2012~2013学年高一下学期期中考试数学试卷

合集下载

安徽省池州一中下学期高一年级期中考试数学试卷

安徽省池州市第一中学2012～2013学年度第二学期期中教学质量检测高一数学试题满分：150分时间：120分钟命题人：唐大军一、选择题(每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，2,60a b C ︒===，则ABCS ∆=（）.A ．BCD ． 322．已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．若集合{}4|2>=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=013|x x x N ，则M N I = （） A ．{2}x x <- B ．{23}x x << C ．{23}x x x <->或 D ．{3}x x > 4．在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 是（）. A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（） ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b aa b+>A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列不等式的解集是R 的为( )A ．0122>++x x B ．02>x C ．01)21(>+xD ．xx 1311<- 7．已知{}n a 是等差数列，12784,28a a a a +=+=，则该数列的前10项和10S 等于（）A ．64B ．100C ．110D ． 1208．△ABC 的三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且22()1a b c bc--=，则A=( ) A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒D ．150︒9．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（） A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．15810．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n n ab 为整数的正整数n 的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4D ．5二、填空题（每题5分，共25分）11．若实数a,b 满足a+b=2,则ba 33+的最小值是 .12．等差数列{}n a 中192820a a a a +++=，则37a a += . 13．不等式220ax bx ++＞的解集是11(,)23-，则a b +的值是 . 14．已知数列{}n a 中，112,21n n a a a -==-，则通项n a = . 15．给出下列四个命题：①函数xx x f 9)(+=的最小值为6； ②不等式112<+x x的解集是}11{<<-x x ； ③若bba ab a +>+->>11,1则； ④若1,2<<b a ，则1<-b a .所有正确命题的序号是三、解答题（共75分）16．（本小题12分）已知函数4()9f x x x=+，（1）若0x >，求()f x 的最小值及此时的x 值。

江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）一元二次不等式（x﹣1）（x﹣3）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．2．（5分）已知数列1，，，，…的一个通项公式是a n=．，，，，，，，，，，=故答案为：3．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为第14项．＞4．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=2，a6=16，则公比q=2．得则5．（5分）cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为．故答案为：6．（5分）（2013•大连一模）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．cosC=故答案为：7．（5分）在△ABC中，若A=45°，a=，B=60°，则b=．，=得：=故答案为：8．（5分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．9．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的同侧，则a的取值范围为（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）．10．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a13=10，则a3+a5+a7+a9+a11=25．11．（5分）设s n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则=﹣11．项和公式表示∴12．（5分）数列{a n}满足a n=（n∈N*），则等于．依题意，利用裂项法可求得（﹣（∴﹣）∴+）（﹣﹣﹣．故答案为：．本题考查裂项法求和，求得（﹣13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．b=+ax+aa+ax++ax+∴a14．（5分）对于k∈N*，g（k）表示k的最大奇数因子，如：g（3）=3，g（20）=5，设S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n），则S n=．+2故答案为：二．解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知：tanα=﹣，求的值；（2）已知α∈（0，），sin，sin（α+β）=，求cosα的值．，∴=，﹣=，，（，）﹣﹣（﹣×16．（14分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．（Ⅰ）用余弦定理证明：当∠C为钝角时，a2+b2＜c2；（Ⅱ）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．，（13分）外接圆的半径17．（15分）（2010•长宁区二模）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．）由条件得∵，∴18．（15分）如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．（1）求BD2的值；（2）求线段AE的长．=2+由正弦定理可得：19．（16分）（2007•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．∴=+﹣Tn=+﹣20．（16分）（2013•盐城一模）若数列{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C n，使得b n+1=a，并求数列{c n}的前n项和T n；（3）设数列{d n}满足d n=a n•b n，且{d n}中不存在这样的项d t，使得“d k＜d k﹣1与d k＜d k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．=b）的结论，得＜2m∴，则=）的结论，得﹣＜＜，解之得，即，则当t=m，即++t=的取值范围是≤t=。

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

扬州市江都市甘棠中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

2012-2013学年江苏省扬州市江都市甘棠中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为6﹣．﹣故答案为2．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空：（1）样本数据落在范围[6，10）内的频率为0.32（2）样本数据落在范围[10，18）内的频数为48（3）样本数据落在范围[2，10）的概率约为0.4．3．函数y=（m2+2m﹣2）x是幂函数，则m=﹣3．时，4．已知函数，则=．，（4解：∵函数，）4=．故答案为：．5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为．=．故答案为：．6．若实数a满足a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|（t∈R）恒成立，则函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的单调减区间为（﹣∞，2）．，7．计算2log510+log50.25的值为2．8．（2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若，则m=sinθ．（用θ表示），可得⊥，可得其数量积为化简后的等式两边同时乘以，则有⊥，得•∴两边同乘，化简得：由正弦定理==9．（2012•芜湖二模）=3．=x﹣）10．（2011•扬州模拟）设M={a|a=（2，0）+m（0，1）}，m∈R和N={b|b=（1，1）+n（1，﹣1）}，n∈R都是元素为向量的集合，则M∩N={（2，0）}．解得11．（2012•海淀区二模）在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是．=的面积大于等于，即可算出的面积大于等于AD=S=的面积大于等于的面积大于等于P=故答案为：的概率的概率，着重考查了正方形的性质、三角形面积公式和几何概型计算公12．在△ABC中，已知cosA=，cosB=，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，则c=．cosA=cosB=，，﹣=，，，=得：==故答案为：13．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为2x﹣3y=0或x+y+5=0．=y=14．函数f（x）=点x=1处可导，则a=2，b=﹣1．处连续，由连续定义可得=a+b=f=a+b=f二、解答题15．若函数y=f（x）在x=a及x=b之间的一段图象可以近似地看作直线，且a≤c≤b，求证：f（c）≈f（a）+．的方程是16．（10分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AD1与A1D相交于点O．（1）判断AD1与平面A1B1CD的位置关系，并证明；（2）求直线AB1与平面A1B1CD所成的角．17．（10分）已知函数（1）讨论函数f（x）的极值情况；（2）设g（x）=ln（x+1），当x1＞x2＞0时，试比较f（x1﹣x2）与g（x1﹣x2）及g（x1）﹣g（x2）三者的大小；并说明理由．，②=且在（﹣恒成立18．（13分）设函数f（x）=﹣（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的值域．）由）取得最大值为===，因此函数．19．（2012•绵阳三模）已知函数f（x）=+blnx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y﹣2=0．（I）用a表示b，c；（II）若函数g（x）=x﹣f（x）在x∈（0，1]上的最大值为2，求实数a的取值范围．﹣﹣﹣=20．已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=﹣x的距离等于．（1）求圆C的方程；（2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求x2+y2的取值范围．的距离等于d=d+r=﹣（，]。

