概率统计试题及答案(本科完整版)
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3 P A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P A1A2 A3 P A1A2 A3 P A1A2 A3 P A1A2 A3
0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15 0.9 0.8 0.85 0.068 0.153 0.108 0.612 0.941 A2、甲袋中有 n 只白球、m 只红球；乙袋中有 N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入 乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以 W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，
则所求概率为 P W乙 P W乙 W乙 R乙 W乙 P W乙 W乙 P R乙 W乙
P W乙 P W乙 W乙 P R乙 P W乙 R乙
Cn1
C1 N 1
C
1 m
C
1 N
C C C C 1 nm
1 N M 1
1 nm
1 N M 1
n N 1 n m N
mN
M 1
A4、一袋中有 9 个红球 1 个白球，现有 10 名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第 6 位同学摸出白球的概率为 1/10 。
A5、若随机变量 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布，则对 a c b 以及任意的正数 e 0 ，必
有概率 P{c x c e}
＝
bb b
e
球中的最大号码。则 X 的数学期望 E( X ) 4.5 。
A9、设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
X
1
2
Y
1 0.12 0.10
2 0.18 0
3
0 0.15
3
0.28 0.12 0.05
则条件概率 P{X 3 |Y 2} 2/5 .
A10、设 X1,, X12 来自正态总体 N (0, 1) ,
Y
4 i 1
Biblioteka Baidu
X
i
2
8 i5
X
i
2
12 i9
Xi
2 ,当常数 k
=
1/4 时， kY 服从 2 分布。
A 二、计算题（每小题 10 分，共 70 分） A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为 0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以 Aj 表示“第 j 台机器需要人看管”，j=1，2，3，则:
2
2
.F
x
x
f
x dx
x
x
2
f xdx, f xdx,
x
2
f xdx,
x 2 2 x 2
x 2
0,
1 2
sin
x
1
,
1,
x 2 2 x 2
x 2
3 .P{
0 X 4
} 4 1 cos xdx 02
2 4
A4、（1）已知 X 的分布律为 -1 0 1
,Y
)
的概率密度为
f
(x,
y)
k (1
0
x), ,
0 y x 1 ,求常数 k 及边缘概
乙乙
率密度.并讨论随机变量 X ,Y 的相互独立性。
解：由归一性知：1
f ( x, y)dxdy
k 1 x dxdy
0 y x1
k
1
dx
x 1 x dy 1 k
0
0
6
k 6
fX x
P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得
1 P A1A2 A3 P A1 P A2 P A3 0.9 0.8 0.85 0.612
1
2 P A1 A2 A3 1 P A1A2 A3 1 0.1 0.2 0.15 0.997
f
( x,
y)dy
6
x 1
0
x dy乙
0乙
0
乙
x 乙
1
6
x
1
0乙
x
乙
0 x 1 乙乙
fY y
n
n m m N
N
n M
1
A3、设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
Acos
x,
| x | 2
,
试求（1）常数 A;
0 , 乙 乙
(2) 分布函数 F (x) ; (3) 概率 P{ 0 X 4 }。
解：（1）
由归一性可得：1
f x dx
2
A cos
xdx
2A
，从而
A
1 2
填空题（每题 2 分，共 20 分）
A1、记三事件为 A，B，C. 则用 A，B，C 及其运算关系可将事件，“A，B，C 中只有一个发
生”表示为 ABC ABC ABC
.
A3、 已 知 P(A)=0.3， P（ B） ＝ 0.5， 当 A， B 相 互 独 立 时 ，
P( A B ) _0.65 __, P( B | A ) _0.5 __ 。
解: 1 .F x, y
x
y
f
x, y
dxdy
x 0
y e( x y )dxdy ,
0
x 0, y 0
0,
乙乙
ex
1
ey 1 ,
x 0, y 0
0,
乙乙
2 .P ( x, y )G
f
x, y
dxdy
1 0
1 0
x
e
(
x
y
)dy
dx
1 2e1
G
A6、设二维随机变量 ( X
a c a
, ,
ce b ce b
A6、设 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，则Y 3 2X ~ N ( 3-2μ , 4σ2 ) .
A7、设
X
~
B（n,
p
),且EX＝12，DX＝8，则n
_ 36
_,
p
_
1 3
_
A8、袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取出 3 只，以 X 表示取出 3 只
X 3
2
2
1 1 12 6 P 1 3
1 3
计算 D(1 2 X 2 ) 。（5 分）
1 12
解： D(1 2X 2 ) 4D X 2
4 E
X4
E
X 2 2
4
115 4
225 16
235 4
（2）、设 X ~ N (0,1) ，求Y X 2 的概率密度.（5 分）
解：Y
的密度函数为：
f
(
y
)
1
y
e 2,
2 y
0,
y0 y0
A5、设 ( X ,Y ) 的概率密度为
f
( x,
y)
e( x y) ,
x 0, y 0 .
0, 乙乙
(1) 试求分布函数 F (x, y) ；
(2) 求概率 P(x, y) G 其中区域 G 由 X 轴, Y 轴以及直线 x y 1所围成.
