再谈高中数学中的特殊值法解题_胡春雷
巧用特殊值法提升解题的效率
解题宝典特殊值法是指借助满足题目条件的特殊值来解答问题的方法.特殊值法是解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答选择题、填空题时运用特殊值法，能巧妙优化解题的方案，简化解题的过程.那么如何运用特殊值法来解题呢？一、巧取特殊的数值有些代数问题较为复杂，且计算量较大，此时我们可以根据题意寻找一些特殊的数值，将其代入到题目当中，从中寻找到一定的规律，然后采用先猜想后验证的方法、归纳法、递归法等来解题.运用特殊值法解题，有助于快速找到解题的突破口，达到化难为易的目的.例1.定义在区间()-∞,+∞的奇函数f ()x 为增函数，偶函数g ()x 在区间[)0，+∞上的图象与函数f ()x 的图象重合.设a >b >0，则下列不等式中正确的是（）.A.f ()b -f ()-a >g ()a -g ()bB.f ()b -f ()-a <g ()a -g ()-bC.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-aD.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a 解：令f ()x =x ，g ()x =||x ，取a =2,b =1,所以f ()a =f ()2=2，f ()-a =f ()-2=-2，f ()b =f (1)=1,f ()-b =f ()-1=-1,g ()a =g ()2=2,g ()-a =g ()-2=2；g ()b =g ()1=1，g ()-b =g ()-1=1.所以f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a ，故选C .我们首先结合题意找到了两个满足题目条件的两个函数f ()x =x 、g ()x =||x ，然后取特殊值a =2、b =1,将其代入函数解析式中计算，便能快速解题.例2.（Ⅰ）已知在数列{}C n 中，C n =2n +3n ，且数列{}C n -pC n -1是等比数列，求常数p .（Ⅱ）设{}a n ，{}b n 是公比不相等的两个等比数列，且C n =a n +b n，证明数列{}C n 不是等比数列.解：（Ⅰ）由C n =2n +3n得C 1=5、C 2=13、C 3=35、C 4=97，又因为C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3为等比数列，所以()35-13p 2=()13-5p ()97-35p ，解得p =2或3.（Ⅱ）设{}a n 、{}b n 的公比分别为p 、q 且p ≠q ，则它们的前三项为a 1、a 1p 、a 1p 2和b 1、b 1p 、b 1p 2,其中a 1b 1≠0，所以C 1=a 1+b 1、C 2=a 1p +b 1q 、C 3=a 1p 2+b 12q 2，从而C 1C 3=a 12p 12+a 1b 1()p 2+q 2+b 12q 2，C 22=a 12p 12+2a 1b 1pq +b 12q 2.又因为p ≠q ，p 2+q 2>2pq ,所以C 22≠C 1C 3从而{}C n 不是等比数列.对于问题（Ⅰ），主要抓住了{}C n -pC n -1为等比数列的信息，然后取特殊值n =1,2,3,4，得到数列的前三项C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3，利用等比数列的性质建立关系式，求得p 的值，最后验证结果即可.解答问题（Ⅱ），需首先结合题意设出两个数列的公比，取数列的前三项，利用等比数列的性质证明结论.二、巧造特殊的图形有些几何问题中的图形为不规则的图形，难以直接运用所学的公式、定理、法则来解题.我们可以将图形特殊化，巧妙构造满足题意的、规则的、特殊的图形，或者直接将已知图形视为某种规则的、特殊的图形.这样会给我们解题带来很大的方便.例3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF //AB ,EF =32,EF 与AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.A.92B.5C.6D.152解：假设EF ⊥面FBC ,所以V E -FBC =13S ΔFBC ∙EF =13×12×3×2×32=32，而四棱锥E -ABCD 的体积为V E -ABCD =13×3×3×2=6,所以V ABCDEF =V E -ABCD +V E -FBC =152,故选D .题目中的图形呈现不规则状态，需对多面体作特殊化处理，于是假设EF ⊥面FBC ，这样三棱锥E -FBC 就成为直三棱锥，运用直三棱锥的体积公式便能快速得到结果.综上所述，运用特殊值法解题的关键是寻找满足题意的特殊数值、图形，将其代入题中进行求解.运用特殊值法解题，能让问题变得更加简单、直观，有助于培养同学们运用“从特殊到一般”“从一般到特殊”思想解答问题的能力.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）巧用特殊值法提升解题的效率石建春40。
导数特殊值法
导数特殊值法
求导数特殊值法是一种求解微分方程的有效方法，它能够通过求解特殊值来获得一个微分方程的解。
它可以用来解决不同类型的微分方程，包括常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
求导数特殊值法的基本思想是：通过求解微分方程的特殊值，来获得微分方程的解。
一般来说，特殊值是指微分方程的某些特殊的解，如常微分方程的振荡解和非线性微分方程的平衡解。
特殊值的求解可以采用极限法、变分法或特征值分解等方法。
求导数特殊值法的优点是效率高、结果准确，能够获得更准确的解决方案，是一种有效的求解微分方程的方法。
求导数特殊值法的应用很广泛，可以用来求解多种微分方程，如振荡方程、热传导方程、积分方程等，也可以用来求解机械系统、电磁系统、计算机系统等复杂系统的动力学方程。
另外，求导数特殊值法还可以用来求解偏微分方程，如哈密顿方程、波动方程、拉普拉斯方程等，这些方程通常用于描述物理现象和地理现象，如质量传递、热传递、电磁场、气象学、流体力学等。
总的来说，求导数特殊值法是一种有效的求解微分方程的方法，它可以用来解决各种不同类型的微分方程，也可以用来求解偏微分方程，是一种非常有用的方法。
特殊值法在高考数学解题中的应用
特殊值法在高考数学解题中的应用摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。