高一南京市板桥中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

2012-2013学年江苏省南京市板桥中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题3分1．（3分）不等式x2﹣x﹣2≤0的整数解共有4个．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先求出一元二次不等式的解集，再求出解集中的整数解．解答：解：x2﹣x﹣2≤0即为（x﹣2）（x+1）≤0所以﹣1≤x≤2所以整数解有﹣1，0，1，2共有4个故答案为：4点评：解一元二次不等式时先求出相应的一元二次方程的根，再写出二次不等式的解集．2．（3分）若集合A={x|x2﹣1＜0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=（0，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先根据一元二次不等式的解法求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．解答：解：A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}B={x|x＞0}，∴A∩B=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集的方法，属于基础题．3．（3分）在△ABC中，如果a：b：c=3：2：4，那么cosC=．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：可设三边分别为3k，2k，4k，由余弦定理可得16k2=9k2+4k2﹣12k2cosC，解方程求得cosC的值．解答：解：∵a：b：c=3：2：4，故可设三边分别为3k，2k，4k，由余弦定理可得16k2=9k2+4k2﹣12k2cosC，解得cosC=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查余弦定理的应用，设出三边的长分别为3k，2k，4k，是解题的关键．4．（3分）在等差数列{a n}中，当a2+a9=2时，它的前10项和S10=10．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的数列的两项之和，做出第一项和第十项的和，把它代入求数列的前10项和的公式，得到结果．解答：解：∵a2+a9=2∴a1+a10=2，∴S10==10故答案为：10点评：本题考查数列的性质，本题解题的关键是看出数列的前10项和要用的两项之和的结果，本题是一个基础题．5．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知，则△ABC的形状是直角三角形．考点：三角形的形状判断；正弦定理．专题：计算题．分析：由A的度数，a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由A和B的度数，由三角形的内角和定理求出C的度数，得到C为直角，故三角形ABC为直角三角形．解答：解：由，根据正弦定理=得：sinB===，由B为三角形的内角，得到B=或，当B=，A=，A+B=＞π，与三角形的内角和定理矛盾，舍去，∴B=，A=，则C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形点评：此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求角B时注意利用三角形的内角和定理检验，得到满足题意的B的度数．6．（3分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求解答：解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：点评：本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（3分）（2012•长春模拟）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．解答：解：依题意可得，d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．8．（3分）（2011•上海）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=﹣7．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．解答：解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8===﹣7故答案为：﹣7．点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．9．（3分）在等比数列{a n}中，若a2=2，a6=32，则a4=8．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的等比数列的两项和等比中项的公式，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，端点第四项是一个正数，得到结果．解答：解：∵等比数列{a n}中，a2=2，a6=32，∴a42=a2•a6=2×32=64∴a4=±8∵a4与a2，a6的符号相同，∴a4=8故答案为：8点评：本题考查等比数列的性质，本题解题的关键是判断出第四项的符号与第二项和第六项的符号相同，本题是一个基础题．10．（3分）在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则的值为﹣20．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由余弦定理及已知条件三角形三边长，可求出C角的余弦值，进而代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵△ABC中，a=5，b=8，c=7，∴cosC===∵C∈（0，π），∴C=因此，=abcos（π﹣C）=5×8×cos=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，余弦定理，其中由余弦定理求出C角的余弦值是解答的关键．11．（3分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=l，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥3时，log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1=2n2﹣n．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先根据等比数列的性质化简已知的等式，由a n＞0，开方即可求出a n的值，然后把所求的式子先利用对数的运算性质化简，再把项数之和为2n的两项结合，利用等比数列的性质化简，进而把求出的a n的值代入后，再利用对数的运算法则计算即可求出值．解答：解：由a5•a2n﹣5=a n2=22n，且a n＞0，解得a n=2n，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1===2n2﹣n．故答案为：2n2﹣n点评：此题考查了等比数列的性质，以及对数的运算法则．熟练运用等比数列的性质与对数的运算法则是解本题的关键．12．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若，且，则∠C=15°或105°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入化简后得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，进而求出sinA的值，又b比a的值，利用正弦定理得到sinB与sinA的比值，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数．解答：解：因为，所以根据余弦定理得：cosA==，由∠A∈（0，180°），得到∠A=30°，则sinA=，又，根据正弦定理得：==，即sinB=sinA=，由∠B∈（0，180°），得到∠B=45°或135°，则∠C=15°或105°．故答案为：15°或105°点评：此题的突破点是利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值．本题的答案有两解，产生两解的原因是在（0，180°）范围内正弦值对应两个角，学生做题时容易遗漏解．13．（3分）设{a n}是正项数列，它的前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）•（a n+3），则a1005= 2011．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．从而得到a1005．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，∴a1005=2×1005+1=2011．故答案为：2011．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意数列通项公式的求解方法，合理地进行等价转化．14．（3分）若正实数x，y满足x+y=1，且．则当t取最大值时x的值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：结合已知条件可得，=，利用基本不等式可求式子的最大值，以及取得最大值时条件，从而可得x的值．解答：解：∵正实数x，y满足x+y=1，∴=≤3﹣2=2，（当且仅当，即y=时取等号）∴x=1﹣y=故答案为点评：本题主要考查了利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求解最值时要注意检验等号成立的条件是否具备．二、解答题：（第15题8分，16-20题每题10分）15．（8分）（2010•长宁区二模）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．考点：一元二次不等式的应用；函数单调性的性质．分析：由不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）知：﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由韦达定理便可解得a，b的值．由第（1）问求得f（x）的解析式，得知f（x）的开口方向以及对称轴，判断出f（x）在[m，1]上的单调性，然后由最小值等于1列方程，解得m的值．解答：解：（1）由条件得解得：a=﹣1，b=4．（2）f（x）=﹣x2+2x+3函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，∴x=m时f（x）min=﹣m2+2m+3=1解得．∵，∴．点评：考查一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的单调性．16．（10分）已知．（1）求tan（α+β），tan（α﹣β）；（2）求α+β的值（其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°）．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值；（2）由α与β的范围求出α+β的范围，根据tan（α+β）的值，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．解答：解：（1）∵tanα=，tanβ=﹣2，∴tan（α+β）===﹣1，tan（α﹣β）===7；（2）∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，∴90°＜α+β＜270°，∵tan（α+β）=﹣1，∴α+β=135°．点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（10分）（2010•陕西）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．考点：余弦定理；正弦定理．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用．属基础题．18．（10分）等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求前20项的和S20．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，即，把已知代入可求d，进而可求a n．（2）由等差数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，∴∴（10+2d）2=（10﹣d）（10+6d）解可得，d=1∴a n=a4+（n﹣4）d=n+6，（5分）．（2）由等差数列的求和公式可得，=330，（5分）．点评：本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题19．（10分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元，若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？考点：数列的应用；等差数列的前n项和．专题：应用题．分析：设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共，付出投资81万元，由此可知利润y=30n﹣（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．解答：解：设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共（2分）因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0（3分）解得：3＜n＜27，．（4分）所以从第4年开始获取纯利润．（5分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（10分）（2010•海淀区二模）在△ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c．（1）求cosA的值；（2）若，求b的值．考点：余弦定理的应用；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）根据a，b，c成等差数列及a=2c求得b=c代入余弦定理求得cosA的值．（II）由（I）cosA，求出sinA．根据正弦定理及求得c，进而求出b．解答：解：（I）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b又a=2c，可得b= c∴cosA==﹣（II）由（I）cosA=，A∈（0，π），∴sinA==因为若，S△ABC=bcsinA，∴S△ABC=bcsinA==得c2=4，即c=2，b=3点评：本题主要考查余弦定理的应用．利用余弦定理，可以判断三角形形状．解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理，故应重点掌握，灵活运用．。

北京101中学-年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案-精选

北京101中学2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分.1. 在ABC ∆中，4,60,45a A B ==︒=︒，则边b 的值为（）A.364 B. 222+ C. 62 D.132+2. 已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（） A. 9 B. 3C. －3D. －63. 下列结论正确的是（）A. 若bc ac <，则b a <B. 若22a b <，则b a < C. 若0,<>c b a ，则bc ac < D. 若b a <，则b a >4. 若不等式022>-+bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则实数b a ,的值为（） A. 3,1==b a B. 3,1=-=b a C. 3,1-=-=b aD. 3,1-==b a5. 在ABC ∆中，2,2,cos b ac c a B ==的值为（）A. 14B. 34C. 4D. 3 6. 点)1,(a 在直线042=+-y x 的右下方，则a 的取值范围是（） A. ),2(+∞- B. )2,(--∞ C. ),1(+∞ D. )1,(-∞7. 为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o 方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o 方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为（）A. 10海里B. 20海里海里8. 已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+.给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f . 其中正确的个数为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项之和9S ＝ .10. 已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是 . 11. 111133557+++⨯⨯⨯1(21)(21)n n +=-+ .12.变量,x y 满足约束条件1y xx y x a ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =-的最大值为5，则a 的值是 .13. 把形如n M m =*(,)m n N ∈的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项分划”. 例如，把9表示成293135==++，称作“对9的3项分划”，把64表示成364413151719==+++，称作“对64的4项分划”. 据此，对324的18项分划中最大的数是_________________；若3M m =的m 项分划中第5项是281，则m 的值是_________________. 14.给出下列命题：①ba b a 11,0<<<则若；②已知0,0a b >>，则2a b aba b +≥≥+； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④lg9lg111⋅<；⑤11,a b a b>>若，则0,0a b ><；⑥正数,x y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6; 其中正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共50分.15. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，141.5,96,a a =-=求,n q S . 16. （本小题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且105,30c A C ==︒=︒，求：（1）b 的值；（2）ABC ∆的面积.17. （本小题满分8分）已知函数21()(1)(1)2f x a x a x =-+--（1）若54a =，求使()0f x <成立的x 的取值范围；（2）若函数()0f x <对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围.18. （本小题满分8分）某公司计划用不超过50万元的资金投资B A ,两个项目，根据市场调查与项目论证，B A ,项目的最大利润分别为投资额的80%和40%，而最大的亏损额为投资额的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，问投资者对B A ,两个项目的投资各为多少万元，才能使利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分8分）设数列{}n a 的前n 项和为22,n S S n n =，数列{}n b 为等比数列，且11,a b =()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分10分）已知点(,)n n a ()n N *∈在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，1n n d d c +=(*)n ∈N . 求数列{}n d 的前n 项和n D ；（3）在（2）的基础上，又设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数12,x x ，恒有12()g x x 1221()()x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列1()21n n d g d +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由.【试题答案】1. A2. D3. C4. B5. B6. A7. C8. D9. 99 10. 5 11.21nn + 12. 2 13. 35，17 14. ②③④⑤15. 4q =-，3(1(4))10nn S =--- 16. 2=b ，231+=S .17.（1）{|21}x x -<<（2）当1a =时，显然()0f x <成立，当1a <时，由1a <⎧⎨∆<⎩得{|11}a a -<<，综上，{|11}a a -<≤18. 解：设投资者对A 、B 两个项目的投资分别为y x ,万元。

安徽省安庆市外国语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

安庆市外国语学校高一年级2013—2014学年第二学期期中数学试卷总分150分时间120分钟命题人：钱叶涛一．选择题（共10题，每题5分）1．在ΔABC 中，已知 a=2，b=1 , A=45°，则B 等于（）A 、30°B 、60°C 、30°或150°D 、60°或120°2．在三角形ABC 中，已知C = 0120，两边b a ,是方程0232=+-x x 的两根，则c 等于（）A 、5B 、7C 、3D 、113．等差数列{a n }中，已知1a ＝13，63a a +＝3，a n ＝7，则n 为（）A 、19B 、20C 、21D 、224．已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A 、15B 、17C 、19D 、205．三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( )A 、b c a b -=-B 、ac b =2C 、c b a ==D 、c b a 111== 6．已知数列{}n a 的前n 项和n S =22n +3n-1，则5a 的值为（）A 、20B 、21C 、22D 、237．若正实数a 、b 满足a+b=4，则b a 22log log +的最大值是（） A 、0 B 、 1 C 、2 D 、28.若b<0<a, d<c<0,则（）A 、ac > bdB 、d b c a >C 、a －c > b －dD 、a - d > b - c9.数列{}n a 满足1n n a a n +=++1，且11a =，则10a =（）．A.55 B ．56 C ．65 D ．6610.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30︒，测得塔基的俯角为45︒，那么塔的高度是（）米．A ．20(1)3+ B ．20(12+ C ．20(1 D ．30二．填空题（共4题，每题5分）11．已知0<a<1,若A=a 2, B=2a-1, 则A 与B 的大小关系是．12．若数列{}n a 的前n 项和n S =3n ，则此数列的通项公式为．13．在ABC ∆中，若2222sin sin b C c B +2cos cos bc B C =，则ABC ∆是．14．等差数列{}n a 满足5975a a =-，且117a =-，则使数列前n 项和n S 最小的n 等于．15．ABC ∆中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，下列条件①26,15,23b c C ===︒； ② 84,56,74a b c ===；③34,56,68A B c =︒=︒=； ④15,10,60a b A ===︒能唯一确定ABC ∆的有（写出所有正确答案的序号）．三．解答题（12+12+12+12+13+14）16. 已知等差数列前三项为,4,3a a ，前n 项的和为n s（1）求a （2）求12111n s s s +++17. 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =，n S 为{}n a 的前n 项和（I ）求n S （II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 上一点，5,7,3AD AC DC ===，求AB 的长．19．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．D C AB20．老峰镇计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。

