高三数学人教版 二轮复习 圆有关的轨迹问题
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圆有关的轨迹问题
一、选择题
1. 已知圆 x2+y2=4，过 A（4，0）作圆的割线 ABC，则弦 BC 中点的轨迹方程是（）
A. （x-2）2+y2=4
B. （x-2）2+y2=4（0≤x＜1）
C. （x-1）2+y2=4
D. （x-1）2+y2=4（0≤x＜1）
2. 已知 M 是圆 C：x2+y2=1 上的动点，点 N（2，0），则 MN 的中点 P 的轨迹方程是
∴△MON 面积的最大值为 ．
15. 解：（1）设动圆的半径为 r，则|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4＞|F1F2|，
由椭圆的定义知动圆圆心 C 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，a=2，c=1，所以
，
动圆圆心 C 的轨迹方程是
．
（2）当直线 MN 斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四边形 PMQN 的面积 S=8．
，
令 k2+1=t，t＞1，上式
，
令 2t+1=z，（z＞3），
（z
＞3），∴
，∴S＞8（1+0）=8，
综上可得 S≥8，最小值为 8．
16. 解：（Ⅰ）由已知可设圆心 N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有
，解得：a=2．
于是圆 N 的圆心 N（2，4），半径
．
所以，圆 N 的方程为（x-2）2+（y-4）2=10． （Ⅱ）N（2，4）关于 x-y+3=0 的对称点为（1，5）， 所以圆 N 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程为（x-1）2+（y-5）2=10
4. 解：把 MN 平移到面 A1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN
所成角为 θ， 直线 D1P 与 MN 所成角的最小值，是直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，
即原问题转化为：直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角为 ，
点 P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分， ∵点 P 是△ A1C1D 内的动点（不包括边界） ∴则点 P 的轨迹是椭圆的一部分． 故选：B． 把 MN 平移到面 A1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN 所成角为 θ，直线 D1P 与 MN 所成角的 最小值，是直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，即原问题转化为：直线 D1P 与面 A1B1C1D1
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∴曲线 E 是以坐标原点为中心，C（-1，0）和 A（1，0）为焦点，长轴长为 2 的椭圆．
设曲线 E 的方程为
=1，（a＞b＞0）．
∵c=1，a= ，∴b2=2-1=1．
∴曲线 E 的方程为
．
（Ⅱ）设 M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
消去 y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
2. 解：设线段 MN 中点 P（x，y），则 M（2x-2，2y）．
∵M 在圆 C：x2+y2=1 上运动，
∴（2x-2）2+（2y）2=1，即（x-1）2+y2= ．
故选 A． 设出线段 MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 M 的坐标，根据 M 在圆上，得到轨 迹方程． 本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．
8. 自圆 x2+y2=4 上点 A（2，0）引此圆的弦 AB，则弦的中点的轨迹方程为______ ．
9. 已知动圆 M 与圆 C1：（x+1）2+y2=1，圆 C2：（x-1）2+y2=25 均内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是______．
10. 已知圆 x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q 为圆上动点，若∠PBQ=90°，则线
求 BC 中点 M 的轨迹方程为______ ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
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13. 已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2-8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