在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。
主题词：数学高考特殊值法简化应用随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。
身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。
第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。
如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。
第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。
第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。
这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。
特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。
这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。
［１］特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。
这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。
如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
证：先证相邻对换的情形。
设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b与排列a…abab…b的奇偶性不同。
特殊取值,巧妙求解
特殊取值，巧妙求解作者：徐峰来源：《数学学习与研究》2019年第02期【摘要】在解答某些高中数学问题时可以尝试采用特殊值法，即选取特殊的值加以研究.采用特殊值法可以发现规律，简化问题，达到事半功倍的效果.本文列举了特殊值法在数学中的几种应用，通过对特殊值的具体选取加以举例分析，为学生的解题提供一种新的思路.【关键词】特殊值法;不等式;证明题;解析几何特殊值法是高中数学中经常用到的一种方法，特殊值法即通过对问题的分析和判断，抓取一些特殊的数值或图形去探寻问题普遍的确定性的规律.使用特殊值的思想可以快速准确地判别获得答案，省时省力，提高解题效率.一、特殊“不等式”不等式题是高中常见的题型，也是考试中难度适中的题型，解此类题型时不仅需要找到问题的切入点，还经常面临分类讨论等繁复的求解過程，而通过特殊值法则可以较为简便地把握讨论的关键点，快速切入问题，准确解答.例1;; 若-2≤a≤2时，不等式ax2-2x-a+1<0恒成立，求x的取值范围.分析; 对原不等式进行分析，原不等式可变形为a（x2-1）-2x+1<0，观察后可知x=±1时不等式的二次项可以去除，则原不等式的特殊值可以选取为x=±1或x≠±1，通过采用特殊值法可对原函数进行降次，之后的分析则会非常简单.解;; 将ax2-2x-a+1<0变形为a（x2-1）-2x+1<0.当x=-1时，-2×（-1）+1=3>0，则原不等式不成立;当x=1时，-2×1+1=-1<0，则原不等式成立;当x≠±1时，构造一次函数f（a）=a（x2-1）-2x+1，则-2≤a≤2时，f（a）<0恒成立，则存在 f（-2）<0，f（2）<0，; 即 1- 3; 2 <x< 1+ 3; 2 .评注; 解答本题的关键是找准特殊值，然后用构造函数的方式来进行主元的有效转化，利用特殊值来进行针对性讨论，避免了分类讨论的复杂性.这种思维方式可以很快地找到解决问题的关键，谋求最大效率，学生在练习时可以有意识地培养.二、特殊“证明”高中数学的证明题题型灵活，学生在做此类题的时候经常会无从下手，在一些情形下则可以采用特殊值的方法来尝试求解.求解时首先对题目进行分析，提取有效信息，包括题目中相关函数或图形的一些特殊性质和规律，再进行假设尝试，设定特殊值，切记不要以偏概全，一概而论.例2;; 证明函数y=cos x 不是周期函数.分析; cos x 不是常规函数，不能简单地通过一般方法进行求解，需要注意的是原函数的定义域必定为x≥0.证明函数不是周期函数可首先假设原函数为周期函数，通过反证法进行证明.设定为周期函数则可以假设周期常数，此时则可以提取特定值对原函数的周期性进行判断.解; 原函数的定义域为x≥0，现假设y=cos x 是周期函数，则必然存在一个常数T（T≠0），使得原函数在定义域内的一切x都满足cos x+T =cos x .令x=0有cos T =cos0=1 T =2mπ，m∈ Z ;令x=T有cos 2T =cos T =1 2T =2nπ，n∈ Z ，于是 2 = n m ，此时与m，n∈ Z 相矛盾，从而可以判定假设不成立，故原函数y=cos x 不是周期函数.评注; 本题是典型的证明题，考查学生对周期函数的定义和异形函数变形的掌握，解题有两大关键点：一是命题的假设，二是特殊值的选取.巧妙地选取特殊值则可以立即体现命题的矛盾，达到立竿见影的效果.对于特殊值的抓取则需要学生在平时注意理解基础知识、积累规律性质.三、特殊“解析”特殊值法在解析几何中探寻方程轨迹也十分有效，可以通过特定点的设定以及特定斜率范围的假设来预判轨迹，至于设定的正确与否则可以根据已知条件进行求证.特殊值法是一种迂回的思想，即避开问题的一般性质用特定的解来判定可能性.例3;; 已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），点 -1，; 2; 2; 在椭圆上.已知一点F和一动直线n，直线经过点F，且与椭圆C相交于A，B两点，则x轴上是否存在定点Q，使得QA ·QB =- 7 16 恒成立？若存在，则求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.分析; 本题考查的是椭圆轨迹问题，动直线n有两种情形，即斜率存在和不存在，两种情形下都可以求出特定的点Q，通过对特定点坐标的考证可以判定其是否符合条件，最终综合两种情形则可以说明问题.解; 假设在x轴上有一点Q（m，0），使得QA ·QB =- 7 16 恒成立，当直线n的斜率为0时，A（ 2 ，0），B（- 2 ，0），则（ 2 -m，0）·（ 2 -m，0）=- 7 16 ，所以有m2= 25 16 ，所以m=± 5 4 .当直线n的斜率不存在时，A 1，; 2; 2; ，B 1，-; 2; 2; ，则 1-m，; 2; 2; · 1-m，-; 2; 2; =- 7 16 ，所以有（1-m）2= 1 16 ，所以m= 5 4 或m= 3 4 .综合可得m= 5 4 .所以x轴上存在点Q; 5 4 ，0 ，使得QA ·QB =- 7 16 恒成立.评注; 本题抓住了解析几何中直线斜率存在与否展开讨论，求出特定的点加以分析，这是特殊值法的常规使用. 解析几何问题相对复杂，如果直接通过一般的规律对其解答势必会占用大量的时间，而通过取定值的方式则可以简化问题.综上所述，特殊值法在高中数学中应用非常广泛，通过选取特定的值，则可以简单快速地求解不等式，证明命题成立，以及分析解析几何.合理地对特殊值进行分析可以发现规律、探寻结论，从而解决问题.。
