函数的单调性证明

函数的单调性证明

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．

7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围．

11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性．

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．

15．求函数f（x）=的单调增区间．

16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

18．求函数的定义域．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式

（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

21．求下列函数的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

函数的单调性证明

参考答案与试题解析

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．

【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．

【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，

则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x

）（），

2

又由0＜x1＜x2＜，

则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，

则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，

设≤x3＜x4，

同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（），

又由≤x3＜x4，

则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，

则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数．

【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：

=；

∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2；

∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=﹣（=

因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．