14. （1）求 M 的轨迹方程； 15. （2）当|OP|=|OM|时，求 l 的方程及△ POM 的面积． 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 已知圆 C：（x+1）2+y2=8，点 A（1，0），P 是圆 C 上任意一点，线段 AP 的垂直
3. 解：设 P 点的坐标为（x，y），
∵A（-2，0）、B（1，0），动点 P 满足|PA|=2|PB|，
∴
，平方得（x+2）2+y2=4[（x-1）2+y2]，
即（x-2）2+y2=4． ∴P 的轨迹为圆． 故选：C． 设 P 点的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|， 化简整理得答案． 本题考查动点的轨迹的求法，着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程，属于中档 题．
此时有△ =16k2-8m2+8＞0． 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=
∴|MN|=
=
，x1x2=
，．
∵原点 O 到直线 l 的距离 d= -，
∴S△ MON=
=．
又 m≠0，
∴据基本不等式，得 S△ MON=
．
，由△ ＞0，得 2k2-m2+1＞0．
≤
=，
当且仅当 m2= 时，不等式取等号．
（Ⅲ）设 M（x，y），D（x1，y1），则由 C（3，0）及 M 为线段 CD 的中点得：
，
解得：
．
又点 D 在圆 N：（x-2）2+（y-4）2=10 上，所以有（2x-3-2）2+（2y-4）2=10，
化简得：
．
故所求的轨迹方程为
．
17. 解：（1）设 M（x，y），则 Q（2x+1，2y），
A. π
B. 4π
C. 9π
6. 复数 z 满足条件：|2z+1|=|z-i|，那么 z 对应的点的轨迹是（
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
二、填空题
D. 16π
）
D. 抛物线
7. 在平面直角坐标系 xoy 中，A，B 是圆 x2+y2=4 上的两个动点，且 AB=2，则线段 AB
中点 M 的轨迹方程为______ ．
（）
A. （x-1）2+y2=
B. （x-1）2+y2=
C. （x+1）2+y2=
D. （x+1）2+y2=
3. 已知两定点 A（-2，0），B（1，0），若动点 P 满足|PA|=2|PB|，则 P 的轨迹为（）
A. 直线
B. 线段
C. 圆
D. 半圆
4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点，点 P 是△ A1C1D
当直线 MN 斜率存在时，设其方程为 y=k（x-1）（k≠0），联立方程得
，消元
得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则
∵PQ⊥MN，∴直线 PQ 的方程为
，
，得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0
设 P（x3，y3），Q（x4，y4），则
四边形 PMQN 的面积
为半径的圆，
∴直线 l 的斜率为- ．
∴直线 PM 的方程为
，即 x+3y-8=0．
则 O 到直线 l 的距离为
．
又 N 到 l 的距离为
，
∴|PM|=
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=．
∴
．
14. 解：（Ⅰ）∵点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=2 ，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．
F2 三点共线，P，Q，F2 三点共线，PQ⊥MN，求四边形 PMQN 的面积的最小值． 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 已知圆 N 经过点 A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线 3x-y-2=0 上． 44. （Ⅰ）求圆 N 的方程； 45. （Ⅱ）求圆 N 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程． 46. （Ⅲ）若点 D 为圆 N 上任意一点，且点 C（3，0），求线段 CD 的中点 M 的轨迹
段 PQ 中点的轨迹方程为______．
11. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A（-1，0），B（0，1），则满足 PA2-PB2=4 且在圆 x2+y2=4
上的点 P 的个数为______． 12. 点 A（0，2）是圆 O：x2+y2=16 内定点，B，C 是这个圆上的两动点，若 BA⊥CA，
∵Q 在圆 x2+y2=4 上，∴（2x+1）2+4y2=4，
即（x+ ）2+y2=1．
∴轨迹 C 的方程是（x+ ）2+y2=1． （2）直线 PQ 方程为：y=x+1， 圆心 C 到直线 PQ 的距离为 d= = ，
∴|MN|=2
=，
∴△CMN 的面积为
=
=．
【解析】
1. 解：设弦 BC 中点（x，y），过 A 的直线的斜
面积． 57. 58. 59. 60. 61.
答案和解析
【答案】
1. B
2. A
3. C
4. B
5. D
6. A
7. x2+y2=3 8. （x-1）2+y2=1，（x≠2）
9.