特殊值法在高中数学解题中运用论文
特殊值法在高中数学解题中运用论文
浅谈特殊值法在高中数学解题中的运用
摘要：特殊值方法,就是根据问题所给的全部信息,通过观察分析,选取包含在问题中的某个特殊值,或某个特殊情形,经过简单的推理、判断或运算就可得到正确答案的方法。
在高考中,时间就是分数,解题的正确性与答题速度的快慢直接影响到总成绩。
关键词：数学；特殊值；解题
数学家希尔伯特曾讲过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起更为重要的作用。
”特殊化策略，将原问题视为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的分析解决而获得原问题的解决。
特殊化作为划归策略，基本思想方法是很简单的：对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常蕴涵着一般问题的解决方法。
所以，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法推广到一般问题上。
正如波利亚所说：“特殊化石从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。
”从形式上看，将一般问题特殊化是不困难的，但是某个一般性问题经过不同的特殊化处理后会得到多个不同的特殊化命题。
特殊化策略是一种退的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体。
一、利用特殊值的数值解题
利用特殊值的数值解题时，在题设条件允许的范围内用具体的数。
导数综合问题中特殊值的选取策略
导数综合问题中特殊值的选取策略在解决导数综合问题时，特殊值的选取策略是至关重要的。
导数作为函数变化率的量化表示，在不同点处的取值能够揭示函数在那些点上的特定性质和行为。
因此，选取适当的特殊值对于深入理解函数的导数至关重要。
我们需要明确特殊值的概念。
特殊值指的是在函数定义域内那些能够帮助我们更好地理解函数特性的数值。
在导数的背景下，这些值通常是函数的极值点、拐点以及导数不存在的点（如间断点或者在该点导数为无穷大的点）。
为了系统地选择特殊值，一个有效的策略是从函数的定义出发，观察其结构和可能的变化点。
例如，对于一个多项式函数，我们可以首先计算其导数，并找出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点。
通过计算导数在这些点的值，我们可以进一步确认极大值或者极小值。
特殊值的选择也应考虑到函数在实际问题中的应用。
例如，在物理学中，速度函数的导数能够给出加速度的信息，因此我们可能会关注速度函数的导数是否存在间断或者无穷大的点，这些点通常对应着运动过程中的特定时刻，如加速或减速的瞬间。
另一个重要的考虑因素是函数的定义域。
特殊值必须在函数的定义域内，这样才能有意义地分析函数在这些点的行为。
例如，对于一个有定义域限制的函数，我们需要在该限制内选择特殊值，以便准确反映出函数的性质。
在实际计算中，为了有效地选取特殊值，可以采用以下策略和步骤：1. **计算导数和二阶导数**：首先计算函数的导数和可能需要的二阶导数。
导数能够告诉我们函数的变化速率，而二阶导数则能够帮助我们找出函数的凹凸性质。
2. **找出导数为零的点**：计算导数为零的点，并分析这些点是否是函数的极值点。
极大值点和极小值点通常是我们关注的特殊值之一。
3. **考虑导数不存在的点**：分析函数的定义域内是否存在导数不存在的点，如垂直渐近线的位置或者其他间断点。
这些点可能会影响函数的行为，特别是在定义域的边界处。
4. **验证特殊值的有效性**：选择特殊值后，需要通过具体的计算或者分析来验证这些值是否确实反映了函数在该点上的特定特性。
【高三学习指导】2021届高三数学万能解题法
【高三学习指导】2021届高三数学万能解题法①特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
②极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
③剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
④数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
⑤递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
⑥顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
⑦逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
⑧正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
⑨特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
⑩估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
2021届高三数学万能解题法就分享到这里了，更多高三数学解题技巧请继续关注数学网高中频道!感谢您的阅读，祝您生活愉快。
中考数学解题技巧(7)巧取特殊值(二次函数图像信息题)
中考数学解题技巧（七）、巧取特殊值(二次函数图像信息题)（马铁汉）二次函数图像信息多选题，是运用图像信息进行推理，判断结论是否正确。
此类题的特点是，题干中，二次函数解析式含有参数，具有一般性；还会给出一些条件作限制，如告诉二次函数的对称轴位置、经过某些点、在指定区间范围内的增减性等；给出几个结论，让你判断它们中哪些结论是正确的。
常规方法推理需要很扎实的基本功，且需要大量的时间。
这里我们不妨取特殊值，验证结论是否正确，反正是选择题，找出其中的正确答案即可。
下面通过几个中考题，作简要介绍。
