1×2×cos120°=﹣﹣﹣=﹣.故答案为:﹣.15.在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,若a2﹣b2=bc,sin C=2sin B,则A=.【分析】由正弦定理得c=2b,再由余弦定理可得cos A=,把c=2b 代入化简可得cos A的值,从而求得A的大小.解:∵sin C=2sin B,∴c=2b,∴cos A=====,又0<A<π,∴A=,故答案为.16.在△ABC中,∠BAC=60°,||=2,=2,||=,则||=3;设=λ﹣(λ∈R),且•=4,则λ的值为.【分析】由=2可得,然后两边平方处理,结合平面向量的数量积运算,解方程即可;把和=λ﹣均代入•=4,化简整理后,代入已知数据,解关于λ的方程即可得解.解:∵=2,∴B、D、C三点共线,∴,两边平方,有,∴,解得,(舍负).∵•=4,∴(),化简整理,得,∴,解得.故答案为:3,.三、解答题17.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若a=,b=2.求:(ⅰ)边长c;(ⅱ)sin(2B﹣C)的值.【分析】(I)利用正弦定理、和差公式化简即可得出.(II)(ⅰ)因为,,利用余弦定理即可得出.(ⅱ)由,可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理得………∴,∴,∵0<C<π,…………∴…………………(Ⅱ)(ⅰ)因为,,由余弦定理得,∴…………………(ⅱ)由,…………………因为B为锐角,所以…………………,………………………18.某校参加夏令营的同学有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其所属年级情况如表:高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(Ⅰ)用表中字母写这个试验的样本空间;(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,写出事件M的样本点,并求事件M发生的概率.【分析】(I)结合已知数据,直接利用列举法即可求解;(II)结合等可能事件的概率公式即可直接求解.解:(I)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(II)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率.19.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SD=1.(1)求证:BC⊥SC;(2)求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小;(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.【分析】(1)先证明SD⊥BC,又BC⊥CD,证明BC⊥平面SDC,根据线面垂直的性质,得出结论;(2)根据题意∠SCD为所求二面角的平面角,根据几何法求出∠SCD;(3)根据题意,得到∠DMP为所求异面直线所成的角,根据勾股定理,求出结果.解:(1)∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥CD,∵SD⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,∴SD⊥BC,又DC∩SD=D,∴BC⊥平面SDC,∵SC⊂平面SDC,∴BC⊥SC;(2)由(1)知BC⊥SC,又CD⊥BC,∴∠SCD为所求二面角的平面角,在Rt△DSC中,∵SD=DC=1,∴∠SCD=45°;(3)取AB中点P,连结MP,DP,在△ABS,由中位线定理得MP∥SB,∴∠DMP或其补角是异面直线DM与SB所成角,∵,,所以△DMP中,有DP2=MP2+DM2,∴∠DMP=90°.20.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【分析】(1)取AD的中点I,连接FI,证明四边形EFIG是平行四边形,可得EG∥FI,利用线面平行的判定定理证明:EG∥平面ADF;(2)建立如图所示的坐标系O﹣xyz,求出平面OEF的法向量,平面OEF的法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;(3)求出=(﹣,,),利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值.【解答】(1)证明:取AD的中点I,连接FI,∵矩形OBEF,∴EF∥OB,EF=OB,∵G,I是中点,∴GI∥BD,GI=BD.∵O是正方形ABCD的中心,∴OB=BD.∴EF∥GI,EF=GI,∴四边形EFIG是平行四边形,∴EG∥FI,∵EG⊄平面ADF,FI⊂平面ADF,∴EG∥平面ADF;(2)解:建立如图所示的坐标系O﹣xyz,则B(0,﹣,0),C(,0,0),E (0,﹣,2),F(0,0,2),设平面CEF的法向量为=(x,y,z),则,取=(,0,1)∵OC⊥平面OEF,∴平面OEF的法向量为=(1,0,0),∵|cos<,>|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=;(3)解:AH=HF,∴==(,0,).设H(a,b,c),则=(a+,b,c)=(,0,).∴a=﹣,b=0,c=,∴=(﹣,,),∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos<,>|==.。

精品解析:天津市部分区2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)

精品解析:天津市部分区2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)
故选:D.
【点睛】本题考查单位向量的概念,解题时要注意与与 平行的单位向量有两个,一个与 同向,一个与 反向.
8.四名同学各掷一枚骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是()
(注:一组数据 的平均数为 ,它的方差为 )
A. 平均数为2,方差为2.4B. 中位数为3,众数为2
详细详细解析:连结AC,
则AC是A1C在平面ABCD上 射影,
则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角 正弦值,
设正方体的棱长为1,
则 ,
则 ,
点晴:本题需要先找出线面角所成角的平面角,然后放在三角形中进行解决即可
15.已知 中, 为边 上的点,且 ,若 ,则 ______.
【答案】
【详细解析】
2.复数 ( 是虚数单位)在复平.第四象限
【答案】D
【详细解析】
【详细分析】
求得 对应的坐标,由此得出正确选项.
【详细详细解析】复数 对应的坐标为 ,在第四象限.
故选:D
【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断,属于基础题.
3.用斜二测画法画边长为2的正方形 的直观图时,以射线 , 分别为 轴、 轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图 ,则该直观图的面积为()
17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生,将他们的数学检测成绩(分)分成六段(满分100分,成绩均为不低于40分的整数): , ,..., 后,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中实数 的值;
(Ⅱ)若该校高一年级共有学生600名,试根据以上数据,估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.
所以,事件 发生的概率 .

天津市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷C卷

天津市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷C卷

天津市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分) (2017高二上·汕头月考) 若圆台的上下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积的2倍,则圆台的母线长是()A . 2B . 2.5C . 5D . 102. (2分) (2018高二上·慈溪期中) 直线的倾斜角为()A .B .C .D .3. (2分)设x > 0, y > 0,, , a 与b的大小关系()A . a >bB . a <bC . a bD . a b4. (2分)下列说法的正确的是A . 经过定点的直线都可以用方程表示B . 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C . 不经过原点的直线都可以用方程表示D . 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程5. (2分)在等差数列中,,则数列的前11项和()A . 24B . 48C . 66D . 1326. (2分)(2017高一下·牡丹江期末) 在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为()A .B .C .D .7. (2分)将函数的图像向左平移个单位长度,所得函数是()A . 奇函数B . 偶函数C . 既是奇函数又是偶函数D . 既不是奇函数也不是偶函数8. (2分)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则()A . A=BB . A BC . B AD . A∩B=9. (2分) (2016高二上·宁县期中) 在△ABC中,a=3,b= ,c=2,那么B等于()A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°10. (2分) (2018高二上·安庆期中) 已知点Q是点P(5,4,3)在平面xOy上的射影,则线段PQ的长等于()A . 2B . 3C . 4D . 511. (2分) (2017高三上·朝阳期中) 已知实数x,y满足条件则x+2y的最大值为()A . 12B . 10C . 8D . 612. (2分) (2017高二下·定州开学考) 如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积为()A . 15+3B . 9C . 30+6D . 18二、填空题 (共4题;共5分)13. (1分) (2018高二上·南宁月考) 已知,则的最小值为________14. (1分) (2018高二上·北京期中) 能够说明“若等比数列{ }是递增数列,则公比q>1”是假命题的首项的一个取值可以是________15. (1分)已知点P为x轴上一点,且点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为________.16. (2分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知若________, ________。

