导数在研究函数问题中的应用
导数在研究函数中的应用
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～一 …一 ． ． … … … …一 … ～ … …
翻 豳 苣 ｌ ｉ 餮 ｌ … 一 … 、 一 一 … … … … … … 一 一 ～ 一 一 一 … … ～ … … … … … ＼
思索 前 后 两个 函 数 都 有 一 个
ａ
形 式 可 以分 成 ａ ＝ ０ ， ａ ＞ Ｏ ， ａ ＜ Ｏ 三 种 情 况进行 讨论 ． 通过 数形 结合进行 选择 ．
合 的 思 想 和 转 化 变 换 的 思 想 研 究
重 点 ：了解 函数 单 调 性 和 导 数 的 关 系 ．能 利 用 导数 研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 函数 的单 调 区 间 ； 了解 函 数 在某 点取 得 极 值 的 必要 条 件 和充 分条件 ； 会 用 导 数 求 函 数 的极 大值 、
基 础 知识 进 行 考 查 的 同 时 ，还 注重
结到位 ． 并 不 断进 行训 练． ３ ．要 加 强 交 汇 ．注 意 导 数 与 函
出一 个 “ 用” 字， 其 中利 用 导 数 判 断 单 调性 起 着 基 础 性 的 作 用 ，对 导 数
数、 方程 、 不 等 式 等 知识 的 交 汇，由 导 数 方法 研 究 方 程 、 不等式时 ， 一 般
是 先 构造 一 个 函数 ，这 里要 考 虑是
在 解 决 函数 单 调 性 、 最值、 极 值 等方
面 的应 用 ． 要做到抓 主线 ， 攻重点 ， 熟 知方 法 ， 并 不 断 进行 训 练 ．要 注 意
考 查 能力 ， 特 别 是 解 导 数解 答 题 ， 往
往 要 站在 数 学 思 想 方 法 的 高 度去 考 虑 问题 ．对 求 解 目标 的理 解 应 该 如
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
应用导数解决实际问题
应用导数解决实际问题导数作为微积分的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
它通过研究函数的变化率和极值等特性，为我们提供了解决各种实际问题的有效工具。
本文将通过几个具体问题的探讨，展示导数在实际应用中的重要性。
一、速度、位移和加速度假设我们有一个物体在直线上运动，我们想要计算它在特定时间点的速度。
这时我们可以借助导数的概念来解决这个问题。
设物体在时刻t的位移为s(t)，则物体的速度可以通过求解s(t)的导数来得到。
具体地，我们可以使用以下公式来求解速度：v(t) = s'(t)其中v(t)表示物体在时刻t的速度，s'(t)表示s(t)的导数。
通过对位移函数求导，我们可以得到物体在不同时间点的瞬时速度，从而更好地了解其运动情况。
进一步地，我们还可以通过对速度函数求导，得到物体的加速度。
加速度是速度的变化率，通过它我们可以判断物体是在加速还是减速。
设速度函数为v(t)，加速度函数为a(t)，则加速度可以通过求解v(t)的导数来得到：a(t) = v'(t)通过对速度函数求导，我们可以得到物体在不同时间点的瞬时加速度，进而分析出运动过程中的加速度变化情况。
二、最优问题在实际问题中，我们常常需要寻找优化的解决方案。
这时，我们可以借助导数的概念来找到最优解。
考虑下面一个例子：假设我们要制作一个体积为V的圆形容器，我们想要找到能够最小化表面积的尺寸。
设圆形容器的半径为r，表面积为A，则我们可以通过求解A关于r的导数来得到最优解。
具体地，我们可以使用以下公式来求解表面积的导数：dA/dr = 0通过对表面积函数求导，并令导数等于0，我们可以解得最优解所对应的半径。
这样，我们就能够找到满足实际情况并且表面积最小的容器尺寸。
类似地，我们还可以通过求解函数的导数来解决其他的最优问题。
无论是求职场上的最大收益，还是寻找最短路径，导数都能够帮助我们找到最优解决方案。
三、误差估计在实际测量和计算中，我们难免会遇到误差。
导数在研究函数中的应用单调性教案
导数在研究函数中的应用——单调性教学目标：①能探索并应用函数的单调性与导数的关系；②求一些简单的非初等函数的单调区间；③能由函数的单调性绘制函数图象．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．教学难点：导数与单调性之间的联系，利用导数绘制函数的大致图象．教学设计：一、问题情境问题一 求函数342+-=x x y 的单调区间．问题二 判断或证明函数的单调性常用方法有那些？问题三 你能确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间吗？问题四 除了单调性是对函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的刻画，还有什么知识也刻画了函数变化的趋势？设计意图：以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数或非初等函数判断单调性，在用定义法、图象法很不方便时，如何思考、化未知为已知，让学生积极主动地参与到学习中来．二、数学建构问题五 能不能利用导数研究函数的单调性呢？问题六 导数与单调性有何联系？如何寻找？导数与函数的单调性的关系一般地， 对于函数y ＝f （x ），如果在某区间上f ′(x )＞0，那么f （x ）为该区间上的增函数；如果在某区间上f ′(x )＜0，那么f （x ）为该区间上的减函数．设计意图：通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．三、数学应用例1.确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln -= （2）xx y ln =（3）x xe y =总结利用导数讨论函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求函数f (x )的导数f ′(x )；③令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.④书写答案注意连接词.问题六 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间，并作出草图.