《误差理论》第七章.
第七章 误差理论的基本知识
mz
2 mn
2
解：应用误差传播定律的一般公式得：
2 2
z 例题： 设有某函数： S sin 式中观测值：S=150.11m±0.05m， 119 4500 20.6 求z的中误差mZ。
z 2 z m 2 mz mS S
2 lim
n
f ()
1
2 2 2
e
2 22 2n [2 ] 1 lim n n n
[2 ] [] lim n n n
lim
n
评定精度的指标
精度：指在对某量进行多次观测中，各 观测值之间的离散程度。 中误差 评定精度的标准 容许误差 相对误差
则有：
mhAB nm站
水准测量高差的中误差，与测站 数n的平方根成正比
当水准路线通过平坦地区时，各测站 的视线长度大致相等，每公里的测站数也 接近相等，因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时，A、B两点间 高差中误差为：
mhAB S mkm
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段 的量距中误差都是m，则每公里长度的量 距中误差mkm也是相等的。当对长度为S公 里的距离丈量时，全长S的中误差将为：
mS S mkm
在距离丈量中，距离S的量距中误差 与长度S的平方根成正比。
为了求得A、B两水准点间的高差，从A点 开始进行水准测量，经n站后测完至B点，已 知每测站的高差中误差均为m站，求A、B两 点间高差的中误差mhAB。 因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+…+hn
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
误差理论 课件
教学安排
本学期教学计划26学时，其中讲课6学时（ 2次），实验20（8次）学时。
第1章 测量误差及数据处理
§1.1 测量与误差 §1.2 误差处理 §1.3 仪器误差 §1.4 测量结果的不确定度估计 §1.5 有效数字及其运算法则 §1.6 实验数据处理的基本方法
§1.1 测量与误差
§1.1.1 测量
1. 测量的基本概念 测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理 量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物 理量大小的过程。
测量的目的：获得测量值(数据)。
例如：用最小刻度为mm的米尺测量 物体的长度。
90.70cm
测量三个要素
（1）测量方法；（2）仪器设备；（3）测量结果
比较法
米尺
90.70cm
相对误差分别为：E1=0.8%， E2=1.0% 。
§1.1.3 误差的分类
按产生的原因和性质分类：
随机误差 系统误差 粗大误差
误差的分类
（1）系统误差
（2）随机误差
在相同条件下，对同一测 在相同条件下，对同一测
量量的多次测量过程中，保 量量的多次测量过程中，每
持恒定（大小、正负不变） 次测量的误差可能是正或负，
（1）直接测量 用标准量与待测量直接进 行比较。 例如：用直尺测量长度； 以表计时间； 天平称质量； 安培表测电流；等等。
（2）间接测量
经过直接测量与待测量有 函数关系的物理量，再经过 运算得到待测物理量的测量 方法。
例如：用钢卷尺测量桌子 的面积
S=a×b=S(a,b)
在物理量的测量中，绝大多数是间接测量， 但是，直接测量是一切测量的基础。
非等精度测量 测量的所有数据，可信赖 程度不同，数据处理过程中 的地位不同，按与误差 （1）真值：物理量在客观上存 在着的确定数值。
误差理论与数据处理第七章动态测试数据处理基本方法
误差理论与数据处理第七章动态测试数据处理基本方法第七章《动态测试数据处理基本方法》是《误差理论与数据处理》一书中的重要章节。
本章主要介绍了动态测试数据处理的基本方法，包括对动态测试数据进行平均处理、标准差处理、最小二乘法拟合以及误差传递等内容。
首先，动态测试数据处理一般需要进行数据平均处理，通过多次测试得到的数据进行求和并取平均值，以提高测试结果的准确度和可信度。
对于多次测试的数据，可以使用算术平均法、几何平均法或加权平均法等方法进行平均处理。
其次，动态测试数据的标准差处理是对数据的离散程度进行衡量的一种方法。
标准差可以反映数据的稳定性和可靠性，通过计算数据的标准差可以判断数据的散布范围。
标准差越小表示数据集中度越高，数据的可信度也越高。
进一步，最小二乘法拟合是一种常用的数据处理方法，可以通过对实际测量数据进行拟合，得到一条或多条曲线，以求解相关物理参数或者确定拟合曲线的函数表达式。
最小二乘法拟合可以将实际测量数据与拟合曲线之间的差异最小化，得到最优解。
最后，误差传递是动态测试数据处理中一个重要的概念。
在实际测试中，各种测量仪器的误差是不可避免的，这些误差会传递到最终的测试结果中。
误差传递原理可以通过误差传递公式来描述，同时也需要考虑误差的传递规律和误差的传递方式。
总之，动态测试数据处理是现代科学实验中必不可少的一个环节。
通过对动态测试数据进行平均处理、标准差处理、最小二乘法拟合以及误差
传递等基本方法的应用，可以提高数据的准确性和可信度，为科学实验的研究结果提供有力支撑。
第七章船位误差
• 因为在实际工作中真值往往不知道，所以上式 称为理论公式，有如下特点：
• ①σ≠0说明绝对准确的观测是不存在的，这与 误差的定义是一致的；
