与圆有关的轨迹问题

课题：与圆有关的轨迹问题

一、设计理念：

本课主要复习应用轨迹方面的问题，我准备用一个课时来教授。我仔细研究2010年江苏高考考试说明和各大市高考模拟试卷后总结出，轨迹问题特别是与圆有关的轨迹问题依然是学生不可掉以轻心的一块内容，本节课我以求轨迹方程的常见方法作为核心内容，以无锡二模的18题为生长点，在此基础上进行发散，紧紧围绕本课重点。几道例题力求一题多变，多题一解，将求轨迹问题串到一条线上，尽量使学生能够做到融会贯通，在解决卷面求轨迹问题的同时，增强对几何图形直观的认识。

二、教学目标：

知识目标：1.引导学生掌握常见的求轨迹问题的方法，同时增强学生对平面几何图形更直观的认识 能力目标：培养学生的创新思维，使学生的解题能力得到进一步的提高，为以后的学习奠定基础。 德育目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验。

三、教学重点、难点：重点是求圆中的轨迹问题；难点是如何灵活运用几种方法来解决各种求轨迹问题。 四．授课类型：复习课

五、教学方法与教学手段：以学生为主体，教师为主导的问题探究式教学。 六.教学过程： 引入：

在无锡市2010届高三数学调研测试(二)解答题中出现这样一道题目： 18.在等腰ABC ∆中，已知AB AC =

,且点(1,0)B -。

点(2,0)D 为AC 中 点。（1）求点C 的轨迹方程（2）已知直线:40,l x y +-=求边BC 在直线l

上的射影EF 长的最大值。文科班大部分学生对第一小题中的轨迹问题一筹莫展，结合2010年江苏高考考试说明我们可以了解到直线和圆的知识是解析几何中的

重中之重，虽然考纲中必做题部分对轨迹方程并没有明确要求，但在样卷的解答题中依然出现了轨迹方程问题，我们还是不能掉以轻心，今天我们利用一节课的时间来研究一下解析几何中简单的一些求轨迹的问题，特别是与圆有关的轨迹问

题。 一．回忆解析几何中常见的轨迹:

(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分

线.

(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.

(4)平面内到定点的距离与到定直线（定点不在此定直线上）的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表

示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.

(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线. 二．例题选讲

[例1]已知P(5,0)和圆1622

=+y x

,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点

M 的轨迹为 ． 解一：探究：M 是弦的中点，可利用垂径定理。

设轨迹上任一点),(y x M ,连结OM 。

0PM PM =⋅∴⊥OM OM

,

05052

2

2

=+-=+-∴y x x y x x 即）（516

16

052

222=⇒⎩⎨⎧=+=+-x y x y x x 令。

)5

16

00522<

≤=+-∴x y x x （方程为 ∴弦AB 的中点M 的轨迹为圆的一部分。

反思总结：这题我们利用平面几何知识得到动点满足的关系式，这种求轨迹的方法叫做“几何法”。

解决上题的过程中，帮大家回忆求轨迹问题的步骤：1、建系；2、设点；3、列式；4、化简；5、检验。

解二：设轨迹上任一点

),(y x M ,连结OM

，

PM OM ⊥∴M

在以OP 为直径的圆上，且圆的方程为

0522=+-y x x ，以下同解一。

反思总结：像这种先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再

求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程的方法叫做“定义法”

解三：设AB 的直线方程为

)5(-=x k y ，设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A 。

,0162510)1(16

)5(2

2222

2=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=+=+=1521522212221k k y y y k k x x x ，消去k 得：0522=+-y x x 。（消k 时也要注意0=k 的情况）以下同解一。 反思总结：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之

间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做“参数法”。

回顾：解一是利用几何法，直接得到M 的轨迹方程，但要注意轨迹并不是整个圆，而是在已知圆内的一部分。解二需要对特殊曲线的定义和特征有比较深入的理解。解三利用的是“设而不求”，虽然显得比较复杂，但是在解决有关圆锥曲线轨迹问题时，却是比较重要的方法。

［变题1］如果将例一中的P(5,0)改为P(3,0)，结果会如何呢

方法同解一。（思考与例1有何区别）

［变题2］如果在例1的情况下改成求PA 中点D 的轨迹方程，又该如何处理

解：设D （x,y ）,则A （2x-5,2y ）,∵点A 在圆上 ∴

162522

2

=+-）（）（y x 化简得：04

9

522

=+

+-y x x

反思总结：这种将要求的点的轨迹转移到已知点的轨迹上去的方法，叫做“转移法”。

［变题2］已知弦AB 在圆9)2()

1(22

=++-y x 内运动，且,2=AB 则

AB 中点M 的轨迹为 ． 解：连结OM ，则OM?AB ，连结OA 。

2

22AM

OM OA +=，

，即8)2()1(1)2()1(92222=++-+++-=∴y x y x

∴M 的轨迹是以（1，－2）为圆心，22为半径的圆。

［变题4］直线0=+-

m y x 交圆422=+y x 于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的

轨迹方程。

解：连结OM ，则OM?AB ，得),(y x P ，∴

1

1-=⋅x

y

,即 )22(0<<

-=+

x y x 。

回顾：以上三道例题分别是圆中过定点弦的中点、定长弦中点、平行弦中点轨迹问题，由于圆的特殊性，这类问题都可用几何法来解决，而且较其它方法简单。，这种方法在其

他圆锥曲线中就比较困难。

再回到我们引入的问题18. (1)解：设C （x,y ），∵D(2,0)为AC 的中点，∴A （4-x,-y ），

由AB=AC ，得22

AC AB =∴2

2222)42()5(）（y x y x +-=+-，

整理得4)

1(22

=+-y x ，

又∵A,B,C 三点不共线，∴y?0，则点C 的轨迹方程为4)

1(22

=+-y x （y?0）

反思总结：上题中，动点所满足的条件能直接用一个等式表示，从而求出方程，这种求

轨迹的方法叫做“直接法”。

［例2］已知平行四边形ABCD 的顶点A 在圆12

2

=+y x 上运动，B 、C 的坐

标分别为(2,0)，(3,3)，求顶点D 的轨迹方程。