0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15 0.9 0.8 0.85 0.068 0.153 0.108 0.612 0.941 A2、甲袋中有 n 只白球、m 只红球；乙袋中有 N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入 乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以 W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，
则所求概率为 P W乙 P W乙 W乙 R乙 W乙 P W乙 W乙 P R乙 W乙
P W乙 P W乙 W乙 P R乙 P W乙 R乙
Cn1
C1 N 1
C
1 m
C
1 N
C C C C 1 nm
1 N M 1
1 nm
1 N M 1
n N 1 n m N
mN
M 1
A4、一袋中有 9 个红球 1 个白球，现有 10 名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第 6 位同学摸出白球的概率为 1/10 。
A5、若随机变量 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布，则对 a c b 以及任意的正数 e 0 ，必
有概率 P{c x c e}
＝
bb b
e
球中的最大号码。则 X 的数学期望 E( X ) 4.5 。
A9、设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
X
1
2
Y
1 0.12 0.10
2 0.18 0
3
0 0.15
3
0.28 0.12 0.05
则条件概率 P{X 3 |Y 2} 2/5 .
A10、设 X1,, X12 来自正态总体 N (0, 1) ,
Y
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X
i
2
8 i5
X
i
2
12 i9
Xi
2 ,当常数 k
=
1/4 时， kY 服从 2 分布。
A 二、计算题（每小题 10 分，共 70 分） A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为 0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以 Aj 表示“第 j 台机器需要人看管”，j=1，2，3，则:
2
2
.F
x
x
f
x dx
x
x
2
f xdx, f xdx,
x
2
f xdx,
x 2 2 x 2
x 2
0,
1 2
sin
x
1
,
1,
x 2 2 x 2
x 2
3 .P{
0 X 4
} 4 1 cos xdx 02
2 4
A4、（1）已知 X 的分布律为 -1 0 1
,Y
)
的概率密度为
f
(x,
y)
k (1
0
x), ,
0 y x 1 ,求常数 k 及边缘概
乙乙
率密度.并讨论随机变量 X ,Y 的相互独立性。
解：由归一性知：1
f ( x, y)dxdy
k 1 x dxdy
0 y x1
k
1
dx
x 1 x dy 1 k
0
0
6
k 6
fX x
P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得
1 P A1A2 A3 P A1 P A2 P A3 0.9 0.8 0.85 0.612
1
2 P A1 A2 A3 1 P A1A2 A3 1 0.1 0.2 0.15 0.997
f
( x,
y)dy
6
x 1
0
x dy乙
0乙
0
乙
x 乙
1
6
x
1
0乙
x
乙
0 x 1 乙乙
fY y
n
n m m N
N
n M
1
A3、设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
Acos
x,
| x | 2
,
试求（1）常数 A;
0 , 乙 乙
(2) 分布函数 F (x) ; (3) 概率 P{ 0 X 4 }。
解：（1）
由归一性可得：1
f x dx
2
A cos
xdx
2A
，从而
A
1 2
填空题（每题 2 分，共 20 分）
A1、记三事件为 A，B，C. 则用 A，B，C 及其运算关系可将事件，“A，B，C 中只有一个发
生”表示为 ABC ABC ABC
.
A3、 已 知 P(A)=0.3， P（ B） ＝ 0.5， 当 A， B 相 互 独 立 时 ，
P( A B ) _0.65 __, P( B | A ) _0.5 __ 。
解: 1 .F x, y
x
y
f
x, y
dxdy
x 0
y e( x y )dxdy ,
0
x 0, y 0
0,
乙乙
ex
1
ey 1 ,
x 0, y 0
0,
乙乙
2 .P ( x, y )G
f
x, y
dxdy
1 0
1 0
x
e
(
x
y
)dy
dx
1 2e1
G
A6、设二维随机变量 ( X
a c a
, ,
ce b ce b
A6、设 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，则Y 3 2X ~ N ( 3-2μ , 4σ2 ) .
A7、设
X
~
B（n,
p
),且EX＝12，DX＝8，则n
_ 36
_,
p
_
1 3
_
A8、袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取出 3 只，以 X 表示取出 3 只
X 3
2
2
1 1 12 6 P 1 3
1 3
计算 D(1 2 X 2 ) 。（5 分）
1 12
解： D(1 2X 2 ) 4D X 2
4 E
X4
E
X 2 2
4
115 4
225 16
235 4
（2）、设 X ~ N (0,1) ，求Y X 2 的概率密度.（5 分）
解：Y
的密度函数为：
f
(
y
)
1
y
e 2,
2 y
0,
y0 y0
A5、设 ( X ,Y ) 的概率密度为
f
( x,
y)
e( x y) ,
x 0, y 0 .
0, 乙乙
(1) 试求分布函数 F (x, y) ；
(2) 求概率 P(x, y) G 其中区域 G 由 X 轴, Y 轴以及直线 x y 1所围成.