导数在研究函数问题中的应用

导数在研究函数问题中的应用

一、函数的单调性与导数

例1.已知函数21f x x ax aln x a R =---∈（）（）（），求函数f x （）

的单调区间.

评注：（1）函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。在引入导数这一工具之前，我们判断函数的单调性的一般方法是定义法，但是对于上述题目这种方法就无法得到答案，而有了导数之后，问题就迎刃而解了.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑

'f x （）的正负即可，当

'0f x >（）时，

f x （）

单调递增；当'0f x <（）时，f x （）

单调递减.此方法简单快捷而且适用面广。 （2）在定义域为（1，+∞）的条件下，为了判定'f x （）符号，必须讨论实数

2

2a +与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.

二、函数的极值与导数

例2.已知函数f x x lnx ax =-（）（）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）. A.（-∞,0） B.（0,

1

2

） C.（0,1） D.（0，+∞） 评注：函数有两个极值点，即

'210

f x lnx ax =--=（）（）有两个不等的实数解，可转化为两个曲线有两个交点.数形结合思想是数学中的一

种重要的解题方法，可以使问题直观明了。

三、函数的最值与导数

例3. 设01

0x a x f x x x x -+≤⎧⎪

⎨+>⎪⎩，（），若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是 . 例4. 若函数

21

x f x e ax bx =---（），其中

a b R ∈，，设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小

值.

评注：本题首先得到g'（x ）的解析式，然后进行分类讨论，研究不同情况下函数的变化趋势，得出最值.合理分类是解题的关键.

四、导数在求曲线的切线方程中的应用

例5.求曲线x y e =在原点处的切线方程.

评注：此类题型为已知点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标

x f x （。,（。))

，表示出切线方程

000'y f x f x x x =-（）（）（-），把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程.

五、利用导数解决实际问题

3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（x 为圆周率）.

（1）将V 表示成r 的函数V （r ），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V （r ）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 评注：利用导数求解生活中的优化问题时，既要注意将题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意函数表达式中自变量的取值范围，如果目标函数在定义域中只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点就是最值点.

集合易错警示

集合是学习数学的基础，是高考的必考内容，同学们在学习中不但要掌握其中的知识和方法，还要扫清解题中的误区。下面归纳了几种高频误区，给同学们提个醒，以免发生错误。

一、忽视元素的互异性致误

集合中的元素必须具有确定性、互异性、无序性三个特性，其中元素的互异性最容易被忽视。

例1.已知集合A={1，3，a ），集合B={1，21a a -+}，如果B A ⊆，求a 的值。

【错解】 若213a a -+=，即21

0a a -+=（)(），则12a a =-=或；若21a a a -+=，即2210a a +=-，则a=1.综上，所求a 的值为-1，1，2.

在解决集合问题时，要注意集合元素的特征相同，但是集合的含义未必相同。

例2. 设集合{}

2|12{|A y y x x R B x y A B ==+∈==I ，），，求. 【错解】由题意可得{}|1|2{A y y B x y =≥=≥，）.所以|2{A B x x =≥I ）.

三、忽视空集的讨论致误

集合间的关系比较抽象，常常与方程、函数、不等式等知识联系，在解此类问题时不要忽视了空集的存在。

例3.已知集合

{}{}

2|60|10A x x x B x mx =+-==+=，，

AUB A =，则实数m 的取值集合是 .

四、忽视端点值的取舍致误

在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误.

例4.已知集合

{}|25{|24A x x B x a x a =-<≤=≤≤-，}

，若

A B ⊄，则实数a 的取值范围.

【错解】因为A B ⊄，则22

45a a ≤-⎧⎨->⎩

解得a<-1.

五、忽视补集的含义致误

对于给定集合求补集的问题，要先求出元素的具体范围，再在对应全集下求其补集.不可随便猜测，否则易错.

例5.已知全集I=R ，集合

2|{0M x x x =-<}

，集合

1

1|}N x x

=-

≤{，则下列关系正确的是（ ）. ..

.

.I I I A M C N

B C N M C M C N D C M N R ⊄⊄==U I （）

函数易错警示

函数是高中数学的核心内容.它包括函数的定义域和值域，图像和解析式，函数的性质等问题，又涉及高中数学的很多数学思想.对于函数方面易错点的研究，