(优选)采样与量化讲解

应用 函数的移位特性，有
利用式（3.2）显示的结果，p(t)的傅里叶变换可写成
对脉冲函数采样，对所有的n，式 都成立。因此应用式(3.8)，采样后信号的 频谱变为
这个结果也可从下面的表达式得到
采样在频域表示
下图为由式(3.14)产生的带限信号的采样xs(f)的情况。
重构：通过使用低通滤波器在n＝0附近提取xs(f) 的频谱，可以完成从xs(t)到x(t)信号的重构。
由于连续信号X(t)的傅里叶变换为 则由式(3.6)可得采样信号的傅里叶变换
从上式可以看出，对时间连续信号的采样导致 了信号频谱在直流点（f=0）和所有采样点的 谐波（f=nfs）处产生重复。 由于假定采样是瞬时的，p(t)可定义为：
这就是所谓的冲击函数采样，其中采样的值由 冲击函数的权来表示，将式(3.9)代入式(3.3)有
是低通信号，并且具有和信息承
或者
在这个表达式中 称为同相分量，而
称为正交分量。由于A(t)和
都是低通信号，使得
和
也是低通信号，因而必须按照低通采样定理的规定进行采样。
带通信号的频域表示如图3-6(a)所示，
（a）带通信号
（b）复包络
图3-6 带通信号和对应的复包络
该信号对应的复包络定义如下：
对于随机信号，有 此处的采样函数P(t)可以写为
式中D是独立于X(t)的在(0,Ts)上均匀分布的随 机变量，其作用是确保Xs（t）是平稳的。
要得到 的功率谱密度，首先确定
的
自相关函数
对求出的 的自相关函数进行傅里叶变换， 可得到 的功率谱密度如下
此处
表示X(t)的功率谱密度。注意上式与式（3-13）
由于
和
都是低通信号
也是低通信号，如图3-6(b)所示。
和
必
须根据低通采样定理进行采样。因为
和
的最高频率是B/2，它们中每个的最小采样频率都是B。然而， 必须采样两个低通信号，而不是一个，因此，必须使用超过 2B的采样率。
结论：我们因而看到，对于这f0〉〉B这种典型情况，利用低
通采样定理对复包络信号采样，和利用带通采样定理对实带 通信号采样所需的采样频率是一样的。
2B≤ fs ≤4B的范围内。
窄带信号：然而，对于f0﹥﹥B这种典型的情况，带
通采样定理规定的采样频率近似等于下界2B。
同相/正交信号采样
假定带通信号表示为如下形式
函数A(t)：称为带通信号的包络。
函数 ：为带通信号的相位偏移。
在大多数的通信应用中， A(t)和 载信号大体相当的带宽。
带通信号可以表示为：
注意：在这些处理的每一步中都会引入误差。
3.1.1低通采样定理
从时间连续信号X(t)到数字信号转换第一步就是，对X(t)
进行等时间间隔采样，得到采样值 xs (t) x(kTs ) x[k]。
参数Ts是采样周期，其倒数就是采样频率fs。 采样操作的模型如下图所示。
采样操作和采样函数
采样信号Xs(t)是用信号X(t)乘以周期脉冲p(t)来产 生。也即
3.2 量化
量化过程和简单的定点编码过程如下图所示。图中
给出了连续时间波形和许多该波形的采样点，采样值
那么可以用大小为
的采样频率
来采样并恢复信号，其中m是不超过
的最大整数。更高的采样频率未必全都能
用，除非它高于 （该数值等如图3-5所示为归一化采样频率fs作为归一化中心频 率f0/B的函数曲线，其中f0和fh通过公式fh= f0+B/2相 关联。
结论: 从图中可以看到，允许的采样频率总是处在
（优选）第三章采样与量化
本课的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统进行精确 的仿真所需的基本方法。在大多数的通信应用中，是通过要 研究的系统来产生和处理信号波形的。当然，计算机只能处 理所关心的表示信号波形的采样点的数值。另外，采样点的 值是经过量化的。因此，在所有的数字仿真中，采样和量化 都是基本的操作，其中每一个操作都会给仿真结果带来误差。 而完全消除这些误差是不可能的，故往往需要作折中。我们
要求：要完成无差错的信号恢复，要求xs(f)在 f=±fs附近的频谱与在f=0处的频谱没有重叠。 换句话说．式(3—13)中的频谱必须是分离的。
定理一
如果采样频率fs大于2fh，那么带限信号就可以 无差错地通过其采样信号恢复，这里fh表示被 采样信号中出现的最高频率。
注：这个定理通常指低通信号的采样定理，但 它对带通信号同样适用。
混叠：如果fs<2fh,那么以 f fs 为中心的
频谱会发生重叠，如下图所示，重构滤波器 的输出跟信号x(t)相比出现失真，这种失真 称作混叠。假定x(t)的频谱是实数，下图所 示为混叠的后果。
欠采样导致混叠误差
3.1.2 低通随机信号采样
上文讨论的波形信号x(t)假定为能量有限的确 定性信号，这样假定的结果是，傅里叶变换存 在，并且采样定理可以基于信号的频谱。在本 章中可以更自然地假设仿真处理的是随机过程 样本函数，因此，选择合适的采样频率不是基 于待仿真信号的傅里叶变换，而是基于其功率 谱密度。
所能做的顶多是使采样和量化对仿真精度的影响最小化。
3.1 采样
数字信号是通过对模拟信号进行采样、量化和编码得到 的。
模拟信号：是时间和幅度都连续的信号，记作x（t）。 采样数据信号：对模拟信号采样，采样结果是产生幅
度连续而时间离散的信号，
数字信号：通过将时间采样值编码到一个有限的数值
集合，可由采样数据信号得到数字信号。
具有相似性。如果要避免混叠现象，随机信号的采样频率仍
然需要信号最高频率的2倍以上。
3.1.3 带通采样
现在我们来考虑带通信号的采样问题。使用一 组采样点来表示带通信好的方法有很多种，下 面将考虑两个最常用的方法。
实带通信号的带通采样定理表述如下：
带通采样定理
如果带通信号的带宽为B，最高频率为 ，
信号p(t)叫采样函数。假设采样函数为窄脉冲，其取 值为0或1。当p(t)=1时， Xs(t)= X(t)，当p(t)=0时Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。
由于p(t)是周期信号，可以用傅里叶级数表 示为
式中的傅里叶系数由下式给出：
将式(3.2)带入式(3.1)中得采样后的信号为
采样信号的傅里叶变换为 交换上式中积分和求和的顺序，有