§16.1隐函数存在定理

显然有y0 f x0 .
0， 设x1是O x0 , 内任意一点, 记y1 f x1 。
由刚才证明知 F x1 , y1 0,
内成立着
F x1 , y1 0.
又由F x, y 的连续性可知一定存在x1的某一邻域O x1 ,
F x, y0 b 0.
F x, y0 b 0， F x, y0 b 0.
设 x为O x0 , 中任一点,由以上讨论知
F x , y0 b 0，
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F x , y0 b 0.


§1. 隐函数存在定理
y f x1 , x2 , , xn ;
0 0 0 0


(2) y f x1 , x2 ,, xn 在内连续;
(3) y f x1 , x2 , , xn 在内对各个变量有连续偏导数; 且 f xi Fxi x1 , x2 , , xn ; y Fy x1 , x2 , , xn ; y
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§1. 隐函数存在定理
例1、设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 及其某个临域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x2 ;
它在 0，-1 及其某个临域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x2 ;
i 1, 2, , n .
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§1. 隐函数存在定理
下面给出方程组 F x , y , u, v 0 G x , y , u, v 0 的隐函数存在定理.
定理3 若函数F x, y, u, v 及G x, y, u, v 满足 :
令
依定理知方程 x 2 y 2 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的函数
y 1 x2 .
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§1. 隐函数存在定理
函数的一阶和二阶导数为
Fx dy x, y dx Fy
d2y y xy 2 dx y2
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§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
考虑一元函数F x , y .


上式说明函数在y0 b及y0 b异号,由根的存在性定理,
存在 y y0 b, y0 b ，使得 F x , y 0.
又因Fy x , y 0， 故F x , y 关于y是严格单增的，




因而使F x , y 0的 y必定唯一.
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
由函数的连续性知F x0 , y0 b 0, F x0 , y0 b 0.
考虑一元函数F x, y0 b .
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在1 0，在邻域O x0 ,1 内,
F x, y 0.
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
这表示对于邻域O x1 , 内的任一点x , 它所对应 的函数值y成立着 y y1 .
3
最后证明y f x 的可微性.
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§1. 隐函数存在定理
因为Fy 0. 由隐函数存在定理知 sin y shy x在任何一点都能唯一确定y 为x的函数y f
x , 且f x 具有连续导函数，
Fx 1 y' . Fy cos y chy
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§1. 隐函数存在定理 二、多变量及方程组情形
定理2 若函数F x1 , x2 ,, xn ; y 满足以下条件 :
1
在区域D : xi xi
0
ai ,
0
y y
0
b i 1, 2, n
上具有对一切变量的连续偏导数；
(2) F x1 , x2 , , xn 0;
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§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
下证(1).由条件(3),Fy x, y 0, 不妨设Fy x0 , y0 0.
由Fy x, y 的连续性，
证明： 由条件(1), F x, y 在D上连续.
可知Fy x, y 在点 x0 , y0 的某个邻域内也大于0，
不妨设在D上Fy x, y 0.
0 0

(3) Fy x1 , x2 ,, xn
则有以下结果 :

0
0
源自文库

0;

1
在点 x1 , x2 ,, xn , y 的某一临域内，方程

0
0
0
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§1. 隐函数存在定理
F x1 , x2 , , xn ; y 0 唯一确定一个函数y f x1 , x2 , , xn 且
2 2 F ( x , y ) x y 1 0 例如：
在点 (0,1)的某个邻域 D 内由方程 x 2 y 2 1 0 可以确
1
定唯一的 y 1 x 2 。在点的某个邻域 D2 内由方程
x 2 y 2 1 0 可确定唯一的 y 1 x .
2
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§1. 隐函数存在定理
由于Fy x, y 在整个D上大于0，因此将x x0固定，
因为F x0 , y0 0,
y0 b y y0 b 这表明F x0 , y 在区间 y0 b, y0 b 上严格单增.
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
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§1. 隐函数存在定理
对O x1 , 内任何一点x，将它固定而考虑y的函数F x, y .
它是y的严格增加的函数，并且
于是存在y y1 , y1 ，使得
设 x， x x是O x0 , 内任意一点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知

y y f x x .


F x , y 0,


F x x , y y 0.


所以 0 F x x , y y F x , y
§1. 隐函数存在定理
（2）定理的条件是充分的，非必要的。
y x 0在(0, 0)点只有Fy 0 。不满足条件(3) ，
3 3
但却有y x .
3 即使方程F x , y 0能确定隐函数，也不见的能从
中解出，例如 1 y x sin y 0 2 从中解出y .
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§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.





F x x , y y F x x , y F x x , y F x , y

Fy x x , y 1y y Fx x 2 x , y x
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§1. 隐函数存在定理
但在 1,0 和1， 0 这两点的任何邻域内却不具有 这种性质。
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§1. 隐函数存在定理
定理1. 设F x , y 满足条件 : (1) 在区域D : x x0 a , y y0 b上Fx , Fy 连续; (2) F x0 , y0 0; (3)Fy x0 , y0 0.
这里0 1, 0 1.
所以 Fx x 2 x , y y x F y x x , y 1 y




由于y f x 和Fx x, y , Fy x, y 的连续性及Fy x, y 0,
在上式的两端令x 0得
d2y dx 2 1.
x 0
dy dx
0,
x 0
x y x y 1 , y3 y2
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§1. 隐函数存在定理
y dy 例 3 已知 ln x y arctan ，用公式求 . x dx
2 2
解
y 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
Fx x, y y f ' x lim x 0 x Fy x, y


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§1. 隐函数存在定理
注:（1）定理的结论是局部性的，即在点 ( x0 , y0 ) 的 某个邻域内由方程 F ( x, y) 0 可以唯一确定一个可 微的隐函数。
则有以下结果： （1）在点 x0 , y0 的某一临域内, F x , y 0唯一确定 一个函数y f x , 且y0 f x0 .
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(2) y f x 在O x0 , 内连续;
§1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' . Fy x , y
§1. 隐函数存在定理
一、 F x, y 0情形
在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自 变量的某个算式，如
y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx)
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会遇到 另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法 则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称为隐 函数.


由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
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§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
2 2
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy