(优选)采样与量化讲解
简述采样过程及采样定理
简述采样过程及采样定理采样过程是指将连续信号转换为离散信号的过程。
在数字信号处理中，采样是将连续时间信号在一定时间间隔内进行离散化的过程。
采样定理是指根据采样频率和信号频率之间的关系，保证原始信号完全恢复的一种数学条件。
采样过程可以分为两个主要步骤：采样和量化。
采样是指在连续时间信号上以一定的时间间隔取样点，将连续信号在时间上进行离散化；量化是指将每个采样点的幅度值映射到最接近的离散值，进一步将连续信号在幅度上进行离散化。
采样定理是采样过程中至关重要的一项定理，也被称为奈奎斯特定理。
它由哈里·S·布莱克和杰克·奈奎斯特于20世纪50年代提出。
采样定理的核心思想是：为了完全恢复原始信号，采样频率必须大于原始信号中最高频率的两倍。
具体而言，采样定理可以用数学公式表示为s(t) = Σ[n=-∞到∞]s(nT) * sinc((t-nT)/T)，其中s(t)为连续信号，s(nT)为采样离散信号，T为采样时间间隔。
采样定理的重要性在于保证了在采样过程中可以以较低的成本和复杂度对原始信号进行还原。
没有采样定理的约束，将导致采样后的信号出现混叠现象，即高于采样频率一半的高频信号将无法恢复。
采样定理的应用广泛，尤其在数据传输和数字信号处理领域。
在数码相机、音频设备、通信系统等各种设备中，都需要通过采样过程将连续信号转换为数字信号进行处理和传输。
采样过程中的误差主要来自于两个方面：采样频率和量化精度。
采样频率低于采样定理规定的最小频率时，将引起混叠现象；量化精度不足时，将引起量化误差。
因此，在采样过程中需要合理选择采样频率和量化精度，以保证信号完整性和准确性。
总之，采样过程是将连续信号转换为离散信号的过程，涉及到采样和量化两个步骤。
而采样定理是保证采样过程能够完全恢复原始信号的数学条件，要求采样频率大于信号中最高频率的两倍。
采样过程和采样定理的应用广泛，是数字信号处理领域中至关重要的概念和原理。
1采样信号量化
实验采样信号量化原理把连续时间信号转换为与其相对应的数字信号的过程称之为模-数（A/D）转换过程，反之则称为数-模（D/A）转换过程，它们是数字信号处理的必要程序．一般在进行A/D转换之前，需要将模拟信号经抗频混滤波器预处理，变成带限信号，再经A/D转换成为数字信号，最后送入数字信号分析仪或数字计算机完成信号处理．如果需要，再由D/A转换器将数字信号转换成模拟信号，去驱动计算机外围执行元件或模拟式显示、记录仪等。
A/D转换包括了采样、量化、编码等过程，其工作原理如图5.1所示。
图5.1 信号A/D转换过程1）采样--或称为抽样，是利用采样脉冲序列p(t)，从连续时间信号x(t)中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号x（nTs）的过程．n= 0，1…．Ts称为采样间隔，或采样周期，1／Ts = fs 称为采样频率。
由于后续的量化过程需要一定的时间τ，对于随时间变化的模拟输入信号，要求瞬时采样值在时间τ内保持不变，这样才能保证转换的正确性和转换精度，这个过程就是采样保持。
正是有了采样保持，实际上采样后的信号是阶梯形的连续函数。
2）量化--又称幅值量化，把采样信号x（nTs）经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。
若取信号x（t）可能出现的最大值A，令其分为D个间隔，则每个间隔长度为R=A/D，R称为量化增量或量化步长。
当采样信号x（nTs）落在某一小间隔内，经过舍入或截尾方法而变为有限值时，则产生量化误差，如图5.2所示。
一般又把量化误差看成是模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而又称之为舍入噪声或截尾噪声。
量化增量R愈大，则量化误差愈大，量化增量大小，一般取决于计算机A/D卡的位数．例如，8位二进制为28=256，即量化电平R为所测信号最大电压幅值的1／256。