．
10. x2+y2-x-y-1=0 11. 2 12. x2+y2-2y-6=0 13. 解：（1）由圆 C：x2+y2-8y=0，得 x2+（y-4）2=16，
∴圆 C 的圆心坐标为（0，4），半径为 4．
设 M（x，y），则
，
．
由题意可得：
．
即 x（2-x）+（y-4）（2-y）=0． 整理得：（x-1）2+（y-3）2=2． ∴M 的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2． （2）由（1）知 M 的轨迹是以点 N（1，3）为圆心， 由于|OP|=|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上， 又 P 在圆 N 上， 从而 ON⊥PM． ∵kON=3，
平分线交 CP 于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 E． 24. （1）求曲线 E 的方程； 25. （2）若直线 l：y=kx+m 与曲线 E 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，求△ MON 面
积的最大值． 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 已知动圆 C 过定点 F2（1，0），并且内切于定圆 F1：（x+1）2+y2=16． 34. （1）求动圆圆心 C 的轨迹方程； 35. （2）若 y2=4x 上存在两个点 M，N，（1）中曲线上有两个点 P，Q，并且 M，N，
内的动点（不包括边界），记直线 D1P 与 MN 所成角为 θ，若 θ 的最小值为 ，则
点 P 的轨迹是（）
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 双曲线的一部分
5. 已知两定点 A（-3，0），B（3，0），如果动点 P 满足|PA|=2|PB|，则点 P 的轨迹
所包围的图形的面积等于（）
所成角为 ，求点 P 的轨迹．点 P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分，则点 P 的轨迹是
椭圆的一部分． 本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．
5. 解：设 P（x，y），则|PA|=
，|PB|=
，
∵|PA|=2|PB|，∴（x+3）2+y2=4[（x-3）2+y2]，即 x2+y2-10x+9=0，化为标准式方程得（x-5） 2+y2=16． 即 P 的轨迹所包围的图形为半径为 4 的圆，该圆的面积 S=π×42=16π． 故选：D． 设出 P 点坐标，根据|PA|=2|PB|列出方程整理出 P 的轨迹方程，判断图形计算面积． 本题考查了轨迹方程的求法，属于基础题．
率为 k， 割线 ABC 的方程：y=k（x-4）； 作圆的割线 ABC，所以中点与圆心连线与割线 ABC 垂直，方程为：x+ky=0； 因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故 弦 BC 中点的轨迹方程 是：x2+y2-4x=0 如图 故选 B．
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结合图形，不难直接得到结果；也可以具体求解，使用交点轨迹法，见解答． 本题考查形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，易错题，中档 题．
6. 解：设复数 z=x+yi，x，y∈R，
∵|2z+1|=|z-i|，
∴|2z+1|2=|z-i|2， ∴（2x+1）2+4y2=x2+（y-1）2， 化简可得 3x2+3y2+4x+2y=0， 满足 42+22-4×3×0=20＞0，表示圆， 故选：A 设复数 z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得． 本题考查复数的模，涉及轨迹方程的求解和圆的方程，属基础题．
方程． 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 已知圆 O：x2+y2=4 及一点 P（-1，0），Q 在圆 O 上
运动一周，PQ 的中点 M 形成轨迹 C．
55. （1）求轨迹 C 的方程； 56. （2）若直线 PQ 的斜率为 1，该直线与轨迹 C 交于异于 M 的一点 N，求△ CMN 的
一、选择题
1. 已知圆 x2+y2=4，过 A（4，0）作圆的割线 ABC，则弦 BC 中点的轨迹方程是（）
A. （x-2）2+y2=4
B. （x-2）2+y2=4（0≤x＜1）
C. （x-1）2+y2=4
D. （x-1）2+y2=4（0≤x＜1）
2. 已知 M 是圆 C：x2+y2=1 上的动点，点 N（2，0），则 MN 的中点 P 的轨迹方程是
∴△MON 面积的最大值为 ．
15. 解：（1）设动圆的半径为 r，则|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4＞|F1F2|，
由椭圆的定义知动圆圆心 C 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，a=2，c=1，所以
，
动圆圆心 C 的轨迹方程是
．
（2）当直线 MN 斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四边形 PMQN 的面积 S=8．
，
令 k2+1=t，t＞1，上式
，
令 2t+1=z，（z＞3），
（z
＞3），∴
，∴S＞8（1+0）=8，
综上可得 S≥8，最小值为 8．
16. 解：（Ⅰ）由已知可设圆心 N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有
，解得：a=2．
于是圆 N 的圆心 N（2，4），半径
．
所以，圆 N 的方程为（x-2）2+（y-4）2=10． （Ⅱ）N（2，4）关于 x-y+3=0 的对称点为（1，5）， 所以圆 N 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程为（x-1）2+（y-5）2=10
4. 解：把 MN 平移到面 A1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN
所成角为 θ， 直线 D1P 与 MN 所成角的最小值，是直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，
即原问题转化为：直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角为 ，
点 P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分， ∵点 P 是△ A1C1D 内的动点（不包括边界） ∴则点 P 的轨迹是椭圆的一部分． 故选：B． 把 MN 平移到面 A1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN 所成角为 θ，直线 D1P 与 MN 所成角的 最小值，是直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，即原问题转化为：直线 D1P 与面 A1B1C1D1
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∴曲线 E 是以坐标原点为中心，C（-1，0）和 A（1，0）为焦点，长轴长为 2 的椭圆．
设曲线 E 的方程为
=1，（a＞b＞0）．
∵c=1，a= ，∴b2=2-1=1．
∴曲线 E 的方程为
．
（Ⅱ）设 M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
消去 y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
2. 解：设线段 MN 中点 P（x，y），则 M（2x-2，2y）．
∵M 在圆 C：x2+y2=1 上运动，
∴（2x-2）2+（2y）2=1，即（x-1）2+y2= ．
故选 A． 设出线段 MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 M 的坐标，根据 M 在圆上，得到轨 迹方程． 本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．
8. 自圆 x2+y2=4 上点 A（2，0）引此圆的弦 AB，则弦的中点的轨迹方程为______ ．
9. 已知动圆 M 与圆 C1：（x+1）2+y2=1，圆 C2：（x-1）2+y2=25 均内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是______．
10. 已知圆 x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q 为圆上动点，若∠PBQ=90°，则线
求 BC 中点 M 的轨迹方程为______ ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
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13. 已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2-8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
14. （1）求 M 的轨迹方程； 15. （2）当|OP|=|OM|时，求 l 的方程及△ POM 的面积． 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 已知圆 C：（x+1）2+y2=8，点 A（1，0），P 是圆 C 上任意一点，线段 AP 的垂直
3. 解：设 P 点的坐标为（x，y），
∵A（-2，0）、B（1，0），动点 P 满足|PA|=2|PB|，
∴
，平方得（x+2）2+y2=4[（x-1）2+y2]，
即（x-2）2+y2=4． ∴P 的轨迹为圆． 故选：C． 设 P 点的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|， 化简整理得答案． 本题考查动点的轨迹的求法，着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程，属于中档 题．
此时有△ =16k2-8m2+8＞0． 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=
∴|MN|=
=
，x1x2=
，．
∵原点 O 到直线 l 的距离 d= -，
∴S△ MON=
=．
又 m≠0，
∴据基本不等式，得 S△ MON=
．
，由△ ＞0，得 2k2-m2+1＞0．
≤
=，
当且仅当 m2= 时，不等式取等号．
（Ⅲ）设 M（x，y），D（x1，y1），则由 C（3，0）及 M 为线段 CD 的中点得：
，
解得：
．
又点 D 在圆 N：（x-2）2+（y-4）2=10 上，所以有（2x-3-2）2+（2y-4）2=10，
化简得：
．
故所求的轨迹方程为
．
17. 解：（1）设 M（x，y），则 Q（2x+1，2y），
A. π
B. 4π
C. 9π
6. 复数 z 满足条件：|2z+1|=|z-i|，那么 z 对应的点的轨迹是（
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
二、填空题
D. 16π
）
D. 抛物线
7. 在平面直角坐标系 xoy 中，A，B 是圆 x2+y2=4 上的两个动点，且 AB=2，则线段 AB
中点 M 的轨迹方程为______ ．
（）
A. （x-1）2+y2=
B. （x-1）2+y2=
C. （x+1）2+y2=
D. （x+1）2+y2=
3. 已知两定点 A（-2，0），B（1，0），若动点 P 满足|PA|=2|PB|，则 P 的轨迹为（）
A. 直线
B. 线段
C. 圆
D. 半圆
4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点，点 P 是△ A1C1D
当直线 MN 斜率存在时，设其方程为 y=k（x-1）（k≠0），联立方程得
，消元
得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则
∵PQ⊥MN，∴直线 PQ 的方程为
，
，得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0
设 P（x3，y3），Q（x4，y4），则
四边形 PMQN 的面积
为半径的圆，
∴直线 l 的斜率为- ．
∴直线 PM 的方程为
，即 x+3y-8=0．
则 O 到直线 l 的距离为
．
又 N 到 l 的距离为
，
∴|PM|=
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=．
∴
．
14. 解：（Ⅰ）∵点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=2 ，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．
F2 三点共线，P，Q，F2 三点共线，PQ⊥MN，求四边形 PMQN 的面积的最小值． 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 已知圆 N 经过点 A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线 3x-y-2=0 上． 44. （Ⅰ）求圆 N 的方程； 45. （Ⅱ）求圆 N 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程． 46. （Ⅲ）若点 D 为圆 N 上任意一点，且点 C（3，0），求线段 CD 的中点 M 的轨迹
段 PQ 中点的轨迹方程为______．
11. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A（-1，0），B（0，1），则满足 PA2-PB2=4 且在圆 x2+y2=4
上的点 P 的个数为______． 12. 点 A（0，2）是圆 O：x2+y2=16 内定点，B，C 是这个圆上的两动点，若 BA⊥CA，
∵Q 在圆 x2+y2=4 上，∴（2x+1）2+4y2=4，
即（x+ ）2+y2=1．
∴轨迹 C 的方程是（x+ ）2+y2=1． （2）直线 PQ 方程为：y=x+1， 圆心 C 到直线 PQ 的距离为 d= = ，
∴|MN|=2
=，
∴△CMN 的面积为
=
=．
【解析】
1. 解：设弦 BC 中点（x，y），过 A 的直线的斜
面积． 57. 58. 59. 60. 61.
