清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学

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第三章 断裂力学与断裂韧度

第三章 断裂力学与断裂韧度

定义
也就是G表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。 也就是 表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。 表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力 因为G是裂纹扩展的动力,当G达到怎样的数值时, 达到怎样的数值时, 因为 是裂纹扩展的动力, 是裂纹扩展的动力 达到怎样的数值时 裂纹就开始失稳扩展呢? 裂纹就开始失稳扩展呢 按照Griffith断裂条件 断裂条件G≥R R=γs 按照 断裂条件 γ 按照Orowan修正公式 修正公式G≥R R=2(γ s+γ p) 按照 修正公式 γ γ
如对无限大平板内中心含有穿透K 如对无限大平板内中心含有穿透 1为
因此, 线弹性断裂力学并不象传统力学那样 , 单 因此 , 线弹性断裂力学并不象传统力学那样, 纯用应力大小来描述裂纹尖端的应力场, 纯用应力大小来描述裂纹尖端的应力场 , 而是同 时考虑应力与裂纹形状及尺寸的综合影响。 时考虑应力与裂纹形状及尺寸的综合影响。 教材p67 教材
其研究结果在当时并未引起重视
对于大多数金属材料, 对于大多数金属材料 , 虽然裂纹尖端由于应力集中 作用, 局部应力很高, 作用 , 局部应力很高 , 但是一旦超过材料的屈服强 就会发生塑性变形。 在裂纹尖端有一塑性区, 度 , 就会发生塑性变形 。 在裂纹尖端有一塑性区 , 材料的塑性越好强度越低, 材料的塑性越好强度越低 , 产生的塑性区尺寸就越 裂纹扩展必须首先通过塑性区, 大 。 裂纹扩展必须首先通过塑性区 , 裂纹扩展功主 要耗费在塑性变形上, 要耗费在塑性变形上 , 金属材料和陶瓷的断裂过程 不同,主要区别也在这里。 不同,主要区别也在这里。
工作应力σ<许用应力 工作应力 许用应力[σ] 许用应力
即认为是安全的
塑性材料 脆性材料

断裂力学-线弹性理论(共53张PPT)

断裂力学-线弹性理论(共53张PPT)

断裂动力学
● 1948年N.F.Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动能引入Griffith能量准 那么;
● 1951年,E.H.Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型,计及惯性力,对 裂纹分叉作定量分析;
1960年,J.W.Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进的匀速扩展半 无限长裂纹模型;
K反映了裂尖应力场的强弱;足标1表示是1型。
sij越大,K越大;裂纹尺寸a越大,K越大。 K的量纲为[应力][长度]1/2,常用MPa m。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明,K1可以更一般地写为:
K1 s a f (a,W,...)
f(a,W,...)为几何修正函数,可查手册。 特别地,当a<<w或a/w0时,即
这种连续介质模型仍是一种理想的模型,在远离 裂纹尖端的区域是适宜的,而在裂纹尖端附近的 小区域(原子或晶体结构的尺度范围)是否适宜, 还需深入到微观领域,弄清微观的断裂机理,才 能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中 是如何发挥作用的,才能深入了解宏观断裂的现
二、断裂力学中的几个根本概念
● Griffth(格里菲斯)裂纹
●1960年,D.S.Dugdale (达格代尔) 研究裂纹尖端的塑性区。
●1961年,A.A.Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准那么。
●1968年,J.R.Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研究裂纹尖 端的变形及J积分准那么。
●1968年,J.W.Hutchinson(哈钦森)及J.R.Rice与G.R.Rosengren
● 1977 Comninou(康尼诺),和1988Delale(迪拉尔)和Erdogan,1989 Hutchinson ,和 Sun(锁志刚)提出的能量释放率扩展准那么;

断裂力学讲义分解

断裂力学讲义分解

1
16 G
sin (2cos
k
1)
16
a22
1
16 G
[(k
1)(1
cos )
(1
cos )(3cos
1)]
a33
1
4 G
3 4
k
3
1
平面应变 平面应力
S
r 应变能密度因子—表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度
S a11KⅠ2 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ2 a33KⅢ2
2 r 2
22
y
KⅠ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
KⅡ sin cos cos 3 2 r 2 2 2
15
xy
KⅠ
sin
cos
cos
3
2 r 2 2 2
KⅡ cos (1 sin sin 3 )
2 r 2
22
xz
KⅢ
sin
2 r 2
yz

r
) | 0 0
3 2
r
[
r
(
r
3 2
)]
0
0
12
r 0
r
3 2
0
( r
3 2
|
0
0
KⅠcos
0
2
KⅡ
sin
0
2
0 0
2
arctan
KⅠ ) KⅡ
G0
1 2 E
(
KⅡ4 KⅠ2 KⅡ2
)
G0
=1 -m2 ( E
KⅠ2
+KⅡ2 )
G0 G0 根不是解
裂纹扩展

断裂力学精品文档

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目录 第一章 绪论 第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展 第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础
一、引例
第一章 绪 论
s
s s [s ]
s
2a
2b
s
2a
s
s max
s
1
2
a b
Inglis(1913)
s
?
第一章 绪论
用分子论观点计算出绝大部分固体材 料的强度103MPa,而实际断裂强度 100MPa?
裂力学,断裂动力学和界面断裂力学。
五、断裂力学的任务
第一章 绪论
1.研究裂纹体的应力场、应变场与位移场,寻 找控制材料开裂的物理参量;
2.研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律,确定其数值及测定方法;
3.建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则;
4.含裂纹的各种几何构形在不同载荷作用下, 控制材料开裂物理参量的计算。
一、Griffith理论
3.Griffith理论
s
1) b厚度板开裂前后应变能增量
V
s 2 πa2b A2ab πs 2 A2
E
4Eb
A:裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能
ES 4ab 2A
s
V ES πs 2 A 2
A A 2Eb
2.2 断裂力学的能量方法
一、Griffith理论
4.1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠 落,同时期共三架坠落;
第一章 绪论
二、工程中的断裂事故
5.1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆 炸;
6.1969年11月美国F3左翼脱落; 7.1972年我国歼5坠毁; 8.近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等

清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学

清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学

ˆ ui u r 1 i x3 x3
ui ,3 ui ,
ui x1, x2
裂纹尖端的二维渐近分析 当无限靠近裂尖时,有以下量级关系
fi
,3 ,
, 1, 2
为什么?
ui Cui,
C具有模量的量纲
定解方程变成以下解耦的两组:
按照对称性分析I,II型裂纹场的对称性:应力、应变和位移?
基于渐近分析
ui ui x1, x2
1 1 u x , x u x , x 1 1 2 u1 x1 , x2 u1 x1 , x2 2 1 1 2 2 u1 x1 , x2 0 1 1 u x , x u x , x u x , x u x , x 0 u2 x1 , x2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 u x , x u x , x 3 1 2 3 1 2 0 0
Papkovich-Neuber 势函数
4 C f ,
Plane strain Plane stress
f , , f3 0
Airy应力函数
2 2 2 11 2 , 22 2 , 12 21 x2 x1 x1x2
u3 r C1 sin
1 2

2
1 C u3 1 3r r 2 sin r 2 2
3
1 C u3 1 r 2 cos r 2 2
u3 0
+ u3 C1r 3 1 2 1 2
at 0 at at -

断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算

断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算

K I lim Z I 2 a
0
Z ( )
a
2a
K lim 2 Z ( ) a
0
l ( a) Z Ⅲ ( ) ( 2a)
KI lim 2 ZI ( ) l a
z
z 2 a2 a 2
2
z
z
z
0
只有实部且为一常数
z 0 Z II
lim Z ' ( z ) lim
z
z
z
a
2 3/2

x y 0
xy
在裂纹表面
y0
z
z a
2
x a 处
2
满足平板周围的边界条件 虚数
12
K lim 2 Z ( )
0
Ⅱ型裂纹求解
第三步:用 Z ( z) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限,若考虑裂尖附近 的一个微小区域,则有:
K 2 Z ( )
Z ( ) K 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x 2 ImZ y Re Z ' y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
进而可得到位移分量
(1 ) u= 2(1 ) Im Z yReZ E (1 ) (1 2 )ReZ y Im Z v= E
断裂力学第三讲
Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics

线弹性断裂力学PPT教案

线弹性断裂力学PPT教案
取单位厚度的无限大平板,中央有长 为2a的 穿透裂 纹,承 受与裂 纹垂直 的均匀 拉伸应 力,如 图所示 。
对于薄板,为平面应力状态
三个应力分量为:
x
a 2r
cos 2
(1 sin
2
sin
3 2
)
y
a 2r
cos 2
(1 sin 2
sin
3 2
)
xy
a 2r
sin
2
cos 2
co s 3 2
G G (或 )
C
GC
脆性断裂准则
K KC
K C (或 )
平面应变断裂韧性
平面应力断裂韧性。
通常把K准则作为断裂准则的常用形 式,为 什么?
应用K准则,应力强度因子的数值一般由计算得出,断裂韧性 的数值由试验测定。
第25页/共65页
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
对于Ⅱ型裂纹 ,按照与Ⅰ型裂纹问题同样的思路, 有
第1页/共65页
2.3.1 裂纹体的三种断裂类型
裂纹体中的裂纹,由于外加作用力的 不同, 可以分 为三种 不同的 类型, 如图所 示,相 应地称 为Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ 型断裂 问题
由于Ⅰ型裂纹是最常见和最危险的,容 易引起 超低应 力脆断 ;近年 来对I型 裂纹的 研究也 最多, 实际裂 纹即使 是复合 型裂纹 ,也往 往把它 作为Ⅰ 型裂纹 来处理 ,这样 更安全 。
G GC
K KC
G
1 E
K
2
(平面应力)
GC
1 2 E
K2 C
(平面应变)
对于Ⅲ型裂纹,有
G GC
K KC
G
1 E

《线弹性断裂力学》课件

《线弹性断裂力学》课件
02
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估,对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中,许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力,因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用,可以预测结构 在各种载荷下的行为,从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源,是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化,从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为,为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量,是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内,抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标,表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大,材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中,了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法,模拟更为复杂的断裂行为,提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构,深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流,如物理学、化学、生物学等,以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题,具有 广泛的应用前景。

第三章 断裂力学与断裂韧度11

第三章 断裂力学与断裂韧度11
a. 对于各种裂纹的应力强度因子计算在断裂力学中已积累了 很多的资料,现已编有应力强度因子手册,多数情况可从手 册中查出K的表达式,而G的计算则资料甚少 。
b. 另一方面,K1c和G1c虽然都是材料固有的性能,但从实验测 定来说,K1c更容易些,因此多数材料在各种热处理状态下所 给出的是K1c的实验数据。 但是,G判据的物理意义更加明确,便于接受,所以两者既是 统一的,由各有利弊。
引言
二、从选材方面考虑,对材料与裂纹的关系提出的问题
➢什么材料比较不容易萌生裂纹? ➢什么材料可以允许比较长的裂纹存在而不发生断裂? ➢什么材料抵抗裂纹扩展的性能比较好? ➢怎样冶炼、加工和热处理可以达到最佳的效果?
第一节 材料的断裂理论
一、理论断裂强度
假设:理想的、完整的晶体 理论断裂强度σc :在外加正应力作用下,将晶体的两
➢平面应力:指所有的应力都在一个平面内,平面应力问题 主要讨论的弹性体是薄板,薄壁厚度远远小于结构另外两个 方向的尺度。薄板的中面为平面,所受外力均平行于中面面 内,并沿厚度方向不变,而且薄板的两个表面不受外力作用。 ➢平面应变:指所有的应变都在一个平面内。平面应变问题 比如压力管道、水坝等,这些弹性体是具有很长的纵向轴的 柱状物体,横截面大小和形状沿轴线长度不变,作用外力与 纵向轴垂直,且沿长度不变,柱体的两段受固定约束。
几种常见裂纹的应力强度因子
(1)对无限大平板中心有穿透裂纹
几种常见裂纹的应力强度因子
(2)对无限大平板,板的一侧有单边裂纹
(3)对有限宽平板,中心有穿透裂纹 Y是2a/w的函数,可由图中实线所示查出
几种常见裂纹的应力强度因子
(4)对有限宽平板,板的两侧有双边裂纹
Y也是2a/w的函数,但由图中虚线所查出