图5.2 信号的6等分量化过程3）编码--将离散幅值经过量化以后变为二进制数字的过程。
信号x(t)经过上述变换以后，即变成了时间上离散、幅值上量化的数字信号。
(最新整理)图像采样和量化
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实验一图像采样和量化实验内容：（1）试对lena图像分别进行4倍和16倍减采样，查看其减采样效果。
（2）试将256级的lena图像转换成128级灰度图像，64级灰度图像,32级灰度图像.实验原理：根据图像采样原理，给出图像实现图像采样的过程。
实验报告要求:给出实验代码，和实验结果图,并对实验结果进行分析.4倍减采样：16倍减采样附录：图像的减采样和量化clear alla=imread('D：\matlab图片\lena_gray。
bmp’）；［line,row］=size(a）;%读取图像像素%以下采样for循环可用一句代替％ b(1：2:line,1：2:row);L=1;R=1;%4倍减采样for i=1：2：line；for j=1:2:row；b1（L,R)=a(i,j）;R=R+1;％取原图像i列下一行的元素赋给新图像的对应位置endL=L+1；%换列R=1;％从换列后的列里的第一个元素开始取元素endfigure;imshow(a）； title（'原图');%显示原图像figure;imshow（b1);title('4倍采样图')；%显示采样后的图像％16倍减采样K=1;M=1for i=1:4：line；for j=1:4：row；b2(K，M)=a（i，j);M=M+1;%取原图像i列下一行的元素赋给新图像的对应位置endK=K+1;％换列M=1；%从换列后的列里的第一个元素开始取元素endfigureimshow(b2);title('16倍采样图’);％显示采样后的图像%量化成128级,64级，32级c=(0。
音频采样和量化原理及其应用
音频采样和量化原理及其应用音频采样和量化是数字音频处理中的重要概念，它们是将模拟声音信号转化为数字形式存储和处理的基础。
本文将介绍音频采样和量化原理，并探讨其在音频处理和音频技术应用中的重要性。
一、音频采样原理音频采样是将连续变化的模拟声音信号离散化的过程。
在采样过程中，音频信号按照一定的时间间隔（采样周期）被测量和记录。
其中，采样周期的选择决定了采样的精度和保留信号原始特征的能力。
采样频率是指单位时间内进行采样的次数，它决定了离散化程度的高低。
常用的采样频率为44.1kHz，即每秒进行44100次采样。
更高的采样频率能够更准确地还原原始声音信号，但同时占用更大的存储空间。
二、音频量化原理音频量化是将连续的模拟信号用有限个离散取值表示的过程。
在音频量化过程中，声音强度被分为若干个离散的级别，每个级别用一个数字进行表示，这些数字称为采样值或量化码。
量化级别（也称为量化位数）决定了音频信号的精度，通常以比特数来表示。
比如，CD音质采用16位量化，即将声音强度分为2^16=65536个离散级别进行表示。
量化误差是指通过量化过程引入的失真，也是模拟信号与数字信号之间的差异。
量化误差主要表现为信噪比下降和失真增加，因此要尽量选择高精度的量化位数，以减小量化误差。
三、音频采样和量化的应用音频采样和量化技术广泛应用在音频处理和音频技术领域中，为我们带来了诸多便利和创新。
1. 音频录制和回放采样和量化技术使得我们可以将声音通过麦克风进行采样，存储为数字音频文件，然后通过扬声器进行回放。
这一过程在音频录音、电视、广播和音乐播放等领域得到广泛应用。
2. 数字音频处理音频采样和量化为数字音频处理提供了基础，例如音频降噪、均衡器、混响器、压缩器等音频处理效果的实现都离不开采样和量化技术。
3. 音频压缩和存储采样和量化使得音频信号可以被压缩，减小存储空间。
常见的音频压缩格式如MP3、AAC等，它们利用量化误差掩盖人耳对信号的感知，从而实现高压缩比的音频存储。