鉴赏题：1、（2022随州）10．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论正确的有（C）①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．A．1个B．2个C．3个D．4个方法一、（推理判断）解：①× .②√对称轴，∴，∴③√由图形知，当时，。
∴，∴由②知由图形知当时，函数取最大值。
∴④√若关于x的方数无实数根，则∴∴故选C方法二、（取特殊值验证）解：针对题中取，则二次函数解析式可写成交点式，再变成一般式，然后验证四个结论是否正确：，①，∴结论错误。
②，∴结论正确。
③，最大值为，，∴结论正确。
④，化简为，无解。
∴结论正确。
故选C。
鉴赏题：2、(2022恩施)12.已知抛物线y=1x2―bx+c，2当时，；当时，下列判断：①；若，则b>32③已知点，在抛物线y=1x2―bx+c上，当时，；④若方程1x2―bx+c=0的两实数根为，，则x1+x2>3.其中正确的有个．( C )A. B. C. D.解：方法一：（取特殊值验证）针对题中②问题，取，得二次函数符合题中条件，如图1。
下面验证：①√，∴②√由取特殊值得知正确。
③√如图1所示。
④×这是在的前提下得出的结论，若没有这个前提呢，如图2所示这个结论就不一定正确了。
这是取特殊值的局限性。
所以针对题中条件和问题取特殊值判断时，要再三斟酌！方法二：（推理判断）①二次函数与x轴有两个交点，∴方程1x2―bx+c=0有两个不相等的实数根。
导数综合问题中特殊值的选取策略
导数综合问题中特殊值的选取策略# 导数综合问题中特殊值的选取策略
嘿，伙计们！今天我们来聊聊那个让人头疼的导数问题。
你知道嘛，有时候我们遇到一个复杂的函数，就像在迷宫里找出口一样，到处都是分岔路和死胡同。
这时候，如果我们能巧妙地选择一些特殊的点，比如那些“奇点”，那问题就迎刃而解啦！
你得明白什么是奇点。
简单来说，奇点就是那些导数为0的点，也就是函数在某一点上没有变化，或者是无穷大、无穷小的地方。
这些地方就像是函数的“心脏”，决定了函数的走向和性质。
想象一下，你正在玩一个游戏，突然来到了一个特别难的关卡。
这时候，如果你能找到那个关键的“奇点”，就能轻松过关了。
同样地，在导数的问题里，找到那个关键的奇点，就等于找到了解决问题的关键线索。
那么，怎么找呢？这就需要我们运用一些技巧了。
比如说，我们可以先看看这个函数的图像，看看它的形状是怎样的。
如果是一个连续的曲线，那就好办了，直接沿着曲线找；要是像是一个断崖或者悬崖，那就得小心翼翼地寻找那些看似平坦但实际上是悬崖的边缘了。
还有啊，我们可以用一些数学工具来帮忙。
比如说，你可以用导数来判断一个点的斜率大小，也可以用二阶导数来判断一个点是否接近于某个点，甚至可以用极限的概念来判断一个点是否趋于无穷大或无穷小。
当然啦，找奇点也不是一件容易的事情。
有时候，你需要耐心地尝试不同的方法，有时候则需要一点点运气。
但只要我们坚持不懈，总有一天会找到那个关键的点。
好了，今天的分享就到这里啦。
希望你们在找导数的奇点时能够有所帮助。
记住哦，找对了关键，问题就迎刃而解啦！。
特殊值法——高中数学解题的一剂“良方”
、
转换 角度 。 变 换 思 路
涉 及 角 度 的 数 学 题 同 足 高 中数 学 的 重 要 组成 部分 ， 其 涵盖 了证 明题 、 求 解 题 等 多种 萎
二 、 构 造 函数 ， 优 化 解 题 构 造 函 数 法 多种 类 型 的 数 学 题 日 ｒ ｆ Ｉ 均
薹 学 学 誊 端 考
特 殊值 法—— 高 中望
■ 山东省 莱芜一 中 ２ Ｏ １ ５纫 特 殊 值 法 作 为解 题 的 利器 ， 主 要 是 借 特 殊 情 境 的 创 设 或 者 特 殊 值 的 选 取 来 达 到 富解题 条件 、 降低 解题难 度 的 目的 ， 尤 其 是
２
一
速 地求 解 了 。
（责 任 编 辑 赵 平 ）
～
ｓ ｉ ｎ ２ Ａ ＋ ｓ ｉ ｎ ２Ｂ
… 、３
ｃｏ
。
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于采用 最 基 本 、 最 常 见 的 办 法 术 处 理 。 针 刈
涉 及 “变 化 的 量 ” 方 面 的数 学 问题 时 ， 如 ＿ 粜 继
ｓ ｉ ｎ Ａ Ｃ ＯＳ Ｂ＋ Ｃ ＯＳ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ
一
—
．
ｃ ｏｓ Ｃ ｓ ｉ ｎ（ ； ｓｉ ｎ Ｃ
—
ｓｉ ｎ Ａ ｓｉ ｎ Ｂ
续 采用 传统 方法 ， 那 么就 显得 比较 繁杂 ， 此 时
如果 采用 特 殊 值 法 来 定 位 相 膻 的 变量 ， 然 后
ｓ ｉ ｎ Ａ ｓｉ ｎ Ｂｃ ｏｓ Ｃ ６ｓ ｉ ｎ Ｃ
一 一
再 配 合相 关 数 学 思 想 和 方法 ， 那 么 就 可 以 快
于 某 选 择 题 或 者 缺 乏 解 题 条 件 的 题 Ｈ ，
用“特殊值法”妙解“压轴题”
用“特殊值法”妙解“压轴题”作者：来源：《数学金刊·高考版》2014年第09期解数学题时，如果直接解原题难以入手，不妨先考察它的某些简单特例，通过解答特例，最终达到解决原题的目的. 这种思想方法，称为“特殊值法”.特殊值法的逻辑依据是：对于一般性成立的结论，特殊值必然成立，而当特殊值成立时一般性的结果未必成立. 虽然“特殊情形”只是“一般性结论”的必要条件，但若题目要求从若干结论中选取一种时，特殊值法仍然不失为一种有效的方法.基于上述考虑，特殊值法多用于解选择题.有时也可用于填空题，但需要更加慎重——必须首先判断这是一个“一般性的结论”，即与题目所给的参数无关. 运用该法能有效避免“小题大做”.从中也可发现，特殊值法的实质是从满足题目所给条件的众多情形中选择的一种，以最少的代价换取成功. 既然如此，在符合“特殊值法”逻辑依据的前提下，也可将之运用于解答题，尤其是具有一定难度的“压轴题”，从而实现“大题小做”.下面结合实例，探讨“特殊值法”在“压轴题”中的运用.用特殊值法寻找“压轴题”的结论压轴题中经常会这样设计：求某参数的值，求定点、定直线等问题，这些问法有一个共性，即最后的结论唯一，这时我们可以尝试利用一些特殊情形去寻找要求的结论.例1 已知函数f（x）=x3-3ax+1，求所有的实数a，使得不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0， ]恒成立.解析：因为f ′（x）=3x2-3a，可得将参数a分a≤0、a≥3、0f（x）在[0， ]上递减，在[ ， ]上递增，所以f（x）在[0， ]上的最小值为f（）=1-2a . 所以f（a）≥-1，f（）≤1，f（0）≤1，即a ≤1，a≥1，所以a=1. 