机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案

1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员

21x x ； （2）建立数学模型的目标函数；

取检验费用为目标函数，即：

f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ）

=40x 1+ 36x 2

（3）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0

g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0

g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0

1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d

x x x ][][2

32

1

==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，

簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下

3

22234

881

,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），

解： （1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；

取弹簧重量为目标函数，即：

f (X ) =

322

12

4

x x rx π

（3）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X ) =

322

12

4

x x rx π X ∈R 3·

s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0

g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+

31

2

218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-4

1

3

3

28Gx x Fx ≤0

1-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡h r x x

21高底面半径 , 表面积为目标函数，即：

min f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2

考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：

min f (X ) =

πx 12 + 2π x 1 x 2

X =[x 1,x 2]T ∈R 2

s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0

g 2(X ) = -x 2 ≤0

h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 0

1-4 要建造一个容积为1500 m 3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；

取总价格为目标函数，即：

f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2

（3）建立数学模型的约束函数；

1）仓库的容积为1500 m 3。即：

1500-x 1 x 2 x 3 =0

2）仓库宽度为高度的两倍。即：

x 2 -2 x 3 = 0

3）各变量取值应大于0，即：

x 1 > 0, x 2 .> 0.，则 -x 1 ≤0，-x 2 ≤0

（4）本问题的最优化设计数学模型：

min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0

g 2(X ) = -x 2 ≤0 g 3(X ) = -x 3 ≤0

h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 0

1-5 绘出约束条件：

82

22

1≤+x x ； 822

21≤+-x x ； 421≤x x 所确定的可行域

1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量： 1[13

2]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。

第二章习题答案

2-1 请作示意图解释：(1)

()()()k k k k α+=+X

X S 的几何意义。

2-2 已知两向量12[1

220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。

2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。

2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T

=-S 的方向导数

(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。

2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为

22

12121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0

T

f x x x x

g x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X

求：

(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、

、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解1*

X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*

X 和2()f *X ； (3) 若加入一个等式约束条件：

12()0h x x =-=X

求此时的最优解3*

X ，3()f *X 。

解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2 。其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。