图像的采样与量化
图像的采样与量化一、概述图像信号是二维空间的信号，其特点是：他是一个以平面上的点作为独立变量的函数。
例如，黑白与灰度图像是用二维平面情况下的浓淡变化函数来表示的，通常记为f（x,y）,它表示一幅图像在水平和垂直两个方向上的光照强度的变化。
模拟图像经过采样后，在时间上和空间上离散化为像素。
但是采样所得的像素值（即灰度值）仍然是连续量。
把采样后所得的各个像素的灰度值从模拟量到离散量的转换过程称为图像灰度的量化。
因此，图像几何变换是图像处理及分析的基础。
本实验对图像的灰度化，直方图，图像的错切变换，直方图均衡化，量化图像及图像的傅里叶频谱在MATLAB中用GUI实现。
二、设计方案利用MATLAB中的GUI（图形用户界面），实现图像的灰度化，直方图，图像的错切变换，直方图均衡化，量化图像及图像的傅里叶频谱，是效果更加明显。
三、实验步骤1.打开MATLAB;2.打开Command Window 窗口中输入guide;3.在GUIDE Quick Start 窗口中选择Blank GUI(Default)中选择Blank GUI(Default),再单击OK;4.在新出现的窗口中选择需要的GUI控件；5.在控件上右击选择View Callbacks—callback;6.输入各控件对应的回调函数；四、系统调试及验证原图像：灰度化后图像：图像直方图：图像错切变换：直方图均衡化：图像的量化（4色在左上角8色在右上角16色在右下角）：原图像及它的傅里叶频谱：旋转图像及它的傅里叶频谱：五、参考文献[1] 杨帆.数字信号处理与分析[M]. 北京:北京航空航天大学出版社，2010.[2] 张倩，占君，陈珊.详解MA TLAB图像函数及其应用[M].北京：电子工业出版社，2011.[3] 董霖.MA TLAB使用详解—基础、开发及工程应用[M].北京：电子工业出版社，2009.。
采样和量化的概念
采样和量化的概念
采样和量化，这可真是个超级有趣的话题呀！你知道吗，采样就好像是从一大片美丽的花丛中，精心挑选出那几朵最特别、最能代表整个花丛的花朵。
它是把连续的模拟信号，在特定的时刻截取下来，变成一个个离散的样本点。
这就好比我们在生活中，会挑选出那些最有意义、最难忘的瞬间来铭记一样。
量化呢，则像是给这些选出来的花朵贴上标签，赋予它们明确的特征和价值。
它把采样得到的样本值进行分级，让它们变得更加清晰和明确。
这就如同我们把复杂的情感和经历，用简单的词语或等级来描述，让我们能够更好地理解和处理。
想想看，如果没有采样，我们怎么能从那无尽的信息海洋中抓住关键的部分呢？那不就像在茫茫大海中没有方向地漂流吗？而没有量化，那些信息又会变得模糊不清，难以捉摸，就像没有清晰轮廓的影子。
采样和量化在我们的生活中无处不在啊！比如我们听音乐，那些美妙的音符就是通过采样和量化被记录下来，然后才能在各种设备上播放，让我们享受音乐的魅力。
再比如我们看的图片、视频，不也是经过了这样的过程，才变得如此生动和精彩吗？
它们就像是一对默契的好搭档，相互配合，共同为我们创造出一个丰富多彩的数字世界。
难道不是吗？它们让那些原本难以捕捉和处理的模拟信号，变得有序、可管理。
而且呀，随着科技的不断进步，采样和量化的技术也在不断发展和完善。
它们的精度越来越高，能够处理的信号也越来越复杂。
这就好像是两位不断成长和进步的英雄，总是能在关键时刻发挥出更大的作用。
总之，采样和量化真的是太重要、太神奇了！它们是数字世界的基石，没有它们，我们的生活将会变得多么无趣和单调啊！。
语音信号采样与量化
模拟声音的信号是个连续量，由许多具有不同振幅和频率的正弦波组成。
实际声音信号的计算机获取过程就是声音的数字化的处理过程。
声音的模/数转换（ADC），首先需对声波采样，用数字方式记录声音。
图中横轴表示时间，纵轴表示振幅，按时间对声波分割从而提取波形的样本。
实现这个过程的装置就被称为模/数转换器。