2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷

2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷

2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷一、单选题(本大题共10小题,共30.0分) 1.若复数z 满足z(2−i)=5i(i 为虚数单位),则z 为( )A. −1+2iB. −1−2iC. 1+2iD. 1−2i2.2.已知直线和平面,则能推出的是( )A. B. C. D.3.已知向量满足:与垂直,且,则与的夹角为( )A.B.C.D.4.某市A ,B ,C 三个区共有高中学生20000人,其中A 区高中学生有7000人,现采用分层抽样的方法从这三个区的所有高中学生中抽取一个容量为600的样本进行“学习兴趣”调查,则在A 区应抽取( )A. 200人B. 205人C. 210人D. 215人5.一只艘船以均匀的速度由A 点向正北方向航行,如图,开始航行时,从A 点观测灯塔C 的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为45°,行驶60海里后,船在B 点观测灯塔C 的方位角为75°,则A 到C 的距离是( )海里.A. 30(√6+√2)B. 30(√6−√2)C. 30(√6−√3)D. 30(√6+√3)6.已知A ,B ,C 三点共线,且C 为线段AB 的靠近B 的五等分点,则下列结论正确的个数为( )①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |:|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4:1;③BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .A. 0B. 1C. 2D. 37.在锐角△ABC 中,若A =2B ,则ab 的范围是( )A. (√2,√3)B. (√3,2)C. (0,2)D. (√2,2)8.甲、乙两队准备进行一场篮球赛,根据以往的经验甲队获胜的概率是12,两队打平的概率是16,则这次比赛乙队不输的概率是( )A. 16B. 13C. 12D. 569.设直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上,且球的体积是40√10π3,AB =AC =AA 1,∠BAC =120°,则此直三棱柱的高是( )A. 4√2B. 4C. 2√3D. 2√210.x 236+y 29=1上有两个动点P 、Q ,E(3,0),EP ⊥EQ ,则EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 6B. 3−√3C. 9D. 12−6√3二、单空题(本大题共5小题,共15.0分) 11. 设i 是虚数单位,计算i +i 2+i 3+i 4=______. 12. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 .13. 已知正四棱锥P −ABCD 中,底面边长为2,高为√3,则此正四棱锥P −ABCD 的侧面积为______. 14. 设向量,,若,则实数;15. 在锐角△ ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =2,B =2 A ,则c 的取值范围________. 三、多空题(本大题共1小题,共3.0分)16. 已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,若|a ⃗ |=3,|a ⃗ −b⃗ |=√13,a ⃗ ⋅b ⃗ =32,则|b ⃗ |= (1) ;向量a ⃗ ,b ⃗ 夹角的大小为 (2) .四、解答题(本大题共4小题,共48.0分)17. 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且atanB =203,bsinA =4.(Ⅰ)求cos B 和边长a ;(Ⅱ)若△ABC 的面积S =10,求cos4C 的值.18.已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本,乙层有英语书1本和数学书4本.现从甲、乙两层中各取两本书.(1)求取出的4本书都是数学书的概率.(2)求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率.19.如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面ABCD,P为DF的中点,AN⊥CF,垂足为N.(Ⅰ)求证:AN⊥平面CDF;(Ⅱ)求异面直线BF与PC所成角的正切值;(Ⅲ)求三棱锥B−CEF的体积.20.如图,在多面体中,四边形是菱形,相交于点,,,平面平面,,点为的中点.(1)求证:直线平面;(2)求证:直线平面.【答案与解析】1.答案:A解析:本题考查了复数代数形式的混合运算,是基础的计算题.把给出的等式两边同时乘以12−i,然后直接利用复数的除法运算化简求值.解:∵复数z满足z(2−i)=5i,∴z=5i2−i =5i(2+i)(2−i)(2+i)=5i(2+i)5=−1+2i.故选A.2.答案:C解析:本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.解:存在一条直线b,a//b,且b//α,则a//α或a⊂α,故A错误;存在一条直线b,a⊥b,且b⊥α,则a//α或a⊂α,故B错误;存在一个平面β,a⊂β,且α//β,则由平面与平面平行的性质知a//α,故C正确;存在一个平面β,a//β,且α//β,则a//α或a⊂α,故D错误.故选:C.3.答案:解析:试题分析:由已知得().()=0,故,则=,又因为,故与的夹角为,选C.考点:1、向量的数量积运算;2、向量的夹角.4.答案:C解析:本题考查分层抽样,抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同,这是解决抽样问题的依据,属于基础题.由题意知,在A 区抽取的比例为60020000,即可求出结果. 解:由题意知,在A 区抽取的比例为60020000, ∴A 区应抽取的人数是60020000×7000=210(人). 故选C .5.答案:A解析:解:由题意,∠ABC =105°,∠C =30°,AB =60海里. 由正弦定理可得AC =AB⋅sin∠ABC sin∠C=30(√6+√2)海里.故选:A .由题意,∠ABC =105°,∠C =30°,AB =60海里,由正弦定理可得AC . 本题考查正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.6.答案:C解析:解:如图,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |:|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4:1,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴②③正确. 故选:C .根据题意可画出图形,结合图形及向量数乘的几何意义即可判断出①错误,③正确,并得出②正确,从而得出正确的选项.本题考查了向量数乘的几何意义,向量长度的定义,考查了计算能力,属于基础题.7.答案:A解析:解:∵A =2B ,∴根据正弦定理asinA =bsinB 得:ab =sinAsinB ═2sinBcosB sinB=2cosB ,∵A +B +C =180°,∴3B +C =180°,即C =180°−3B , ∵C 为锐角, ∴30°<B <60°, 又0°<A =2B <90°, ∴30°<B <45°,∴√22<cosB <√32,即√2<2cosB <√3,则ab 的取值范围是(√2,√3). 故选:A .利用正弦定理列出关系式,将A =2B 代入,利用二倍角的正弦函数公式化简,约分得到结果为2cos B ,根据三角形的内角和定理及三角形ABC 为锐角三角形,求出B 的范围,进而确定出cos B 的范围,即可得出所求式子的范围.本题考查了正弦定理,余弦函数的图象与性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.8.答案:C解析:解:甲、乙两队准备进行一场篮球赛,根据以往的经验甲队获胜的概率是12,两队打平的概率是16, 这次比赛乙队不输的概率是: P =1−12=12. 故选:C .利用对立事件概率计算公式直接求解.本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9.答案:D解析:解:设AB =AC =AA 1=2m.因为∠BAC =120°,所以∠ACB =30°, 于是2msin30=2r(r 是△ABC 外接圆的半径),r =2m . 又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半,所以球的半径为√(2m)2+m 2=√5m.所以球的表面积为43π(√5m)3=40√10π3,解得m =√2.于是直三棱柱的高是AA 1=2m =2√2. 故选:D .设AB =AC =AA 1=2m.通过2msin30∘=2r(r 是△ABC 外接圆的半径),r =2m.结合球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半,球的表面积求解m ,即可得到结果.本题考查几何体的外接球的表面积的求法与应用,棱柱的高的求法,是基础题.10.答案:A解析:解:设P(x,y),则x 236+y 29=1,即y 2=9−x 24∵EP ⊥EQ ,∴EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|EP|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠EPQ =EP 2, 而EP 2=(x −3)2+y 2=34(x −4)2+6, ∵−6≤x ≤6∴当x =4时,EP 2=(x −3)2+y 2=34(x −4)2+6有最小值6,故选A .根据EP ⊥EQ ,和向量的数量积的几何意义,得∴EP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|EP|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠EPQ =EP 2,设出点P 的坐标,利用两点间距离公式求出EP 2,根据点P 在椭圆上,代入消去y ,转化为二次函数求最值问题,即可解得结果.此题是个中档题.考查了向量在几何中的应用,以及向量数量积的几何意义,和椭圆的有界性,二次函数求最值等基础知识,注意椭圆的有界性,考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.11.答案:0解析:解:∵i +i 2+i 3+i 4=i +(−1)+(−i)+1=0, 故答案为:0.利用i n (n ∈Z)的运算性质即可求得答案.本题考查虚数单位i 的幂的运算性质,属于基础题.12.答案:解析:试题分析:记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.考点:本题考查了随机事件的概率点评:求解此类问题时要注意区分几种基本概率模型,注意语言表达的科学性和符合表述的规范性,在解决本部分问题时,要注意分类讨论、等价转化等思想方法的运用13.答案:8解析:本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题,是基础题. 根据题意计算正四棱锥侧面的高,求出它的侧面积.解:正四棱锥底面边长为2,高为√3,则侧面的高为ℎ=√(√3)2+12=2,×2×2=8.正四棱锥的侧面积为S=4×12故答案为8.14.答案:解析:本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积,容易题.解:因为,,因为,所以,解得.故答案为.15.答案:解析:解:∵在锐角△ABC中,B=2A,∵b=2,A=2B,∴由正弦定理得:.所以:因为函数的导数,故函数f(x)是增函数.又,所以,代入c的化简式子中(c的函数式是增函数),故可得c的范围为.故答案为:.16.答案:√7arccos √7 14解析:解:∵|a⃗|=3,|a⃗−b⃗ |=√13,a⃗⋅b⃗ =32,∴a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =13,∴32+b⃗ 2−2×32=13,解得b⃗ 2=7则|b⃗ |=√7.∴32=a⃗⋅b⃗ =3×√7×cos<a⃗,b⃗ >,解得cos<a⃗,b⃗ >=√714.∴<a⃗,b⃗ >=arccos√714.故答案为:√7,arccos√714.利用向量的定义和向量夹角公式即可得出.本题考查了向量的定义和向量夹角公式,属于基础题.17.答案:解:(Ⅰ)因为a sinA =bsinB ,所以asinB =bsinA =4,又atanB =203,即asinB cosB = 203, 所以cosB =35; 则sinB =45,tanB =43, 所以a =203×34=5.(Ⅱ)由S =12acsinB =12×4c =10,得c =5. 又a =5,所以A =C . 所以cos4C =2cos 22C −1 =2cos 2(A +C)−1 =2cos 2B −1 =2×(35)2−1=−725.解析:(Ⅰ)首先由正弦定理求出a sin B 的值,然后利用弦切互化关系结合已知条件即可求出cos B ,再由cos B 求得sin B 、tan B ,则求得a ;(Ⅱ)先由三角形面积公式求出c ,则可得A =C ,再利用余弦定理把cos4C 用A +C 的三角函数表示,进而用B 的三角函数表示,则问题解决.本题主要考查正弦定理、弦切互化关系及余弦的倍角公式.18.答案:解:(1)设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A ,“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B ,由于A 、B 相互独立,记“取出的4本书都是数学书的概率”P 1, 则P 1=P(AB)=P(A)P(B)=C 32C 52×C 42C 52=950. (6分)(2)设“从甲层取出的2本书均为数学书,从乙层取出的2本书中,1本是英语,1本是数学”的事件为C ,“从甲层取出的2本书中,1本是英语,1本是数学,从乙层取出的2本书中均为数学”的事件为D ,由于C ,D 互斥,记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P 2P 2=P(C +D)=P(C)+P(D)=C 32C 52×C 41C 52+C 21C 31C 52×C 42C 52=1225.(12分)解析:(1)设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A ,“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B ,则所求的事件的概率等于P(A)P(B)=C 32C 52×C 42C 52,运算求得结果.(2)利用互斥事件的概率加法公式,所求的事件的概率等于C 32C 52×C 41C 52+C 21C 31C 52×C 42C 52,运算求得结果.本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式,排列与组合及两个基本原理的应用, 属于中档题.19.答案:证明:(Ⅰ)∵四边形ABEF 为正方形,∴AB ⊥AF ,∵四边形ABCD 为平行四边形,∠ACD =90°, ∴CD ⊥AC ,AB//CD ,∴CD ⊥AF , ∵AF ∩AC =A ,∴CD ⊥平面ACF , ∵AN ⊂平面AFC ,∴CD ⊥AN ,∵AN ⊥CF ,CF ∩CD =C ,∴AN ⊥平面CDF .解:(Ⅱ)∵四边形ABCD 为平行四边形,∠ACD =90°,AB =1,AD =2, ∴AC =√AD 2−CD 2=√4−1=√3,∴AO =CO =√32, ∵四边形ABEF 为正方形,平面ABEF ⊥平面ABCD ,P 为DF 的中点,∠ACD =90°, ∴AP =CP =12FD =12√AF 2+AD 2=12√1+4=√52, ∵P 为DF 的中点,O 是BD 中点,∴BF//PO , ∴∠CPO 是异面直线BF 与PC 所成角, sin∠CPO =COPC =√32√52=√155, ∴cos∠CPO =√105,tan∠CPO =√62, ∴异面直线BF 与PC 所成角的正切值为√62.(Ⅲ)∵平面ABEF ⊥平面ABCD ,平面ABEF ∩平面ABCD =AB , AF ⊥AB ,AF ⊂平面ABEF ,∴AF ⊥平面ABCD ,CA =√BC 2−BA 2=√3, ∴三棱锥B −CEF 的体积:V B−CEF =V C−BEF =13S △BEF ×CA =13×12×1×1×√3=√36.解析:(Ⅰ)推导出AB ⊥AFCD ⊥AC ,AB//CD ,CD ⊥AF ,从而CD ⊥平面ACF ,进而CD ⊥AN ,再由AN ⊥CF ,由此能证明AN ⊥平面CDF .(Ⅱ)求出AC =√3,AO =CO =√32,AP =CP =12FD =√52,推导出BF//PO ,从而∠CPO 是异面直线BF 与PC 所成角,由此能求出异面直线BF 与PC 所成角的正切值.(Ⅲ)推导出AF ⊥平面ABCD ,三棱锥B −CEF 的体积:V B−CEF =V C−BEF =13S △BEF ×CA . 本题考查线面垂直的证明,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查三棱锥的体积的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.20.答案:证明:(1)∵四边形是菱形,,∴点 是 的中点,∵点 为的中点 ∴ , 又∵ 平面, 平面 ,∴直线平面 .(2)∵ ,点 为的中点,∴. ∵平面平面 ,平面 平面,平面,∴平面 ,∵ 平面 ,∴ ,∵ , ,∴ , ∴四边形 为平行四边形, ∴,∵,,∴,∵四边形是菱形,∴,∵,,,在平面内,∴平面.解析:(1)根据线线平行证明线面平行.由于四边形ABCD为菱形,所以对角线交点O为BD的中点,由已知G为BC的中点,即可得.得证(2)由已知BF=CF,G为BC中点,可得FG⊥BC,结合平面DCF⊥平面ABCD,可得FG⊥平面ABCD,平面,进而得出.又因为四边形为平行四边形,,所以.又因为菱形ABCD对角线AC⊥BD.得出AC⊥BD且得证.。