整个解题过程比较烦琐，要完整地解决本题需要考生有较好的数学功底.思考：既然本题要对所有的x∈[0， ]都要成立，可以取某些特殊值代入不等式进行尝试.“特殊值法”：发现x= 时不等式可化为1≤a≤ ，再取x=1得≤a≤1，由此可快速得到结论a=1. 下面只须把a=1代入不等式进行验算即可.例2 已知椭圆C： +y2=1的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，过点S0，- 的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.解析：本题设T（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），在由题意可得 · =0，要得到定点T的坐标，就要使得以上等式和直线方程斜率k无关，从而求出定点T的坐标.思考：对于解析几何的问题思路，我们都能想到，但是中间化简的艰辛又是我们比较害怕的，那么对于这样的问题我们还有其他更好的办法吗？“特殊值法”：读完本题，我们不难发现，我们可以根据直线斜率不存在和直线斜率为0两种特殊的情况将定点（0，1）求出，再对 · =0进行验证，此时我们将较为复杂的解几问题转化为简单的证明问题，这也给大家一个提示，对于求定点、定直线的问题，我们很多时候都可以先通过特殊的几个位置，算出定点、定直线，再进行验证.用特殊值法缩小“压轴题”的探究空间求最值是高考中的一大热点，参数和自变量都在变化，不容易求出最后结果，我们可以利用满足题意的特殊数据将要求的最值范围缩小.例3 已知函数f（x）=lnx-x+a，其中a∈R. 若a∈[0，2]且存在实数k使得对任意的实数x∈[1，e]恒有f（x）≥kx-xlnx-1成立，求k-a的最大值.解析：f（x）≥kx-xlnx-1恒成立，求k-a的最值问题即取值范围问题，我们常用的一种策略为参数分离，即k≤ +lnx+ ，问题转化为求g（x）= +lnx+ min，g′（x）= ，f（x）max=f （1）=a-1， f（x）min=1-e+a. 可分①0当1令y=2lnx0+ -x0，x0∈（1，e），则y′= - -1=- -1本题讨论情况较多，以上仅列出其中一种情况，此时大部分同学会遇到不同程度的困难，我们对于含参问题存在一定的畏惧感，而对题中所给的k-a的最大值可能会更加棘手，部分考生会觉得本题可能就是“鸡肋”——食之难以下手，弃之感觉可惜. 最后就算给了答案也只能是望题兴叹. 在这样的情况下我们是否能另辟蹊径呢？思考：观察发现，对于任意的实数x∈[1，e]恒有f（x）≥kx-xlnx-1成立，不妨取x=1，x=e（因为ln1=0，lne=1）代入不等式进行尝试，我们可以得到2+a-ke≥0，k-a≤0，接下来我们仅需要证明存在k=a，若能找到这样的k，a，则解题目标已经达成.“特殊值法”：令g（x）=f（x）-kx+xlnx+1，取x=1有g（1）=-1-k+1+a≥0？圯k-a≤0. 下证存在k，a使k-a=0.此时再取k=a=0，可知g′（x）= +lnx>0在[1，e]上恒成立，故g（x）在[1，e]上单调递增，由g（x）min=g（1）≥0知k-a的最大值为0.用特殊值法猜想“压轴题”的结论压轴题很多时候会涉及存在性问题，恰恰从正面去找存在的值是比较困难的，我们可以根据题意去猜想所要的结论，再证明结论.例4 已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a>0. 设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若 >0在D内恒成立，则称P 为函数y=h（x）的“类对称点”，请你探究当a=4时，函数y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请求出至少一个“类对称点”的横坐标；若不存在，则说明理由.解析：解决本题关键就是判断φ（x）=f（x）-g（x）的符号情况，我们可以得到φ′（x）= ，接下来我们就可以将x0分成0 ，x0= 三种情况来解决，在每种情况下我们再说明φ（x）的单调性，从而得到我们所要的结果.这样解决这道题，思路方法虽然清晰，但中间的环节难以妥善处理，给解题带来困难.思考：回观本题，既然要求“是否存在这样的点”，不妨尝试先找到这样的特殊点，再进行验证，解题难度将会大大降低. 由题可得f ′（x）=2x-6+ = >0？圯f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，由f（x）的函数图象及在点P（x0，h（x0））的切线方程可知x0∈（1，2），x0的取值范围缩小了，接下来我们去找一些特殊的点，我们发现[f ′（x）]′=0？圯x= ，再根据图形我们就找到了这样的一个类对称点.“特殊值法”：令m（x）=f′（x）=2x-6+ ，则m′（x）=2- =0？圯x= . 猜想x0= 为f（x）的类对称点. 下证明之.令θ（x）=f（x）-g（x）=x2-4 x+4lnx+6-2ln2，θ′（x）=2x+ -4 .①当00，则θ（x）在（0，）上单调递增，θ（x）0恒成立；②当x> 时，θ′（x）>0，则θ（x）在（，+∞）上单调递增，θ（x）>θ（）=0恒成立，故 >0恒成立.综上得：存在类对称点横坐标x= .在压轴题中运用“特殊值法”，通常需要具备特殊的结构、特殊的数据或特殊的命题表述. 尽管“特殊值法”运用的条件限制较多，但这种“巧用”并非只是“雕虫小技”，需要敏锐的观察力，更需要严谨的逻辑判断能力. 一旦可以运用，就可以大大降低压轴题的难度，达到“四两拨千斤”的效果.？摇？摇事实上，就压轴题本身而言，虽然通过一些常规的思路、通用的解法或许也能解决，但往往耗时费力. 在解题过程的某个关键环节中，有时需要打破传统“出奇制胜”，这正是压轴题之为“压轴”的含义所在. 就此而言，“特殊值法”给予我们更大的启示在于：充分挖掘解题信息，打破思维定式，寻求更优秀的解题之道，让思想充满灵气.。
2019高三数学选择题解题策略(特殊值法)
2.特殊角法
例.若0
x
,则下列命题中正确的是（）
2
（A)sin x 3 x
(B )sin x 3 x
(C )sin x
4
2
x
(D )sin x
4x 2
解析：该题若直接推证难度太大，而且费时费力，
选用特殊角：令x
，排除B ,C .再令x
3
6
可
排除A，故选D
跟踪训练
的焦点，且F→A＋F→B＋F→C＋F→D＝0，则|→FA|＋|F→B|＋|F→C|＋
|F→D|的值为
(D )
A．2
B．4
C．8
D．16
解析 取特殊位置，AB，CD 为抛物线的通径，
显然→FA ＋→FB＋F→C＋F→D＝0，
则|→FA|＋|→FB|＋|F→C|＋|F→D|＝4p＝16，故选 D.
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便 易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．
(B )0,
(C ) 1,
(D )1,
跟踪训练
(2012全国卷)已知
0,函数fx
sinx
4
在
2
，
单调递减，则的取值范围是 A
(A)12
,5 4
(B )12 ,43 (C )0,12 (D )0,2
相交于P、Q两点，若AP m AB，AQ n AC，则 1 1 ( )
A．１ ２
B.2 C.3
D. 3 2
mn
A
解析 取特殊位置,Q为AC的中点，
谈高考数学选择题解法
谈高考数学选择题解法作者：罗跃程来源：《学习导刊》2014年第01期高考数学选择题具有题小、量大、基础、快速、灵活的特点，是高考中的重点题型，在高考试卷中数量大，占分比例高，全国卷和多数省份的题占60分。
因此正确地解好选择题就成为高考中夺取高分的重中之重。
基于选择题自身的特点和我多年的教学经验，特总结如下一些方法，和大家一起分享。
（一）. 特例检验法：特例检验（也称特例法或特殊值法）是用特殊值（或特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略例 . 已知A、B、C、D是抛物线y2=8x上的点，F是抛物线的焦点，且+++=0，则||+||+||+||的值为（）A.2B.4C.8D.16本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行.利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件。
解析取特殊位置，AB，CD为抛物线的通径，显然+++=0，则||+||+||+||=4p=16，故选D.（二）. 筛选法：数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法（又叫排除法）就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.例.方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是（）A.0C.a≤1D.0解析：当a=0时，x=-，故排除A、D.当a=1时，x=-1，排除B.故选C.选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键.对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行.不但缩短时间，同时提高解题效率..数形结合法：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.对于一些具有几何背景的数学题，由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
例谈特殊值法在高考中的应用
例谈特殊值法在高考中的应用作者：周英来源：《中学教学参考·理科版》2011年第06期用特殊情况代替题设中的普遍条件，得出特殊的结论，做出正确判断的方法叫做“特殊值法”.当题目已知条件中含有某些不确定的量，而题目的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值或特殊位置，或者一种特殊情况来求出这个定值，从而简化了推理、论证的过程.这种方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊点、特殊数列等等），进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题的目的.在高考中,如果考生能够熟练地运用特殊值法常常会起到事半功倍的效果.下面以2010年江苏省的高考数学试题为例说明特殊值法在高考中的应用.【例1】（2010，江苏，5）设函数-∈R)是偶函数，则实数a = .解析：∵ f ( x )为偶函数，∴ f (-x) = f (x)，即(---化简可得x ［］=0.∵x ∈R时上式成立,∴a =-1.特殊值法:由于x ∈R时普遍成立, 所以可以取特殊值代入.例如：f ( -1) = f ( 1 )，即( ---，化简后直接可以得到a = -1.点评:对于这类特殊值的代入方法,若教师在平时的教学中能有意识地进行引导总结,形成固定的套路方法,那么学生在解题时就能主动运用“特殊值法”来解决这样的问题.【例2】（2010，江苏，13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ba+ab= 6cosC,则 tanCtanA+tanCtanB= .解析：即6ab•cosC = a2 +b2，即6ab•a2+b2-c22ab = a2 +b2,∴a2+b2=3c22.tanCtanA + tanCtanB =sinCcosC •cosBsinA+sin BcosAsinAsinB=sinCcosC•sin(A+B)sinAsinB=1cosC•sin2CsinAsinB.由正弦定理得：上式=1cosC•c2ab=c216(a2+b2)=c216•3c22= 4.特殊值法:当A = B或a = b时满足题意，该锐角三角形为等腰三角形.其中 ba+ ab = 6cosC =2 ,即cosC=13,tanC =8.cosC =-cos (A + B) =- cos2A = - 2cos2A + 1 =13，解得cosA=33,tanA =2.∴tanCtanA +tanCtanB=8•(22+22) =4.点评: 本题属于难题，考查了正、余弦定理的综合应用和等价转化思想.需要学生在解题过程中不断地结合条件以及结论相应地调整解题思路.注意到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性,那么代入特殊值能减少推理、运算的过程.【例3】（2010，江苏，18）在平面直角坐标系xOy中，如右图，已知椭圆 x29+y25= 1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T (t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点、，其中（1）设动点P满足PF2-PB2 = 4,求点P的轨迹；（2）设＝，求点T的坐标；（3）设t = 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.解析：（1）（2）略.（3）设点T的坐标为(9,m)，直线MTA的方程为：y-0m-0 = x+39+3 ，即y =m12(x + 3)，直线NTB 方程为：y-0m-0 = x-39-3 ，即y =m6 (x -3)，分别与椭圆 x29+ y25 = 1联立方程组，同时考虑到-，解得M ( 3(80-m2)80+m2,40m80+m2),N (3(m2-20)20+m2 ,-20m20+m2 ).当x时，直线MN的方程为：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3(m2-20)20+m23(80-m2)80+m2+3(m2-20)20+m2.①令y = 0，解得x = 1.此时必过点D（1，0）；当时，直线MN的方程为x = 1，与x轴的交点为D（1，0）.所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.特殊值法:在上述解题运算到①处时,将m = 20代入①式,即可得x = 1.点评: 本小题主要考查求简单曲线的方程、直线与椭圆的方程等基础知识.将y=0代入①式以后对①式的化简成为解决这道题目的最大的障碍.此时式中含有m这一个不确定的量，但题目暗示其化简的结果是一个定值，这种情况适用于通过特殊值法来进行解决.这时如果将变量m取一些特殊数值20，会大大简化计算的过程.矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，一个普遍成立的命题，对特殊情形也必然成立；对特殊情形不成立的命题，对普遍情形也不成立.把辩证法的这一原理用到数学的解题和学习中就是特殊值法.对某些问题的求解，若将之当作解答题来解，会无从着手或很繁杂，但若善于运用特殊值法，会起到事半功倍的效果.因此，在平时的教学中我们应该注重对于“特殊值法”的总结和引导,把这种方法作为我们解题的主流方法之一,使之成为学生在解题过程中能主动运用的数学思想.(责任编辑金铃）注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