湖北省武汉二中2012-2013学年高一下学期期中考试数学文试题

武汉二中2012—2013学年下学期高一年级期中考试数学文科试题编辑人：丁济亮考试时间：2013年4月25日上午：9:00～11:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 设a , b ∈R , 若a －|b |＞0, 则下面不等式中正确的是（） A. b －a ＞0 B. a 3+b 3＜0 C. b +a ＜0 D. a 2－b 2＞02. tan 2012°∈（）A. (0,33) B. (33,1) C. (－1, －33) D. (－33, 0) 3. 在等差数列{a n }中, 若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100, 则3a 9－a 13的值为（） A. 20 B. 30 C. 40 D. 504. 若a =2, b =33, A =30°, 则此△ABC 解的情况是（） A. 一解 B. 两解 C. 至少一解 D. 无解5. 互不相等的正数a , b , c , d 成等比数列, 则（）A.bc ＞2da + B. bc ＜2da + C. 2da bc +=D. 无法判断6. 函数y =1－cos (2x －3π)的递增区间是（） A.[k π－3π, k π+6π], (k ∈z )B. [k π－12π, k π+125π], (k ∈z )C. [k π+6π, k π+32π], (k ∈z )D. [k π+125π, k π+611π], (k ∈z )7. 已知数列{a n }是首项为1的等比数列, S n 是{a n }的前n 项和, 且9s 3=s 6, 则数列{na 1}的前5项和为（）A.3285 B.1631 C.815 D.285 8. 已知非零向量a , b , c 满足a +b +c =0, 向量a 与b 夹角为120°, 且|b |=2|a |, 则向量a 与c 的夹角为（） A. 60°B. 150°C. 120°D. 90°9. 设a ·b ·c ＞0, 二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是（）A B C D10. 已知数列{a n }中, a 1=54, a n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121 , 12210 ,2n n n n a a a a , 则a 2012=（）A.54B.58 C.51 D.52 二、填空题（每小题5分，共35分）11. 平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0602y x y x x 的点(x , y )形成的区域D 的面积为 .12. 设a , b , c 是向量, 在下列命题中, 正确的是 .①a ·b =b ·c , 则a =c ; ②(a ·b )·c =a ·(b ·c ); ③|a ·b |=|a |·|b |④|a +b |2=(a +b )2; ⑤若a ∥b , b ∥c , 则a ∥c ; ⑥若a ⊥b , b ⊥c , 则a ⊥c . 13. 已知y =asinx +b (a ＜0)的最大值是3, 最小值是－1, 则a = , b = . 14. △ABC 内角A , B , C 的对边分别是a , b , c , 若C =23b , sin 2A －sin 2B =3sinBsinC , 则A ＝ .15. 已知数列{a n }中, a 1=1, 且na n +1=(n +2)a n , (n ∈N *), 则a 2= , a n = . 16. 已知两正数x , y 满足x +y =1, 则z =(x +x1)(y +y 1)的最小值为 .17. 将正整数按下表的规律排列, 把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数, 记作a ij (i , j ∈N *), 如第二行第4列的数是15, 记作a 24=15, 则有序数列(a 82, a 28)是 . 三、解答题：本大题共5小题, 共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （12分）解下列不等式:(1) 3x 2+5x －2≤0(2)323--x x ≥1 (3) x 3－3x +2＞0 19.（12分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a , b , c , 设向量m =(a , b ), n =(sinB , sinA ),p =(b －2, a －2).(1) 若m ∥n , 判断△ABC 的形状, 并说明理由; (2) 若m ⊥p , 边长c =2, ∠C =3π, 求△ABC 的面积.14516… 2 3 615 … 9 8 714 …20. （13分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 其容积为4800m 3, 深为3m , 如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少?21.（14分）若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和, 则S 1, S 2, S 4成等比数列.(1) 求数列S 1, S 2, S 4的公比;(2) 若S 2＝4, 求{a n }的通项公式;(3) 在(2)条件下, 若b n =a n －14, 求{|b n |}的前n 项和T n .22. (14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n , 点⎪⎭⎫⎝⎛n S n n ,在直线y ＝21x +211上. 数列{b n }满足b n +2－2b n +1+ b n =0(n ∈N ＊), 且b 3=11, 前9项和为153.(1) 求数列{a n }, {b n }的通项公式;(2) 设c n =)12)(112(3－－n n b a , 数列{c n }的前n 项和为T n , 求T n 及使不等式T n <2012k对一切n 都成立的最小正整数k 的值;(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈==**),,2(),,12()(N n l n b N l l n a n f n n －问是否存在m ∈N ＊, 使得f (m +15)=5f (m )成立? 若存在, 求出m 的值; 若不存在, 请说明理由.武汉二中2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D BCDBCBDDD二、填空题 11. 1 12. ④13. －2 1 14. 30° 15. 3 2)1(+n n 16.425 17. (51, 63) 三、解答题18. (1)∵(3x －1)(x +2)≤0 ∴－2≤x ≤31 ∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-312|x x …………………………………………………4分(2) ∵3323-+--x x x ≥0⇒312-+x x ≥0⇒⎩⎨⎧≠≥-+30)3)(12(x x x⇒x ＞3或x ≤－21∴不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,－∪(3, +∞) (4)分(3)解: x 3－3x +2=x 3－x －2x +2 =x (x 2－1)－2(x －1) =(x －1)(x 2+x －2) =(x －1)(x +2)(x －1) =(x －1)2(x +2)∴x 3－3x +2＞0⇒x ＞－2, x ≠1∴不等式的解集为{x |x ＞－2且x ≠1}……………………………………………………4分 19. (1) 解: ∵m ∥n , ∴asinA =bsinB 即a =Rbb R a 22⋅=b a =⇒ ∴△ABC 为等腰三角形………………………………6分 (2) 解: 由m ·p =0, 即a (b －2)+b (a －2)=0∴a +b =ab ……………………………………………………………………………8分由余弦定理可知4=a 2+b 2－ab =(a +b )2－3ab⇒ab =4…………………………………………………………………4分 ∴S ＝21ab sinC =3……………………………………………………12分20. 设底面的长为xm , 宽为ym , 水池总造价为y 元,由题意, 有y =150×34800+120(2×3x +2×3y ) =240000+720(x +y )……………………………………………………………7分由v =4800m 3, 可得xy =1600. ∴y ≥240000+720×2xy =2976000当x =y =40时, 等号成立………………………………………………………………4分答: 将水池设计成长为40m 的正方形时, 总造价最低, 最低总造价是297600元.……2分21. 解: (1)由S 22＝S 1S 4⇒(2a 1+d )2=a 1(4a 1+6d )知12S S =112a da +=4 ∴数列S 1, S 2, S 4的分比为4.………………………………………………………… 4分 (2) 由S 2=4=2a 1+d =4a 1⇒a 1=1, d =2, ∴a n =2n －1……………………………………5分(3) 令b n =2n －15＞0 得n ＞215 ∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-8,98148,1422n n n n n n －…………………………………………………5分22. 解: (1) 由题意, 得n S n =21n +211,即S n =21n 2+211n . 故当n ≥2时, a n =S n －S n －1＝(21n 2+211n )－[21(n －1)2+211(n －1)]=n +5. n =1时, a 1 = S 1 =6, 而当n =1时, n +5=6, 所以a n =n +5(n ∈N ＊),又b n +2－2b n +1+ b n =0, 即b n +2－b n +1= b n +1－b n (n ∈N ＊),所以{b n }为等差数列, 于是＝2)(973b b +153. 而b 3＝11, 故b 7＝23, d =371123－－=3,因此, b n = b 3+3(n －3)=3n +2, 即b n =3n +2(n ∈N ＊). ………………………………………4分 (2) c n =)12)(112(3－－n n b a=]1)23(2][(11)5(2[3－－++n n=)12)(12(1+n n －=⎪⎭⎫⎝⎛+12112121n n －－.所以, T n = c 1 + c 2 +……＋ c n ＝21[（1－31）＋（31－51）＋（51－71）＋…… ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+121121n n －－]＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+121121n －＝12+n n. 易知T n 单调递增, 由T n ＜2012k 得k ＞2012T n , 而T n →21, 故k ≥1006, ∴k min =1006 (4)分(3) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈=+=**).,2(,23),,12(,5)(N l l n n N l l n n n f －①当m 为奇数时, m +15为偶数.此时f (m +15)=3(m +15)+2=3m +47, 5f (m )=5(m +5)=5m +25, 所以3m +47=5m +25, m =11. ②当m 为偶数时, m +15为奇数.此时f (m +15)=m +15+5=m +20, 5f (m )=5(3m +2)=15m +10. 所以m +20=15m +10 m =75N *(舍去) 综上, 存在唯一正整数 m =11, 使得f (m +15)=5f (m )成立………………………………………………………………………6分。

数学卷·2015届湖南省邵阳市二中高一下学期期中考试试题

邵阳市二中2012－2013学年高一下学期期中考试数学试卷时量：100分钟总分：100分审核：高一数学备课组一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．sin(30)-°等于（）A ．12- B ．2C ．12D 2. 已知b a rr ,都是单位向量，则下列结论正确的是（）A ．;1=×b a r rB ．;0=×b a rr C ．;//b a b a r r r r =Þ D ．;22b a r r =3. 若四边形ABCD 满足：AB DC =uuu r uuur ，且||||AB AD =uuu r uuu r，则四边形ABCD 的形状是（）A ．矩形B ．正方形C ．等腰梯形D ．菱形4. 如图， D ，E ，F 分别是D ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0BD CF DF -+=uuu r uuu r uuu r rB ．0AD BE CF ++=uuu r uuu r uuu r rC ．0AD CE CF +-=uuu r uuu r uuu r r D ．0BD BE FC --=uuu r uuu r uuu r r5. 已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=r r（）A ．7B ．10C ．13D ．46. 设tan ,tan a b 是方程2320x x -+=的两个根，则tan()a b +的值为 A. -3 B. -1 C. 1 D. 37. 要得到函数)42cos(p-=x y 的图像只需要将函数x y 2cos =的图像（） A ．向左平移8p 个单位 B ．向右平移8p个单位 C ．向左平移4p 个单位 D ．向右平移4p个单位8. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )．A ．2B ．2＋ 2C ．－2－2 2D ．2＋2 2二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9. 已知点A （2，－4），B （－6, 2），则AB uuu r的坐标为10. 函数42sin(p+-=x y 的周期是___________ 11. 圆的半径是21，弧度数为3的圆心角所对扇形的面积等于 12. 已知=(－1，2)，=(1，1)，若+m 与垂直，则实数m =_______ 13. 已知向量,a b 满足()()a b a b +2×-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为14. 函数)62sin(2p-=x y 的单调递增区间是 15. 设a 为锐角，若4cos 65a p æö+=ç÷èø，则)122sin(p +a 的值为三、解答题（本大题共5小题，共40分）16. 化简求值 sin 50(1)+o o17. 平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-=r r r（1）求32a b c +-r r r；（2）若()()//2a kc b a k +-r r r r，求实数；18. 已知a 为第二象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f p pa a p a a a p a p -+-=----．（1）化简()f a （2）若31)2(cos =-p a ，求()f a 的值19. 函数()sin()16f x A x pw =-+（0,0A w >>）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2p （1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,2pa Î，则()22f a =，求a 的值。