天津市部分区2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

天津市部分区2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
故选:C
【点睛】本小题主要考查向量夹角公式,属于基础题.
6.在 中,已知 , , ,则 ()
A. 4B.2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得 的值.
【详解】依题意
.
故选:D
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,属于基础题.
【详解】对于A选项,三个不在同一条直线上的点,确定一个平面,故A选项错误.
对于B选项,直线和直线外一点,确定一个平面,故B选项错误.
对于C选项,两条平行直线确定一个平面,梯形有一组对边平行,另一组对边不平行,故梯形可确定一个平面,所以C选项正确.
对于D选项,圆的直径不能确定一个平面,所以若圆心和圆上的两点在直径上,则无法确定一个平面.所以D选项错误.
3.用斜二测画法画边长为2的正方形 的直观图时,以射线 , 分别为 轴、 轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图 ,则该直观图的面积为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据原图和直观图面积关系,求得题目所求直观图的面积.
【详解】设原图的面积为 ,直观图的面积为 ,则 .
(Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;
(Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为 , , , , , ,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设 为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件 发生的概率.
20.如图,在三棱锥 中,点 , 分别是棱 , 的中点,且 , .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证: .
天津市部分区2019~2020学年度第二学期期末考试

(3份试卷汇总)2019-2020学年天津市高一数学下学期期末复习检测试题

(3份试卷汇总)2019-2020学年天津市高一数学下学期期末复习检测试题
(2)求点 到直线 的距离.
22.(8分)某种笔记本的单价是5元,买 个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数 .
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
对称轴穿过曲线的最高点或最低点,把 代入后得到 ,因而对称轴为 ,选 .
2.A
10.A
【解析】
【分析】
该不等式为一元二次不等式,根据一元二次函数的图象与性质可得, 的图象是开口向下且与x轴没有交点,从而可得关于参数的不等式组,解之可得结果.
【详解】
不等式为一元二次不等式,故 ,
根据一元二次函数的图象与性质可得,
的图象是开口向下且与x轴没有交点,
则 ,解不等式组,得 .
故本题正确答案为A.
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知条件,得到 ,由此得到 ,进而判断出正确选项.
【详解】
由正弦定理得 ,所以 ,所以 ,故三角形为等腰三角形,故选A.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状,考查同角三角函数的基本关系式,属于基础题.
3.A
【解析】
【分析】
线性规划问题,首先画出可行域,再令z=0,画出目标函数,上下平移得到z的最值。
17.已知 ,函数 .
(1)当 时,解不等式 ;
(2)若对 ,不等式 恒成立,求a的取值范围.
18.某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每张面积2m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3m2,可做A、B的外壳分别为6个和6个,求两种薄钢板各用多少张,才能使总的面积最小.

天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3,且121z z i ⋅=+,则复数2z 的虚部为( ) A. 513-B.513C.113D.1132.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥,m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β3.设,x y ∈R ,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥,则=a b +( ) A. 5B. 25C. 10D. 104.某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[)40,50,第2组[)50,60,第3组[)60,70,第4组[)70,80,第5组[)80,90,第6组[]90,100,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为( )A. 1,3,4B. 2,3,3C. 2,2,4D. 1,1,65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成.如图,在Rt ABC 中,70.5ABC ∠=︒,在Rt DBC 中,45DBC ∠=︒,且 2.3CD =米,求像体AD 的高度( )(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.50.943︒≈,cos70.50.334︒≈,tan70.5 2.824︒≈)A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米6.如图,O 是△ABC 的重心,AB =a ,AC =b ,D 是边BC 上一点,且BD =3DC ,则( )A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=-C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c b a b c c-分别为角,,A B C 的对应边),则ΔABC 的形状为 A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形8.下列各对事件中,不互为相互独立事件的是( )A 掷一枚骰子一次,事件M “出现偶数点”;事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M “从甲组中选出1名男生”,事件N “从乙组中选出1名女生”9.已知S ,A ,B ,C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,1SA AB ==,2BC =O的体积等于( )A.3π B.43π C.23π D.6π 10.已知边长为2的菱形ABCD 中,点F 为BD 上一动点,点E 满足2BE EC =,23AE BD ⋅=-,则AF EF ⋅的最小值为( )A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-二、填空题11.i 是虚数单位,则51ii-+的值为__________. 12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16,事件A 表示“出现小于5的偶数点”,事件B 表示“出现小于5的点数”,则一次试验中,事件AB (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为______.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________.14.在ABC 中,22AC AB ==,120BAC ∠=,O 是BC 的中点,M 是AO 上一点,且3AO MO =,则MB MC ⋅的值是______.15.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若22a b -=,sin C B =,则A =____.16.在ABC 中,60BAC ∠=︒,2AC →=,2BD DC →→=,AD →=,则AB →=______;设()AE AC AB R λλ→→→=-∈,且4AD AE →→⋅=,则λ的值为______.三、解答题17.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c (cos cos )0C a B b A c ++=. (1)求角C 的大小;(2)若a =2b =.求:(ⅰ)边长c ;(ⅱ)sin(2)B C -的值.18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其所属年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母写出这个试验的样本空间;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,写出事件M的样本点,并求事件M发生的概率.19.如图,四棱锥S ABCD-的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,1SD=.(1)求证BC SC⊥;(2)求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小;(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.20.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(Ⅰ)求证:EG∥平面ADF;(Ⅱ)求二面角O−EF−C的正弦值;(Ⅲ)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案与解析一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3,且121z z i ⋅=+,则复数2z 的虚部为( ) A. 513-B.513C.113D.113【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求出2511313z i =-,即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意12+3z i =,由121z z i ⋅=+得21(1)(23)3512+3(2+3)(2)1313i i i z i i i i ++-===--, ∴复数2z 的虚部为113, 故选:C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.2.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥,m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中,α与β相交或平行;在B 中,//n α或n ⊂α;在C 中,由线面垂直的判定定理得n α⊥;在D 中,m 与β平行或m β⊂.【详解】设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则: 在A 中,若//m α,//m β,则α与β相交或平行,故A 错误;在B 中,若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n ⊂α,故B 错误;在C 中,若m α⊥,//m n ,则由线面垂直的判定定理得n α⊥,故C 正确; 在D 中,若αβ⊥,m α⊥,则m 与β平行或m β⊂,故D 错误. 故选C .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题. 3.设,x y ∈R ,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥,则=a b +( ) A. 5 B. 25C. 10D. 10【答案】C 【解析】 试题分析:向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥,2402x x ∴-=⇒=,1(4)202y y ⨯--=⇒=-,从而(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-,因此223(1)10a b +=+-=,故选C .考点:1.向量的模;2.向量的平行与垂直.4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[)40,50,第2组[)50,60,第3组[)60,70,第4组[)70,80,第5组[)80,90,第6组[]90,100,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为( )A. 1,3,4B. 2,3,3C. 2,2,4D. 1,1,6【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可得第2,3,4组中频数之比,结合分层抽样的特点可得人数. 【详解】由图可知第2,3,4组的频率之比为0.15:0.15:0.3,所以频数之比为1:1:2,现采用分层抽样的方法,从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人,所以第2,3,4组抽取的人数依次为2,2,4. 故选:C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的解读及分层抽样方法,通过频率分布直方图可得出频率是求解的关键,侧重考查数据分析的核心素养.5.雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成.如图,在Rt ABC 中,70.5ABC ∠=︒,在Rt DBC 中,45DBC ∠=︒,且 2.3CD =米,求像体AD 的高度( )(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.50.943︒≈,cos70.50.334︒≈,tan70.5 2.824︒≈)A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米【答案】B 【解析】 【分析】在Rt BCD 和Rt ABC 中,利用正切值可求得AC ,进而求得AD . 【详解】在Rt BCD 中, 2.3tan CDBC DBC==∠(米),在Rt ABC 中,tan 2.3 2.824 6.5AC BC ABC =∠≈⨯≈(米),6.5 2.3 4.2AD AC CD ∴=-=-=(米).故选:B .【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解,属于基础题.6.如图,O 是△ABC 的重心,AB =a ,AC =b ,D 是边BC 上一点,且BD =3DC ,则( )A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=- C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+【答案】A 【解析】 【分析】由O 为△ABC 的重心,则点E 为BC 的中点,且()122AO OE AE AB AC ,==+,又由BD =3DC ,得:D 是BC 的四等分点,再利用平面向量的线性运算可得则1115341212OD OE ED AE a b =+=+=-+,故得解【详解】如图,延长AO 交BC 于E ,由已知O 为△ABC 的重心, 则点E 为BC 的中点,且()122AO OE AE AB AC ,==+ 由BD =3DC ,得:D 是BC 的四等分点, 则()()1111134324OD OE ED AE BC AB AC AC AB =+=+=⨯++- 151212a b =-+, 故选A .【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征,属中档题. 7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c ba b c c-分别为角,,A B C 对应边),则ΔABC 的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B 【解析】由题可得21sin22A cosA -==1222c b b c c -=-,所以bcosA c=.由此可知,该三角形是直角三角形,所以角C 为直角. 本题选择B 选项.8.下列各对事件中,不互为相互独立事件的是( )A 掷一枚骰子一次,事件M “出现偶数点”;事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M “从甲组中选出1名男生”,事件N “从乙组中选出1名女生” 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件的定义直接判断各选项,即可得到结果.