特殊值法在高中数学解题中的应用
特殊值法在高中数学解题中的应用作者：高山林来源：《中学生数理化·学研版》2014年第08期摘要：特殊值法又被称为特值法，即在解题过程中将某个未知字母用特殊的数字来代替，然后通过简单的推理、判断、运算就可得到正确答案从而达到简化题目、缩短解题时间的方法.这些方法不仅能够帮助学生快速找到思路、简化解题过程、优化计算步骤，而且有几种方法经常用到并适用于大多数题型.本文正是针对特殊值法在高中数学解题中的应用而展开的论述.关键字：特殊值法；高中数学；简化解答数学题的过程中，难免会遇到一些难题，想从题目的正面入手可能就难以解答，这时不妨先找出题目的特点，找到与其有相似的简单特例，通过解决这些简单特例，最终达到解决这道难题的目的.若问题的选择对象是针对一般情况给出的，则可选择合适的特殊数、特殊点、特殊数列、特殊图形等对结论加以检验，从而做出正确判断.对于有情况讨论的题目，可以代入相应的特殊值，结合排除法进行.这个特殊值必须满足三个条件：首先，无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；其次，这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系；最后，这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量.这种解决数学题目的方法，称为“特殊值法”.特殊值法的解题依据和逻辑基础是：某个结果，如果对一般情况适用，那么对特殊情况也适用；如果对特殊情况适用，那么对一般情况不一定是适用的；如果对特殊情况不适用，那么对一般情况也一定不适用.这是一个非常简单的思维逻辑.现举例说明：例1 已知a，b，c为实数，并且对于任意实数x恒有|x+a|+|2x+b|=|3x+c|，则a∶b∶c所以a∶b∶c=a∶（2a）∶（3a）=1∶2∶3.将所得结果代入题目中的等式是成立的，只要成立就是正确的，这样解题就简化了原题，节约了不少时间.这道题目的解决思路在数学中非常常见，所以在以后的解题中一定要熟练运用特殊值法.我们可以利用这一点来解决很多数学题型，从而达到事半功倍的效果.现在针对一些可运用特殊值法的具体题型进行解析.1.解选择题例2 若a>b>c>0，m>n>0.（m、n为数），则下列各式中成立的是（）.A.ambn>bncm>cnamB.ambn>cnam>bncmam>ambn>bncmD.bncm>cnam>ambn解析：看到这道题时，第一个想到的解题方法就是把四个选项都进行一一比较，最后得出选项，有可能还会存在顾虑，不敢确定得出的是否是正确答案，花费大量时间和精力结果还不一定能得到分数就得不偿失了，那么不如试试用特殊值法解决.因为a>b>c>0.m>n>0（m、n为整数）取特殊值，a=3，b=2，c=1，m=2，n=1，得ambn=32×21=18，bncm=21×12=2，cnam=11×32=9.所以ambn>cnam>bncm.故选B.这样得出的结果便具有较高的准确性.2.确定多项式的系数例3 已知当x是任意实数时，x2-2x+5=a（x+1）2+b（x+1）+c都成立，求a、b、c的值.解析：碰到这种题型好多同学会采用常规方法拆分等式右边的括号，然后建立几个方程式，解方程组，在无形中就增大了解题的难度，若改用特殊值法：当x=-1时，原式为8=c；①当x=0时，原式为5=a+b+c；②当x=1时，原式为4=4a+2b+c. ③由①②③可得a=1，b=-4，c=8.这种解题方法可减少解题步骤，很容易得出正确答案.3.判断命题的真假例4 判断命题“式子a2+（a+1）2+a2（a+1）2=（a2+a-1）2是恒等式”的真假.解析：此题如果按照一般计算法则便是等号两边拆分括号，然后比较未知项的幂次方与常数项是否一致来判断真假，若一致则为真，反之为假.若采用特殊值法，便为当a=1时，原式左边为9，右边为1，因为9≠1，故原命题是假命题.比较两种方法，轻易便可得出第二种方法在解题中的便利之处.数学源自于古希腊语的μθημα，其有学习、学问、科学之意.古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”.另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”.即使在其语源内，其形容词的意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的.数学作为一门艺术，极具奥妙，需要我们去不断地探索，而在探索的道路上，都是从特殊到一般，特殊化策略不仅是解决数学问题的重要手段，而且是发现数学真理的有效工具.古人云：“授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终生受用无穷.”学知识，更要学方法.因此，在数学学习中一定要寻求方法，并有效地运用，掌握了学习方法将会一生受用.。
例谈特殊值法在聋校高考数学题中的应用
例谈特殊值法在聋校高考数学题中的应用
雷丽
【期刊名称】《南京特教学院学报》
【年(卷),期】2013(000)001
【摘要】本文例谈了特殊值法在聋校高考数学选择和填空题中的应用。
特殊值法,就是根据问题所给的全部信息,通过观察分析,选取包含在问题条件(或结论)中的某个特殊情形,经过简单的推理、判断或运算就得到问题的正确答案的方法。
在高考中,"时间就是分数",解题的正确性与答题速度的快慢直接影响到总成绩。
【总页数】4页(P61-64)
【作者】雷丽
【作者单位】扬州市特殊教育学校
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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1.例谈特殊值法在初中数学解题中的作用 [J], 罗静;廖华彬
2.例谈化归与转化思想在高考数学试题中的应用 [J], 陈俊斌
3.例谈波利亚“怎样解题”的提示语在高考数学解题中的应用——以2015年全国文科数学Ⅱ卷第19题为例 [J], 吴才鑫;杨孝斌
4.特殊值法在解高考数学选择题中的运用 [J], 郝晓鑫;韩龙淑
5.例谈高考数学试题中的唯物辩证思维 [J], 余铁青
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特殊值法,高中数学解题的一剂良方
特殊值法,高中数学解题的一剂良方
苗学雷
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2016(000)007
【摘要】特殊值法在数学解题中运用比较广泛，它是一种通过个性分析来解决实
际问题的一种思维方式．随着课程改革的深入．老师要想丰富整改自己的数学课堂。
就要引用多种手段以更多的方式来美化课堂。
升华教育．特殊值法可以帮助学生开拓解题思路，让他们通过特殊点发现平时正常思维所见不到解题途径．这是一种一旦利用上就会将题目变得极为简单的解题思维。
【总页数】2页(P74-75)
【作者】苗学雷
【作者单位】江苏省梁丰高级中学
【正文语种】中文
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1.特殊值法在高中数学解题中的应用 [J], 高山林