数字化的声音易于用计算机软件处理，现在几乎所有的专业化声音录制、编辑器都是数字方式。
对模拟音频数字化过程涉及到音频的采样、量化和编码。
采样和量化的过程可由A/D转换器实现。
A/D转换器以固定的频率去采样，即每个周期测量和量化信号一次。
经采样和量化后声音信号经编码后就成为数字音频信号，可以将其以文件形式保存在计算机的存储介质中，这样的文件一般称为数字声波文件。
模拟信号的数字化过程信息论的奠基者香农（Shannon）指出：在一定条件下，用离散的序列可以完全代表一个连续函数，这是采样定理的基本内容。
为实现A/D转换，需要把模拟音频信号波形进行分割，这种方法称为采样(Sampling)。
采样的过程是每隔一个时间间隔在模拟声音的波形上取一个幅度值，把时间上的连续信号变成时间上的离散信号。
该时间间隔称为采样周期，其倒数为采样频率。
采样频率是指计算机每秒钟采集多少个声音样本。
采样频率与声音频率之间有一定的关系，根据奈奎斯特（Nyquist）理论，只有采样频率高于声音信号最高频率的两倍时，才能把数字信号表示的声音还原成为原来的声音。
．采样只解决了音频波形信号在时间坐标(即横轴)上把一个波形切成若干个等分的数字化问题，但是还需要用某种数字化的方法来反映某一瞬间声波幅度的电压值大小。
该值的大小影响音量的高低。
我们把对声波波形幅度的数字化表示称之为“量化”。
量化的过程是先将采样后的信号按整个声波的幅度划分成有限个区段的集合，把落入某个区段内的样值归为一类，并赋于相同的量化值。
如何分割采样信号的幅度呢? 我们还是采取二进制的方式，以８位(bit)或16位(bit)的方式来划分纵轴。
采样与量化—韦岗
周期性延拓
采样信号的恢复
（抗镜像滤波－低通滤波）
简单的DSP系统
x(n)
模拟 抗混叠
y(n) 数字信号 处理器
DSP
滤波器 xa(t)
A/D 变换器
ADC 采样→量化
D/A 变换器
DAC
抗镜像模拟 滤波器 ya(t)
转换为模拟电平→零阶保持
带宽信号的频谱延拓
离散信号的信息与采样频率的关系（示例）
采样率(Nyquist sampling rate)。
奈奎斯特频率(Nyquist frequency)指的 是系统采样速率的一半。
原始信号
- fm
频谱
fm
- fm
fm t
采样信号
- fm
fm
- fs
- fm
fm
fs
采样的时域表达：
xa (t)
p(t)
xp(t) x[n]
x p (t )
用什么对连续信号加以限制较好呢？
频率范围是信号重要特征
• 采样 ？ • TS：采样周期sampling period • fS：采样频率sampling frequency • 采样，量化，编码
x[n] xa (t ) t nT xa (nT )
实际信号一般都是带宽受限信号 音乐：20Hz～22kHz，
n
x (nT ) ( t nT )
a
理想采样在频域的表示：
x p (t ) xa (t ) p(t )
CTFT
1 X p ( jf ) X a ( jf ) P( jf ) 2 1 X a ( jf jkf s ) T k 1 X a ( jf jkf s ) T k
一文看懂数字图像的取样和量化
一文看懂数字图像的取样和量化
1. 取样和量化的基本概念（Concepts）
获取图像的目标是从感知的数据中产生数字图像，但是传感器的输出是连续的电压波形，因此需要把连续的感知数据转换为数字形式。
这一过程由图像的取样与量化来完成。
数字化坐标值称为取样；数字化幅度值称为量化。
图像采样
◆在取样时，若横向的像素数（列数）为M ，纵向的像素数（行数）为N，则图像总像素数为M*N个像素。
◆一般来说，采样间隔越大，所得图像像素数越少，空间分辨率低，质量差，严重时出现马赛克效应；采样间隔越小，所得图像像素数越多，空间分辨率高，图像质量好，但数据量大。
图像的量化。
“量化”“采样”“分贝”