江西省余江一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学(文科零班)试题

江西省余江一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学（文科零班）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为( )(A)2(B) 8(C) (D)2．函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,的解集是( )(B)(-∞∪(3,+∞)(C)(-∞,-3)∪∞3．已知函数f(x)＝|ln x|a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是( )．A．f(c)>f(b)>f(a) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(b)>f(a)>f(c)4．已知等比数列{}n a的前n项和为n S,则下列一定成立的是( )A.若30a>,则20130a< B.若40a>,则20140a<C.若30a>,则20130S> D.若40a>.则20140S>5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a13＝S13＝13，则a1＝( )A．－14 B．13 C．－12 D．－116．已知非零向量a，b满足|b|＝1，且b与b－a的夹角为30°，则|a|的取值范围是( )．C.[)1,+∞ D.7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M为棱A1B1的中点，N为棱A1D1的中点．如图是该正方体被M，N，A所确定的平面和N，D，C1所确定的平面截去两个角后所得的几何体，则这个几何体的正视图为( )．8．,0,sin sin AB ACp OP OA P ABCAB B AC C λλ⎡⎤=++>∆⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎣⎦[ ]10.动点满足则动点的轨迹一定通过的的（）A.重心B.垂心C. 内心D.外心9．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x b ＝yc ＝z a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于210．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

广水一中2012-2013高一数学期中试卷

2011-2012学年高一下学期期中考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 等差数列8，5,2，…的第20项是（） A.-50 B.-49 C.-48 D. -472．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，31=a ，前三项和为21，则543a a a ++ 等于（） A ．33 B ．72C ．84D ．1893. 满足2,6,45===a c A 的△ABC的个数为m ，则a m 的值为（） A ．4B ．2C ．1D ．不确定 4．在△ABC 中，bc c b a ++=222，则A 等于（）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°5. 在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值为（） A ．41-B ．41 C ．32-D ．326.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（）.A ．1B ．2C ．3D ．47．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则（） A ．}{n a 递增，n S 有最小值 B ．}{n a 递增，n S 有最大值 C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（）.A ．1a 8a >45a aB ．8a 1a <45a aC ．1a +8a >4a +5aD ．1a 8a =45a a 10．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 4＋a 5＞0，a 4·a 5＜0，则使前n 项和n S ﹥0成立的最大自然数n 的值为．（） A ．4 B ．8C ．7D ．9第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上） 11. 在ABC ∆中，若32,3,1π=∠==A c b ，则=∆ABC S .12.在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅= .13.设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a _____________.14.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,，且3457++=n n B A nn ，则=55b a _____.15. 观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图中有个小正方形．（1）（2）（3）（4）（5）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题12分）在△ABC 中，已知b =，c =1，60B =︒，求a ，A ，C ．17.（本小题12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知231,,s s s 成等差数列。

北京101中学-年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案-推荐

北京101中学2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分.1. 在ABC ∆中，4,60,45a A B ==︒=︒，则边b 的值为（） A.364 B. 222+ C. 62 D.132+2. 已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（） A. 9 B. 3 C. －3 D. －63. 下列结论正确的是（）A. 若bc ac <，则b a <B. 若22a b <，则b a < C. 若0,<>c b a ，则bc ac < D. 若b a <，则b a >4. 若不等式022>-+bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则实数b a ,的值为（） A. 3,1==b a B. 3,1=-=b a C. 3,1-=-=b aD. 3,1-==b a5. 在ABC ∆中，2,2,cos b ac c a B ==的值为（）A. 14B. 34C. 4D. 3 6. 点)1,(a 在直线042=+-y x 的右下方，则a 的取值范围是（）A. ),2(+∞-B. )2,(--∞C. ),1(+∞D. )1,(-∞7. 为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为（）A. 10海里B. 20海里海里海里8. 已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+.给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f . 其中正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项之和9S ＝ .10. 已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是 .11.111133557+++⨯⨯⨯1(21)(21)n n +=-+ .12.变量,x y 满足约束条件1y x x y x a ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =-的最大值为5，则a 的值是 .13. 把形如nM m =*(,)m n N ∈的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项分划”. 例如，把9表示成293135==++，称作“对9的3项分划”，把64表示成364413151719==+++，称作“对64的4项分划”. 据此，对324的18项分划中最大的数是_________________；若3M m =的m 项分划中第5项是281，则m 的值是_________________. 14.给出下列命题：①ba b a 11,0<<<则若； ②已知0,0a b >>，则2a b aba b+≥≥+； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④lg9lg111⋅<；⑤11,a b a b>>若，则0,0a b ><； ⑥正数,x y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6; 其中正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共50分.15. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，141.5,96,a a =-=求,n q S . 16. （本小题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且105,30c A C ==︒=︒，求：（1）b 的值；（2）ABC ∆的面积.17. （本小题满分8分）已知函数21()(1)(1)2f x a x a x =-+-- （1）若54a =，求使()0f x <成立的x 的取值范围；（2）若函数()0f x <对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围.18. （本小题满分8分）某公司计划用不超过50万元的资金投资B A ,两个项目，根据市场调查与项目论证，B A ,项目的最大利润分别为投资额的80%和40%，而最大的亏损额为投资额的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，问投资者对B A ,两个项目的投资各为多少万元，才能使利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分8分）设数列{}n a 的前n 项和为22,n S S n n =，数列{}n b 为等比数列，且11,a b =()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分10分）已知点(,)n n a ()n N *∈在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，1n n d d c +=(*)n ∈N . 求数列{}n d 的前n 项和n D ；（3）在（2）的基础上，又设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数12,x x ，恒有12()g x x 1221()()x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列1()21n n d g d +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由.【试题答案】1. A2. D3. C4. B5. B6. A7. C8. D9. 99 10. 5 11.21nn + 12. 2 13. 35，17 14. ②③④⑤15. 4q =-，3(1(4))10nn S =---16. 2=b ，231+=S . 17.（1）{|21}x x -<<（2）当1a =时，显然()0f x <成立，当1a <时，由10a <⎧⎨∆<⎩得{|11}a a -<<，综上，{|11}a a -<≤ 18. 解：设投资者对A 、B 两个项目的投资分别为y x ,万元。