2.特殊值法在高中数学解题中的应用 [J], 梁波;
3.高中数学解题中特殊值法的应用探究 [J], 吴家美;
4."特殊值法"在高中数学解题中的应用 [J], 易兰桂
5.特殊值法——高中数学解题的一剂“良方” [J], 刘雨如;王玉玲
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特殊化解题方法及其在解题中的作用
特殊化解题方法及其在解题中的作用
胡冬梅
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)005
【摘要】特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子，一般的，我们把研究对象或问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形甚至极端情况来考察和探讨解题思路的方法，叫做特殊化方法。
【总页数】2页(P91-92)
【作者】胡冬梅
【作者单位】江苏南通市紫琅中学,226004
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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1.用特殊化法解一类数学问题中的逻辑漏洞
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x D． － 1 + x2
2 殊的二次函数 f（ x） = x ， 则 f（ 2 x － 1 ） ＜ f（
1） 2 ＜
1 1 2 ， ， ） ； 或者选 用 羊 角 函 数 f 可以轻松得到答案为 （ 9 3 3 1 也可以得到相同的 不再详解了。 答案， 三、 选用特殊的形来来解决问题
高中数学有很多常规而经典的解法， 比如换元法、 待定系数 法、 配方法等。也有一些非常规解法， 比如特殊值法。 有时在解 决有些数学问题时特殊值法可以收到奇效 。 笔者认真阅读了许 多同行关于特殊值法的论文， 结合自己教学实践， 在此也谈谈对 特殊值的认识和体会， 不妥之处， 敬请同行指正。 一、 选用特殊的数字解决问题 10 、 i、 e 等数字． 选用特殊数字来解决问题， 一般喜欢选用 ± 1 、 例 1 ： （ 2004 湖北） 已知 f （ 取为（ A． ） x 1 + x2 B． － 2x 1 + x2 1 －x 1 －x ） = ， 则 f （ x ） 的解析式可 1 +x 1 + x2
语数外学习
No． 03． 2013 Yu Shu Wai Xue Xi 2013 年第 3 期
再谈高中数学中的特殊值法解题
胡春雷 （ 惠州实验中学， 广东
摘
惠州
516000 ）
要： 高中数学问题的解决取决于思维 、 方法、 习惯等诸多方面， 解题方法需具有针对性， 对于一个数学问题如果具有一般性结 论， 那么适当取特殊值也是成立的， 这是特殊值法的理论根据。特殊值法是指选用特殊值解决数学问题的方法， 常见的三种特殊值有 三种， 分别是特殊的数、 式、 形； 本文结合实例来说明在使用特殊值法解题时取值的技巧 、 细节以及注意事项。 关键词： 特殊数； 特殊式； 特殊形 中图分类号： G633 文献标识码： A 文章编号： 1005 － 6351 （ 2013 ） － 03 － 0061 － 01 0 ） 是它图象的一个对称中心 π， 其中描述正确的是（ A． ①② ） C． ②④ D． ②③ B． ①③ ④当 x = π 时， 它一定取最大值，
本题常规解法是利用函数对称性讨论函数单调性， 如果分析 不透彻， 还以为要讨论变量 2 x － 1 和 1 的位置， 最好直接选用特 3 1 ） 可直接转化为（ 2 x － 3
2x C． 1 + x2 1 －x 1 －t = t， =x 解法一： 设 则 1 +x 1 +t 1 1 ∴ f（ t） = 1 1 +（ 1 1 －（ －t 2 ） +t 2t = － t 2 1 + t2 ） +t
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选用特殊图形来解决问题， 一般喜欢选用符合题目条件的正 正三角形、 正多面体等。 方形、 AC 于点 D、 E， 例 5 ： 过△ABC 重心任作一直线分别交 AB、 若 1 1 → → AD = x → AB， AE = y → AC， xy≠0 则 + 的值为 x y 本题最好就直接定△ABC 为边长为 3 的正三角形， 并且让直 线 DE / / BC， 则由重心性质知道AD = 2 1 1 ， + = 3． 所以 3 x y 最后要提醒的是， 在选用特殊值时解题时首先要满足题目的 条件， 这是要遵循的一条基本原则。 除了会选用特殊值来解题， 还要掌握选值的技巧， 当我们一次取值不能达到目标时， 可以考 虑多次取值、 混合选取。 看能否达到目标． 特殊值最大的优点就 是可以让一般问题特殊化， 抽象的问题具体化。 从而大大减少计 另外， 特殊值法可以有效地锻炼学生的思维灵活性和思维 算量， 的深刻性， 对培养学生正难则反的思想相当有益； 当然要形成真 正的解题能力， 还必须有意识的培养， 平时多加练习， 自然就能熟 能生巧， 运用自如。 参考文献： π ） 2 ［ 1］ J］ ． 中学生理科月刊， 1998 ， （ 09 ） ． 高慧明． 用特殊值法解题［ ［ 2］ J］ ． 数学教学通讯， 2012 ， （ 16 ） ． 傅晓霞． 巧用特殊值法解题［ ［ 3］ J］ ． 数理化解题研究 张良茂． 利用特殊值解高中数学选择题［ ③（ － （ 高中版） ， 2011 ， （ 08 ）
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2 → → 2 → AB， AE = AC， 即x=y= 3 3
本题常规解法是先分类讨论去掉绝对值符号， 再解一元二次 不等式， 还涉及到集合的交并运算， 非常麻烦， 不妨定 x = － 1 代入 D 选项． 再选 x = 0 代入， x （ 1 － 2 x） ＞ 0 ， 知其成立， 排除 C、 知其 不成立， 排除 A 选项， 故选 B。 本题两次选值就解决问题 ． 方法简 洁而又有针对性， 非常漂亮。 二、 选用特殊的式解决问题 选用特殊数学表达式来解决问题， 一般喜欢选用符合题目条 件的的基本初等函数、 典型方程、 基本不等式等。 例 3 ： 已知 y = f（ x） 是定义在 R 上的奇函数， 且 y = f（ x + 为偶函数， 对于函数 y = f（ x） 有下列几种描述： ①y = f（ x） 是周期函数 ② x = π 是它的一条对称轴
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本题考查抽象函数的性质， 如果对函数的性质不理解， 简直 无法入手． 看到奇函数和数字 π ， 可以选用特殊的函数 f （ x ） = 2
sinx， 知其符合题目条件， 问题就变得非常简单， 显然选 B 选项。 + ∞ ） 单调增加， 例 4 ： 已知偶函数 f （ x ） 在区间 [ 0 ， 则满足 f（ 2 x － 1 ） ＜ f（ 1 ） 的 x 取值范围是 3 。
2x ∴ f（ x ） = = 1 + x2 故选 C。 解法二： 定 x = 0 代入条件， 则 f（ 1 ） = 1 ， 再将 x = 1 代入选项中 逐个计算， 故选 C。 解法一采用常规解法， 采用换元法， 变形复杂， 这是复合函数 解析式的通常解法， 容易想到但实际操作并不简单， 特别是换元 之后的变形很难算出， 解法二通过特殊值法解决， 解法简明， 计算 量少， 可以快速得到答案。 例 2 ： 不等式 x （ 1 － 2 x） ＞ 0 的解集是（ 1 A． （ － ∞ ， ） 2 C． （ 1 ， +∞） 2 ） 1 B． （ － ∞ ， 0 ） ∪（ 0 ， ） 2 1 D． （ 0 ， ） 2