各位看官，MP3 中常见如下16bit ,44100HZ 、240、320或者DB（分贝）或者用一些网络播放器下歌曲可以选择160 240 或者320的格式，如所有稍微有点常识的大学生都知道的320的音质好于160的，但是这些数字代表什么呢，相信还有很多人没有深入研究过，下边我为大家介绍介绍。
信息技术是二进制为根基的，图像、音频、视频等都建立在数字信号上，望文生义，密密麻麻的数字传达了信号，而生活中各种声音，咒骂声，撞车声，瀑布声等等则是一个个活生生的能量纵波，高中物理学到，波是连续的质点传递的，那么如何把连续的波表达为数字信号呢？这里引入“坐标纸”。
横轴X代表声源发出的声音的时间走向，这条轴说白了就是记录波的频率的，频率快，声音音调高，纵轴表示波源发出声波的振幅，振幅大，声音高。
但是新的问题出现了声音从耳边的嗡嗡细语到一架喷气飞机起飞的声音这个振幅变化来说，这坐标纸得多宽？？才能够记录振幅呢？于是“分贝”概念由此引入，压强单位为“帕斯卡”简称“帕”前边说了声音是能量波，所以声音对耳朵产生压强，术语：声压。
人耳朵辨别声压范围为20 μPa 或20 x 10-6 Pa（20微帕）以上，太大了不是听不到，而是已经聋掉了…………所以，需要处理的范围为小至20，大至2,000,000,000的数字，怎么办呢？现在定义20微帕为基准，取对数公式为分贝（SPL）=20log(10)[实际声压/基准声压] 这样就把一串数字变成了0-20多的数字。
人耳朵用分贝计量0 －20 分贝很静、几乎感觉不到；20 －40 分贝安静、犹如轻声絮语；40 －60 分贝一般、普通室内谈话；60 －70 分贝吵闹、有损神经；70 －90 分贝很吵、神经细胞受到破坏。
90 －100 分贝吵闹加剧、听力受损；100 －120 分贝难以忍受、呆一分钟即暂时致聋。
120分贝以上：极度聋或全聋300分贝左右或以上：方圆20km的人不可修复性耳聋现在把刚才的“坐标纸”换成“对数坐标纸”就跟符合分贝计量了。
图像的量化与采样
图像的量化与采样Image sampling and quantization——图像的采样和量化Basic ConceptsImage Digitization——图像数字化将模拟图像经过离散化之后，得到⽤数字表⽰的图像。
图像的数字化包括采样和量化两个过程。
采样(Sampling)是将在空间上连续的图像转换成离散的采样点（即像素）集的操作。
即：空间坐标的离散化。
(Digitizing the coordinate values)量化(Quantization)把采样后所得的各像素的灰度值从模拟量到离散量的转换称为图像灰度的量化。
即：灰度的离散化。
(Digitizing the amplitude values)量化过程在每个像素点的幅度值⽤与它接近的离散的量来表⽰时存在失真,此为量化噪声量化的精细程度(表⽰这个点幅度值的⼆进制位数)决定量化噪声的多少⼆进制位数越多，则量化的越精细，量化噪声越少，图像质量越好。
Gray level——灰度级表⽰某像素位置上亮暗程度的整数称为灰度。
⽬前，使⽤的灰度级⼀般是64~256，以256级灰度为例，⼀般以0表⽰全⿊，⽽255表⽰全⽩。
实际上，⼈眼所能分辨的灰度级⼤约是40级，并不能分辨256灰阶中相邻的两个灰度。
The number of gray levels typically is an integer power of 2:灰度级的⼀般是2的整数次幂，k表⽰像素值所需要的⼆进制的位数L＝2k如果⼀个图像它的像素值为k,则称其为k位位图Representing Digital Images——数字图像的表⽰An image can be represented as a two-dimensional function f (x, y). (x, y) are spatial or plane coordinates, the amplitude of f is known as brightness, intensity, or gray level. When (x, y) and f values are finite, discrete quantities, the image is a digital image.x表⽰⾏，y表⽰列.