清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件

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III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切

lim
r0
2
r

22 12
r,0
r,
0


32

r
,
0


KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2

x1,
0
ui
a

x1,

dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载(如固定力),是何结论?
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII

lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =

清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学共37页

清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学共37页
清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力 学
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法, 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现,法律就是这样 一种的 网,触 犯法律 的人, 小的可 以穿网 而过, 大的可 以破网 而出, 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏,庇 护着我 们大家 ;它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天、 天 下 之 事 常成 于困约 ,而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸,生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业,需 要决心 ,能力 ,组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来

第三章 第二部分 断裂力学与断裂韧性

第三章 第二部分 断裂力学与断裂韧性

a
0
A
B
A
B
Figure1 Atomistic model of theoretical tensile fracture
A
FNmax rmax
FN = FA + FR
B
Force vs. interatomic separation
理论断裂强度
f
th
E S a0
Table 1 Estimated theoretical fracture strengths for several materials
裂纹扩展导致系统总能量变化
U
c 2
E
2 4c S
dU d2c
系统能量随裂纹尺寸的变化
2 cc
0

1 2
c
E
2 2 S 0
1 2
2 S E 这一常数反映了材 c 料抵抗断裂的能力 ——不管应力与裂纹尺寸如何配合,只要应力同裂纹半长平 方根的乘积达到并超过某个常数,材料就会发生断裂。
………………………
问题3:为什么会发生低应力断裂? 问题4:如何才能避免发生低应力断裂?
问题5:如何才能提高构件的断裂抗力? ——传统强度设计理论无法回答!

大量断裂事故分析表明,上述低应力脆断事故是 由于构件中宏观裂纹失稳扩展造成的。
传统强度设计理论的困境: ——以宏观强度理论为基础,把材料看成均匀连续介质。 ——材料的强度指标σ s、σ b仅能代表无裂纹构件强度 如果构件中没有宏观裂纹,按传统设计理论可以保 证构件的安全服役。 在实际工程应用中,构件中裂纹存在是不可避免的。
——高强度及超高强度材料的低应力断裂 二战后,高强度、超高强度材料的应用日益广泛,低应力断 裂事故层出不穷:

断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算汇总

断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算汇总
KI lim 2 ZI ( )
0
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限,若考虑裂尖附近 的一个微小区域,则有:
KI 2 ZΙΙI ( )
Z ΙI ( ) K I 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
K I lim Z I 2 a
0
Z ( )
a
2a
K lim 2 Z ( ) a
0
l ( a) Z Ⅲ ( ) ( 2a)
KI lim 2 ZI ( ) l a
18
满足平板周围的边界条件。
Ⅲ型裂纹求解
同样,为计算方便,将坐标原点从裂纹的中心 移到裂纹的右尖端
取新坐标
za ( a) 1 Z Ⅲ ( ) f III ( 2a)
KI f ( ) 趋于常数,设: lim f ( ) lim Z I ( ) 当 0 , 0 0 2 右裂尖附近, 在很小范围内时
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的应力场表达式
20
Ⅲ型裂纹求解
Z III K III 2 r
cos i sin 2 2
Z III
1 K III K III 2r 2 d 2 K III cos i sin 2 2 2 2
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中,应力和位移场得表达式
3 x sin (2 cos cos ) 2 2 2 2 r KⅡ