答案和解析
【答案】
1. B
2. A
3. C
4. B
5. D
6. A
7. x2+y2=3 8. （x-1）2+y2=1，（x≠2）
9.
．
10. x2+y2-x-y-1=0 11. 2 12. x2+y2-2y-6=0 13. 解：（1）由圆 C：x2+y2-8y=0，得 x2+（y-4）2=16，
∴圆 C 的圆心坐标为（0，4），半径为 4．
设 M（x，y），则
，
．
由题意可得：
．
即 x（2-x）+（y-4）（2-y）=0． 整理得：（x-1）2+（y-3）2=2． ∴M 的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2． （2）由（1）知 M 的轨迹是以点 N（1，3）为圆心， 由于|OP|=|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上， 又 P 在圆 N 上， 从而 ON⊥PM． ∵kON=3，
平分线交 CP 于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 E． 24. （1）求曲线 E 的方程； 25. （2）若直线 l：y=kx+m 与曲线 E 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，求△ MON 面
积的最大值． 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 已知动圆 C 过定点 F2（1，0），并且内切于定圆 F1：（x+1）2+y2=16． 34. （1）求动圆圆心 C 的轨迹方程； 35. （2）若 y2=4x 上存在两个点 M，N，（1）中曲线上有两个点 P，Q，并且 M，N，
内的动点（不包括边界），记直线 D1P 与 MN 所成角为 θ，若 θ 的最小值为 ，则
点 P 的轨迹是（）
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 双曲线的一部分
5. 已知两定点 A（-3，0），B（3，0），如果动点 P 满足|PA|=2|PB|，则点 P 的轨迹
所包围的图形的面积等于（）
所成角为 ，求点 P 的轨迹．点 P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分，则点 P 的轨迹是
椭圆的一部分． 本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．
5. 解：设 P（x，y），则|PA|=
，|PB|=
，
∵|PA|=2|PB|，∴（x+3）2+y2=4[（x-3）2+y2]，即 x2+y2-10x+9=0，化为标准式方程得（x-5） 2+y2=16． 即 P 的轨迹所包围的图形为半径为 4 的圆，该圆的面积 S=π×42=16π． 故选：D． 设出 P 点坐标，根据|PA|=2|PB|列出方程整理出 P 的轨迹方程，判断图形计算面积． 本题考查了轨迹方程的求法，属于基础题．
率为 k， 割线 ABC 的方程：y=k（x-4）； 作圆的割线 ABC，所以中点与圆心连线与割线 ABC 垂直，方程为：x+ky=0； 因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故 弦 BC 中点的轨迹方程 是：x2+y2-4x=0 如图 故选 B．
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结合图形，不难直接得到结果；也可以具体求解，使用交点轨迹法，见解答． 本题考查形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，易错题，中档 题．
6. 解：设复数 z=x+yi，x，y∈R，
∵|2z+1|=|z-i|，
∴|2z+1|2=|z-i|2， ∴（2x+1）2+4y2=x2+（y-1）2， 化简可得 3x2+3y2+4x+2y=0， 满足 42+22-4×3×0=20＞0，表示圆， 故选：A 设复数 z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得． 本题考查复数的模，涉及轨迹方程的求解和圆的方程，属基础题．
方程． 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 已知圆 O：x2+y2=4 及一点 P（-1，0），Q 在圆 O 上
运动一周，PQ 的中点 M 形成轨迹 C．
55. （1）求轨迹 C 的方程； 56. （2）若直线 PQ 的斜率为 1，该直线与轨迹 C 交于异于 M 的一点 N，求△ CMN 的