【详解】对于选项A ,事件M 发生与否与N 无关,同时,事件N 发生与否与M 无关,则事件M 与事件N 是相互独立事件;对于选项B ,袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到白球”, 则事件M 发生与否与N 无关,同时,事件N 发生与否与M 无关,则事件M 与事件N 是相互独立事件;对于选项C ,袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球, 事件M “第一次摸到白球”,事件N “第二次摸到黑球”, 则事件M 发生与否和事件N 有关,故事件M 和事件N 与不是相互独立事件;对于选项D ,甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M “从甲组中选出1名男生”,事件N “从乙组中选出1名女生”, 则事件M 发生与否与N 无关,同时,事件N 发生与否与M 无关,则事件M 与事件N 是相互独立事件; 故选:C.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概念和对相互独立事件的判断,本题属于基础题.9.已知S ,A ,B ,C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,1SA AB ==,BC =球O 的体积等于( )A.3π B.43π C.2π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平面垂直的判定与性质得出SBC ,SAC 为直角三角形,可得SC 的中点O 为球心,又可求得2SC =,求出球的半径,即可得解.【详解】解:SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,SA BC ∴⊥,AB BC ⊥, BC ∴⊥面SAB , BS ⊂面SAB , SB BC ∴⊥,Rt SBC ∴,Rt SAC 中AC 的中点O , OS OA OB OC ∴===,SC ∴为球O 的直径,又可求得2SC =,∴球O 的半径1R =,体积34433V R ππ==, 故选B .【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质,空间思维能力的运用,平面,立体问题的转化,巧运用直角三角形的性质.10.已知边长为2的菱形ABCD 中,点F 为BD 上一动点,点E 满足2BE EC =,23AE BD ⋅=-,则AF EF ⋅的最小值为( )A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-【答案】D 【解析】根据23AE BD ⋅=-,根据线性运算进行变换可求得3DAB π∠=;以菱形对角线交点为原点,对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,利用坐标表示出AF EF ⋅,得到关于t 的二次函数,求得二次函数最小值即为结果. 【详解】由题意知:23BE BC =,设DAB θ∠= ()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ 8824cos 4cos 333θθ=-+-=- 1cos 2θ∴= 3πθ⇒= 以AC 与BD 交点为原点,AC 为x 轴,BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系:()3,0A ∴-,2313E ⎫-⎪⎪⎝⎭,设()0,F t 则()3,AF t =,23133EF t ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2112233AF EF t t t t ⎛⎫∴⋅=-++=+- ⎪⎝⎭当16t =-时,()min 11732361836AF EF ⋅=--=- 本题正确选项:D【点睛】本题考查向量数量积的运算问题,涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算,解题关键是能够通过线性运算进行变换,通过数量积运算的定义求得夹角;再通过建立平面直角坐标系的方式,将问题转化为坐标运算,通过函数关系求解得到最值.二、填空题11.i 是虚数单位,则51i i-+的值为__________. 13【分析】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模. 【详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-. 【点睛】本题考查了复数模的运算,是基础题.12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16,事件A 表示“出现小于5的偶数点”,事件B 表示“出现小于5的点数”,则一次试验中,事件AB (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为______. 【答案】23【解析】 【分析】 根据对立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得结果.【详解】依题意可知,事件A 与事件B 为互斥事件,且()2163P A ==,()4263P B ==, 所以()P A B ()()P A P B =+()()1P A P B =+-1221333=+-=. 故答案为:23. 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式,考查了互斥事件的概率的加法公式,属于基础题.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________.【答案】2π12π+ 【解析】【分析】利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比. 【详解】设正方形的边长为a ,圆柱的底面半径为r ,则2r a π=,2a r π=, 所以圆柱的全面积为22224a S a ππ=⨯+全,故全面积与侧面积之比为222221242a a a ππππ⨯++=,填2π12π+. 【点睛】圆柱的侧面展开图是矩形,其一边的长为母线长,另一边的长为底面圆的周长,利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.14.在ABC 中,22AC AB ==,120BAC ∠=,O 是BC 的中点,M 是AO 上一点,且3AO MO =,则MB MC ⋅的值是______.【答案】53-【解析】【分析】 用AB 、AC 表示向量MB 、MC ,然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值.【详解】O 为BC 的中点,()12AO AB AC ∴=+, 3AO MO =,()1136MO AO AB AC ∴==+,()2133AM AO AB AC ==+, ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-, ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-, 22AC AB ==,120BAC ∠=, ()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为:53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,解答的关键就是选择合适的基底表示向量,考查计算能力,属于中等题.15.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若22a b -=,sin C B =,则A =____. 【答案】6π 【解析】【分析】由sin C B =,根据正弦定理“边化角”,可得c =,根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-,结合已知联立方程组,即可求得角A .【详解】sin C B = 根据正弦定理:sin sin b c B C= ∴可得c =根据余弦定理:2222cos a b c bc A =+-由已知可得:22a b -=故可联立方程:222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得:cos 2A =. 由0A π<< ∴6A π= 故答案为:6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角,解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.在ABC 中,60BAC ∠=︒,2AC →=,2BD DC →→=,3AD →=,则AB →=______;设()AE AC AB R λλ→→→=-∈,且4AD AE →→⋅=,则λ的值为______.【答案】 (1). 3 (2).2711【解析】【分析】由2BD DC →→=可得1233AD AB AC →→→=+,然后两边平方处理,结合平面向量的数量积运算,解方程即可; 把1233AD AB AC →→→=+和AE AC AB λ→→→=-代入4AD AE →→⋅=,化简整理后,代入已知数据,解关于λ的方程即可得解.【详解】解:2BD DC →→=,B ∴、D 、C 三点共线, ∴1233AD AB AC →→→=+, 两边平方得:2221412||||||2||||cos609933AD AB AC AB AC →→→→→=++⨯⨯︒, ∴2371441||42||99992AB AB →→=+⨯+⨯⨯⨯, 解得:37AB →=-或(舍去).4AD AE →→=,12()()433AB AC AC AB λ→→→→∴+-=, 化简整理,得221224333AB AC AB AC λλ→→→→--++=, ∴1229432cos604333λλ--⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=,解得2711λ=. 故答案为:3,2711. 【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算,利用到了平面向量基本定理,还采用了平方法解决模长问题,考查学生的分析能力和运算能力.三、解答题17.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c (cos cos )0C a B b A c ++=.(1)求角C 的大小;(2)若a =2b =.求:(ⅰ)边长c ;(ⅱ)sin(2)B C -的值.【答案】(1)34C π=; (2)(ⅰ)c =(ii )sin(2)B C -=. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件,求得cos C 的值,由此求得角C 的大小.(2)(ⅰ)已知两边和夹角,用余弦定理求得边c ;(ⅱ)由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.【详解】解:(1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=,∴cos 2C =-, 0C π<<, ∴34C π=(2)(ⅰ)因为2a b ==,34C π=,由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=,∴c =(ⅱ)由sin sin sin c b B C B =⇒=,因为B 为锐角,所以cos B =4sin 225B ==,223cos 2cos sin 5B B B =-=,43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,还考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及两角差的正弦公式.18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其所属年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母写出这个试验的样本空间;(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,写出事件M 的样本点,并求事件M 发生的概率.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;25. 【解析】【分析】(1)根据样本空间的概念写出即可;(2)利用列举法写出样本点,然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.【详解】(1)这个试验的样本空间为: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z .(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为;{},A Y ,{},A Z ,{},B X ,{},B Z ,{},C X ,{},C Y 共6种,因此事件M 发生的概率()62155P M ==. 【点睛】本题考查了样本空间的概念,考查了用列举法求古典概型的概率,属于基础题.19.如图,四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形,SD 垂直于底面ABCD ,1SD =.(1)求证BC SC ⊥;(2)求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小;(3)设棱SA 的中点为M ,求异面直线DM 与SB 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)45︒;(3)90︒.【解析】【分析】(1)根据题意,由线面垂直证线线垂直,再根据线面垂直的判定定理,证明线面垂直,再证线线垂直.(2)由(1)中线面垂直,可知所求二面角的平面角为SCD ∠,根据题意可求角度.(3)利用中位线将异面直线平移,则DMP ∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角,根据勾股定理,即可求解.【详解】(1)∵底面ABCD 是正方形, ∴BC CD ⊥,∵SD ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,∴SD BC ⊥,又DCSD D =, ∴BC ⊥平面SDC ,∵SC ⊂平面SDC ,∴BC SC ⊥.(2)由(1)知BC SC ⊥,又CD BC ⊥,∴SCD ∠为所求二面角的平面角,在Rt DSC ∆中,∵1SD DC ==,∴45SCD ∠=︒.(3)取AB 中点P ,连结,MP DP ,在ABS ,由中位线定理得//MP SB , DMP ∴∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角, ∵132MP SB ==2151242DM DP ==+=, 所以DMP ∆中,有222DP MP DM =+,90DMP ∴∠=︒.【点睛】本题考查(1)垂直关系的转化证明(2)二面角的求法(3)异面直线所成角,考查逻辑推理能力,考查计算能力,考查转化与化归思想,属于中等题型.20.如图,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G 为AB 的中点,AB=BE=2.(Ⅰ)求证:EG ∥平面ADF ;(Ⅱ)求二面角O−EF−C 的正弦值;(Ⅲ)设H 为线段AF 上的点,且AH=23HF ,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ3(Ⅲ)721. 【解析】 【详解】试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出平面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证;(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出平面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值;(Ⅲ)利用空间向量求线面角,关键是求出平面的法向量,再利用向量数量积求出向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值. 试题解析:依题意,OF ABCD 平面,如图,以O 为点,分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得(0,0,0)O ,()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------,.(Ⅰ)证明:依题意,()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量,则110{0n AD n AF ⋅=⋅=,即20{20x x y z =-+=. 不妨设1z =,可得()102,1n =,,又()0,1,2EG =-,可得10EG n ⋅=, 又因为直线EG ADF ⊄平面,所以//EG ADF 平面.(Ⅱ)解:易证,()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意,()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量,则220{0n EF n CF ⋅=⋅=,即0{20x y x y z +=-++=. 不妨设1x =,可得()21,1,1n =-. 因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅==-⋅,于是23sin ,3OA n =, 所以,二面角O EF C --的正弦值为3. (Ⅲ)解:由23AH HF =,得25AH AF = 因为,所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅==-⋅.所以,直线BH和平面CEF. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题。