每⼀个像素点都具有相应的灰度级Compact matrix form——数字图像的矩阵表⽰The number, b, of bits required to store a digitized image is若⼀位k位位图的像素个数位为M*N，则其位数为:b=M×N×kIt is common practice to refer to the image as a “k-bit image”. For example, an image with 256 possible gray-level values is called an 8-bit image. Spatial and Gray-Level Resolution——空间分辨率与灰度分辨率空间分辨率(Spatial resolution): ⼀副图像中可分辨的最⼩细节，或单位距离可分辨的最⼩线对数⽬。
采样和量化——精选推荐
采样和量化
1. 采样和量化
采样：指图象空间连续坐标(x，y)的离散化。 量化：指幅值f(x,y)的离散化。 两种离散化合在一起，我们称为图象的数字
化，离散化的结果图象便称为数字图象。 • 讨论如何进行图象采样和整量
A．采样
• 采样过程：将图象平面划分成网格，每 个网格中心点的位置由一对笛卡尔坐标 （x,y）所决定。x,y是实整数。
则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))
图像的缩小
例：
4×6
取：2，3，5，6列；2，4行
2×4
（2）图像的放大
• 图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何 挑选所需要的有用信息。
• 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多 出来的空格填入适当的值，这是信息的估计 问题，所以较图像的缩小要难一些。
• 这个平移可用如下平移矩阵T完成：
X ' 1
Y
'
Z
'
=
0 0
1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
X0X
Y0
Y
Z0 1
Z 1
2.1.2 尺度（放缩）变换
• 用Sx，Sy和Sz沿X,Y和Z轴进行放缩变换可用下
列矩阵S实现
Sx 0 0 0
S
=
0 0
Sy 0 0 Sz
0 0
0 0 0 1
x’
x
象素填充映射
y’ y
• 向前映射法的许多输入象素可能映射到输出图 象边界之外，而且每个输出象素的灰度值可能 由许多输入象素的灰度值来决定，因而要涉及 多次计算。
– 缩小处理：会有四个以上的输入象素决定一个输出 象素的灰度值
采样和量化——精选推荐
采样和量化
图像数字化就是将连续图像离散化，其⼯作包括两个⽅⾯：取样和量化。
采样：就是把⼀幅连续图像在空间上分割成M×N个⽹格，每个⽹格⽤⼀亮度值来表⽰。
⼀个⽹格称为⼀个像素。
M×N的取值满⾜采样定理。
量化：就是把采样点上对应的亮度连续变化区间转换为单个特定数码的过程。
量化后，图像就被表⽰成⼀个整数矩阵。
每个像素具有两个属性：位置和灰度值。
位置由⾏、列表⽰。
灰度值表⽰该像素位置上亮暗程度的整数。
此数字矩阵M×N就作为计算机处理的对象了。
灰度级⼀般为0－255（8bit量化）。
影响图像质量的因素：图像的层次，对⽐度和清晰度
图像的层次：以图像的灰度级来表⽰，灰度级是像素明暗程度的整数量，例：像素的取值范围0~255，则图像有256个灰度级，图像有256个层次。
即图像的灰度级越多，层次越多，视觉效果越好。
图像的对⽐度：图像中灰度反差的⼤⼩，通常表⽰：最⼤亮度/最低亮度。
图像的清晰度：主要有图像的亮度，对⽐度，尺⼨⼤⼩，细微层次和颜⾊饱和度。
最新第2章26抽样量化ppt课件
式中 sinc(nfH) = sin(nfH) / (nfH)
15
PAM调制过程的波形和频谱图
m(t)
M(f)
(a)
s(t) A
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
代入，得到
M s(f)T 1n M (fnsf)
1
M H (f)Tn H (f)M (fns)f
18
M s(f)T 1n M (fnsf)
M H (f)T 1n H (f)M (fns)f
比较上面的MH(f)表示式和Ms(f)表示式可见，其区别在于和 式中的每一项都被H(f)加权。因此，不能用低通滤波器恢 复（解调）原始模拟信号了。但是从原理上看，若在低通 滤波器之前加一个传输函数为1/H(f)的修正滤波器，就能 无失真地恢复原模拟信号了。
均匀量化的平均信号量噪比
在均匀量化时，量化噪声功率的平均值Nq可以用下式表示
N q E [ m k ( m q ) 2 ] a b ( m k m q ) 2 f ( m k ) d k i M m 1 m m i i 1 ( m k q i ) 2 f ( m k ) d k
设模拟抽样信号的取值范围在a和b之间，量化电平数为 M，则在均匀量化时的量化间隔为
v ba M
且量化区间的端点为
mi aiv i = 0, 1, …, M
若量化输出电平qi取为量化间隔的中点，则
q i m i 2 m i 1,
i 1 ,2 ,.M ..,
显然，量化输出电平和量化前信号的抽样值一般不同， 即量化输出电平有误差。这个误差常称为量化噪声，并 用信号功率与量化噪声之比衡量其对信号影响的大小。24
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应用 函数的移位特性，有
利用式（3.2）显示的结果，p(t)的傅里叶变换可写成
对脉冲函数采样，对所有的n，式 都成立。因此应用式(3.8)，采样后信号的 频谱变为
这个结果也可从下面的表达式得到
采样在频域表示
下图为由式(3.14)产生的带限信号的采样xs(f)的情况。
重构：通过使用低通滤波器在n＝0附近提取xs(f) 的频谱，可以完成从xs(t)到x(t)信号的重构。
由于连续信号X(t)的傅里叶变换为 则由式(3.6)可得采样信号的傅里叶变换
从上式可以看出，对时间连续信号的采样导致 了信号频谱在直流点（f=0）和所有采样点的 谐波（f=nfs）处产生重复。 由于假定采样是瞬时的，p(t)可定义为：
这就是所谓的冲击函数采样，其中采样的值由 冲击函数的权来表示，将式(3.9)代入式(3.3)有
是低通信号，并且具有和信息承
或者
在这个表达式中 称为同相分量，而
称为正交分量。由于A(t)和
都是低通信号，使得
和
也是低通信号，因而必须按照低通采样定理的规定进行采样。
带通信号的频域表示如图3-6(a)所示，
（a）带通信号
（b）复包络
图3-6 带通信号和对应的复包络
该信号对应的复包络定义如下：
对于随机信号，有 此处的采样函数P(t)可以写为
式中D是独立于X(t)的在(0,Ts)上均匀分布的随 机变量，其作用是确保Xs（t）是平稳的。
要得到 的功率谱密度，首先确定
的
自相关函数
对求出的 的自相关函数进行傅里叶变换， 可得到 的功率谱密度如下
此处
表示X(t)的功率谱密度。注意上式与式（3-13）
由于
和
都是低通信号
也是低通信号，如图3-6(b)所示。
和
必
须根据低通采样定理进行采样。因为
和
的最高频率是B/2，它们中每个的最小采样频率都是B。然而， 必须采样两个低通信号，而不是一个，因此，必须使用超过 2B的采样率。
结论：我们因而看到，对于这f0〉〉B这种典型情况，利用低
通采样定理对复包络信号采样，和利用带通采样定理对实带 通信号采样所需的采样频率是一样的。
2B≤ fs ≤4B的范围内。
窄带信号：然而，对于f0﹥﹥B这种典型的情况，带
通采样定理规定的采样频率近似等于下界2B。
同相/正交信号采样
假定带通信号表示为如下形式
函数A(t)：称为带通信号的包络。
函数 ：为带通信号的相位偏移。
在大多数的通信应用中， A(t)和 载信号大体相当的带宽。
带通信号可以表示为：
注意：在这些处理的每一步中都会引入误差。
3.1.1低通采样定理
从时间连续信号X(t)到数字信号转换第一步就是，对X(t)
进行等时间间隔采样，得到采样值 xs (t) x(kTs ) x[k]。
参数Ts是采样周期，其倒数就是采样频率fs。 采样操作的模型如下图所示。
采样操作和采样函数
采样信号Xs(t)是用信号X(t)乘以周期脉冲p(t)来产 生。也即
3.2 量化
量化过程和简单的定点编码过程如下图所示。图中
给出了连续时间波形和许多该波形的采样点，采样值
那么可以用大小为
的采样频率
来采样并恢复信号，其中m是不超过
的最大整数。更高的采样频率未必全都能
用，除非它高于 （该数值等如图3-5所示为归一化采样频率fs作为归一化中心频 率f0/B的函数曲线，其中f0和fh通过公式fh= f0+B/2相 关联。
结论: 从图中可以看到，允许的采样频率总是处在
（优选）第三章采样与量化
本课的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统进行精确 的仿真所需的基本方法。在大多数的通信应用中，是通过要 研究的系统来产生和处理信号波形的。当然，计算机只能处 理所关心的表示信号波形的采样点的数值。另外，采样点的 值是经过量化的。因此，在所有的数字仿真中，采样和量化 都是基本的操作，其中每一个操作都会给仿真结果带来误差。 而完全消除这些误差是不可能的，故往往需要作折中。我们
要求：要完成无差错的信号恢复，要求xs(f)在 f=±fs附近的频谱与在f=0处的频谱没有重叠。 换句话说．式(3—13)中的频谱必须是分离的。
定理一
如果采样频率fs大于2fh，那么带限信号就可以 无差错地通过其采样信号恢复，这里fh表示被 采样信号中出现的最高频率。
注：这个定理通常指低通信号的采样定理，但 它对带通信号同样适用。
混叠：如果fs<2fh,那么以 f fs 为中心的
频谱会发生重叠，如下图所示，重构滤波器 的输出跟信号x(t)相比出现失真，这种失真 称作混叠。假定x(t)的频谱是实数，下图所 示为混叠的后果。
欠采样导致混叠误差
3.1.2 低通随机信号采样
上文讨论的波形信号x(t)假定为能量有限的确 定性信号，这样假定的结果是，傅里叶变换存 在，并且采样定理可以基于信号的频谱。在本 章中可以更自然地假设仿真处理的是随机过程 样本函数，因此，选择合适的采样频率不是基 于待仿真信号的傅里叶变换，而是基于其功率 谱密度。
所能做的顶多是使采样和量化对仿真精度的影响最小化。
3.1 采样
数字信号是通过对模拟信号进行采样、量化和编码得到 的。
模拟信号：是时间和幅度都连续的信号，记作x（t）。 采样数据信号：对模拟信号采样，采样结果是产生幅
度连续而时间离散的信号，
数字信号：通过将时间采样值编码到一个有限的数值
集合，可由采样数据信号得到数字信号。
具有相似性。如果要避免混叠现象，随机信号的采样频率仍
然需要信号最高频率的2倍以上。
3.1.3 带通采样
现在我们来考虑带通信号的采样问题。使用一 组采样点来表示带通信好的方法有很多种，下 面将考虑两个最常用的方法。
实带通信号的带通采样定理表述如下：
带通采样定理
如果带通信号的带宽为B，最高频率为 ，
信号p(t)叫采样函数。假设采样函数为窄脉冲，其取 值为0或1。当p(t)=1时， Xs(t)= X(t)，当p(t)=0时Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。
由于p(t)是周期信号，可以用傅里叶级数表 示为
式中的傅里叶系数由下式给出：
将式(3.2)带入式(3.1)中得采样后的信号为
采样信号的傅里叶变换为 交换上式中积分和求和的顺序，有