3 y cos sin cos 2 2 2 2 r KⅡ

断裂力学裂纹尖端应力场和位移场计算课件

断裂力学裂纹尖端应力场和位移场计算课件

l z
z2 a2
满足边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处, Z III z 只有实部而无虚部,有 yz 0
满足裂纹表面处 的边界条件
当 y 或 x ,都有 ZIIT z l ,即 ReZIII zl
ImZIII z0
由非零应力分量公式知,yz l,xz 0
满断裂足力学平裂纹板尖端周应力围场和的位移边场计界算 条件。
求r
a 。对于稍远处,应该用
ZⅠ ()
(+a)f()所示的
(2a)
Z
I
来确定应力分量和位移分量。
断裂力学裂纹尖端应力场和位移场计算
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹,无穷远受剪应力作用
断裂力学裂纹尖端应力场和位移场计算
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步:解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同,主要差别是无穷远处边界上受力条件不
断裂力学裂纹尖端应力场和位移场计算
22
值得指出的是,上述三种裂纹问题的应力场表达式,虽然是根 据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。 进一步的分析表明,这些解具有普遍的意义,也就是说,对于 其他有限尺寸板的穿透裂纹(包括中心裂纹和边裂纹),在非 均匀受力条件下,裂纹尖端附近的应力场(更确切地说是应力 场的奇异项)表达式也是相同的,其不同之处仅仅是应力强度 因子的不同,因此,对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的 应力强度因子就可以了。
Ⅱ型裂纹求解
za
Z()
a f() 2a
当 0 ,f ( ) 趋于常数,设:
li m 0f()li m 0 Z()K 2
右裂尖附近, 在很小范围内时

线弹性断裂力学

线弹性断裂力学
线弹性断裂力学
1
线弹性断裂力学认为,材料和构件在断裂以前基本上处
于弹性范围内,可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点:
一种是能量平衡的观点,认为裂纹扩展的动力是构件在
裂纹扩展中所释放出的弹性应变能,它补偿了产生新裂纹表 面所消耗的能量,如Griffith理论; 一种是应力场强度的观点,认为裂纹扩展的临界状态是 裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值,如Irwin理论。
oab oad oaf G1 lim lim lim dA0 dA dA0 dA dA0 dA
对前两种情况, oad=
则由

d Pd
P d 2
P 2 d G1 2 dA
上式称为应变能释放率的柔度表达式。那么知道了载荷与柔度随面积 的变化率,可以计算出 G1
15
三.应力强度因子理论
裂纹尖端存在奇异性,即:
ij (r , )
1 r
(r 0)
K ,即:
基于这种性质,1957年Irwin 提出新的物理量—应力强度因子
K lim 2 r yy (r , 0)
r 0
1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的 K Kc 断裂判据( K 准则)
K Kc
16
§1.2 裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值
一.裂纹的类型
1.按裂纹的几何类型分类
穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.
表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为 半椭圆裂纹. 深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭 圆裂纹.
17
2.按裂纹的受力和断裂特征分类 张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面, 裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂 纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种 裂纹.

断裂力学讲义第三章: 弹性力学的平面问题

断裂力学讲义第三章: 弹性力学的平面问题

第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题,但是在某些条件下,它们可以简化为平面问题。

在平面问题中,我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标,以u,v,w 表示相应的位移分量,而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。

§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里,所有位移量都只是x , y 的函数,与z 无关,因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数,与z 无关。

平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中,即物体是一个很薄的平板,此外还要求板的厚度均匀,所有外力都作用在板的中面内,或者所有外力都作用在与中面平行的平面内,且载荷对中面对称。

根据这些前提条件,在物体的两个端面(上下底面)上,进而整个物体内,=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。

平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式,有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式,虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指:在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度,而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下,在任一远离端部且与xoy 平行的平面内,物体的变形都是相同的。

此外,由于z 方向尺度极大,不能产生z 方向的位移,即0=w ,因此,物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。

