§16.1隐函数存在定理
隐函数存在定理
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
隐函数存在定理ppt课件
Γ: F (x,y)=0
y0= f (x0) Γ: y = f (x)
OO P0(x0,y0)
y
F (x, f (x)) =0
( 满足一定 x 条件或在某
F (x0, y0) =0
一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
08.04.2020
华北科技学院基础部
9
《数学分析》(2) §16.1 隐函数存在定理
(0,-1)
08.04.2020
华北科技学院基础部
5
《数学分析》(2) §16.1 隐函数存在定理
注24、隐类似函地数可存定在义性多条元件隐函分数析．例如: 由方程
F 条(件x ,时y,，z)由 0 F(确x,定y)的=0隐能函确数定z隐函f数(x,yy=)f,(由x)方并程使 该F 隐(x 函,y 数,z 具,u 有) 连0 续确、定可的微隐等函良数好u 性 质f?(x ,y,z),等
一前面、关F于(x隐, y函) 数= （0 情组）形的微分法都假定：隐函数 存1在、，隐且函它数们的概导念数或偏导数也存在。
本显章函讨数论：隐因函变数量存可在由性自问变题量及的连某续一性分、析可式微来性表。示
的函数称为显函数．例如： y1sin 3x,zx2y2.
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华北科技学院基础部
(a) 一点正,一片正
隐函数存在定理
y y0
+
•
＋＋
y0
_＋__•0
y0
_•
O x 0 x 0 x0 x
(b) 正、负上下分
y
y0
y0
＋＋•＋＋
•ห้องสมุดไป่ตู้
y0
• － － － －
隐函数存在定理
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
F(x, f (x), g(x)) 0,G(x, f (x), g(x)) 0.
例5 点 (1,1,2)在方程 x2 ( y 2 z 2 ) 5 及
(x z)2 y 2 2 所表示的曲面上, 证明在这点
的一个邻域内, 两曲面的交线能用形如
z
f (x), y
g(x)
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
这表明两曲面的交线在点 (1,1,2)附近能用形 如 z f (x), y g(x) 的一对方程表示.
u 1 (F,G) , u 1 (F,G) , x J (x, v) y J ( y, v)
v 1 (F,G) , v 1 (F,G) . x J (u, x) y J (u, y)
例4 问在点 (0,1) 附近是否存在连续可微函 数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足 f (0,1) 1, g(0,1) 1, 且
《高等数学之隐函数》课件
在物理学中的应用
在物理学中，隐函数被广泛应用于描 述物理量之间的关系，例如，热传导 方程、电磁场方程等。
隐函数还可以用于解决一些物理问题 ，例如，求解微分方程、确定物理量 的变化规律等。
THANKS 感谢观看
进一步研究隐函数的重要基础。
03 隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个函数嵌套在另一个函数中时， 链式法则用于求导。具体来说，如果 有一个复合函数 y = f(g(x))，则 dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)。
举例
假设 y = sin(x^2)，则 dy/dx = cos(x^2) * 2x。
隐函数还可以用于解决一些几何问题，例如，确定某一点的切线或者求某一点的 法向量等。
在经济学中的应用
在经济学中，隐函数被广泛应用于成 本函数、收益函数、需求函数等，这 些函数描述了经济变量之间的关系， 例如，成本函数描述了生产一定数量 的产品所需要的成本。
隐函数还可以用于解决一些经济学问 题，例如，最大化利润、最小化成本 等。
隐函数和显函数的转换
有时候可以将隐函数转换为显函数，或者将显函数 转换为隐函数，这需要使用例如在某些情况下更 加灵活和适用，但是它也有一些缺点，例如 求解比较困难。
隐函数的几何意义
隐函数的几何意义
隐函数可以用几何图形来表示，通过求解方程可以得到因变量和 自变量之间的关系，并且可以用图形来表示这种关系。
隐函数的图像
隐函数的图像通常是曲线或者曲面，可以通过绘制图像来更好地理 解隐函数的性质和特点。
隐函数的应用
通过几何意义可以更好地理解隐函数的实际应用，例如在物理和工 程领域中可以通过求解隐函数来找到某些物理量的关系。
02 隐函数定理
2.隐函数定理
隐函数及其导数continued...
隐函数定义
设对邻域Nδ (x0)内任意一组变量x1, x2, …, xn，相应地总 有满足方程G (x1, x2, …, xn, y) = 0的唯一的y值存在，那 么就说方程G (x1, x2, …, xn, y) = 0在邻域Nδ (x0)内确定一 个隐函数．记作y = f (x1, x2, …, xn)．
3-2
隐函数的导数 ⎯ 经济学中的必要性
隐函数及其导数continued...
G (x1, x2, …, xn, y) = 0或G (t, y) = 0.
经济学中的隐函数：例如，在一个经济模型中，一个内生 变量y和一组外生变量x1, x2, …, xn或参数t常常满足一个方程 在一定条件（或一定的经济背景）下，对任意一组外生变 量，由方程G (x1, x2, …, xn, y) = 0可确定唯一的y值，因而y 是x1, x2, …, xn的隐函数． 在经济问题的分析中，内生变量 ⎯ 数学中因变量，外生变 量 ⎯ 对应数学中的自变量． 在经济问题分析中，往往需要计算隐函数的导数或偏导 数．我们需研究外生变量xi（或参数t）的变化是如何影响 内生变量y的变化，即需求内生变量关于外生变量或参数的 偏导数∂y/∂xi或∂y/∂t．
第k列
（****）
其中k = 1，2，…，m；h = 1，2，…，n．
3-11
隐函数及其导数continued...