天津市部分区2018~2019学年度第二学期期末考试高一数学

天津市部分区2018~2019学年度第二学期期末考试高一数学

天津市部分区2018~2019学年度第二学期期末考试高一数学参考答案一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分)二、填空题:(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.3 12.250x y +-= 13.1614 15 三、解答题:(本大题共5小题,共60分)16.解:(Ⅰ)设事件A 为“顾客中三等奖”,所有基本事件包括(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3) (2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共16个, ……………………2分 事件A 包含基本事件(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)共4个, …………………………4分 所以41()164P A ==. ………………………6分 (Ⅱ)设事件B 为“顾客未中奖”,“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3),(3,2)共2个,…7分 “两个小球号码相加之和等于4”这一事件包括基本事件(1,3),(2,2),(3,1)共3个. ……………………8分2347()1()1()16161616P B P B =-=-++=. ………………………………11分 所以未中奖的概率为716. ………………………………12分 17.解:解方程组238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩, 得1,2x y =-=-. 直线1l 与直线2l 的交点是(1,2)M --. ………………………………2分(Ⅰ)设与直线230x y +-=平行的直线方程为20x y m ++=. ……………3分 由题意知该直线经过点(1,2)M --,所以220m --+=,即4m =. …………………6分 所以与直线230x y +-=平行的直线方程为240x y ++=. …………………7分(Ⅱ)设与直线230x y +-=垂直的直线方程为20x y n -+=. ……………8分 由题意知该直线经过点(1,2)M --,所以140n -++=,即3n =-. ………………………………11分 所以与直线230x y +-=垂直的直线方程为230x y --=. …………………12分18.解:(Ⅰ)在ABC ∆中,由正弦定理sin sin sin a b c A B C==, 可得sin sin sin sin 4sin cos sin A C C A A B C +=,即sin sin 2sin cos sin A C A B C =, ………………………………3分 因为,(0,)A C π∈,所以sin sin 0A C ≠,即1cos 2B =, ………………………4分 又因为(0,)B π∈,可得3B π=. ………………………………5分(Ⅱ)在ABC ∆中,由余弦定理及3a =,2c =,3B π=,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b , ………………………………6分由正弦定理可得sin sin c C B b =, ………………………………7分因为c a <,故cos C = ………………………………8分因此sin 22sin cos C C C == ………………………………9分 21cos22cos 17C C =-=, ……………………………10分所以,1sin(2)sin 2cos 232C C C π+=⋅+= ………………………12分 19.解(Ⅰ)若方程22:240C x y x y m +--+=表示圆,则41640m +->,解得5m <.故实数m 的取值范围为(,5)-∞. ……………4分 (Ⅱ)若1m =,圆22:(1)(2)4C x y -+-=, ………………………………5分 ①当过点(3,2)M -的直线斜率不存在时,直线方程为3x =,圆心(1,2)C 到直线3x =的距离等于半径2,此时直线3x =与C 相切; ……6分 ②当过点(3,2)M -的直线斜率存在时,不妨设斜率为k ,则切线方程为2(3)y k x +=-,即320kx y k ---=, …………………………7分2=, …………………………9分 解得34k =-,即切线方程为3410x y +-=. ………………………………11分综上所述,切线方程为3x =或3410x y +-=. ………………………………12分20.(Ⅰ)证明:连接PF ,PAD ∆是等边三角形,F 为AD 的中点,所以PF AD ⊥;…1分又底面ABCD 是菱形,3BAD π∠=, 所以 BF AD ⊥,PF BF F =,所以AD ⊥平面PBF ,………………3分PB ⊂平面PBF ,所以PB AD ⊥.……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知BF AD ⊥,BF PA ⊥,AD PA A =,所以BF ⊥平面PAD , ………………………………5分 又BF ⊂平面ABCD ,即平面ABCD ⊥平面PAD , ………………………………6分 平面ABCD 平面PAD AD =,又PF AD ⊥,所以PF ⊥平面ABCD , …7分 连接CF 交DE 于点H ,过H 作//HG PF 交PC 于G ,所以GH ⊥平面ABCD , ……………………………8分 又GH ⊂平面DEG ,所以平面DEG ⊥平面ABCD . ………………………………9分 因为3CB CE = ,所以23CG CH CE GP HF DF ===,即25CG CP =, ……………10分在等边三角形PAD ∆中,可得PF =在菱形ABCD 中,由余弦定理可得CF在Rt PFC ∆中,可得PC =CG =…………………………12分。