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G a 0 ai2 x 1 ,0 u i a x 1 ,d x 1 w tip a
如果不是固定位移载荷加载(如固定力),是何结论?
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
G d ad U F d
逐渐放松保持力过程
wtipdadUFd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
应力强度因子的计算:
K Mx l1 i0m 2x1
2i
x1,0
i M
1, II
2, I
3 III
Westergaard应力函数法( Westergaard stress function)
之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件,Westergaard 应力函数方法将满足所有边界,并能给出全场解。
KQ
PQ BW
f
a W
应力强度因子求解
此前,只讨论了裂尖的渐近解,这里将讨论如何结合几何和载 荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法:
Westergaard应力函数法( Westergaard stress function) 权函数法(Weight function) 线性叠加法 (Principle of superposition)
GlimUAUB
a0 a
lim 1 a02a
a
0 32
x1,0u3dx1
lim1
a0a
0a32x1,0u3ax1,dx1
G
K2 III
2
针对I、II、III型裂纹
x2
x2
σ
u
x1
a
u
x1
a
i2
KMaO
2x1
x1
i 1, 2, 3 M II I III
u i u i G a llaiai m m 0x 01 2,1a1a0 a0u ai i2i 2xa 1x, 10,x 01 u,i uida x12 xu 1i , a dx 1x 1 , G a 复2 K 合I2x E1 型K K裂M I2I 纹a K 2I2 IIa 【 作4 业1 1 题I I I I I I 3-5】
此外,I型断裂最为危险。
G
K
2 I
E
实验测量应力强度因子
电测法 裂尖应变
光弹法
裂尖主应力
数字图像相关(Digital image correlation) 热弹性法(Thermoelastic Method)
裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
实验测量KIC
安全
KI KIC 临界状态
I、II型裂纹
4F 0
应力函数 F R ezz zd z
应力场
11 Re2 z 22 Re2 z 12 Imz
位移场
2u1 Rez 2u2 Imz
34
3
1
Plane strain Plane stress
Westergaard应力函数法( Westergaard stress function)
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
K IIIlx1 i m 0 2x1 32 x1,0
32 x1,0
KIII
2x1
u 3 u 3 + a x 1 , u 3 - a x 1 , = 2 u 3 + a x 1 ,= 2 2 K I I I a x 1 1 2
应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关
GUe 1Ue
A B a
KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关
KKIII KIII
lim
r0
2r
1222
r,0 r,0
32 r,0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
KIC 材料的断裂韧性 (Fracture toughness)
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Compact tension (CT)
平面应变
B
2.5
K IC y
2
a
2 .5
K IC y
2
Crack mouth opening displacement (CMOD)
在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数(z)和(z) ,其实在对称和
反对称特例下,可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。
以I型问题为例:
F R z e z z d z
12 x1, 0= 0 x1 ,利用了对称性
2FF,
I z m z z I z m z z 0
σ
x1
a
u
a u
G KI2 KI2I
K2 III
x1
E 2
平面应变断裂韧性:
能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得
到的。
G KI2
KI2I
K2 III
E 2
在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很
多材料的实验观察表明,裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I
型断裂占优的路径。
u3 r1uˆ3
ui 0 asr 0
为什么有如此渐近的形式?
分离变量法 u3r,Rru ˆ3
2u3 2 rR 2u ˆ31 r R ru ˆ3rR 2 2u ˆ2 30
12
r2 2Rr R1 R r2 Rr uˆ3
2uˆ3
2
0
12
M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).
大家好
第三章:线弹性断裂力学
断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解
复变函数(回顾) 三型裂纹裂尖场的解
应力强度因子K K-G关剪切问题(一个相对简单的问题)
3, 0
3
1 2 u3,
3 23
整理可得调和方程(或由Navier方程直接简化)
渐近解
2u3 0
2u3 2 ru231 r u r3r12 2 u2 30
x 2 0
x 2 0
zzz A A为实常数 x20
u v u v x y y x
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