问题七 画出下列函数的草图①71862)(23++-=x x x x f ②7662)(23++-=x x x x f设计意图：通过具有开放性问题的设计，可以拓展学生思维，有利于学生对函数单调性与导数关系的更深层次的理解，进一步培养学生作函数图象与使用数形结合解决问题的意识．课后思考题 ①求函数xa x y +=)(R a ∈的单调区间. ②画出3x y =的图象，试问导函数0)(>'x f 是函数)(x f y =单调递增的 的条件.设计意图：这个问题是个难点，课上如果讲是讲不透的，课后让学生思考，可以有足够的时间去理解．另外，在给定函数下思考，可以使得问题的针对性更强，否则学生不知如何入手．对由已知单调增（减）的导数应该大于（小于）或等于零这个结论，只要让学生通过实例感受到为什么，在以后的使用中不漏解即可，而不必要做理论上的论证．四、课堂小结；通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？设计意图：通过小结，培养学生学习——总结——反思的良好习惯，使学习更上一个台阶．五、课堂练习1.确定下列函数的单调区间（1）2x x y -= （2）3x y -=2.讨论函数的单调性（1）b kx y += （2）xk y =（3）)0(2≠++=a c bx ax y 3.用导数证明：（1）x e x f =)(在区间()+∞∞-,上是增函数； （2）x e x f x-=)(在区间()0,∞-上是减函数.。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数在研究函数问题中的应用——浅析2012年福建省高考函数试题
定 义 ， 若 对 任 意ｚ ， ｚ ∈ ［ ｎ ， ６ ］ ， 有厂 （ 盟 专 垒 ） ≤ 丢 ［ 厂 （ ｚ ， ） ＋ 厂 （ ） ］ ， 则 称 ， （ ｚ ） 在 ， 上 具 有 性 质 Ｐ ． 设
， ， 一 ， 一３
２ ． 初 中数 学 学 习 中 关 于 方 程 式 的 开 放 性 试 题 的 备 考 策 略
在初 中数学学习过程 中， 对 于考查 函数知识 的 开放
性试 题 ， 通 常采 用 以函数 知识作 为背 景 ， 积 极探 索 函数 方程式 内各个 字母 系数之间 的关 系 ， 找 出满足某 些条 件 的点 的存在性． 例如， 已知二次 函数 —Ａｚ ＋Ｂ ｘ ＋Ｃ（ Ａ ≠Ｏ ） 的图像 （ 如图 ２ ） ， 根据 函数 图像 中抛物 线所显 示 的
厶 厶
二、 应 用 举 例
±
２
、
“
【 例１ １ （ ２ ０ １ ２ ， 福建 ， 理１ ０ ） 函数 ， （ ） 在［ ｎ ， ６ ］ 上有
、
２
推论 ： 若 ， （ ｚ ） 为凹函数 ， 则厂 （ ｚ ） 在定义域 内的任 意
一
点 Ｐ（ ｘ 。 ， ｆ （ ｘ 。 ） ） 处 的切线总在 函数 厂 （ ｚ ） 的下 面（ 切 点
策略
明显 的特点 ， 在初 中数 学教 学 中不仅 有助于 改变学生 生 搬硬套 的传统解题模式 ， 同时还能够 消除学 习过程 中学 生直接 模仿 例题 解题 的不 良习惯． 因此 ， 在 初 中数学 教
学过程 中， 必 须要求 学 生站 在不 同 的角度 去思考 问题 ， 积极找寻多样化 的解题方法 ， 为初 中学 生进行数 学学 习
－
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用
现代社会中，微积分在各个领域都有着广泛的应用，而其中最重要的就是导数的应用。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，可以提供有关函数的关键信息，它在科学、工程、数学、物理等众多领域有着重要的作用。
首先，导数可以用来确定函数的极值，即求解函数的最大值和最小值。
函数的极值是指函数在定义域内所取得的最大值或最小值，利用导数可以轻松地求出函数的极值。
其次，导数可以用来分析函数的变化趋势，即函数图像的上升或下降速度。
函数的变化趋势是指函数在定义域内的变化状况，其中导数可以用来描述函数的变化速度，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化趋势。
此外，导数可以用来解决最优化问题，即找出某一函数的最优解。
最优化问题是指在一定条件下，求出能够使函数取得最大值或最小值的解，用导数可以计算出函数的极值，从而可以找出函数的最优解。
最后，导数还可以用来研究函数的变化率，即求出函数在某一点的变化率。
函数的变化率是指函数在某一点的变化率，其中导数可以用来描述函数在某一点的变化率，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化状况。
总之，导数在函数中有着重要的作用，它可以用来求解函数的极值、分析函数的变化趋势、解决最优化问题和研究函数的变化率，它在各个领域都有着重要的作用。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数在研究函数中应用之函数单调性
导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。
首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。
注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。
在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。
具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。
函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。
在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。
2.接下来，求出函数的导函数。
导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。
3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。