天津市2019版高一下学期数学期末考试试卷 B卷

天津市2019版高一下学期数学期末考试试卷 B卷

天津市2019版高一下学期数学期末考试试卷 B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2017高一下·丰台期末) 等比数列{an}中,a2=1,a4=2,则a6=()A .B . 4C .D . 82. (2分) (2019高二上·兴宁期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()A .B .C . 或D . 或3. (2分) (2019高二下·金山月考) 设直线与平面平行,直线在平面上,那么()A . 直线不平行于直线B . 直线与直线异面C . 直线与直线没有公共点D . 直线与直线不垂直4. (2分)设,若x>1,则a,b,c的大小关系是()A . a<b<cB . b<c<aC . c<a<bD . c<b<a5. (2分) (2017高三上·宁德期中) 已知是等差数列的前n项和,,,若,则n的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 66. (2分)(2017·邯郸模拟) 已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD= ,AB=2,则S△ABC=()A . 3B . 2C . 3D . 67. (2分)(2018·河南模拟) 已知四棱锥的三视图如图所示,则四棱锥的五个面中面积的最大值是()A . 3B . 6C . 8D . 108. (2分) (2017高二上·邢台期末) 已知,若直线xcosθ+2y+1=0与直线x﹣ysin2θ﹣3=0垂直,则sinθ等于()A .B .C .D .9. (2分)已知x,y满足,则目标函数z=x-3y的最小值是()A .B . -4C . -7D . -810. (2分)若△ABC的周长为20,面积为10 ,A=60°,则a的值为()A . 5B . 6C . 7D . 811. (2分)下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;②垂直于同一个平面的两条直线相互平行;③垂直于同一条直线的两个平面相互平行;④垂直于同一个平面的两个平面相互平行;其中错误的命题有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. (2分)(2017高三上·汕头开学考) 在数列{an}及{bn}中,an+1=an+bn+=1.设,则数列{cn}的前n项和为()A .B . 2n+2﹣4C . 3×2n+2n﹣4D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)若直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行,则这两条平行线间的距离为________14. (1分) (2016高一下·盐城期末) 已知圆锥的底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为________.15. (1分) (2018高一下·鹤岗期中) 中,若,则周长最大值为________.16. (1分) (2015高三上·天水期末) 在四面体ABCD中,已知AB=AC=3,BD=BC=4,BD⊥面ABC.则四面体ABCD的外接球的半径为________.三、解答题 (共6题;共65分)17. (10分) (2019高一下·江门月考) 解下列不等式.(1)(2)18. (10分) (2019高二上·林芝期中) 等比数列{ }的前n 项和为,已知 , ,成等差数列(1)求{ }的公比q;(2)求-=3,求19. (10分) (2017高二下·河北期末) 已知分别是的内角所对的边,且.(1)求角的大小;(2)若,求边b的长.20. (10分)菱形ABCD的边长为3,AC与BD交于O,且∠BAD=60°.将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥﹣ADC(如图),点M是棱C的中点,DM= .(1)求证:OD⊥平面ABC(2)求三棱锥M﹣ABD的体积.21. (10分) (2017高一下·徐州期末) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且btanB=.(1)求角B的值;(2)若△ABC的面积为,a+c=8,求边b.22. (15分) (2015高二上·潮州期末) 已知数列{an}中,a1=2,a2=3,an>0,且满足an+12﹣an=an+1+an2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)设(λ为正偶数,n∈N*),是否存在确定λ的值,使得对任意n∈N*,有Cn+1>Cn恒成立,若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2019-2020学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.下列命题正确的是()A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 梯形可确定一个平面D. 圆心和圆上两点确定一个平面2.复数??=4-2??(??是虚数单位)在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD 的直观图时,以射线AB ,AD 分别为x 轴、y 轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图??′??′??′??′,则该直观图的面积为()A. √2B.√22C.√32D.√624.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中红球和白球各有1个的概率为()A. 45B. 35C. 25D. 155.已知|???|=5,|?? |=4,且???? =-10,则向量???与??? 的夹角为()A.6B. ??3 C.2??3D.5??66.在△中,已知=√3,=3,??=30°,则=()A. 4B. 2C. 3D. √37.已知向量???=(1,-2),则与???平行的单位向量的坐标为()A. (-2√55,√55)B. (-2√55,√55)或(2√55,-√55)C. (√55,-2√55) D. (√55,-2√55)或(-√55,2√55)8.四名同学各掷一枚骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是()(注:一组数据??1,2,…,????的平均数为??-,它的方差为??2=1[(??1-??-)2+(??2-??-)2++(??-??-)2])A. 平均数为2,方差为2.4 B. 中位数为3,众数为2C. 平均数为3,中位数为2D. 中位数为3,方差为2.89.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上,则该球的体积为()(注:球的体积??=433,其中R 为球的半径)A.8√2??3B.64√2??3C. 4√3??D. 32√3??10.已知△的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,??.向量????? =(??,??+??),???=(√3+,-1),若????? ⊥???,则??=()A.6 B. ??3C.2??3D.5??6二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8,且甲、乙两人射击的13.已知??1??? ,2??? 是两个不共线的向量,???=??1??? +22??? ,=2??1??? -??2??? .若???与??? 是共线向量,则实数k的值为______.14.正方体-??1??1??1??1中,则1??与平面ABCD所成角的正弦值为______.15.已知△中,D为边BC上的点,且2=,若????? =+??????? (??,??∈??),则??-??=______.三、解答题(本大题共5小题,共60.0分)16.已知i是虚数单位,??1=3-??1+??.(Ⅰ)求|??1|;(Ⅱ)若复数??2的虚部为2,且??1??2的虚部为0,求??2.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生,将他们的数学检测成绩(分)分成六段(满分100分,成绩均为不低于40分的整数):[40,50),[50,60),…,[90,100]后,得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求图中实数a的值;(Ⅱ)若该校高一年级共有学生600名,试根据以上数据,估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.18.在△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知??=7,??=5,??=8.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求角B的正弦值.19.已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240,160,80.为助力疫情防控,现采用分层抽样的方法,从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师,参与“抗击疫情?你我同行”下卡口执勤值守专项行动.(Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;(Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为A,B,C,D,E,F,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ⅰ)设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件M发生的概率.20.如图,在三棱锥??-中,点M,N分别是棱AB,AC的中点,且=,⊥.(Ⅰ)求证://平面PBC;(Ⅱ)求证:⊥.答案和解析1.【答案】 C【解析】解:对于选项A:当三点共线时,不能确定一个平面,故错误.对于选项B:当该点在直线上时,不能确定一个平面,故错误.对于选项C:由于梯形由两条对边平行,所以确定的平面有且只有一个,故另两条边也在该平面上,故正确.对于选项D:当圆心和圆上的两点在同一条线上时,不能确定一个平面,故错误.故选:C.直接利用平面的性质的应用,共面的条件的应用求出结果.本题考查的知识要点:平面的性质的应用,共面的条件的应用,主要考查学生对定义的理解和应用,属于基础题型.2.【答案】 D【解析】解:??=4-2??在复平面内对应的点的坐标为(4,-2),位于第四象限.故选:D.由已知求得z在复平面内对应点的坐标得答案.本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3.【答案】 A【解析】解:如图所示,斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图,是平行四边形??′??′??′??′,且??′??′==2,??′??′=12=1,∠??′??′??′=45°;计算平行四边形??′??′??′??′的面积为=2×1×45°=√2.所以该直观图的面积为√2.故选:A.画出正方形ABCD的直观图,是平行四边形??′??′??′??′,根据画法规则求出平行四边形′??′??′??′的面积.本题考查了平面图形的直观图画法与应用问题,是基础题.4.【答案】 B【解析】解:一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球,从中任取2个球,基本事件总数??=??52=10,这2个球中红球和白球各有1个包含的基本事件个数??=??31??21=6.63从中任取2个球,基本事件总数??=??52=10,这2个球中红球和白球各有1个包含的基本事件个数??=??3121= 6.由此能求出这2个球中红球和白球各有1个的概率.本题考查概率的求法,考査古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.【答案】 C【解析】解:|???|=5,|??|=4,且???? =-10,可得cos<???,??>=??|??? ||??|=-104×5=-12,因为<???,??>∈[0,??],所以向量?与的夹角为:2??3.故选:C.直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可.本题考查向量的数量积的应用,向量的夹角的求法,考查计算能力.6.【答案】 D【解析】解:=√3,=3,??=30°,根据余弦定理可得2=2+2-2??=9+3-2×3×√3×√32=3,∴=√3,故选:D.直接根据余弦定理即可求出.本小题主要考查余弦定理等基础知识;考查运算求解能力及应用意识;考查化归与转化等思想方法.7.【答案】 D【解析】解:因为|???|=√12+(-2)2=√5,故所求的单位向量为±?|??? |=±1√5(1,-2)=±(√55,-2√55),故选:D.利用向量的模的坐标公式求出向量的模,利用???的单位向量公式为±?|??? |,求出单位向量.本题考查向量的坐标形式的模的公式、考查向量的单位向量公式±?|??? |.8.【答案】 A【解析】解:若平均数为2,且出现6点,则方差??2>15(6-2)2= 3.2,因为2.4< 3.2,所以选项A中一定没有出现点数6;选项B,C,D中涉及中位数,众数,不能确定是否出现点数6.故选:A.根据方差的运算公式与平均数的关系,即可计算得平均数为2,且出现6点时,方差??2> 15(6-2)2= 3.2,而选项A中平均数为2,方差为2.4,不符合题意,故选A.本题考查统计数据中的中位数、众数、平均数、方差的求法,是基础题.【解析】解:由正方体的对角线为其外接球的直径(2??)可得(2??)2=3×22,解得=√3,所以外接球的体积=433=43??(√3)3=4√3??,故选:C.由正方体的对角线与其外接球的半径之间的关系求出半径,由球的体积公式求出外接球的体积.本题考查正方体的对角线与其外接球的关系及球的体积公式,属于基础题.10.【答案】 B【解析】解:△的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量????? =(??,??+??),?=(√3+,-1),若????? ⊥???,则???? ????=??(√3+)-(??+??)=0,由正弦定理得√3+--=0.即√3+-sin(??+??)-=0.即√3+---=0.∴√3--=0,∵≠0.∴√3-=1,即sin(??-6)=12,∵??∈(0,??),∴??-??6∈(-??6,5??6),∴??-6=??6,∴??=??3.故选:B.先利用向量垂直的条件,得到关于a,b,c与A,B,C的关系式,然后利用正弦定理,将原式化归为关于A的方程,即可求出A.本题考查数量积的应用,正弦定理得应用等基础知识,同时考查学生运用方程思想解决问题的能力.属于中档题.11.【答案】0.56【解析】解:甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8,且甲、乙两人射击的结果互不影响,甲、乙两人各射击一次,则由相互独立事件概率乘法公式得两人都中靶的概率为:=0.7×0.8=0.56.故答案为:0.56.利用相互独立事件概率乘法公式能求出两人都中靶的概率.本题考查概率的求法,考査相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.12.【答案】√3【解析】解:由于四面体的个各棱长为1,所以该四面体为正四面体.所以表=4×12×1×1×60°=√3.故答案为:√3直接利用三角形面积公式的应用和四面体的表面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点:四面体的表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.【解析】解:根据题意,若???与 是共线向量,设???=????? ,即??1?? +22??? =??(2??1??? -??2??? )=2????1??? -2??? ,∵??1?? ,2??? 是两个不共线的向量,则有{1=2??2=-,解可得:??=-4;故答案为:-4.根据题意,设??=???? ,则有??1?? +22??? =??(2??1??? -??2??? )=2????1??? -2??? ,由向量相等的定义可得{1=2??2=-,解可得k 的值,即可得答案.本题考查向量共线的判断,涉及数乘向量的性质以及运算,属于基础题.14.【答案】√33【解析】解:设正方体-??11??1??1的棱长为1,以D 为原点,建立空间直角坐标系,(1,0,0),??1(0,1,1),1?????? =(-1,1,1),平面ABCD 的法向量???=(0,0,1),设??1与平面ABCD 所成角为??,则=|cos <1?????? ,???>|=1√3=√33.∴??1与平面ABCD 所成角的正弦值为√33.故答案为:√33.设正方体-??1??1??1??1的棱长为1,以D 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出??1??与平面ABCD 所成角的正弦值.本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.15.【答案】13【解析】解:∵2=,∴????? =13 =13????? -13,∴????? = +?????? =23 +13????? .∴??=23,=13.∴??-??=13.故答案为:13.用 ,????? 表示出?????? ,得出m ,n 的值即可得出答案.本题考查了平面向量的基本定理,属于基础题.3-??(3-??)(1+??)4+2??(Ⅱ)设??2=??+2??(??∈??),则??12=(2+??)(??+2??)=(2??-2)+(??+4)??,∵??12的虚部为0,∴??+4=0,即??=-4.∴??2=-4+2??.【解析】(Ⅰ)利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解;(Ⅱ)设??2=??+2??(??∈??),代入??1??2,整理后由虚部为0求解a 值.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.17.【答案】解:(Ⅰ)因为图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10×(0.005+0.01+0.02+??+0.025+0.01)=1,解得??=0.03.(Ⅱ)根据频率分布直方图,成绩不低于80分的频率为10×(0.025+0.01)=0.35.由于该校高一年级共有学生600名,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为600×0.35=210.【解析】(Ⅰ)因为图中所有小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1,可解得a .(Ⅱ)根据频率分布直方图,成绩不低于80分的频率为:80分-90分的面积,频率乘以总的人数即可得该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.本题考查统计中频率分布直方图,属于基础题.18.【答案】解:(Ⅰ)由三角形的余弦定理??2=??2+??2-2,得72=52+82-2×5×8.所以,=12.因为0<??<??.所以=3.(Ⅱ)由三角形的正弦定理=??,得==5×√327=5√314所以内角B 的正弦值为5√314.【解析】(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出A 的值.(Ⅱ)直接利用正弦定理的应用求出结果.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.19.【答案】解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师,因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人,2人,1人.(Ⅱ)(ⅰ)从抽出的 6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为:{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},共15种.(ⅰ)由(Ⅰ),不妨设抽出的6名教师中,来自甲学校的是A ,B ,C ,来自乙学校的是D ,E ,来自丙学校的是F ,则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{??,??},所以,事件M发生的概率??(??)=415.【解析】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样方法,注意列举事件的可能结果要做到不重不漏.(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1,进而计算可得相应的人数;(Ⅱ)(??)列举随机抽取2名教师志愿者的所有结果共15种;()随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{??,??},{??,??},{??,??},{??,??},共4种,由概率公式可得.20.【答案】证明:(Ⅰ)因为在△中,点M,N分别是AB,AC所以://又因为?平面PBC,?平面PBC所以://平面PBC(Ⅱ)因为点N是AC的中点,且=所以⊥又因⊥,?平面ABC,?平面∩=??故⊥平面ABC因为?平面ABC所以:⊥.如图所示:【解析】(Ⅰ)直接利用中位线的性质的应用和线面平行的性质的应用求出结果.(Ⅱ)利用线面垂直的判定和性质的应用求出结果.本题考查的知识要点:线面平行的判定的应用,线面垂直的判定和性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.。

