计算柱面上对面积的曲面积分的一种新方法

2
∫ ∫x +
E 2 2 2
1 2 2 dS , 其中积 y + z
分曲面 ∑ 是界于平面 z = 0和 z = H 之间的圆柱面 x + y = R . 通常的方法是将积分曲面 E分为左、 右 (或前、后 )两个部分 E 1和 E 2 , 然后考虑将它们 向 zox 坐标面 (或 yoz 坐标面 )投影 , 最后化为两个二重积分进行计算 . 下面给出利用本文提出的方法计算本题的过程 .
E L* 1 L* OA+ AB+ BC+ CD 1 0 1 0 1 0 1 1 2 2
2 ∫ ∫f ( x , y , z ) d S = ∫ ∫f ( x , y , z ) d S ,其
E E
1
x yz d S , 其中 ∑ 是以折线 OABCD 为准线 , 平行于 z 轴的直线为母线的 ∫ ∫
L*
i= 1
由式 ( 1)和式 ( 2)可知:
∫ ∫
f ( x , y , z ) dS = E
∫∫
L*
z ( x ,y )
2 1
ds
z ( x ,y )
f ( x , y , z ) dz . [证毕 ]
3 实 例
例 1 计算 f ( x , y , z ) d S , 其中 ∑ 是关于 xoy 坐标面对称的柱面片 , 上边界曲线光 ∫ ∫
∫ ∫
f ( x , y , z ) dS = E
∫∫
L*
ds
z 2(x , y) z (x , y)
1
f ( x , y , z ) dz .
证明 首先 , 由所给的条件可知 , 定理 1的结论中左右两端的积分均存在 . 现将 L* 任意划分为 n 个子弧段 , 依次记为 Δs1 ,Δs2 ,… , Δsn , 且也用 Δsi 表示第 i 个子弧 段的弧长 ,并记 λ L* = max {Δsi }; 1≤ i≤n 分别过 Δs1 ,Δs2 ,… , Δsn 的端点作垂直于 x oy 坐标面的直线 , 将 E分为 n 个子柱面片 ,分 别记为 Δ S 1 , Δ S2 , … ,Δ Sn , 且也用 Δ Si 表示第 i 个子柱面片的面积 , 并记 λ max {Δ Si } ; ∑ = 1 ≤ i≤ n 由对弧长的曲线积分的几何意义可知 Δ Si =
∫
2 1
z (x ,y)
i i i i
- z (x ,y )
-i ) [z 2 ( x -i , f (xi , yi , z ) dz = f ( xi , yi , z yi ) - z 1 ( xi , yi ) ];
* → 0与 λ → 0 是等价的 , 从而有 以因为 λ L ∑
∫ ∫ ∫∫
A N ew Method for the First Surf ace Integral on Cylinder
Z HAN G Yong ming
( Beijing Institute o f Gr aphic Co mmunica tio n, Beijing 102600, China) f (x ,y , ∫ ∫
i= 1 n
z (x , y)
2 1
ds
z (x , y)
f ( x , y , z ) dz = λli m∑ * →0
L
i= 1 n
∫
2
- z (x ,y )
i i
- z 1( xi , yi )
f (xi , yi , z ) dz Δsi ( 2)
-i ) [z 2 ( x -i , = λli m f (xi , yi , z yi ) - z 1 ( xi , yi ) ]Δsi , → 0∑
摘 要 : 给出 了利 用 对弧 长 的曲 线 积分 计算 柱 面上 对 面积 的 曲 面积 分 的一 种 新 方法 , 其 计 算公 式 为
s ∫ ∫f ( x , y , z ) dS = ∫ d∫
E L* z (x, y) 2 z (x, y) 1
为垂直于 xo y 坐标面的柱面片 , L* 为 E在 xoy f ( x , y , z ) dz , 其中积分曲面 E
∑
在 x oy 坐标面上的投影曲线 L* 的方程为 x 2 + y 2 = R 2 , 又由于 ∑ 是界于平面 z =
0和 z = H 之间 , 所以有
∫ ∫
1 2 2 dS = E x + y + z
2
∫ ∫x + y1 + z dz = ∫ x 1 + 1 H H =∫ R arctan R R dt = 2 c a rct an R .
*
z ( x, y ) ( - z ( x, y ) )
ds
f ( x , y , z ) dz =
∫ 0ds =
L
*
0.
说明 : 类似地 , 可以证明在题中其它条件不变的条件下 , 若将 f ( x , y , z ) 是关于变量 z 的奇函数改为是关于变量 z 的偶函数 , 则曲面积分 中 E1 为 E位于 xoy 坐标面上方的部分 . 例2 计算 D 1, 1 . 2 解 L* = OA + AB + BC + CD ,其中直线段 O A , AB , BC , CD 的方程分别为 O A: y = 0, 0≤ x ≤ 1, AB: y = 1 - x , 0≤ x ≤ 1, 1 BC: y = 1, 0≤ x ≤ 1, CD: x = 1, ≤ y ≤ 1, 2 所以 , x y z d S =∫ d s x yz dz = ∫x y ds = ∫ x y ds ∫ ∫ ∫ 2 2 0dx + ∫ x ( 1- x ) 2 dx + ∫ x dx + ∫ y dy = 3∫ 2 3 3
∫
z ( x ,y ) (- z ( x , y ) )
f ( x , y , z ) dz = 0,
8期
张永明 : 计算柱面上对面积的曲面积分的一种新方法
203
设 ∑ 在 x oy 坐标面上的投影曲线为 L* , 则由定理 1 可知 ,
∫ ∫
f ( x , y , z ) dS = E
∫∫
L
E
: A new method fo r the first surface integ ral o n cy linder , the for mula is Abstract z ) dS = s ∫ d∫
L* z 2( x , y ) z 1( x , y )
f ( x , y , z ) dz , here , E is a piece o f cy linder , which is o r tho go nal to x oy a rea ,
E
柱 面的 位 于平 面 z = 0 和 z = 1 之 间的 部 分 , 其中 O ( 0, 0) , A ( 1, 0) , B ( 0, 1) , C ( 1, 1) ,
=
2 + 21. 4 16
参考文献 :
[ 1 ] 同济大学数学教研室主编 .高等数学 (第四版 ) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 1996.
L* is the pr ojectio n of E on x oy a rea, z = z 1 ( x , y ) , z = z 2 ( x , y ) ar e the sur faces ' functions w hich thr ough the dow n & up bo undar y curv e of E. Keywords : the fir st surface integ ral; the first line integ ra l
收稿日期 : 2004-07-06
202
数 学 的 实 践 与 认 识
38 卷
光滑或分段光滑的平面曲线 , 函数 f ( x , y , z ) 在 E上连续 , z = z 1 ( x , y ) 和 z = z 2 ( x , y ) 分 别是过柱面片 E的下边界曲线和上边界曲线的不同于 E的曲面的方程 , 均在曲线 L* 上连 续 , 且 z 1 ( x , y ) ≤ z 2 ( x , y ) , 则有
E
于 x oy 坐标面的柱面片时 ,由于 E在 xoy 坐标面的投影为曲线 (构不成区域 ) , 且此时被积函 数中的 z 也无法换为变量 x , y 的函数 , 面积元素 d S 也无法换为 dx d y 的形式 ,所以不能将 E 向 xoy 坐标面投影 , 而须考虑将积分曲面 E向 yoz 坐标面或 zox 坐标面投影 . 这种情况下利 用本文的计算方法会给计算带来方便 . 例如 ,参考文献 [ 1 ]第 226页上的一道题目: 计算曲面积分
L*
H 0
ds
2
2
2
* L
2
y2
a rcta n
H ds x 2 + y2
2 c 0
不难看出 , 上述求解过程比传统的方法要简单 . 同时 , 如果
∑
比较复杂或问题是抽象
的 , 本文提出的方法就更能显示出其优越性了 , 可以参见本文中的相关例题 .
2 结论及证明
定理 1 设 E是垂直于 xoy 坐标面的柱面片 ,在 xoy 坐标面上的投影曲线为 L* , L* 是
L
*
-i , f ( x , y , z ) dS = λ lim yi , z i )Δ Si ∑ f (x E →0
E
n
i= 1
-i ) = λli m∑ f ( xi , yi , z * →0
L
n
-i , [z 2 ( xi , yi ) - z 1 ( x y i ) ]Δsi ,