当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。
4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。
5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。
导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。
如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。
通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。
当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。
函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。
例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。
《导数在研究函数中的应用》教学设计
《导数在研究函数中的应用》教学设计一、学情分析我校高二学生在经历了一年多的高中学习，抽象思维能力有所提高，但对于形象的事物则更容易理解并掌握。
在前一个月，不断地通过数形结合的方式，引导学生认识、掌握、运用导数。
目前，学生对于导数的基础知识较好的掌握。
然而，学习若只停留在“被动接受”的阶段，而没有“主动出击”的经历，那么，学习便无乐趣，学生便无能力。
如何激发学生的自主探究的激情，明确探究的内容，制定探究的方案，越过探究的难点，享受成功的喜乐。
这对于教师来说，是一个大挑战。
在较好掌握一阶导数在函数单调性中的应用后，学生自然而然会产生一种纵向挖掘导数新知的欲望，那就是探究二阶导数的相关知识。
（也可能是横向挖掘：探究导数在奇偶性、周期性等方面的应用）这为本节课的学习提供了情感基础。
二、教学思路【教材地位和作用】本节课是属于导数知识的拓展课。
凹凸性是一个重要的函数性质，虽不在高中学习的范畴内，但在高等数学中有着重要的地位（与拉格朗里定理，柯西不等式都有着重要的联系）。
并且也常有以二阶导数为背景的高考题目。
因此，本节课既着眼于提高学生的探究能力，也在一定程度上拓宽了学生的数学知识、素养。
【教学重、难点以及突破】重难点：（1）如何引出猜想（即[f'(x)]'决定f(x)的凹凸性）（2）面队大量的素材，如何有效的分析（3）解释结论突破：（1）如何引出猜想？突破方法：通过对汽车启动和刹车时的s(t)图形特点的思考，从而引导学生从“加速度对s(t) 图形的影响”联想到“[f'(x)]'对f(x)图形的影响。
（2）通过计算具体函数的[f'(x)]',并画出f(x),[f'(x)]'的图形。
在面对纷繁杂乱的素材时，如何才能高效地处理素材，提取出有效的信息，用于验证猜想？突破方法：将图形按照[f'(x)]'的符号来分类，通过分析同一类的f(x)图形共性，不断地验证猜想，并加强对“凹凸”的直观感知。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案目录：一、教材分析二、教学目标三、教学重难点四、教学方法五、教学过程一、教材分析本节课的内容是高中数学选修模块中导数在研究函数中的应用部分。
这部分内容是在学生已经掌握了导数的基本概念、求导法则和导数的应用基础上进行讲解的。
教材通过引入实际问题，引导学生利用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题，培养学生的数学应用能力。
二、教学目标1. 理解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 学会利用导数解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学重难点1. 重点：导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 难点：如何利用导数解决实际问题，找到合适的切线方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究导数在研究函数中的应用。
2. 通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的作用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示函数图像和切线方程。
4. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾导数的基本概念、求导法则，引导学生关注导数在研究函数中的应用。
2. 知识讲解：讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用，引导学生理解并掌握相关概念。
3. 实例分析：选取实际问题，让学生利用导数解决，体会导数在实际问题中的作用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养团队协作能力。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学评价1. 学生对导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的理解程度。
2. 学生能否灵活运用导数解决实际问题。
3. 学生的小组协作能力和团队意识。
七、教学反思在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，发现问题时应及时调整教学策略。
教师还应注重培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，提高学生的实际问题解决能力。
导数在函数研究中的应用
导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。
如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。
通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。