湖北省武汉二中2012-2013学年高一下学期期中考试数学理试题

武汉二中2012—2013学年下学期高一年级期中考试数学理科试卷编辑人：丁济亮考试时间：上午：9:00～11:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. sin 62013π的值为（）A. 21B. －21C. 1D. －12. 若A ＝[－2, 1], B ={z |z =x 2, －1≤x ≤m }, 且A ∩B ＝[0, 1], 则m 的取值范围为（）A. [0, 1]B. [－1, 0]C. [)∞+ 0,D. [－1, 1]3. 函数f (x )=21-x ·lg (4x －2x －2)+4ln 3ln 2--x x 的定义域为（）A. ),[4+∞eB. (1, 2)∪],2(4eC. ),[4+∞e ∪⎥⎦⎤ ⎝⎛e 1,0D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,1e ∪],2(4e4. 在四边形ABCD 内找一点O , 使OD OC OB OA +++＝0, 则点O 为（）A. 四边形对角线的交点B. 一组对边中垂线的交点C. 一组对边中点连线的中点D. 一组对角角平分线的交点5. 设f (x )=25cos 2x －21sin 2x +33sinx cosx , 则f (x )的最小正周期为（）A. 2πB. 4πC. πD.2π6. 若f (x )= | x 2－2x －3|, 则方程f 3(x )－4 f 2(x )－ f (x )+4=0的根的个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 9 7. 下列命题中:①在△ABC 中, A ＞B ⇔sinA ＞sinB ⇔cosA ＜cosB ②若0＜x ＜2π, 则sinx ＜x ＜tanx③函数f (x )=4x +4－x +2x +2－x , x ∈[0, 1]的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡427,4④数列{a n }前n 项和为S n , 且S n =3n +1, 则{a n }为等比数列正确的命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 如图, 函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0, |φ|＜2π)的图象过点(3π, 0)和(0,21), 可将y =f (x )的图象向右平移（）单位后, 得到一个奇函数.A. 12πB.15πC.6πD. 154π9. 数列{a n }中, a n =)2)(1(1++n n n , S n 为{a n }前n 项和, 则S 1+S 2+……+S 10的值为（）A.2455B.241 C.255 D.2465 10. 已知f (x )=x －1, g (x )=－x 2+(3m +1)x －2m (m +1), 满足下面两个条件: ①对任意实数x , 有f (x )＜0或g (x )＜0;②存在x ∈(－∞, －2), 满足f (x )·g (x )＜0. 则实数m 的取值范围为（） A. (－∞, －1) B. (1, +∞) C. (－1, 1) D. (－2, 0)二、填空题：本大题共5小题, 每题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 11. 已知2π＜θ＜π, 且sin θ=31, 则tan 2θ= . 12. 已知向量a =(2m +1, 3), b =(－1, 5), 若a 与b 的夹角为锐角, 则m 的取值范围为 .13. 数列{a n }中, a 1=2, 且a n +1+2a n =3, 则a n = . 14. 关于x 的不等式1-x ax >1的解集为(a-11, 1), 则a 的取值范围为 . 15. 高斯函数[x ]表示不超过x 的最大整数, 如[－2]＝－2, [2]=1, 已知数列{x n }中, x 1=1,x n =1-n x +1+3{[51-n ]－[52-n ]}(n ≥2), 则x 2013＝ . 三、解答题：本大题共6题, 共75分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (12分)已知0＜α＜2π, π＜β＜23π, cos (βα+2)=－31, sin (α+2β)=53, 求sin 2βα-.17. (12分)将函数f (x )=3sin (－2x +4π)+1的图象向左平移4π单位, 再向下平移31单位, 得到函数y =g (x )的图象.(1) 写出y =g (x )的解析式; (2) 写出y =g (x )单调区间;(3) 写出y =g (x )的对称轴方程和对称中心的坐标.18. (12分)在△ABC 中, AB =2, AC 边的中线BD ＝2, cosB =41. (1) 求AC ; (2) 求sinA .19. (12分)函数f (x )是由向量集A 到A 的映射f 确定, 且f (x )=x －2( x ·a ) a , 若存在非零常向量a 使f [ f (x ) ]= f (x )恒成立. (1) 求|a |;(2) 设＝a , A (1, －2), 若点P 分的比为－31, 求点P 所在曲线的方程.20. (13分)函数y =f (x )满足f (3+x )=f (1－x ), 且x 1, x 2∈(2, +∞)时,2121)()(x x x f x f --＞0成立,若f (cos 2θ+2m 2+2)＜f (sin θ+m 2－3m －2)对θ∈R 恒成立. (1) 判断y =f (x )的单调性和对称性; (2) 求m 的取值范围.21. (14分)已知a = (2, －1), b = (22, 2). f (x )=x 2+a 2x +a ·b , 数列{a n }满足a 1=1, 3a n =f (a n －1)+1 (n ∈N , n ≥2), 数列{b n }前n 项和为S n , 且b n =31n a . (1) 写出y = f (x )的表达式; (2) 判断数列{a n }的增减性;(3) 是否存在n 1, n 2(n 1, n 2∈N*), 使1n S ≥1或2n S ＜41, 如果存在, 求出n 1或n 2的值, 如果不存在, 请说明理由.武汉二中2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学（理）试卷参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D CACCCCBAA二、填空题 11. 3+22 12. m ＜7且m ≠－54 13. a n =1+(－2)1-n14. a ＜0 15. 3219三、解答题 16. 解: ∵0＜2α＜4π,2π＜2β＜43π∴π＜2α+β＜47π 2π＜α+2β＜45π……………………………………2分∴sin ()2βα+=－322, cos (α+2β)=－54…………………………………6分∴sin 2βα-=sin [(α+2β)－(2α+β)]=sin (α+2β)cos (2α+β)－cos (α+2β)sin (2α+β)=53·(－31)－(－54)·(－322)=－51－1528=－15283+……………………12分17. 解: (1) g (x )=－3sin (2x +4π)+32……………………………4分(2) x ∈[k π－83π, k π+8π](k ∈z ), g (x )↓x ∈[k π+8π, k π+85π](k ∈z ), g (x )↑……………………………………8分(3) 对称轴方程: x =82ππ+k (k ∈z )对称中心: (32,82ππ-k ), (k ∈z )……………………………12分注：以上四处 “k ∈z ”漏掉一个或一个以上，统一扣2分18. 解：(1) 设BC 的中点为E , 则DE =1, 设BE =x . 在△BDE 中, BD 2=BE 2+DE 2－2BE ·DE ·cos ∟BED∴4=x 2+1－2x ·(－41)⇒2x 2+x －6=0∴x =23, 故BC ＝3………………………………………4分在△ABC 中, AC 2＝AB 2+BC 2－2AB ·BC ·cosB∴AC 2=4+9－2×2×3×41=10 ∴AC =10………………………8分(2) 在△ABC 中, cosA=ACAB BC AC AB ⋅-+2222∴cosA =10229104⋅⋅-+=1045=810……………………………………10分故sinA =863cos 12=-A ……………………………………12分 19. 解: (1) f [ f (x )]=f (x )－2[ f (x )·a ]·a=x －2(x ·a )·a －2{[x －2(x ·a )·a ]·a }·a =x －2(x ·a )a －2[x ·a －2(x ·a )a 2]a =x －2(x ·a )a ∴[x ·a －2(x ·a )a 2]a =0, ∵a ≠0∴x ·a －2(x ·a )a 2=0⇒x ·a (1－2a 2)=0恒成立 ∴1－2a 2＝0⇒a 2=21∴|a |=22 (6)分(2) 设B (x ′, y ′), ∴AB =(x ′－1, y ′+2) ∴(x ′－1)2+(y ′+2)2=21设P (x , y ) 由AP ＝－31PB ⇒(x －1, y +2)＝－31(x ′－x , y ′－y ) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'-=+-'-=-)(312)(311y y y x x x ⇒⎩⎨⎧--='+-='6232y y x x , ∴(－2x +3－1)2+(－2y －6+2)2=21 ∴(x －1)2+(y +2)2=81, 即为P 点所在曲线的方程…………12分 20. 解: (1) 由f (3+x )=f (1－x )⇒f (2+x )=f (2－x ) ∴y =f (x )的对称轴为x =2……………2分当2＜x 1＜x 2时, f (x 1)＜f (x 2); 当2＜x 2＜x 1时, f (x 2)＜f (x 1) ∴y =f (x )在(2, +∝)上为增函数, 在(－∞, 2)上为减函数…………4分(2) 由f (cos 2θ+2m 2+2)＜f (sin θ+m 2－3m －2)⇒|cos 2θ+2m 2|＜|sin θ+m 2－3m －4| 即m 2－3m －4+sin θ＞cos 2θ+2m 2(i ) 或m 2－3m －4+sin θ＜－cos 2θ－2m 2(ii )恒成立 ……………………………………………………………………………………7分由(i )得m 2+3m +4＜－cos 2θ+sin θ=(sin θ+21)2－45恒成立, ∴m 2+3m +4＜－45 ⇒4m 2+12m +21＜0恒成立, 无解………………………………10分由(ii ) 得3m 2－3m －4＜－cos 2θ－sin θ=(sin θ－21)2－45恒成立⇒3m 2－3m －4＜－45⇒12m 2－12m －11＜0⇒6423-＜m ＜6423+……………………13分 21. (1) f (x )=x 2+3x －1……………………………………………………………………………2分(2) ∵3a n =a 21-n +3a n －1⇒3(a n －a n －1)=a 21-n ≥0∵a 1=1≠0, ∴a n ＞a n －1 ∴数列{a n }单调递增………………………………………5分(3) 由3a n =a n －1(a n －1+3)nn n a a a 33111--=+⇒∴b n =111213333331++++-===+n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a =111+-n n a a ……………………………………………………………………………8分∴S n =)11(...)11()11(13221+-++-+-n n a a a a a a =1－11+n a ………………………………………………………………………………9分由（2）知a n 单调递增, 且a 1=1, ∴a 2=34, 1+n a ≥a 2=34∴0＜11+n a ≤43, ∴－43≤－11+n a ＜0∴41≤S n ＜1………………………………………………………………………………13分故不存在n 1使1n S ≥1, 也不存在n 2, 使2n S ＜41……………………………………14分。

第二学期高一数学期中试卷试题

第⼆学期⾼⼀数学期中试卷试题有时间的我们要多做数学的题⽬，可能做多了就会了，今天⼩编就给⼤家分享⼀下⾼⼀数学吗，⼤家来多多参考哦第⼆学期⾼⼀数学期中试题 1.在中，若 ,则⼀定为( ) 直⾓三⾓形等腰三⾓形等边三⾓形锐⾓三⾓形 2.某⼚去年年底的产值为，今年前两个⽉产值总体下降了36%，要想后两个⽉产值恢复到原来⽔平，则这两个⽉⽉平均增长( ) 18% 25% 28% 以上都不对 3.若，是两条不同的直线，，是两个不同的平⾯，则下列说法不正确的是( ) 若∥，，则若∥，，则若∥，，则若 = ，且与，所成⾓相等，则 4.设点 ,若直线与线段没有交点，则的取值范围是( ) 5.三棱椎的三视图为如图所⽰的三个直⾓三⾓形，则三棱锥的表⾯积为( ) 6.如图为正四⾯体，⾯于点，点 , , 均在平⾯外，且在⾯的同⼀侧，线段的中点为 ,则直线与平⾯所成⾓的正弦值为( ) 7. 数列的⾸项为，为等差数列 .若，，则 ( ) 8.实数对满⾜不等式组，若⽬标函数在时取最⼤值，则的取值范围是( ) 9. 已知等⽐数列满⾜则当时， ( ) 10.三棱锥中，顶点在底⾯内的射影为，若 (1)三条侧棱与底⾯所成的⾓相等， (2)三条侧棱两两垂直， (3)三个侧⾯与底⾯所成的⾓相等; 则点依次为垂⼼、内⼼、外⼼的条件分别是( ) (1)(2)(3) (3)(2)(1) (2)(1)(3) (2)(3)(1) 填空题(每⼩题5分，5⼩题，共25分) 11.有⼀块多边形的菜地，它的⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图是直⾓梯形(如图所⽰)， ,则这块菜地的⾯积为__________. 12.在三⾓形中， ,则的⾯积为 . 13.边长为1的正⽅体，它的内切球的半径为 ,与正⽅体各棱都相切的球的半径为 ,正⽅体的外接球的半径为，则 , , 依次为 . 14.在平⾯直⾓坐标系中，过点的直线与轴和轴的正半轴围成的三⾓形的⾯积的最⼩值为 . 15. (填“ ”或者“ ”). 解答题(6⼩题，共75分) 16.(12分)在中，求的⾯积的最⼤值. 17.(12分)已知满⾜， (1)求⼆次函数的解析式; (2)若不等式在上恒成⽴，求实数的取值范围. 18.(12分)在四棱锥中，四边形是平⾏四边形，分别是的中点，求证：平⾯ ; 若且，求证平⾯平⾯ . 19.(13分)已知数列的前项和满⾜： , 设，证明数列为等⽐数列，并求数列的通项公式; 求数列的前项和 . 20.(13分)已知三个不同的平⾯两两相交，得三条不同的交线，求证：三条交线交于⼀点或彼此平⾏. 21.(13分)设数列的前项和为，，点在直线上, (1)求数列的通项公式; (2)设，求证： . ⾼⼀年级数学试卷参考答案⼀、单项选择题(每⼩题5分，10⼩题，共50分) 1—10 ⼆、填空题(每⼩题5分，5⼩题，共25分) 11. 12. 或 13. 14.4 15. 三、解答题(6⼩题，共75分) 16.(12分) 解：∵在中，由余弦定理及基本不等式得 ∴∴ . 17.(12分) 解：(1)设由得，由得化简解得， ∴ . (2)由题在上恒成⽴，即，则∴ . 18.(12分) (1)证明：取线段的中点为 ,连接 ,∵分别是的中点，则 , ∴四边形为平⾏四边形∴ , ⾯，⾯∴⾯ . (2)证明：设 , 交于∵四边形为平⾏四边形， ∴为，中点，， ,∴，∴⾯，⼜⾯∴⾯⾯ . 19.(13分) (1)由题时，①② ①-②得即，，数列为公⽐为的等⽐数列; 当时，， ; (2)由(1)得， ③ ④ ③-④化简得 . 20.(13分) 已知：，，，求证：或 . 证明：，，或若，则，，⼜若，且，⼜且 . 21.(13分) (1)由题意，∴数列为公差是1的等差数列∴∴ 时，∴，也适合， ∴， ; (2) ，⼜为增函数， ∴的最⼩值为 ∴ . ⾼⼀数学下学期期中试题阅读 1.已知数列，则5是这个数列的( )A.第12项B.第13项C.第14项D.第25项 2.不等式的解集为( )A.[-1,0]B.C.D. 3.已知，则下列不等式⼀定成⽴的是( ) A. B. C. D. 4.在中，⾓所对的边分别为，若，则⾓为( )A. 或B. 或C. 或D. 或 5.设实数满⾜约束条件，则的最⼩值为( ) A. B.1 C. 3 D0 6.若的三个内⾓满⾜，则的形状为( )A.⼀定是锐⾓三⾓形B.⼀定是直⾓三⾓形 C⼀定是钝⾓三⾓形. D.形状不定 7.已知等差数列的公差且成等⽐数列，则 ( ) A. B. C. D. 8.若的三个顶点是，则的⾯积为( ) A. B.31 C.23 D.46 9.等⽐数列的各项均为正数，若，则A.12B.10C.8 D 10.设为等差数列的前项和，若，，则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 和均为的最⼤值⼆、填空题(共5题，每题5分) 11.设等差数列的前项和为，若，则 12.已知数列的前项和为，那么 13.如图，某⼈在电视塔CD的⼀侧A处测得塔顶的仰⾓为，向前⾛了⽶到达处测得塔顶的仰⾓为，则此塔的⾼度为__________⽶ 14.设点在函数的图像上运动，则的最⼩值为____________ 15.有以下五种说法： (1)设数列满⾜，则数列的通项公式为 (2)若分别是的三个内⾓所对的边长，，则⼀定是钝⾓三⾓形 (3)若是三⾓形的两个内⾓，且 ,则 (4)若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 (5)函数的最⼩值为4 其中正确的说法为_________(所有正确的都选上) 解答题(共75分) 16.已知⼆次函数，不等式的解集是 (1)求实数和的值; (2)解不等式 17.已知数列的前项的和为 (1)求证：数列为等差数列; (2)求 18.已知是的三边长，且 (1)求⾓ (2)若，求⾓的⼤⼩。