2019-2020学年天津一中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年天津一中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年天津一中高一(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共10小题,共30.0分)1.已知面α⊥β,α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则()A. a和b不垂直但可能平行B. a和b可能垂直也可能平行C. a和b不平行但可能垂直D. a和b既不垂直也不平行2.已知直线ax+by+c=0(a,b,c都是正数)与圆x2+y2=2相切,则以a,b,c为三边长的三角形()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不存在3.若直线l经过点A(5,2)、B(3,4),则直线l倾斜角为()A. π6B. π3C. 5π6D. 3π44.直线y=kx−2k+1恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()A. (x−2)2+(y−1)2=5B. (x−2)2+(y−1)2=25C. (x+2)2+(y−1)2=25D. (x+2)2+(y+1)2=55.直线和圆的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心6.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A. 3:2B. 3:1C. 2:3D. 4:37.已知球O的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上,且A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是π2,π2,π3,则OB与平面ABC所成的角是()A. arcsin√217B. arcsin2√77C. arccos√77D. arccos√2178.过点P(2,−1)作圆(x−1)2+y2=25的弦AB,则弦长AB的最短时AB所在的直线方程方程是()A. x−y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−1=0D. 2x−y−5=09.动点P到点A(6,0)的距离是到点B(2,0)的距离的√2倍,则动点P的轨迹方程为()A. (x+2)2+y2=32B. x2+y2=16C. (x−1)2+y2=16D. x2+(−1)2=1610. 直线3x +4y −3=0与圆(x −2)2+(y −3)2=1的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法判定.二、单空题(本大题共6小题,共18.0分) 11. 12、在如图所示的正方体中,异面直线与所成角的大小为_______12. 经过点,且与直线垂直的直线方程为 .13. 在平面直角坐标系xOy 中,过椭圆{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)的右焦点,且于直线{x =4−2ty =3−t (t 为参数)平行的直线方程为______ .14. 已知四棱锥P −ABCD 的五个顶点在同一球面上.若该球的半径为4,ABCD 是边长为2的正方形,且∠PAB =90°,则当PA 最长时,四棱锥P −ABCD 的体积为______ . 15. 直线y =x +2与圆x 2−2x +y 2−4y +1=0的位置关系是______ .16. 已知AB 为圆O :(x −1)2+y 2=1的直径,点P 为直线x −y +1=0上任意一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______.三、解答题(本大题共4小题,共48.0分) 17. (本题满分13分)如图,某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船,正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去,小时后,巡逻艇到达处,走私船到达处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击.(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船?18. 如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为棱PD的中点,平面PAB⊥底面ABCD,∠PAB=90°.求证:(1)PB//平面AEC;(2)平面PAC⊥平面ABCD.19. 如图,△CDE中∠CDE=90°,平面CDE外一条线段AB满足AB//DE,AB=12DE,AB⊥AC,F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF//平面BCE;(Ⅱ)若AC=AD,证明:AF⊥平面CDE.20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,且它的左焦点F1与右顶点A的距离|AF1|=6.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)过点T(−3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=−163于R,S两点,求证:直线RT与直线ST的斜率之积为定值.【答案与解析】1.答案:D解析:解:∵面α⊥β,α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,∴当a,b有公共点时,a与b相交,当a,b没有公共点时,a与b异面,∴a和b不可能平行;∵面α⊥β,α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,∴当a⊥b时,a,b中至少有一条与交线l垂直,这与已知条件a,b与l斜交相矛盾,∴由反证法知a,b不垂直.故选:D.由已知条件,结合空间中直线与直线的位置关系,用排除法能推导出a和b不可能平行,用反证法能推导出a,b不垂直.本题考查空间两条直线的位置关系的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.2.答案:D解析:本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,得到圆心到直线的距离√a2+b2=√2,即c2= 2a2+2b2是解题的关键,属于中档题.由题意可得,圆心到直线的距离√a2+b2=√2,即c2=2a2+2b2,故可得结论.解:∵直线ax+by+c=0(a,b,c都是正数)与圆x2+y2=2相切,∴圆心到直线的距离√a2+b2=√2,即c2=2a2+2b2,∴cosC=a2+b2−c22ab =−a2+b22ab≤−1,故以a,b,c为三边长的三角形不存在,故选D.3.答案:D解析:解:设直线l倾斜角为θ,θ∈[0,π).则tanθ=k AB=4−23−5=−1,∴θ=3π4.故选:D .设直线l 倾斜角为θ,θ∈[0,π).可得tanθ=k AB ,即可得出.本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.答案:B解析:解:直线y =kx −2k +1恒过定点C(2,1),则以C 为圆心,5为半径的圆的方程为:(x −2)2+(y −1)2=25. 故选:B .求出直线系经过的定点,得到圆的圆心,然后求解圆的方程. 本题考查直线系的应用,圆的方程的求法,考查计算能力.5.答案:A解析:试题分析:圆O 的圆心坐标为,根据点到直线的距离公式得圆心到已知直线的距离为:,所以直线与圆的位置关系为相离. 考点:直线与圆的位置关系.6.答案:A解析:本题给出圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,求它们的体积比.着重考查了圆柱侧面积和体积公式、球的表面积和体积公式,为拔高题.根据题意,设圆柱的底面半径为r ,利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式,算出球的半径R =r ,再利用圆柱与球的体积公式加以计算,可得所求体积之比. 解:设圆柱的底面半径为r ,轴截面正方形边长a ,则a =2r . 可得圆柱的侧面积S 1=2πra =4πr 2. 再设与圆柱侧面积相等的球半径为R , 则球的表面积S 2=4πR 2=4πr 2,解得R =r , 因此圆柱的体积为V 1=πr 2×a =2πr 3, 球的体积为V 2=43πR 3=43πr 3,因此圆柱的体积与球的体积之比为V 1V 2=32.故选:A .解析:解:由题意,∵球O的表面积为4π,∴球的半径为1,∵A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是π2,π2,π3,∴∠AOB=π2,∠AOC=π2,∠BOC=π3,∴AO⊥面BOC∵OA=OB=OC=1,∴AB=AC=√2,BC=1.∴V A−OBC=13×√34×1=√312设h为O到平面ABC的距离,则∵S△ABC=12×1×√2−14=√74∴V A−OBC=V O−ABC=13×√74ℎ=√312∴ℎ=√21 7∴OA与平面ABC所成角的正弦值为√217∴OB与平面ABC所成的角是arcsin√217故选:A.由题意,球的半径为1,根据A与B、A与C,B与C两点的球面距离分别是π2,π2,π3,可得∠AOB=π2,∠AOC=π2,∠BOC=π2,π3,从而可求AB=AC=√2,BC=1,可求V A−OBC=13×√34×1=√312,利用等体积法求出O到平面ABC的距离,即可求得结论.本题考查线面角,考查三棱锥的体积,解题的关键是利用等体积求出点到面的距离,属于中档题.8.答案:A解析:解:圆心坐标D(1,0),要使过P点的弦最短,则圆心到直线的距离最大,即DP⊥AB时,满足条件,此时DP的斜率k=0+11−2=−1,则弦AB的斜率k=1,则此时对应的方程为y+1=x−2,即x−y−3=0,根据圆的性质,确定最短弦对应的条件,即可得到结论.本题主要考查直线方程的求解,根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键.9.答案:A解析:解:设P(x,y),则由题意可得:√(x−6)2+y2=√2√(x−2)2+y2,化简整理得(x+2)2+y2=32.故选:A.设P为(x,y),依据题中条件动点P到点A(6,0)的距离是到点B(2,0)的距离的√2倍,列出关于x,y的方程式,化简即可得点P的轨迹方程.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.10.答案:A解析:解:由圆的方程(x−2)2+(y−3)2=1得到:圆心坐标为(2,3),半径r=1,=3>r,所以圆心到直线3x+4y−3=0的距离d=|6+12−3|5则直线与圆的位置关系为相离.故选:A.由圆的方程求出圆心坐标和圆的半径r,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,发现d与r的关系,然后判断直线与圆的位置关系.此题考查了直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式.其中直线与圆的位置关系的判定方法为:当0≤d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离.11.答案:60°解析:本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,是解答本题的关键.解:连接A1D,由正方体的几何特征可得:A1D//B1C,则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,连接BD,易得:BD=A1D=A1B,故∠BA 1D =60°. 故答案为:60°.12.答案: .解析:∵所求直线与直线垂直,∴设直线方程为x −2y +C =0,将点代入,得2+2×3+C =0,解得C =−8. ∴直线方程为x −2y −8=0. 故答案为.13.答案:x −2y −1=0解析:解:∵(x2)2+(√3)2=cos 2θ+sin 2θ=1, ∴该椭圆的标准方程为:x 24+y 23=1,其右焦点为F(1,0);又直线{x =4−2t y =3−t (t 为参数)的普通方程为:x−4−2=y−3−1,整理得:x −2y +2=0, ∴其斜率k =12,∴过右焦点F(1,0)且与直线x −2y +2=0平行的直线方程为:y −0=12(x −1), 整理得:x −2y −1=0, 故答案为:x −2y −1=0.将椭圆的参数方程{x =2cosθy =√3sinθ与直线{x =4−2ty =3−t (t 为参数)的参数方程化为普通方程,依题意即可求得答案.本题考查椭圆与直线的参数方程,考查椭圆的简单性质与直线方程的点斜式应用,属于中档题.14.答案:8√143解析:解:如图,因为∠PAB =90°,故P 点在与BA 垂直的圆面O 1内运动,易知,当P 、O 1、A 三点共线时PA 达到最长此时, 可将四棱锥补形为长方体A 1B 1C 1P −ABCD ,其体对角线为2R =8,底面边长为2的正方形,可得高PD =2√14,故四棱锥体积V =13×4×2√14=8√143. 故答案为:8√143. 画出图形,利用已知条件判断P 的位置,通过补形法,通过外接球的半径,推出PD ,然后求解三棱锥的体积即可.本题考查四棱锥体积的求法,考查空间中点、线、面的位置关系,考查逻辑推理能力及空间想象能力,属于中档题.15.答案:相交解析:解:由x 2−2x +y 2−4y +1=0得到:(x −1)2+(y −2)2=4. 则该圆的圆心为(1,2),半径为2,直线x −y +2=0与圆:(x −1)2+(y −2)2=4的圆心的距离为:d =√2=√22<2,所以直线y =x +2与圆x 2−2x +y 2−4y +1=0的位置关系是相交. 故答案是:相交.求出圆的圆心与直线的距离与半径比较,即可判断直线与圆的位置关系.本题考查直线与圆的位置关系的应用,圆心到直线的距离与半径比较是解题的关键.16.答案:1解析:解:由AB 为圆O :(x −1)2+y 2=1的直径, 可设A(1+cosθ,sinθ),B(1−cosθ,−sinθ).∵点P 为直线x −y +1=0上任意一点,可设P(x,x +1),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+cosθ−x,sinθ−x −1)⋅(1−cosθ−x,−sinθ−x −1)=(1−x)2−cos 2θ+(1+x)2−sin 2θ=2x 2+1≥1.∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为1,此时P(0,1). 故答案为:1.由AB为圆O:(x−1)2+y2=1的直径,可设A(1+cosθ,sinθ),B(1−cosθ,−sinθ).点P为直线x−y+1=0上任意一点,可设P(x,x+1).利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出.本题考查了圆的标准方程、数量积运算性质、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.答案:解:如图,由题意知,在三角形BCD中,所以当走私船发现巡逻艇时,两船相距海里;因为所以设追击时间为t,则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船.解析:本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长,然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长;(2)先求出,然后在三角形CDE中利用正弦定理求出,即可求解.18.答案:证明:(1)连BD,交AC于点O,连OE.因为底面ABCD是平行四边形,所以O为BD的中点.因为E为棱PD的中点,所以OE//PB,又因为OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB//平面AEC.(2)因为平面PAB⊥底面ABCD,∠PAB=90°,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊂平面PAB,所以PA⊥平面ABCD,因为PA⊂平面PAC,。

天津市和平区第一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

天津市和平区第一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
A。 4B.2C. D.
【答案】A
【解析】

因此 ,因此直线l与m间的距离为 ,选A。
6。(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有
4。已知点A(-1,1)和圆C:(x﹣5)2+(y﹣7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是
A. 6 -2B.8C。 4 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
点A(﹣1,1)关于x轴的对称点B(﹣1,﹣1)在反射光线上,当反射光线过圆心时,光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短,最短为|BC|﹣R.
【详解】如下图所示,由切线长定理可得 ,又 , ,且 , ,
所以,四边形 的面积为 面积的两倍,
圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 ,
四边形 的最小面积是 ,所以, 面积的最小值为 ,
又 , ,
由勾股定理 ,
当直线 与直线 垂直时, 取最小值 ,
即 ,整理得 , ,解得 .
故选:D.
【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值,涉及直线与圆的位置关系的应用,解题的关键就是确定动点 的位置,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题。
考点:1、圆的方程及几何性质;2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.
【方法点晴】本题主要考查圆 方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用,属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将解析几何中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题就是利用几何意义,将 的最小值转化为点到直线的距离解答的。

2019-2020学年天津一中高一(上)期末数学试卷

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2019-2020学年天津一中高一(上)期末数学试卷一、选择题(共10小题)1. 函数f(x)=ln (x +1)−2x 的零点所在的大致区间是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)2. 设a =30.5,b =log 32,c =cos 23π,则( ) A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <c <a3. 若θ∈[π4, π2],cos 2θ=−18则sin θ=( ) A.35B.34C.√74D.454. 下列函数中,以π2为最小正周期的偶函数是( )A.y =sin 2x +cos 2xB.y =sin 2x cos 2xC.y =cos (4x +π2)D.y =sin 22x −cos 22x5. 在△ABC 中,满足tan A ⋅tan B >1,则这个三角形是( ) A.正三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6. 已知tan (α+β)=25,tan (β−π4)=14,则tan (α+π4)的值等于( ) A.1318 B.322C.1322D.3187. 将函数y =√3cos x +sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.π6 B.π12C.π3D.5π68. 函数y =A sin (ωx +φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式( )A.y =2sin (2x +2π3) B.y =2sin (2x +π3) C.y =2sin (x2−π3) D.y =2sin (2x −π3)9. 对于函数f(x)=sin (2x +π6)的图象,①关于直线x =−π12对称;②关于点(5π12, 0)对称;③可看作是把y =sin 2x 的图象向左平移π6个单位而得到;④可看作是把y =sin (x +π6)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12倍而得到.以上叙述正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 已知函数f(x)=sin 2ωx 2+12sin ωx −12(ω>0),x ∈R ,若f(x)在区间(π, 2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A.(0, 18]B.(0, 14]∪[58, 1)C.(0, 58]D.(0, 18]∪[14, 58]二.填空题(共6小题)已知点P(x, 3)是角θ终边上一点,且cos θ=−45,则x 的值为________.已知π2<α<π,且cos (α−π6)=−45,则cos α的值为________.已知一个扇形的弧长为πcm ,其圆心角为π4,则这扇形的面积为 2π cm 2.已知函数f(x)=a sin x +b tan x −1(a, b ∈R),若f(−2)=2018,则f(2)=________.定义在R上的奇函数f(x)满足:对于任意x∈R有f(x+3)=−f(x).若tanα=2,则f(15sinαcosα)的值为________.己知函数f(x)={73x+3(x≤0)−x2+2x+3(x>0),g(x)=√3sin x+cos x+4,若对任意t∈[−3, 3],总存在s∈[0,π2],使得f(t)+a≤g(s)(a>0)成立,则实数a的取值范围为________.三、简答题(共4小题)已知0<α<π2,sinα=45.(1)求tanα的值;(2)求cos(2α+π4)的值;(3)若0<β<π2且cos(α+β)=−12,求sinβ的值.已知−π2<x<0,sin x+cos x=15.(Ⅰ)求sin x−cos x的值.(Ⅱ)求3sin 2x2−2sin x2cos x2+cos2x2tan x+cot x的值.已知函数f(x)=4tan x sin(π2−x)cos(x−π3)−√3;(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性与最值.已知函数f(x)=m−22x+1是定义在R上的奇函数,(1)求实数m的值;(2)如果对任意x∈R,不等式f(2a+cos2x)+f(4sin x−√2a−1−7)<0恒成立,求实数a的取值范围.参考答案与试题解析2019-2020学年天津一中高一(上)期末数学试卷一、选择题(共10小题)1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D二.填空题(共6小题)【答案】−4【答案】−3−4√310【答案】2π【答案】−2020 【答案】 0【答案】 (0, 2]三、简答题(共4小题) 【答案】∵ 0<α<π2,sin α=45, ∴ cos α=√1−sin 2α=35,∴ tan α=sin αcos α=43, ∵ sin 2α=2sin αcos α=2425,cos 2α=cos 2α−sin 2α=−725∴ cos (2α+π4)=√22(cos 2α−sin 2α)=√22(−725−2425)=−31√250,∵ 0<α<π2,0<β<π2, ∴ 0<α+β<π, ∵ cos (α+β)=−12, ∴ sin (α+β)=√32, ∴ sin β=sin [(α+β)−α]=sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=4+3√310【答案】(1)∵ −π2<x <0,∴ sin x <0,cos x >0,则sin x −cos x <0, 又sin x +cos x =15,平方后得到 1+sin 2x =125, ∴ sin 2x =−2425∴ (sin x −cos x )2=1−sin 2x =4925,又∵ sin x −cos x <0, ∴ sin x −cos x =−75.(2)3sin 2x 2−2sin x 2cos x 2+cos 2x2tan x +cot x =2sin 2x2−1−2sin x +21sin x cos x=(−cos x −sin x +2)sin x cos x =(2−15)(−1225)=−108125 【答案】由tan x有意义得x≠π2+kπ,k∈Z.∴f(x)的定义域是{x|x≠kπ+π2,k∈Z},f(x)=4tan x cos x cos(x−π3)−√3=4sin x cos(x−π3)−√3=2sin x cos x+2√3sin2x−√3=sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3).∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ,解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ,k∈Z.[−π12+kπ, 5π12+kπ]∩[−π4, π4]=[−π12, π4],[5π12+kπ, 11π12+kπ]∩[−π4, π4]=[−π4, −π12],∴f(x)在[−π12,π4]上单调递增,在[−π4,−π12]上单调递减,∴f(x)的最小值为f(−π12)=−2,又f(−π4)=−1,f(π4)=1,∴f(x)的最大值为f(π4)=1.【答案】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(−x)=−f(x),即m−22x+1+m−22−x+1=0,即2m−2=0,即m=1.f(x)=1−22x+1,任取x1<x2,则f(x1)−f(x2)=21+2x2−21+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2),因为x1<x2,所以2x1<2x2,所以f(x1)−f(x2)<0,所以函数f(x)在R上是增函数.因为f(2a+cos2x)+f(4sin x−√2a−1−7)<0,且f(x)是奇函数.所以f(2a+cos2x)<−f(4sin x−√2a−1−7)=f(√2a−1−4sin x+7),因为f(x)在R上单调递增,所以2a+cos2x<√2a−1−4sin x+7,即2a−√2a−1<−cos2x−4sin x+7对任意x∈R都成立,由于−cos2x−4sin x+7=(sin x−2)2+2,其中−1≤sin x≤1,所以(sin x−2)2+2≥3,即最小值为3.所以2a−√2a−1<3,即2a−1−√2a−1−2<0,解得−1<√2a−1<2,由0≤√2a−1<2,得12≤a<52.故实数a的取值范围12≤a<52.。

2018-2019学年天津市六校高一下学期期末联考数学试题(解析版)

2018-2019学年天津市六校高一下学期期末联考数学试题(解析版)

2018-2019学年天津市六校高一下学期期末联考数学试题一、单选题1.已知空间中两点(2,1,4),(4,1,2)A B --,则AB 长为( )A .B .C .D .【答案】C【解析】根据空间中的距离公式,准确计算,即可求解,得到答案. 【详解】由空间中的距离公式,可得AB =,故选C . 【点睛】本题主要考查了空间中的距离公式,其中解答中熟记空间中的距离公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.在ABC ∆中,,a b 分别是角,A B 的对边,1,30a b A ===︒,则角B 为( )A .45︒B .90︒C .135︒D .45︒或135︒【答案】D【解析】由正弦定理,可得sin sin b A B a ==,即可求解B 的大小,得到答案. 【详解】在ABC ∆中,因为1,30a b A ===︒,由正弦定理,可得sin 2sin 30b A B a ===, 又由a b <,且(0,180)B ∈,所以45B =︒或135︒,故选D . 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,其中解答中熟练利用正弦定理,求得sin B 的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 3.在区间[3,3]-上随机选取一个数,则满足1x ≤的概率为( ) A .16B .13C .12D .23【答案】D【解析】在区间[3,3]-上,且满足1x ≤所得区间为[3,1]-,利用区间的长度比,即可求解. 【详解】由题意,在区间[3,3]-上,且满足1x ≤所得区间为[3,1]-, 由长度比的几何概型,可得概率为1(3)423(3)63P --===--,故选D .【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算,其中解答中认真审题,合理利用长度比求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题. 4.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A .若//m α,//m β,则//αβ B .若m α⊥,m n ⊥,则n α⊥ C .若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D .若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C【解析】在A 中,α与β相交或平行;在B 中,//n α或n ⊂α;在C 中,由线面垂直的判定定理得n α⊥;在D 中,m 与β平行或m β⊂. 【详解】设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则: 在A 中,若//m α,//m β,则α与β相交或平行,故A 错误; 在B 中,若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n ⊂α,故B 错误;在C 中,若m α⊥,//m n ,则由线面垂直的判定定理得n α⊥,故C 正确; 在D 中,若αβ⊥,m α⊥,则m 与β平行或m β⊂,故D 错误. 故选:C . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.5.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切,则m =( )A .-11B .9C .19D .21【答案】B【解析】分析:两圆外切,则圆心距等于两圆半径的和。

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天津一中2019学年第二学期高一期末考试
数学学科试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗小玻璃球,若小球落在阴影部分,则可中奖,要想中奖机会最大,应选择的游戏盘是 ( )
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A .至少有1个黑球与都是黑球 B .至少有1个黑球与至少有1个红球 C .恰有1个黑球与恰有2个红球
D .至少有1个黑球与都是红球
3. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.112
B.110
C.15
D.310
4. 如果执行右面的程序框图,那么输出的S =( ) A .2400 B .2450
C .2500
D .2550 5. 用秦九韶算法计算多项式
1876543)(23456++++++=x x x x x x x f
当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 5
6. 不等式
26
01
x x x --->的解集为( )
A .{}
2,3x x x -<或> B .{}
213x x x -<,或<< C .{}
213x x x -<<,或>
D .{}
2113x x x -<<,或<<
7. 各项都是正数的等比数列}{n a 中,132,21
,
a a a 成等差数列,则4
354
a a a a ++的值为( ) A .
21
5- B .
2
1
5+ C .2
5
1- D .
215-或2
1
5+ 8. 三角形的某两边之差为2,这两边夹角的余弦值为3
5
,面积为14,那么此三角形的这两边长分别是( ) A.3,5
B .4,6
C .6,8
D .5,7
9. 下列函数中,最小值为6的是( )
A .)0(9
≠+
=x x
x y
B .9x x y e e -=+⋅
C .)0(sin 9
sin π<<+=x x
x y
D .2log 9log 2x x y +=
10. 已知函数1)(2
--=mx mx x f ,对一切实数0)(,<x f x 恒成立,则m 的范围为 ( ) A .)0,4(-
B.]0,4(-
C .),0()4,(+∞⋃--∞
D .),0[)4,(+∞⋃--∞
二、填空题(每题4分,共24分)
11. 某学院的A ,B ,C 三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的

法抽取一个容量为120的样本。

已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取____名学生。

12.下图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图, 则时速大于60的汽车大约有____辆.
13.一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为______________.
14.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和 .
15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2a =,c =cos 4
A =-
,则b 的值为____________.
16. 已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=+(1,2,3,
)n =,若数列{}n a 是递增数列,则实数λ的
取值范围是____________. 三、解答题(共46分)
17.一个盒子中装有4张卡片,每张卡片上写有1个数字,数字分别是1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
(I )若一次抽取3张卡片,求3张卡片上数字之和大于7的概率;
(II )若第一次抽1张卡片,放回后再抽取1张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.
18.已知函数b
ax x x f +=2
)((,a b 为常数)且方程()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .
(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;
(Ⅱ)设1>k ,解关于x 的不等式x
k
x k x f --+<2)1()(.
19.在△ABC 中,已知B=45°,D 是BC
AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.
20.数列{}n a 满足递推式1331n n n a a -=+-(2)n ≥,且15a =. (Ⅰ)求23,a a 的值;
(Ⅱ)若存在实数λ使3n n a λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列,求λ的值及{}n a 的通项公式;
(Ⅲ)求{}n a 的前n 项和n S .
B
参考答案
一、选择题(每题3分,共30分)
1.A 2.C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B 10.B
二、填空题(每题4分,共24分)
11.40
12.48
13.5
11
14.24 23
15.1
16.(3,)λ∈-+∞
三、解答题(共46分) 17.解:
(1)设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”,
任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).其中数字之和大于7的是(1,3,4),(2,3,4), 所以1()2
P A =
. (2)设B 表示事件“至少一次抽到3”, 第一次抽
1
张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)
(4,4),共16个基本结果.
事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3),共7个基本结果. 所以所求事件的概率为7
()16
P B =. 18.解:
(I )将4,321==x x 分别代入方程
0122
=+-+x b
ax x 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+8416939
b
a b
a
解得,2,1=-=b a 所以函数f (x )的解析式为()2
2x f x x
=-
(II )不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x ①
当21<<k 时,解集为).,2(),1(+∞∈ k x
②当2=k 时,不等式化为()()0122
>--x x , 解集为);,2()2,1(+∞∈ x
当2>k 时,解集为),()2,1(+∞∈k x . 19.解:
在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
cos ∠ADC =2222AD DC AC AD DC +-=100361961
21062+-=-⨯⨯,
∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°, 由正弦定理得
sin sin AB AD
ADB B
=
∠, ∴AB
=
10sin 10sin 60sin sin 45AD ADB B ⨯∠︒
==
=︒
20.解:
(Ⅰ)22133123a a =+-=,33233195a a =+-=.
(Ⅱ)设1133n n n n a a d λλ
--++=+,1332n n n a a d λ-=++,对照已知式,有12λ=-,1d =,此时123n n
a ⎧⎫
-⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩

是首项为1
53232-
=,公差为1的等差数列,于是132121322n n a n n -+=+-=,整理可得211322
n n n a +=⋅+. (Ⅲ)设2132
n
n n b +=⋅,其前n 项和为n T ,则
233572133332222
n
n n T +=⋅+⋅+⋅++⋅, ①
231
3521213 33332222
n n n n n T +-+=⋅+⋅++⋅+⋅, ②
①-②得:
231231
92112123333133333222
2
n n n n n n n T ++++-=
++++-⋅=++++++-
⋅ 1
1
113121332312
n n n n n +++-+=+-⋅=-⋅-,
1
32n n n T +⋅=
,于是()113312222n n n n n n n n S T ++⋅=+=+=+.。

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