3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。
如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。
4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。
例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。
5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。
例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。
6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。
例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。
7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。
总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
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导数在研究函数问题中的应用一、函数的单调性与导数例1.已知函数21f x x ax aln x a R =---∈（）（）（），求函数f x （）的单调区间.评注：（1）函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。
在引入导数这一工具之前，我们判断函数的单调性的一般方法是定义法，但是对于上述题目这种方法就无法得到答案，而有了导数之后，问题就迎刃而解了.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑'f x （）的正负即可，当'0f x >（）时，f x （）单调递增；当'0f x <（）时，f x （）单调递减.此方法简单快捷而且适用面广。
（2）在定义域为（1，+∞）的条件下，为了判定'f x （）符号，必须讨论实数22a +与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.二、函数的极值与导数例2.已知函数f x x lnx ax =-（）（）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）. A.（-∞,0） B.（0,12） C.（0,1） D.（0，+∞） 评注：函数有两个极值点，即'210f x lnx ax =--=（）（）有两个不等的实数解，可转化为两个曲线有两个交点.数形结合思想是数学中的一种重要的解题方法，可以使问题直观明了。
三、函数的最值与导数例3. 设010x a x f x x x x -+≤⎧⎪⎨+>⎪⎩，（），若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是 . 例4. 若函数21x f x e ax bx =---（），其中a b R ∈，，设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值.评注：本题首先得到g'（x ）的解析式，然后进行分类讨论，研究不同情况下函数的变化趋势，得出最值.合理分类是解题的关键.四、导数在求曲线的切线方程中的应用例5.求曲线x y e =在原点处的切线方程.评注：此类题型为已知点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标x f x （。
,（。
))，表示出切线方程000'y f x f x x x =-（）（）（-），把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程.五、利用导数解决实际问题3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（x 为圆周率）.（1）将V 表示成r 的函数V （r ），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V （r ）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 评注：利用导数求解生活中的优化问题时，既要注意将题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意函数表达式中自变量的取值范围，如果目标函数在定义域中只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点就是最值点.集合易错警示集合是学习数学的基础，是高考的必考内容，同学们在学习中不但要掌握其中的知识和方法，还要扫清解题中的误区。
下面归纳了几种高频误区，给同学们提个醒，以免发生错误。
一、忽视元素的互异性致误集合中的元素必须具有确定性、互异性、无序性三个特性，其中元素的互异性最容易被忽视。
例1.已知集合A={1，3，a ），集合B={1，21a a -+}，如果B A ⊆，求a 的值。
【错解】 若213a a -+=，即210a a -+=（)(），则12a a =-=或；若21a a a -+=，即2210a a +=-，则a=1.综上，所求a 的值为-1，1，2.在解决集合问题时，要注意集合元素的特征相同，但是集合的含义未必相同。
例2. 设集合{}2|12{|A y y x x R B x y A B ==+∈==I ，），，求. 【错解】由题意可得{}|1|2{A y y B x y =≥=≥，）.所以|2{A B x x =≥I ）.三、忽视空集的讨论致误集合间的关系比较抽象，常常与方程、函数、不等式等知识联系，在解此类问题时不要忽视了空集的存在。