高一盐城市龙冈中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

2012-2013学年江苏省盐城市龙冈中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应的横线上．）1．（5分）（2010•青浦区二模）函数y=sinxcosx+的最小正周期为π．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：把函数y=sinxcosx+化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．解答：解：函数y=sinxcosx+=sin2x+，它的最小正周期是：=π．故答案为π点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．2．（5分）一直线倾斜角的正切值为，且过点P（1，2），则直线方程为3x﹣4y+5=0．考点：直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：题目给出了直线的斜率和直线经过的定点，直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式．解答：解：因为直线倾斜角的正切值为，即k=3，又直线过点P（1，2），所以直线的点斜式方程为，整理得，3x﹣4y+5=0．故答案为3x﹣4y+5=0．点评：本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．3．（5分）（2010•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．解答：解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣点评：本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．4．（5分）正方体的全面积是24cm2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是12πcm2．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，正方体的棱长为a，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知4R2=3a2=12即R2=3，∴S球=4πR2=4π•3=12π（cm2）．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．5．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．考点：确定直线位置的几何要素．专题：计算题；探究型．分析：由于给出的直线恒过定点（0，﹣1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围．解答：解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．点评：本题考查了确定直线位置的几何要素，平面中，如果直线过定点，且倾斜角一定，则直线唯一确定，是基础题．6．（5分）已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱柱的体积为45．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：直接利用柱体体积公式V=Sh计算即可解答：解：正三棱柱的底面边长为6，底面积S=62=9侧棱长为5，即高h=5，所以体积V=Sh=45故答案为45点评：本题需掌握正三棱柱的结构特征：底面为正三角形，侧棱与底面垂直以及柱体体积公式7．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：对于①，由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于②，由直线平行于平面的性质知l与α内的直线平行或异面；对于③，由平面与平面垂直的判定定理知α与β不一定垂直；对于④，由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于⑤，由平面与平面平行的性质知m∥l或m与l异面．解答：解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为：①④．点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）（2012•江苏一模）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：利用面积公式求出AB，通过余弦定理直接求出AC即可．解答：解：因为在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，三角形ABC的面积S===，所以AB=4，由余弦定理可知：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，∴AC2=16+1﹣2×4×1×=13，∴AC=．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，余弦定理的应用，考查计算能力．9．（5分）（2010•宝山区一模）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；压轴题．分析：设母线长为l，底面半径为r，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值．解答：解：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l=18cm，由θ=，代入数据即可得r=12cm，因此所求角的余弦值即为==．故答案为：点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力．10．（5分）△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为4．考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面PAB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．解答：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，BC⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC．4个．故答案为：4．点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2=b2+c2+bc，且sinB+sinC=1，则角B=30°．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理由a2=b2+c2+bc，可求得A=120°，利用和差化积公式可求得cos=1，从而可求得B=C=30°．解答：解：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，又a2=b2+c2+bc，∴﹣2cosA=1，∴cosA=﹣．∵A∈（0，180°），∴A=120°，∴B+C=60°，=30°．∵sinB+sinC=1，∴2sin cos=1，即2sin30°cos=1，∴cos=1，B，C∈（0，60°），∴B=C=30°．故答案为：30°．点评：本题考查余弦定理，考查和差化积公式，求得A=120°是关键，属于中档题．12．（5分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行海里？考点：正弦定理；余弦定理．专题：应用题；解三角形．分析：连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．解答：解：连接A1B2，由题意可得，A2B2=10，A1A2==10△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°==200∴B1B2=10因此乙船的速度的大小为=30．故答案为：30点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2=b2+bc，sin C=2sin B，则A=60°．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理化简sinC=2sinB，得到c=2b，代入a2=b2+bc得到a与b的关系，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系代入求出cosA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：由正弦定理化简sinC=2sinB得：c=2b，将c=2b代入a2=b2+bc中，得：a2=b2+2b2=3b2，即a=b，由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=60°．故答案为：60°点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．14．（5分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为12．考点：棱柱的结构特征；简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过作图，分析出空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形的形状，求出其面积，得到面积的最大值．解答：解：如图，若投影投在AA1D1D或BB1CC1平面上，投影面积由E点确定，最大面积为8，E与A1重合时取最大面积；若投影投在ABCD或A1B1C1D1平面上，投影面积由F点确定，最大面积为8，F与D1重合时取最大面积；若投影投在ABA1B1或DD1CC1平面上，投影面积由E点与F点确定，当E与A1，F 与C1重合时，可得最大面积，G投在BB1的中点，是个直角梯形S==12．故答案为12．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间几何图形在平面上的正投影，考查了学生观察问题和分析问题的能力，是中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知直线l过点A（﹣2，3）（1）直线l的倾斜角为135°，求直线l的方程；（2）直线l在两坐标轴上的截距之和为2，求直线l的方程．考点：直线的一般式方程；直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：（1）有直线的倾斜角求出其斜率，直接利用直线方程的点斜式写出方程，然后化为一般式；（2）设出直线的斜截式方程，由点A在直线上得到一个关于k，b的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，由截距之和等于2得另一方程，联立方程组后求出斜率和截距，则直线方程可求．解答：解：（1）由直线l的倾斜角为135°，所以其斜率为﹣1，又直线l过点A（﹣2，3），所以直线l的方程为y﹣3=﹣（x+2），即x+y﹣1=0；（2）设线方程为：y=kx+b 因为过点A（﹣2，3）所以3=﹣2k+b．当y=0，x=﹣．当x=0，y=b．由题意得，﹣+b=2解方程组，得k1=﹣1，b=1；k2=，b=6．所以直线方程为：y=x+1或3x﹣2y+12=0．点评：本题考查了直线的一般式方程和截距式方程，考查了方程组的解法，需要注意的是截距不是距离，是基础的计算题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：（1）直线OE∥平面PBC；（2）平面ACE⊥平面PBD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质可得OE∥PB，再根据直线和平面平行的判定定理证得OE∥平面PBC．（2）证明PD⊥AC，BD⊥AC，再根据直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面PBD，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBD．解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点，又因为E为PD 的中点，故OE是三角形DPB的中位线，所以OE∥PB．因为OE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）（2）因为PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因为BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．又因为AC⊂平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD．…（14分）点评：本题直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．17．（15分）已知函数f（x）=2cos．（1）设x∈，且f（x）=+1，求x的值；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=+1，且△ABC 的面积为，求a+b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）函数解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的值，即可求出x的值；（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解答：解：（1）f（x）=2cos2﹣2sin cos=（1+cosx）﹣sinx=2cos（x+）+，由2cos（x+）+=+1，得cos=，于是x+=2kπ±（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=；（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=，∵△ABC的面积为，∴=absin，即ab=2，①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，由余弦定理得1=a2+b2﹣2abcos=a2+b2﹣6，∴a2+b2=7，②由①②可得或，则a+b=2+．点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（15分）（2010•石家庄二模）已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边的边长为a 、b 、c ，且bcosC=（2a ﹣c ）cosB ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若y=cos 2A+cos 2C ，求y 的最小值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据A 为三角形的内角，得到sinA 不为0，进而得到cosB 的值，再由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（Ⅱ）由第一问求出的B 的度数，根据内角和定理得到A+C 的度数，进而得到2A+2C 的度数，用2A 表示出2C ，接着把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，把表示出的2C 代入，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值变形，合并后再利用两角和与差的正弦函数公式把所求式子化为一个角的正弦函数，由2A 的范围，得到这个角的范围，得到正弦函数的值域，即可得到所求式子的范围．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB ﹣sinCcosB ，（2分）即sin （B+C ）=2sinAcosB ，因为0＜A ＜π，所以sinA ≠0，∴， ∴；（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则y=cos 2A+cos 2C==∵，∴，则，（8分）所以y 的取值范围为．（10分）点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．19．（16分）（2011•南通一模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．考点：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）依题意，得A=2，．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．解答：解：（1）由条件，得A=2，．（2分）∵，∴．（4分）∴曲线段FBC的解析式为．当x=0时，．又CD=，∴．（7分）（2）由（1），可知．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．（8分）设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为=．（13分）∵，故取得最大值．（15分）点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．20．（16分）（2012•盐城三模）在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为线段BC 的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）．将△ABD沿着AD折起到△AB'D的位置，连接B'C（如图2）．（1）若平面AB'D⊥平面AD C，求三棱锥B'﹣AD C的体积；（2）记线段B'C的中点为H，平面B'ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；（3）求证：AD⊥B'E．考点：直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：（1）要求三棱锥的体积，关键要确定高与底面，由于平面AB'D⊥平面AD C，则可让△ADC为底，B'到面ADC的距离为高，即要找到过B'点的AD的垂线即可；（2）此问是要证明线线平行，又知l为平面B'ED与平面HFD的交线，故可证HF∥面B'ED，再用线面平行的性质定理即得证；（3）要证AD⊥B'E，可用线面垂直的性质定理，即让AD垂直于B'E所在的其中一个平面即可．解答：解：（1）在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD=BD=CD．又∠B=60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连接B'O，∴B'O⊥AD．∵面AB'D⊥面ADC，面AB'D∩面ADC=AD，B'O⊂面AB'D，∴B'O⊥面ADC．在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为BC的中点，∴AC=，B'O=，∴．∴三棱锥B'﹣ADC的体积为V=．（2）∵H为B'C的中点，F为CE的中点，∴HF∥B'E，又HF⊈面B'ED，B'E⊂面B'ED，∴HF∥面B'ED，∵HF⊂面HFD，面B'ED∩面HFD=l，∴HF∥l．（3）由（1）知，B'O⊥AD．∵AE=，，∠DAC=30°，∴=，∴AO2+EO2=AE2，∴AD⊥EO又B'O⊂面B'EO，EO⊂面B'EO，B'O∩EO=O，∴AD⊥面B'EO，又B'E⊂面B'EO，∴AD⊥B'E．点评：本题考查的是立体几何的平行与垂直的关系和空间体的体积；立体几何的平行与垂直的问题是高考的常考必考内容，除了要掌握与平行垂直相关的结论外，理科生还要注意掌握用空间向量的方法解决立体几何中的平行、垂直、空间角的问题．。

