边界条件分析举例+1

第 2 章静电场

2.5 静电场的边界条件2.5.2 边界条件分析举例

平板电容面积为S ，带电量分别为Q 与-Q ，电容器的一部分用电

容率为ε的介质填充，另一部分为空气，如图所示。求电容器的电容量、空气与介质分界面上的束缚面电荷密度及自由电荷面密度。

解：S Q D D D ====∴s 21ρh εε0U

0+ + + + + + + + +-

--------D d Q ，S -Q ，S E 1E 2

S Q D

E S Q D E εεεε====2001例1D E →→→=U U Q C 下极板自由电荷密度S Q s =ρ介质面上自由电荷密度ρs '= 0介质与空气的分界面与电场相垂直，电场视为法向, 分界面上有束缚电荷。

21D D =εεD E E D ==

)()(021ε

εd d h S Q d E d h E U +-=+-=d

d h S U Q C 00)(εεεε+-==介质中

)1(0020εεεεε-=-=-=S Q S Q S Q E D P 介质面上)1(0p ε

ερ-===∙=S Q P P n s n

P h εε0U 0+ + + + + + + + +---------D d Q ，S -Q ，S E 1E 2S Q D

E S Q D E εεεε====2001(相当于两电容器的串联)

平板电容的长和宽分别为a 和b ，极间距离为d ，电容器的一半（0 ~ a /2）用电容率ε的介质填充，另一半为空气，极间加电压U 。求极板上的自由电荷密度及此电容器的电容量。

解：d U E =D 不同，D 1 = εE ，D 2 = ε0 E

d

U D d U D 022s 11s ερερ====上极板电荷密度总电量d

U ab ab q )(21)(2102s 1s εερρ+=+=210)(2C C d

ab U q C +=+==εεd εε0U 0----------E ++++++ + + + +D 1D 20 a /2 a

两部分E 相同: E 1 = E 2例2介质与空气的分界面与电场矢量平行，

电场视为切向, 分界面上无束缚电荷.

(相当于两电容器的并联)

讨论

（1）此例中，介质与空气的分界面与电场矢量平行，电场视为切向，因此，分界面上无束缚电荷，而E 1 = E 2

（2）上例中，介质与空气的分界面与电场相垂直，电场视为法向，因此，分界面上有束

缚电荷，而D 1 = D 2（3）介质与极板的分界面上，因电场总与极板垂直，即总在界面的法向上，因此，界面上总有束缚电荷。

（4）图（a ）相当于两电容器的并联C = C 1+ C 2 ；

图（b ）相当于两电容器的串联2121C C C C C +=D 1 D 2图(a )E 1E 2图(b )