例3.已知集合{}{}2|60|10A x x x B x mx =+-==+=，，AUB A =，则实数m 的取值集合是 .四、忽视端点值的取舍致误在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误.例4.已知集合{}|25{|24A x x B x a x a =-<≤=≤≤-，}，若A B ⊄，则实数a 的取值范围.【错解】因为A B ⊄，则2245a a ≤-⎧⎨->⎩解得a<-1.五、忽视补集的含义致误对于给定集合求补集的问题，要先求出元素的具体范围，再在对应全集下求其补集.不可随便猜测，否则易错.例5.已知全集I=R ，集合2|{0M x x x =-<}，集合11|}N x x=-≤{，则下列关系正确的是（ ）. ....I I I A M C NB C N M C M C N D C M N R ⊄⊄==U I （）函数易错警示函数是高中数学的核心内容.它包括函数的定义域和值域，图像和解析式，函数的性质等问题，又涉及高中数学的很多数学思想.对于函数方面易错点的研究，有助于大家跳出误区，优化思维，使逻辑思维更加严密，也有助于数学其他模块的学习。
一、忽视隐含条件致误例1.已知222224x y x u x y +==+，求的范围. 【错解】由题意可得22222224122222x x u x y x x u x y -=+=+=+-≥-=+（），故范围是[-2，+∞）.二、忽视判别式约束致误 例2.若a ，β是实系数一元二次方程2220x mx m -++=的两根，求22αβ+的最小值.【错解】由韦达定理，有222222a m a m a βββαβαβ+==++=+-，，且（），则2222117424444a m m m β+=--=--（），所以22αβ+的最小值是417-.三、忽视分界点致误例3.函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩在（-∞，+∞）上单调，则a 的取值范围是 . 【错解】 由题意可得，若函数在（-∞，+∞）上单调递减，则有210a a <⎧⎨->⎩，得a<-1；若函数在（-∞，+∞）上单调递增，则有2010a a >⎧⎨->⎩得a>1.故a<-1或a>1.四、函数零点存在性定理理解不清致误例4.已知方程210mx x ++=有且只有一根在区间（0，1）内，求m 的取值范围。
【错解】 设21f x mx x =++（）有且只有一根在区间（0，1）内，(0)(1)0f f <得m<-2.导数易错警示导数是研究函数的重要工具，有着广泛的应用，但是同学们在学习中存在一些误区，经常出现一些错误，本讲对有关易错点进行归纳剖析，供大家参考。
一、对导数的定义理解不透致误例1.设f x xlnx =（），若0'f x （）=0，则0x =（ ）. A.任意正实数 B.1 C.e D .1e【错解】因为'o o f x x lnx =（）为一常数C ，而（C ）'=0，所以x 0为任意正实数，故答案为A.二、将“过某点的切线”作为“在某点的切线”致误例2.已知曲线3:3S y x x =-，求过点P （2，-2）的切线方程.【错解】由题意可知点P （2，-2）在曲线S 上，且2'33y x =-，则过点P 的切线斜率2'|9x k y ===-，由点斜式方程得过点P 的切线方程为292y x +=--（），即9160x y +-=.三、误解导函数与原函数图像的关系致误 例3.已知函数'y xf x =（）的图像如图所示（其中'f x （）是函数f （x ）的导函数），下面四个图像中y=f （x ）的图像大致是（）.【错解】选A 或B 或D.四、对函数取极值的充要条件理解不清致误例4.已知函数220a f x alnx x a x=++<（）（）.（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）记函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的极值点. 【错解】22222()(2)'x ax a x a x a f x x x +--+==（）.因为a<0，由f'（x ）>0得x>-2a ，由f'（x ）<0得x<-2a.故函数f （x ）在（-∞，-2a ）上单调递减，在（-2a ，+∞）上单调递增.（2）函数f （x ）的最小值为f （-2a ），故g （a ）=f （-2a ）=23aln a a --（）.则由'220g a ln a =--=（）（）得212a e =-，所以g （a ）在（-∞，0）上的极值点是212a e =-.剖析上述解法有两点错误，一是忽视了函数的定义域是（0，+∞），所以单调区间求解错误；二是将'0f x =（）的点直接说成极值点，即没有对它们是否为极值点进行判断.可导函数的极值点必须是导数为0，但是导数为0的点不一定就是极值点，必须要判断其左右的单调性才能得出是否为极值点.例如函数3y x =的导数为0的点是x=0，但其不是极值点.五、“函数在区间D 上是增（减）函数”与“函数的增（减）区间是区间D”混淆致误 例5.若函数324f x x mx =-+（）的减区间是（0，2），则实数m 的取值范围是 .【错解】 因为函数324f x x mx =-+（）的减区间是（0，2），所以函数2'320f x x mx =-≤（）对任意的02x ∈（，）恒成立，即32m x ≥对任意的02x ∈（，）恒成立，故m≥3.六、对函数单调的充要条件理解不清致误例6.函数325f x ax x x =-+-（）在区间（-∞，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围。
【错解】函数f （x ）的导数2'321f x ax x =-+（），由题意可知'0f x >（）在（-∞，+∞）上恒成立，所以04120a a >⎧⎨=-<⎩V ，解得13a >，所以a 的取值范围是1(,)3+∞七、忽视函数的变化趋势致误例7.已知方程ln xa x=有两个实数解，求实数a 的取值范围.【错解】原题可转化为两个函数ln xf x x=（）与y=a 的交点问题，因为'21ln x f x x -=（），当'0f x =（）时得x e =，又因为f x （）的定义域是（0，+∞），所以当0x e ∈（，）时，'0f x f x >（），（）在（0，e ）上单调递增；当x e ∈+∞（，）时，'0f x f x <（），（）在（e ，+∞）上单调递减，综上所述，f （x ）在x=e 处取得极大值也是最大值1f e e =（），所以当1a e ∈-∞（，）时函数ln x f x x =（）与y=a 有两个交点，即方程ln x a x=有两个实数解。