法一：（复合函数法）由定理3.4.2，将结论1）表示 的方程组（***）的两端看作x1, x2, …, xn的复合函数， 关于xh求偏导数，则得一个含有m个未知量和 m个 方 程的线性方程组
iii）f ' ( x ) = −
∂G ∂x
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨1.问题的提出数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。
现把该定理复述如下：定理：设F（x，y）在（x，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（x，y），如果F（x，y）=0?摇?摇?摇F′（x，y）≠0则在（x，y）的某领域内，方程F（x，y）=0有唯一的连续解y=f（x），也就是说，这时存在某η0，使得在［x-η，x+η］上存在着一函数y=y（x），使得：1）y=y（x）；2）y（x）在［x-η，x+η］上连续；3）在［x-η，x+η］上恒等式F（x，y（x））=0成立；4）满足条件1）—3）的函数y（x）是唯一的。
在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数y=f（x），从几何直观来看就是：若在（x，y）附近z=F（x，y）为光滑曲面，则它在点（x，y）附近与z=0的交线为光滑曲线，并能表示为y为x的函数（当F′（x，y）≠0），如图1所示。
对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。
（一）定理的结论，实质是找曲面z=F（x，y）和平面z=0的交线y=f（x），使得这曲线过（x，y）且在x附近连续，唯一。
（二）要这曲线过（x，y）必须曲面过（x，y），即F（x，y）=0。
（三）要这曲线在x附近连续，只需曲面z=F（x，y）在（x，y）附近连续。
（四）要曲线唯一，也就需证，对x附近任一x，有唯一确定的y。
在定理题设中有，F′（x，y）≠0，不妨假定它大于0，由于F′（x，y）连续，因此存在（x，y）的某个领域，其中每一点F′都大于0。
在该领域内，固定x=x，令φ（y）=F（x，y），由于φ′（y）0，因此φ（y）是单调上升的，只要证明存在y及y，使得φ（y）0，φ（y）0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（x，y）使F（x，y）=0，这是定理证明的核心。
其几何意义是：曲面z=F（x，y）垂直于x轴的平面x=x的交线z=F（x，y），剖面图形如图2所示。
隐函数的微分法.ppt
0;中 0,
,两 边 对x求 导 ， 得
Fx
1
Fy
dy dx
Fz
dz dx
0
Gx
1
Gy
dy dx
Gz
dz dx
0
F
y
dy dx
Fz
dz dx
Fx
Gy
dy dx
Gz
dz dx
Gx
当 Fy Fz 0时 ，
Fx
Gy Gy
dy Gx
Fz
Fy
Gz , dz Gy
Fx Gx ,
dx Fy Fz dx Fy Fz
(2) F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，
(3) 偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点 P( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 不等于零，则方程组
F( x, y, u,v) 0 G( x, y,u,v) 0 在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组具有连续偏导数的函数u u( x, y),v v( x, y) ， 它们满足条件u0 u( x0 , y0 ),v0 v ( x0 , y0 ) ，并有
3
x0
y0 y 1
法二：直接求导法
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
sin y ( y)2 cos y y
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
高等数学北大第二版隐函数存在定理24页PPT
F x ,fx 0 , x x 0 ,x 0 ,
并且 yfx在 x0 ,x0 内有连续的导
函数
fxF Fx yx x,,y y yfx.
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则在点 x0 , y0 的某个邻域内,方程 Fx,y,z0
唯一确定一个隐函数 z zx, y, 满足
F x ,y ,z x ,y 0 , z x 0 ,y 0 = z 0 ,
且 z x, y 有连续偏导数:
z Fx , x Fz
z Fy . y Fz
x 1
f a
d b
ed bf ; ad bc
cd
F(x,u,v) 0, G(x,u,v) 0.
ae
y 2 c f af ec . a b ad bc
u=u(x),v=v(x)
克莱姆法则告诉我们： 二元一次方程组有惟一
解 0.
cd
设 F (x,u,v)e xa u b,vG (x,u ,v)fx c u d,v
D(u,v) 2u 2v
当 (x,y)(0,0)时满足上述 u,v不 方同 程时 ,组 也为 的 就零 有
J 0，从而(x,在 y)的邻域内能确 uu定 (x,y隐 ),v函 v(x,数 y).
方程组两边对 x 求导，并移项得
uxvuvx 2x, 2uux 2vvx y.
求 u , v . x x
解
u x
u f1( x
xu)
f2
v x
v x
u g1(x
1)
g2
第16章第1节隐函数存在定理
(2) y f x 在O x0 , 内连续;
5
§16.1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' （隐函数求导公式） . Fy x , y
证明： 由条件(1), F x, y 在D上必连续.
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会 遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称 为隐函数.
2
§16.1. 隐函数存在定理
例1: 设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
设 x， x x是O x0 , 内任意两点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知
y y f x x .
F x , y 0, 所以
F x x , y y 0.
0 F x x , y y F x , y
9
§16.1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
设x1是O x0 , 内任意一点, 记y1 f x1 。
F x1 , y1 0, F x1 , y1 0.