北京101中学-年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案-最佳版

北京101中学2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分.1. 在ABC ∆中，4,60,45a A B ==︒=︒，则边b 的值为（）A. 364 B. 222+ C. 62 D.132+2. 已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（）A. 9B. 3C. －3D. －63. 下列结论正确的是（） A. 若bc ac <，则b a < B. 若22a b <，则b a <C. 若0,<>c b a ，则bc ac <D. 若b a <，则b a > 4. 若不等式022>-+bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则实数b a ,的值为（）A. 3,1==b aB. 3,1=-=b aC. 3,1-=-=b aD. 3,1-==b a5. 在ABC ∆中，2,2,cos b ac c a B ==的值为（） A. 14B. 34C. 4D. 3 6. 点)1,(a 在直线042=+-y x 的右下方，则a 的取值范围是（）A. ),2(+∞-B. )2,(--∞C. ),1(+∞D. )1,(-∞7. 为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航行到A处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o 方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o 方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为（）A. 10海里B. 20海里海里8. 已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+.给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f . 其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项之和9S ＝ .10. 已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是 . 11. 111133557+++⨯⨯⨯1(21)(21)n n +=-+ . 12.变量,x y 满足约束条件1y x x y x a ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =-的最大值为5，则a 的值是 .13. 把形如n M m =*(,)m n N ∈的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项分划”. 例如，把9表示成293135==++，称作“对9的3项分划”，把64表示成364413151719==+++，称作“对64的4项分划”. 据此，对324的18项分划中最大的数是_________________；若3M m =的m 项分划中第5项是281，则m 的值是_________________.14.给出下列命题： ①ba b a 11,0<<<则若； ②已知0,0a b >>，则2a b ab a b+≥≥+； ③22,0b ab a b a >><<则若；④lg9lg111⋅<； ⑤11,a b a b>>若，则0,0a b ><； ⑥正数,x y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6; 其中正确的命题序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共50分.15. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，141.5,96,a a =-=求,n q S .16. （本小题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且105,30c A C ==︒=︒，求：（1）b 的值；（2）ABC ∆的面积.17. （本小题满分8分）已知函数21()(1)(1)2f x a x a x =-+-- （1）若54a =，求使()0f x <成立的x 的取值范围；（2）若函数()0f x <对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围.18. （本小题满分8分）某公司计划用不超过50万元的资金投资B A ,两个项目，根据市场调查与项目论证，B A ,项目的最大利润分别为投资额的80%和40%，而最大的亏损额为投资额的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，问投资者对B A ,两个项目的投资各为多少万元，才能使利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分8分）设数列{}n a 的前n 项和为22,n S S n n =，数列{}n b 为等比数列，且11,a b =()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分10分）已知点(,)n n a ()n N *∈在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，1n n d d c +=(*)n ∈N . 求数列{}n d 的前n 项和n D ；（3）在（2）的基础上，又设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数12,x x ，恒有12()g x x 1221()()x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列1()21n n d g d +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由.【试题答案】1. A2. D3. C4. B5. B6. A7. C8. D9. 99 10. 5 11.21n n +12. 2 13. 35，17 14. ②③④⑤ 15. 4q =-，3(1(4))10n n S =---16. 2=b ，231+=S . 17.（1）{|21}x x -<<（2）当1a =时，显然()0f x <成立，当1a <时，由10a <⎧⎨∆<⎩得{|11}a a -<<，综上，{|11}a a -<≤ 18. 解：设投资者对A 、B 两个项目的投资分别为y x ,万元。

贵州省遵义航天高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(带解析)

贵州省遵义航天高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（带解析）1．设全集{}|05U x Z x =∈≤≤，集合{}{}3,1,|,A B y y x x A ===∈，则()U C A B =（）Ａ.{}0,4,5,2 Ｂ.{}0,4,5 Ｃ.{}4,5 Ｄ.{}4,5,2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知：{}=2,0B ，{}=0,1,2,3A B ⋃，∴{}()4,5U C A B =.考点：集合之间的基本关系、集合运算. 2．等比数列}{n a 中，如果585,25a a ==则2a 等于（）C.5D.1【答案】D 【解析】试题分析：由等比数列的性质知：2528a a a =⋅，∴21a =.考点：等比中项.3．若a b c 、、为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＜b ＜0，则＜D ．若a ＜b ＜0，则＞【答案】B 【解析】试题分析：当0c =时，A 错误；C 选项应为11a b >；D 选项应为b a a b<. 考点：不等式的基本性质. 4．等差数列}{n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（）A.90B.160C.180D.200 【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质知：21924788,2633a a =-=-==，∴()()12021920202018022a aaa S ⨯+⨯+===.考点：等差中项、等差数列求和.5．方程2(2)50x k x k +-+-=的两个不等实根都大于2，则实数k 的取值范围是（） A.2k <- B.4k ≤- C.54k -<≤- D.54k -<<- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知：()()1212224542450x x k x x k k k ⎧+=->⎪⎪⋅=->⎨⎪∆=--->⎪⎩，解得54k -<<-.考点：二次不等式的解法.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a cA C =，则△ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得:sin sin cos cos A CA C=，即sin cos cos sin sin()0A C A C A C -=-=，∴A C =.考点：正弦定理.7．已知点A(1，1),B （-1l 过原点，且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.[B.[1,)+∞C.(,-∞D.(,[1,)-∞+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：当直线l 过点B时，k =l 过点A 时，1k =；由图知，直线l 的斜率的取值范围为(,[1,)-∞+∞. 考点：直线的斜率、直线方程.8．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象（）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位【答案】B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换.9．设22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩，则不等式()2f x ≥的解集为（）A.(,1][3,)-∞-+∞B.(,1][2,)-∞-+∞C.[3,)+∞D.(,1]-∞- 【答案】A 【解析】试题分析：当0x <时，2()2212f x x x x x ≥⇔-≥⇔≤-≥或（舍去）；当0x ≥时，()2()2log 123f x x x ≥⇔+≥⇔≥；综上所述，不等式()2f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞.考点：不等式的解法、等价转换思想.10．在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x , y 的大小关系为( ) . A.y x ≤ B.y x > C.y x < D.y x ≥ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意：cos cos sin sin cos()y x A B A B A B -=-=+，在锐角ABC ∆中，,cos()0A B A B π+>+<，∴y x >.考点：三角恒等变换.11．现有数列{}n a 满足：11a =，且对任意的m ，n ∈N *都有：m n m n a a a mn +=++，则12320141111a a a a ++++=（）A.20142015 B.20121007 C.20132014 D.40282015【答案】D 【解析】试题分析：令1m =，则11n n a a n +=++；用累加法可求得(1)2n n n a +=，∴12112()(1)1n a n n n n ==-++；123201411111111111140282121223342014201520152015a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦考点：数列通项公式的求法、数列求和.12．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________. 【答案】4+=3λμ 【解析】试题分析：112222AC AE AF AD AB AB AD AD AB μλλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而AC AB AD =+,∴1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相加化简得：4+=3λμ.考点：向量的线性运算.13．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是_____．【答案】5【解析】试题分析：把35x y xy +=化简得：135y x+=，∴()113131234341355x y x y x y y x y x⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12555≥⨯=. 考点：基本不等式. 14．已知函数y =的值域为，则[0,)+∞的取值范围是________【答案】(,1,)-∞-+∞][3 【解析】试题分析：函数y =的值域为，所以2232t x ax a =+++的判别式()244320a a ∆=-+≥，解得：(,1,)-∞-+∞][3.考点：恒成立问题、二次不等式的解法. 15．过点（1,1），且横、纵截距相等的直线方程为__________________ 【答案】20x y +-=或y x =【解析】试题分析：当直线经过原点时，易知直线方程为y x =；当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，把点（1,1）代入得2a =，所以直线方程为20x y +-=. 考点：直线方程的截距式.16．解关于x 的不等式()()221220x k x k k k R -+-+≤∈.【答案】当13k =时，不等式解集为23x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当13k >时，解集为{}12x k x k -≤≤；当13k <时，解集为{}21x k x k ≤≤-. 【解析】试题分析：先把二次不等式看成二次方程，解出方程的两个根122,1x k x k ==-；再分三种情况：13k =、13k >、13k <讨论两根的大小，从而可以求出不等式的解集. 由()221220x k x k k -+-+≤得，()()210x k x k -+-≤， ∵方程()()21=0x k x k -+-的两根122,1x k x k ==-，令21k k =-得：13k =. (1)当13k =时，不等式解集为23x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， (2)当13k >时，21k k >-，不等式的解集{}12x k x k -≤≤， (3)当13k <时，21k k <-，不等式的解集{}21x k x k ≤≤-，考点：二次不等式的解法、含参问题. 17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++ (1)求{}n a 的通项公式；(2)设21()n n nb a a =+求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1){}n a 的通项公式为12n n a -=；(2)数列{}n b 的前n 项和()1144213n nn T n -=-++. 【解析】试题分析：(1)设{}n a 的公比为q ，易得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩，解得2q =，11a =；所以12n n a -=.(2)先求出数列{}n b 的通项公式，再用分组求和的方法求出前n 项和n T 即可. (1)设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=.由已知化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩，又10a >，故2q =，11a =. 所以12n n a -=.(2) 由(1)知，221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭. 因此，()1111111441441221441414nn n n n T n n ----⎛⎫=++++++++=++ ⎪-⎝⎭-()1144213n nn -=-++. 考点：等比数列的通项公式、数列求和.18．已知在ABC ∆中，角A,B,C,的对边分别为,,a b c ，且222,1b a c ac b =+-=（1）若tan tantan tan ),3A C A C c -=+求边的值；（2）若2a c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）边c （2）ABC ∆【解析】试题分析：（1）由余弦定理求得=3B π；由恒等变换公式知：tan()A C -=，从而得5,124A C ππ==；再根据正弦定理可求出边c 的值；（2）由题意知三角形为直角三角形，ABC ∆的面积易求.由222,b a c ac =+-及余弦定理得1cosB 2=，B 3π∴= （1）tan tan tan tan )A C A C -=+，tan()A C ∴-=22,336A C A C πππ-<-<∴-=，又23A C π+=故5,124A C ππ==， 1,sin sinB c b b c C =⇒==故（2）2a c b =⇒=， 222a b c ∴=+所以三角形为直角三角形 ∵1b =，∴12S bc ==考点：正余弦定理综合运用、恒等变换公式.19．已知函数2()2sin ()23,4f x x x π=--（1）求函数()f x 的最小正周期； (2)当[,]42x ππ∈时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；(2)()f x 的最大值为-3，最小值为-4. 【解析】试题分析：（1）用二倍角公式和恒等变换公式化简得()2cos(2)26f x x π=+-，所以函数()f x 的最小正周期为π； (2)当[,]42x ππ∈时，先求出26x π+的取值范围，结合余弦函数的图象可求()f x 的最大值和最小值. （1）()2cos(2)26f x x π=+- T π∴=（2）27[,],2[,]42636x x πππππ∈∴+∈max min 22=,()3,63452=,()4612x x f x x x f x ππππππ∴+==-+==-当即时，当即时，考点：三角函数的图象、三角函数的最值求法. 20．已知数列{}n a 的前n 项和()1*3312n n S n N -⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足()*1312log n n n a b n N a ++=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式，并说明{}n a 是否为等比数列；（2）求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）数列{}n a 的通项公式为12,13,22n n n a n -=⎧⎪∴=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，{}n a 不是等比数列；（2）数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和26(62)()3nn T n =-+.【解析】试题分析：（1）已知n S 求n a ，用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出数列{}n a 的通项公式，由公式易知{}n a 不是等比数列；（2）先求出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，用错位相减法求出前n 项和n T .（1）1112n a S ===时，， 2132312n n n --⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭时，S ，两式相减得132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭12,13,22n n n a n -=⎧⎪∴=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ ，故{}n a 不是等比数列.（2）13()2n n b n =，12n()3n n b = 由错位相减得122266()3()6(62)()333n n nn T n n +=--=-+.考点：数列通项公式的求法、数列求和.21．已知()1()2,11f x x x x =-->-+，若2()21f x t a t ≤-+对于所有的()[]1,,1,1x a ∈-+∞∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】实数t 的取值范围为2t ≤-或2t ≥或0t =.【解析】试题分析：2()21f x t at ≤-+对于所有的()[]1,,1,1x a ∈-+∞∈-恒成立，即()f x 的最大值都小于等于221t at -+；即220ta t -≤对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()2g a ta t =-，只要(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，即可解出实数t 的取值范围．容易得出11()23132111f x x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪++⎝⎭，即()f x 的最大值为1,则2()21f x t at ≤-+对于所有的()[]1,,1,1x a ∈-+∞∈-恒成立⇔2121t at ≤-+对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即220ta t -≤对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()2g a ta t =-，只要(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤-或2t ≥或0t =．考点：恒成立问题、等价转换思想.。

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试理科数学试卷(带解析)

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试理科数学试卷（带解析）1．ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．若B ＝2A ,a ＝1, b ＝2,则这样的三角形有（）A ．只有一个B ．有两个C ．不存在D ．无数个【答案】C 【解析】试题分析：假设此三角形存在，由正弦定理可得sin sin a b A B =，即12sin 2sin cos A A A=，解得cos 1A =。

因为角A 为三角形内角，cos 1A =不成立，所以假设不成立。

即此三角形不存在。

故C 正确。

考点：正弦定理。

2．不等式(5)(6)6x x x -->-的解集是（）A ．(5,)+∞B ．(6,)+∞C ．φD ．(,5)(6,)-∞+∞【答案】C 【解析】试题分析：将原不等式等价于6051x x ->⎧⎨->⎩或6051x x -<⎧⎨-<⎩66x x <⎧⇒⎨>⎩或66x x >⎧⎨<⎩x ⇒∈∅。

故C 正确。

考点：一元二次不等式。

3．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是 ( )A ．30B ．28C ．21D ．55 【答案】A【解析】试题分析：根据框图的循环结构，依次2112,125n p =+==+=；2213,5314n p =+==+=；2314,14430n p =+==+=。

跳出循环输出30p =。

考点：算法程序框图。

4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则15S =（） A ．60 B ．70 C ．90 D ．40 【答案】B 【解析】试题分析：根据等比数列的性质可知51051510,,S S S S S --仍成等比数列，故210551510()()S S S S S -=-，即()()21530101030S -=-，解得1570S =。

故B 正确。

富顺一中高一下学期期中考试试卷

富顺一中2012-2013学年度高一下学期期中考试物理试卷考试时间：100分钟，总分110分一、不定项选择题（每空4分，部分选对得3分，错选0分，15个题共60分。

） 1、关于质点的曲线运动，下列说法中不正确．．．的是（） A 、曲线运动一定是一种变速运动 B 、曲线运动可以是速率不变的运动 C 、变速运动必定是曲线运动 D 、曲线运动可以是加速度不变的运动2、若以相同的水平初速度，分别在距离地球和月球表面相同高度抛出小球，则在这两种情况下（） A 、小球落地时速度相同 B 、小球落地时速率相同 C 、小球飞行的时间相同 D 、小球水平的射程不同3、如图所示，富顺一中高一的同学们在探究运动的合成与分解自主活动中，当笔尖同时沿水平方向和竖直方向做直线运动时，以下说法正确的是（）A. 笔尖的合运动一定是直线运动B. 笔尖的合运动一定是曲线运动C. 若笔尖沿两个方向都做匀速直线运动，则笔尖的合运动一定是匀速直线运动D. 若笔尖沿两个方向都做匀变速直线运动，则笔尖的合运动一定是匀变速直线运动 4、如下图所示，将完全相同的两个小球A 、B ，用长L=0.8 m 的细绳悬于以v=4 m ／s 向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比F B ∶F A 为(g=10 m ／s 2) （）A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶15、飞机在沿水平方向匀速飞行时，飞机受到的重力与垂直于机翼向上的升力为平衡力，当飞机沿水平面做匀速圆周运动时，机翼与水平面成α角倾斜，这时关于飞机受力说法正确的是（） A ．飞机受到重力、升力和向心力 B ．飞机受到重力、升力 C ．飞机受到的重力和升力仍为平衡力 D ．飞机受到的合外力为零6、铁路转弯处的圆弧半径为R ，内侧和外侧的高度差为h ．L 为两轨间的距离，且L ＞h ．如果列车转弯速率大于L Rgh，则( )A ．外侧铁轨与轮缘间产生挤压B ．铁轨与轮缘间无挤压C ．内侧铁轨与轮缘间产生挤压D ．内、外铁轨与轮缘间均有挤压7、如下图，两球的质量均匀分布，大小分别为M 1与M 2，两球面之间的距离为r ，两球半径不能忽略，则两球间万有引力大小为( )A.221r M GM B. 2121r M GM C. 22121)(r r M GM + D. 22121)(r r r M GM ++8、同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星（）A ．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心距离可按需要选择不同的值B ．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的C ．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同的值D ．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心距离是一定的 9. 人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将 ( ）A ．继续和卫星一起沿轨道运行B ．做平抛运动，落向地球C ．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动D ．做自由落体运动，落向地球10、设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运动轨道半径R 的三次方之比为常数，即R 3/T 2=k ，那么k 的大小（）A.只与行星质量有关B.只与恒星质量有关C.与恒星及行星的质量均有关D.与恒星的质量及行星的速率有关 11、地球赤道上随地球一起自转的物体，其受力为（）A ．万有引力、重力、向心力，合力为零B ．重力、向心力、地面支持力，合力不为零C ．重力、向心力、地面支持力，合力为零D ．万有引力、地面支持力，合力不为零 12、已知地球半径为R ，将一个物体从地面移到离地高h 处，物体所受到的万有引力减少到原来的一半，则h 为（）A ．B ．2RC ．D ．R13、机械手表的分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为（）A ．B ．C ．D ．14、人造地球卫星的轨道半径越大．．．．，则（） A.线速度越小，周期越大 B.角速度越小，周期越大 C.线速度越大，周期越小 D.加速度越大，周期越大15、如图所示，在同一竖直面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点．若不计空气阻力，下列关系式正确的是（）A ． b av v < B ． b a v v > C ．b a t t < D ．b a t t >二、填空、实验题（完成在答题卡上．．．．．．．），每空3分，部分填对得2分，错填不得分，共计15分。