0，由刚才证明知
又由F x , y 的连续性可知一定存在x1的某 一邻域O x1 , 内成立着
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
y0 b y y0 b
数学《隐函数定理及其应用》讲义
第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念设X R ⊂,Y R ⊂, 函数:F X Y R ⨯→, 对方程(,)0F x y =,若存在集合I X ⊂,J Y ⊂,使得对任何x I ∈,存在唯一的y J ∈满足方程(,)0F x y =,则称(,)0F x y =确定了一个隐函数:f I J →, 记为()y f x =,x I ∈.此时, (,())0F x f x ≡,x I ∈恒成立. 相对地, 形如()y f x =的函数称为显函数.我们说隐函数的产生也是很自然的, 如函数73()y g x x x x ==++严格增, 因而其有反函数, 但不易求出显函数1()x g y -=, 此时只能说方程730y y y x ++-=能确定隐函数1()()dy g x f x -==. 当然, 显函数也可以写成隐函数的形式(,)()0F x y y f x =-=. 显函数的几何意义就是平面上的曲线. 而方程(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =在几何意义上就是曲面(,)z F x y =与平面0z =相交得到一条曲线(()y f x =), 此曲线投影到x 轴, 投影为I , 而对每个x I ∈,有唯一的点(,)x y 在该曲线上.注 并不是每一个方程都可以确定一个隐函数,如2210x y ++=.关于隐函数, 我们主要关心两个问题: 1) 隐函数的存在性;2) 隐函数的性质(如连续和可微性等). 二、隐函数存在的直观分析从几何上看, 方程(,)0F x y =确定函数()y f x =.相当于曲线(,)0F x y =与直线0x x =有且仅有一个交点, 这就要求0(,)0F x y =恰好有一个解, 当然至少要有一个解, 即1︒ 00(,)x y ∃, 使得00(,)0F x y =.其次, 若要求曲线(,)0F x y =连续, 则需要假设2︒ 在00(,)x y 的某邻域内, F 连续.最后, 从隐函数的定义, 对一个x , 只能有一个y 满足(,)0F x y =. 这相当于F 作为y 的函数是单射. 因而我们要求F 关于y 严格单调, 或者条件3︒00(,)0y F x y ≠, 且y F 连续 (此时在00(,)x y 的某邻域内,F 关于y 严格单调).如果要求确定的隐函数可微, 则当F 可微时, 由链式法则有0x y F F y '+⋅=, 此时/x y y F F '=-, 即隐函数()y f x =可微. 而要保证F 可微, 一般需假设4︒x F 连续. 三、一元隐函数定理下面我们给出一元隐函数定理. 定理 若下列条件满足1) 函数(,)F x y 在000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续; 2) 00(,)0F x y =(初始条件);3) 在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y , 且00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内, 方程(,)0F x y =唯一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+上的隐函数()y f x =, 满足1︒ 00()f x y =,00(,)x x x αα∈-+时, 0(,())()x f x U P ∈, 且(,())0F x f x =; 2︒ ()f x 在00(,)x x αα-+上连续.进一步, 若F 在D 上还存在连续的偏导数(,)x F x y , 则方程(,)0F x y =所确定的隐函数3︒ ()y f x =在00(,)x x αα-+内有连续导函数, 且(,)()(,)x y F x y f x F x y '=-.注 a) 为证1︒,2︒, 只需条件: 1) 00(,)0F x y =; 2) 在00(,)x y 的某邻域内F 连续; 3) F 关于y 严格单调.b) 定理中的条件充分而不必要. 如330y x -=在(0,0)不满足(0,0)0y F ≠,但仍确定函数y x =.c) 若条件改为00(,)0x F x y ≠, 则可确定函数()x g y =. 又若00(,)0x F x y ≠与00(,)0y F x y ≠同时成立, 则方程(,)0F x y =将同时确定函数()y f x =和()x g y =,使(,())((),)0F x f x F g y y ==,由于,x y 的对应关系唯一,故它们互为反函数, 且x y F dydx F =-将不变号(如果变号,dy dx 将有零点,在该点dx dy 不存在,与g 可微矛盾), 即隐函数严格单调.例1 反函数存在性定理及其导数.例2 设(,)sin 0F x y y y x ε=--=, 01ε<<. 求dy dx , 22d ydx.例3 讨论Descartes 叶形线3330x y axy +-=所确定的隐函数()y f x =的一阶与二阶导数.例4 设2212z y x =-, 其中()y f x =为方程3330x y xy +-=所确定的隐函数. 求dz dx ,22d z dx.例5 证明: 1) 在(0,0)附近方程2sin()0x y xy ++=可确定函数()y f x =;2) 求f 的导数; 3) (0)f 为极大值.四、n 元隐函数定理下面我们来讨论n 元隐函数定理.定理 设1) 函数12(,,,,)n F x x x y ⋅⋅⋅在以点0000012(,,,,)n P x x x y ⋅⋅⋅为内点的区域1n D R +⊂上连续;2) 000012(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=; 3) 偏导数12,,,,n x x x y F F F F ⋅⋅⋅在D 内存在且连续;4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ⋅⋅⋅≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内方程12(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=唯一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数) 12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅,使得1︒.当120(,,,)()n x x x U Q ⋅⋅⋅∈时, 12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈; 2︒.12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅在0()U Q 内有连续偏导数12,,,n x x x f f f ⋅⋅⋅, 且11,x x yF f F =-22,,n n x x x x yyF F f f F F =-⋅⋅⋅=-.即若F 关于某个变量偏导数不等于0, 则存在以之为因变量的隐函数.例6 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐函数(,)z f x y =及其偏导数.例7 设方程(,,)0F x x y x y z +++=确定(,)z f x y =.求,x y z z .例8 求由方程(,,)0F x y y z z x ---=所确定的函数(,)z z x y =的微分.例9 设(,)u f x ut y ut =+-,求,,x y t u u u .例10 证明: 由方程()()y x z z ϕψ=+所确定的函数(,)z z x y =满足方程2222222()2()0z z z z z z z y x y x y x x y∂∂∂∂∂∂∂⋅-⋅⋅⋅+⋅=∂∂∂∂⋅∂∂∂∂.§2 隐函数组给出线性方程组111122220a xb yc ud v a x b y c u d v +++=⎧⎨+++=⎩ 何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =? 给定一般形式方程组(,,,)0(1)(,,,)0(2)F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =?一、隐函数组定理定理 1 设2,A B R ⊂, ,:F G A B R ⨯→. 00000(,,,)P x y u v =.若1) 00()()0F P G P ==;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈; 3) Jacobi 行列式(,)(,)F G J u v ∂=∂在0P 处值不为0,则存在00(,)x y 的邻域U 及U 上的唯一一组1C 类函数,f g , 使得(,)u f x y =, (,)v g x y =满足1︒ 000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡, (,,(,),(,))0G x y f x y g x y ≡, (,)x y U ∀∈,2︒ 1(,)(,)x F G u J x v ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G u J y v ∂=-⋅∂,1(,)(,)x F G v J u x ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G v J u y ∂=-⋅∂. [()11(,)()(,)xx v xvx v x v x vvF G G F F G u F G G F J J J x v F ψψ+⋅-∂=-==⋅-=-⋅∂]注 若定理条件3) 改为(,)0(,)P F G y v ∂≠∂, 则方程(1), (2)可确定的隐函数组为(,)(,)y y x u v v x u =⎧⎨=⎩. 更一般地, 可先求出,,,x y u v F F F F ,,,,x y u v G G G G , 如0u v uvF FG G ≠, 则可对(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩, 两边关于,x y 求偏导. 如对x 求偏导, 则x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v +⋅+⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩,从而u x v x xu x v x xF u F v FG u G v G ⋅+⋅=-⎧⎨⋅+⋅=-⎩⇒(,)(,)(,)(,)x u x u x u v u vF F FG G G x v u F G F F u v G G -∂-∂==-∂∂, (,)(,)(,)(,)x F G u x v F G u v ∂∂=-∂∂, 类似可以求出,y y u v .例1 讨论方程组222(,,,)0(,,,)10 F x y u v u v x y G x y u v u v xy ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩, 在点0(2,1,1,2)P 附近能确定怎样的隐函数组, 并求其偏导数.例2 1) 已知01xu yv yu xv +=⎧⎨+=⎩, 求x u , y u , x v , y v ;2) 设2(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩, 求,u ux y ∂∂∂∂.3) 设函数(,)u u x y =由方程(,,,)(,,)0 (,)0 u f x y z t g y z t h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定. 求,u u x y∂∂∂∂.二、反函数组定理给定(,)(,)u f x y v g x y =⎧⎨=⎩, 何时有(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩?设(,,,)(,)0(,,,)(,)0 F x y u v f x y u G x y u v g x y v =-=⎧⎨=-=⎩,00000(,,,)P x y u v =, 由隐函数组定理条件为1) 00()()0F P G P ==, 即000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈, 由于1u v F G ==-, 0v u F G ==连续, 故条件2)为在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈.3)0000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)x y x yx y x y f f F G u v g g x y x y ∂∂==≠∂∂.因而我们可得到下面的反函数组定理. 定理2 若1) 000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈; 3)00(,)(,)0(,)x y u v x y ∂≠∂,则存在00(,)u v 的邻域U 及唯一的一组1C 函数(,)x u v ϕ=,(,)y u v ψ=.((,)u v U ∈), 使得1︒ ((,),(,))u f u v u v ϕψ=, ((,),(,))v g u v u v ϕψ=, 000000(,),(,)x u v y u v ϕψ==; 2︒(,)(,)1(,)(,)u v x y x y u v ∂∂⋅=∂∂. [(,)/(,)x v u v u y x y ∂∂∂=∂∂∂, (,)/(,)x u u v vy x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v u x x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v v x x y ∂∂∂=∂∂∂.]例3 设sin cos u ux e u vy e u v ⎧=+⎨=-⎩, 求,,,x y x y u u v v .例4 求cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩的反函数组.例5 求sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的反函数组.例6 利用sin cos x r θϕ=, sin sin y r θϕ=, cos z r θ=变换2221u u x u y u z ∆=++.例6 已知经过代换2u x yv x ay =-⎧⎨=+⎩后, 方程60zz xy yy z z z +-=化为方程0uv z =,求a 的值.§3 几何应用一、平面曲线的切线与法线平面曲线()y f x =, 在000(,)P x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-. 若平面曲线由方程(,)0F x y =给出, (,)F x y 在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件, 故其在0P 附近可确定连续可微函数()y f x =(或()x g y =). 注意到()y f x =与(,)0F x y =表示的是同一曲线, 故曲线(,)0F x y =在0P 处的切线和法线方程分别为000()()y y f x x x '-=-与0001()()y y x x f x -=--' (或000()()x x g y y y '-=-与0001()()x x y y g y -=--') 又()xy F f x F '=-(或()y xF g y F '=-), 则曲线(,)0F x y =在000(,)P x y 处的切线方程: 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, 法线方程: 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=.例1 求Descartes 叶形线 332()90x y xy +-= 在(2,1)处的切线与法线方程.二、空间曲线的切线与法平面 1、 曲线由参数方程给出.设 :(),(),()L x x t y y t z z t ===, ()t αβ≤≤. (1) 下面求L 在其上某点0000(,,)P x y z 处的切线与法线方程, 这里00()x x t =,00()y y t =,00()z z t =,0()t αβ≤≤.假设(1)中三个函数均在0t 处可导且222000(())(())(())0x t y t z t '''++≠,在L 上0P 附近任取一点(,,)P x y z =000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆, 从而连接0P 与P 的割线方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆, 其中00()()x x t t x t ∆=+∆-, 00()()y y t t y t ∆=+∆-, 00()()z z t t z t ∆=+∆-, 又000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆, 令0t ∆→, 则0P P →, 且曲线L 在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 进而曲线L 在0P 处的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.2、曲线由两曲面给出设曲线L 的方程为 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (2)设1,F G C ∈, 且0(,)0(,)P F G J x y ∂=≠∂. 则由隐函数组定理, 在0P 附近能确定唯一的连续可微函数()x z ϕ=, ()y z ψ=使得1)00()x z ϕ=, 00()y z ψ=,2)1(,)(,)dx F G dz J z y ∂=-⋅∂, 1(,)(,)dy F G dz J x z ∂=-⋅∂. 故曲线L 在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---==, 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂,而L 在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂.例 2 求曲线22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截得的曲线在点(3,4,5)处的 切线与法平面方程.三、曲线的切平面与法线方程设曲面方程由 (,,)0F x y z = (3)给出, 其在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件. 设000(,,)z F x y z 0≠, 则方程(3)在0P 附近确定唯一1C 函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =且x z F z x F ∂=-∂, y zF zy F ∂=-∂, 从而该曲面在0P 处有切平面与法线其方程分别为000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----,即 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 与000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例3 求椭球面222236x y z ++=在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.例4 =(0)a >的切平面在坐标轴上截距之和为常数.§4 条件极值一、条件极值极值问题↔定义域↔条件的限制例 1 设计一个容量为V 的长方形开口水箱, 试问水箱的长x , 宽y , 高z 分别为多少时其表面积最小.(,,)2()S x y z xz yz xy =++ (0,0,0)x y z >>>满足条件 xyz V = ———— 条件极值问题条件极值问题 求(目标)函数()u f x =, 12(,,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在 (约束)条件()0i g x =, 1,2,,i m =⋅⋅⋅, m n <下的极值.设{,()0,1,2,,}i E x D g x i m =∈==⋅⋅⋅, a E ∈. 若存在开球(,)B a r D ⊂,使(,)x E B a r ∈⋂时,()()f x f a ≥(或()()f x f a ≤), 则称f 在a 达到(满足条件()0i g x =)的条件极小(极大)值.例1的解二、条件极值的必要条件 (3n =,2m ≥来讨论)设3D R ⊂为开域, 12,,:f g g D R →为1C 函数, 123(,,)x x x x D =∈. 若f 在点123(,,)a a a a =处达到条件极值, 且111123222123rank 2ag g g xx x g g g x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭,(1grad ()g a ,2grad ()g a 线性无关). 则存在12,R λλ∈, 使得1212()()()0j j jg g fa a a x x x λλ∂∂∂++=∂∂∂, 1,2,3j =. 即a 是Lagrange 函数1122L f g g λλ=++的驻点.三、Lagrange 乘法求()u f x =, 1(,,)n n x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在条件()0i g x =, (1,2,,)i m =⋅⋅⋅下的极值.方法为1︒ 作Lagrange 函数1111(,,,,,)()()()n m m m L x x f x g x g x λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+, x D ∈.2︒ 令0 (1,,)iLi n x ∂==⋅⋅⋅∂, 0 (1,,)j L j m λ∂==⋅⋅⋅∂, 求驻点. (m n +个方程, m n +个未知量)3︒ 求D 中使1,,,m f g g ⋅⋅⋅不为1C 的点, 及使1rank(grad ,,grad )m g g m ⋅⋅⋅<的点.(这些点与驻点成为可能的极值点).4︒ 用无条件极值方法判断上述可能点是否为极值点. 例2 重解例1.例3 求抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆, 求该椭圆到原点的最长和最短距离.例4 求(,,)f x y z xy yz =+在条件222x y +=, 2y z +=下的极值.例5 求平面一点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的最短距离.例6 求(,,)f x y z xyz =在条件1111x y z r++= (,,,)x y z r R +∈下的极小值, 并证明11113()a b c-++≤, ,,a b c R +∀∈.例7 求目标函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件Ax By ++0Cz D +=下的最小值.例8 求1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅在12n x x x a ++⋅⋅⋅+=约束条件下的最大值.例9 已知12(,,),(,,),(,)G x y z G x y z f x y 都是可微的,(,)(,,(,))i i g x y G x y f x y =, 1,2i =.求证:121112221(,)(,)x y xy z xyzf fg g G G G x y G G G --∂=∂.例11 183P , 5.例10 183P 11二次型, 特征值问题.例12 183P , 12.例13 184P , 14.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数, 而(,),(,)x x s t y y s t ==有连续偏导数, 则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅∂∂∂. [设(),()y f x x t ϕ==, 则dy dy dx dt dx dt=⋅.]Jacobi 行列式的几何意义一元 ()y f x =, 0x , 0x x x =+∆, 00()()y f x x f x ∆=+∆-称||||y x ∆∆为f 在0x 到0x x +∆的平均伸缩系数.若0x ∆→, 极限00000()()||limlim |()|||x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆, 则称0|()|f x '为映射f 在0x 处的伸缩系数. (导数的几何意义)若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数且(,)x y G ∀∈,(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂=≠∂. 函数组将xy 平面的开区域G 变换成uv 平面上的开区域1G ,点00(,)x y G ∈映为点10000((,),(,))u x y v x y G ∈, 则包含点00(,)u v 的面积微元d σ'与对应的包含点00(,)x y 的面积微元d σ之比为00|(,)|J x y . 即0000(,)(,)|(,)|(,)x y d u v J x y d x y σσ'∂==∂.。
隐函数存在定理与隐函数微分法
把 z 看成 x , y 的函数对 x 求偏导数得
∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzfv = , 整理得 ∂x 1 − f u − xyfv
( 2 − z )2 + x 2 = . 3 (2 − z )
∂ z ∂x ∂ y 例 6 设 z = f ( x + y + z , xyz ) ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂z
解
令
F ( x , y , z ) = f ( x + y + z , xyz ) − z
Fx = f1 + f 2 ⋅ yz F y = f1 + f 2 ⋅ xz Fz = f1 + f 2 ⋅ xy − 1
Fx Gx ∂u 1 ∂(F ,G ) =− =− Fu ∂x J ∂( x, v )
Fv Gv , Fv
Gu Gv
Fu Fx ∂v 1 ∂(F ,G ) =− =− ∂x J ∂ ( u, x ) Gu G x
Fy ∂u 1 ∂(F ,G ) =− =− Gy ∂y J ∂( y, v ) Fv Gv
∂u ∂v u ∂u 1 = e ⋅ + sin v ⋅ + u cos v ⋅ ∂x ∂x ∂x 解： 0 = e u ⋅ ∂u − cos v ⋅ ∂u + u sin v ⋅ ∂v ∂x ∂x ∂x ∂u u ∂u ⇒ sin v = (sin v − cos v )e ⋅ + ∂x ∂x ∂u sin v u ∴ = . 1 + e (sin v − cos v ) ≠ 0. u ∂x 1 + e (sin v − cos v )
隐函数定理
x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
x 2z ( ) 2 x 2 z x
(2 z )2 x 2 (2 z )3
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例. 设 F( x , y) 具有连续偏导数, 已知方程 解法1 利用偏导数公式.
且 f ( x0 ) y0 , F ( x, y ) y f ( x ) 0 考虑方程 由于 F ( x0 , y0 ) 0, Fy 1, Fx f ( x) 连续 Fx ( x0 , y0 ) f ( x0 ) 0 F ( x, y ) y f ( x ) 0 所以方程
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三、隐函数定理
一个方程所确定的隐函数及其导数
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则在点 P0 的某邻域U ( P0 ) 内，方程 F ( x, y ) 0 唯一地确 定一个定义在某区间 ( x0 , x0 ) 内的函数 (隐函数) y f ( x )，使得
o o o 唯一地确定一个定义在 Q0 ( x1 , x2 ,, xn ) 的某邻域
U (Q0 ) 内的 n 元连续函数 y f ( x1 , x2 , xn )，使得
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1o 当 ( x1 , x2 ,, xn ) U (Q0 ) 时， ( x1 , x2 ,, xn , f ( x1 , x2 ,, xn )) U ( P0 ) 且 F ( x1 , x2 ,, xn , f ( x1 , x2 ,, xn )) 0，
隐函数概念 隐函数存在性条件的分析 隐函数定理 隐函数求导举例
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17隐函数存在性定理
内的隐函数 y f ( x) ，定义在 ( x0 , x0 ) 内满足
F ( x, f ( x)) 0 ,且 y0 f ( x0 )
（2） y f ( x) 在( x0 , x0 ) 上连续 （3） y f ( x) 在( x0 , x0 ) 有连续的导数，且
取 min(1 ,2 )
F ( x, y0 b) 0 F ( x, y0 b) 0
x ( x0 , x0 )
F ( x, y0 b) 0 故对任意 x ( x0 , x0 )， F ( x, y) 关于 y 连续且 F ( x, y0 b) 0
元有一阶连续偏导数；
(ii) (iii) 则 （初始条件）； F (P ) 0, G( P ) 0 0 0
J ( F , G) | p0 0 . (u, v)
(1)在 p0 点的某个邻域 U 内，方程组
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
确定可微的隐函数 y f ( x)
定理17.2
设函数 F ( x1 , x2 ,, xn , y) 满足下列条件：
(0) | （i）偏导数 Fx (i 1, 2,, n)和Fy 在D：xi xi | ai (i 1, 2,, n)，
i
| y y(0) | b上连续，其中b 0, ai 0(i 1, 2,, n);
sin f ( x, y) xyf ( x, y)
Fx ( x, y, z ) z yz ， x Fz ( x, y, z ) cos z xy
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隐函数有关定理及其应用
1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理定理1 若满足下列条件1）(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; 2）00(,)0F x y =;3）(,)y F x y 在D 内连续;4）0,()0y o F x y ≠.则在0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在00(,)x x αα-+内的隐函数()y f x =,使得00001(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡. 02()f x 在00(,)x x αα-+内连续.这里有几点需要注意，i ）定理的条件只是充分的,ii ）.定理的条件（3）,（4）还可减弱.iii ）定理的条件（3）,（4）换为：x F 连续,0()0x F P ≠,则可确定隐函数()x f y =.1.3. 隐函数的可导条件定理2 若(1)(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; (2)(,)F x y ;(3)(,)(,)y x F x y F x y 在D 内连续;(4)0()0y F P ≠.则(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =,在00(,)x x αα-+内有连续的导数,且 ()xyF f x F '=-.若已知(,)0F x y =存在连续可微的隐函数()y f x =,利用复合函数求导法则,也求出'()f x .例 1 讨论笛卡儿叶形线3330x y axy +-=所确定的函数()yf x =的一阶与二阶导数解 由隐函数定理知,在使得23()0y F y ax =-≠的点(,)x y 附近,方程确定隐函数()y f x =.方程两边对x 求导并整理可得,22ay x y y ax -'=- 2()0y ax -≠ .两边再对x 求导,并将上式代入可得：3232()a xyy y ay ''=--.例2 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)附近能惟一地确定连续可微的隐函数(,)z f x y =,且可求得它的偏导数如下：32213x z x y F yz z F xyz ∂+=-=∂- , 322313y z y z F xz y F xyz∂+=-=∂-. 2.隐函数组2.1 隐函数组概念设(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 为定义在4R 上的四元函数.若存在2D R ⊂,对任意(,)x y D ∈,都有惟一确定的,u v ,使(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩成立,则在D 上定义了两个函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理3 若（1） (,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 在以00000(,,,)P x y u v =为内点的区域4V R ⊂内连续（2） 00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==;（3） 在V 内,,F G 有连续的偏导数;（4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 不等于零. 则在点0P 的某一邻域0()U P V ⊂内,方程组惟一地确定了定义点000(,)Q x y 的某一邻域0()U Q 内的两个二元隐函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.使得1. 000000(,),(,),u f x y v g x y ==(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡(,,(,),(,))0.G x y f x y g x y ≡.2 .(,),(,)u f x y v g x y ==在0()U Q 内有连续的偏导数,且：1(,)1(,),,(,)(,)u u x F G F G J x v y J y v ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂1(,)1(,),(,)(,)v v x y F G F G J u x J u y ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂例3 讨论方程组2222(,,,)0(,,,)10F x y u v u v x yG x y u v u v x y ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩ 在点0(2,1,1,2)P 的邻域能确定怎样的隐函数组,并求其偏导数.解 00()()0F P G P ==且2,1,2,2.x y u v x F x F F u F v G y =-=-===-,,y G x =- 1,1u v G G =-=.在点0P 处的所有雅可比行列式中仅有(,)0(,)F G x v ∂=∂因此,仅有(,)x v 不能断定能否作为以(,)y u 为自变量的隐函数.除此之外,在点0P 附近,任意两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如,要求(,),(,)x f u v y g u v ==的偏导数,对方程组分别关于,u v 求偏导数,得22010u u u u u xx y yx xy --=⎧⎨---=⎩, 22010v v v v v xxy xy yx --=⎧⎨--=⎩分别解之,得221,2u xu x x y +=- 221;2v xvx x y -=- 222,2u x yu y x y +=--222.2v x yvy x y -=-3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线．3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 (,)0F x y =,F 在000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 ()y f x =在0x 的导数 '000()()/()x y f x F P F P =-.曲线在0x 的切线方程为0000()()()()0x y F P x x F P y y -+-=.法线方程为0000()()()()0y x F P x x F P y y ---=.例4 求曲线 332()90x y xy +-=在(2,1)处的切线与法线. 解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,则2269,69x y F x y F y x =-=-处处连续, 且(2,1)15,(2,1)12x y F F ==-.因此曲线在(2,1)处的切线与法线分别为5460,x y --=及45130x y +-=3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 []0:(),(),(),,,L x x t y t z z t t P L αβ===∈∈.且 []000000000(,,)((),(),()),,P x y z P x t y t z t t αβ=∈.再设L 为光滑曲线.在L 上任取一点0000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆,则割线 0P P 的方程为00,x x y yz z x y z ---==∆∆∆因此：00o x x y y z zx y z z t t---==∆∆∆∆∆∆令 0t ∆→,则由L 为光滑曲线知,0p p →.所以L 在0p 的切线方程是000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''.过0p 与切线垂直的平面称为L 在0p 的法平面,其方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.(,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩ 且在0000(,,)P x y z 的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设0(0(,)P x y ∂≠∂F,G)） 方程组在0P 附近确定惟一连续可微的隐函数组：(),()x z y z ϕψ==.则()()x z y z z z ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.且 (,)(,),(,)(,)x z F G d z y F G d x y ∂∂=-∂∂ (,)(,)(,)(,)y z F G d x z F G d x y ∂∂=∂∂ 所以L 在0P 的切线方程是000(,)(,)(,)(,)(,)(,)x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 例5：求曲线22222250x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在(3,4,5)处的切线与法平面. 解：令22222250,F x y z G x y z =++-=+-.在(3,4,5)处,6,x F = 8,y F = 10,z F = 6,x G = 8,y G = 10z G =- (,)160,(,)F G y z ∂=-∂ (,)120,(,)F G z x ∂=∂ (,)0(,)F G x y ∂=∂ 所求切线为3451601200x y z ---==- . 所求法平面为430x y -= .3.3空间曲面的切平面与法线设曲面S 的方程是：0000(,,)0,(,,)F x y z P x y z S =∈.在0()U p 内满足隐函数定理的条件,不妨设0()0z F p ≠.方程在0p 附近确定隐函数 (,)z f x y =,且0000()(,),()x x z F p f x y F p =- 0000()(,)()y y z F p f x y F p =-由此得S 在0p 处的切平面为000000()()()()()()0y x z F P x x F P y y F P z z -+-+-=.法线为000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==.例6．求曲面：222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面与法线方程. 解：设222(,,)236F x y z x y z =++-,则在(1,1,1)处,2,4,6x y z F F F ===. 因此,切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=即236x y z ++=. 所得法线方程：111123x y z ---==.。
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则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
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§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
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§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
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§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
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§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
2 2 F ( x , y ) x y 1 0 例如：
在点 (0,1)的某个邻域 D 内由方程 x 2 y 2 1 0 可以确
1
定唯一的 y 1 x 2 。在点的某个邻域 D2 内由方程
x 2 y 2 1 0 可确定唯一的 y 1 x .
2
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Fx x, y y f ' x lim x 0 x Fy x, y
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§1. 隐函数存在定理
注:（1）定理的结论是局部性的，即在点 ( x0 , y0 ) 的 某个邻域内由方程 F ( x, y) 0 可以唯一确定一个可 微的隐函数。
令
依定理知方程 x 2 y 2 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的函数
y 1 x2 .
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§1. 隐函数存在定理
函数的一阶和二阶导数为
Fx dy x, y dx Fy
d2y y xy 2 dx y2
i 1, 2, , n .
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§1. 隐函数存在定理
下面给出方程组 F x , y , u, v 0 G x , y , u, v 0 的隐函数存在定理.
定理3 若函数F x, y, u, v 及G x, y, u, v 满足 :
§1. 隐函数存在定理
（2）定理的条件是充分的，非必要的。
y x 0在(0, 0)点只有Fy 0 。不满足 3 即使方程F x , y 0能确定隐函数，也不见的能从
中解出，例如 1 y x sin y 0 2 从中解出y .
F x, y0 b 0.
F x, y0 b 0， F x, y0 b 0.
设 x为O x0 , 中任一点,由以上讨论知
F x , y0 b 0，
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F x , y0 b 0.
§1. 隐函数存在定理
因为Fy 0. 由隐函数存在定理知 sin y shy x在任何一点都能唯一确定y 为x的函数y f
x , 且f x 具有连续导函数，
Fx 1 y' . Fy cos y chy
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§1. 隐函数存在定理 二、多变量及方程组情形
定理2 若函数F x1 , x2 ,, xn ; y 满足以下条件 :
1
在区域D : xi xi
0
ai ,
0
y y
0
b i 1, 2, n
上具有对一切变量的连续偏导数；
(2) F x1 , x2 , , xn 0;
F x, y 0.
F x, y1 0 和 F x, y1－ 0.
这表示对于邻域O x1 , 内的任一点x , 它所对应 的函数值y成立着 y y1 .
3
最后证明y f x 的可微性.
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§1. 隐函数存在定理
d2y dx 2 1.
x 0
dy dx
0,
x 0
x y x y 1 , y3 y2
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§1. 隐函数存在定理
y dy 例 3 已知 ln x y arctan ，用公式求 . x dx
2 2
解
y 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
则有以下结果： （1）在点 x0 , y0 的某一临域内, F x , y 0唯一确定 一个函数y f x , 且y0 f x0 .
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(2) y f x 在O x0 , 内连续;
§1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' . Fy x , y
0 0
(3) Fy x1 , x2 ,, xn
则有以下结果 :
0
0
0
0;
1
在点 x1 , x2 ,, xn , y 的某一临域内，方程
0
0
0
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§1. 隐函数存在定理
F x1 , x2 , , xn ; y 0 唯一确定一个函数y f x1 , x2 , , xn 且
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
由函数的连续性知F x0 , y0 b 0, F x0 , y0 b 0.
考虑一元函数F x, y0 b .
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在1 0，在邻域O x0 ,1 内,
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§1. 隐函数存在定理
例1、设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 及其某个临域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x2 ;
它在 0，-1 及其某个临域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x2 ;
下证(1).由条件(3),Fy x, y 0, 不妨设Fy x0 , y0 0.
由Fy x, y 的连续性，
证明： 由条件(1), F x, y 在D上连续.
可知Fy x, y 在点 x0 , y0 的某个邻域内也大于0，
不妨设在D上Fy x, y 0.
F x x , y y F x x , y F x x , y F x , y
Fy x x , y 1y y Fx x 2 x , y x
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§1. 隐函数存在定理
设 x， x x是O x0 , 内任意一点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知
y y f x x .
F x , y 0,
F x x , y y 0.
所以 0 F x x , y y F x , y
考虑一元函数F x , y .
上式说明函数在y0 b及y0 b异号,由根的存在性定理,
存在 y y0 b, y0 b ，使得 F x , y 0.
又因Fy x , y 0， 故F x , y 关于y是严格单增的，
因而使F x , y 0的 y必定唯一.
§1. 隐函数存在定理
一、 F x, y 0情形
在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自 变量的某个算式，如
y x 1 , u e (sin xy sin yz sin zx)
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会遇到 另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法 则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称为隐 函数.
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§1. 隐函数存在定理
由于Fy x, y 在整个D上大于0，因此将x x0固定，
因为F x0 , y0 0,
y0 b y y0 b 这表明F x0 , y 在区间 y0 b, y0 b 上严格单增.