• ②σ有“±”，而与误差本身的符号无关； • ⑧较大的误差可以明显地反映出来； • ④σ的数值较稳定，多一次少一次观测对σ的
数值影响不大。
• 基于上述特点，人们采用标准差作为衡量随机 误差的尺度(标准)。
• 如果只考虑航程误差εs (忽略εc)，为使转 移船位线的误差最小，太阳在正横(Q=90 ゜或270゜)附近时进行第一次观测为好。
• 如果只考虑航向误差εc (忽略εs)，太阳 在首尾(Q＝0゜或180゜)附近时进行第一 次观测为好；
• b．由航程误差εs和航向误差εc而引起转移太 阳船位线的最大误差
3．误差的种类
• (1)随机误差 • (2)系统误差 • (3)粗差
(1)随机误差
• 在相同条件下，对同一量进行重复观测，所产 生的误差的符号和其绝对值的大小均不确定， 就误差的个体而言不服从任何规律，就误差的 总体而言服从一定的统计的规律。
• 成因：多种因素的综合影响。 • 处理：不能将其抵消，只能通过一定的重复
(3)粗差
• 过失误差，采用重复观测的方法可以发 现粗差，在数据处理过程中应将其剔除。
• 4．误差与精度
• 误差或精度用来描述观测结果的可信赖程度。
• 误差—反映观测值偏离真值的程度；
• 精度一反映观测值接近真值的程度。
• 两者本质上是相同的，只不过是从相反的角 度反映观测的质量，误差小，精度高；误差大， 精度低。因此，精度同误差一样可以描述系统 和随机误差的影响。
然而，事实上是不是这样呢? • 如果σi提高1个数量级即0、1＝1/√n，则n＝
计算方法与误差理论-7
参数解不止一组，而为一簇。
常微分方程—龙格-库塔方法
改进的欧拉公式: l=1, λ1=λ2=1/2 变形的欧拉公式: l=1/2, λ1=0, λ2=1 y i 1 y i hk2 k1 f ( x i , y i ) h k 2 f ( x i 1 , y i k1 ) 2 2
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法
梯形公式—数值积分用梯形公式计算
y ( xi 1 ) y ( xi ) yi 1
公式：
xi 1
xi
f ( x, y ( x))dx i 0,1,2,...,n 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] 2
梯形公式的局部截断误差：
( 2) i 1
Ri 1 R
1 3 h y ' ' ' ( i ) O(h 3 ) 12
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法
改进欧拉公式
将欧拉公式与梯形公式联合使用
1.先用欧拉公式的y(xi+1)的一个粗糙的近似值 (预测值) 2.然后对预测值用梯形公式进行校正(校正值)
1 2 1 l 1 二阶龙格-库塔公式 2 2 单步显式公式 1 1 1 2l ,
常微分方程—龙格-库塔方法
2 1 2l
待定参数： λ1, λ2, l（3个）
要使公式具有2阶精度（局部截断误差(h0,
h1, h2的系数必须为零)和泰勒展开）得：
y0-0.2*0.1yp=0.9800
第七章 测量误差基本概念1
二、测量误差定义及表达 测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差。 即测量误差=测量结果-被测量的真值 真值：被测量的真值是指一个量在被观测瞬 间的条件下，被测的量本身所具有的真实大小， 真值是客观存在的，但在一般情况下又是未知的， 这是因为客观世界的一切物体都处于不断运动之 中，测量也不可能完全没有误差，因此也就无法 求得瞬息变化的被测的量的真值。所以量的真值 仅是一个理想的概念，在实际运用中的真值是指 以下几种情况：理论真值、约定真值。
例如，下列两组测定结果：
x1－ ： + 0.11 －0.72 +0.24 + 0.51 x －0.14 0.00 +0.30 －0.21 ＝0.28 N1＝8 d1 x2－ : +0.18 +0.26 －0.25 －0.37 x +0.32 －0.28 + 0.31 －0.27 N2=8
2=0.28 d
相对误差能反映出误差在真实值中所占比
例，这对于比较在各种情况下测定结果的准确
度更为方便。绝对误差和相对误差都有正负， 正值表示测定值比真实值偏高，负值表示测定 值比真实值偏低。
二、精密度与偏差
精密度是几次平行测定结果之间相互接近的 程度，它反映了测定结果再现性的好坏，其大小 决定于随机误差的大小。精密度可以用偏差、平
均偏差或相对偏差来衡量。
偏差定义为：
d
越差。
def
xi x
偏差越大，精密度就越低，测定结果的再现性就
平均偏差定义为：
N 相对平均偏差定义：
误差理论第七章动态测量数据处理
Sx ( f )
Gx ( f )
（3） Gx ( f ), S x ( f )
0 （4） S x ( f ) 的特性 S x ( f ) 是非负实偶函数 S x ( )
f
傅立叶变换
Rx ( )
17
§7-3 随机过程特征量的实际估计
一、平稳随机过程及其特征量 （一）平稳随机过程
若随机过程x(t)的所有特征量与t无关，即其特征量不随 t 的推移而变化，则称x(t)为平稳随机过程。否则称为非平 稳随机过程。
（三）自相关函数（相关函数）
反映随机过程不同时刻之间的相关程度。即：
Rx (t , t ) E[{x(t ) mx (t )}{x(t ) mx (t )}]
Rx (t , t ) 标准自相关函数： x (t , t ) x (t ) x (t )
平稳随机过程据又分为各态历经和非各态历经。
8
动态测试数据
确定性数据 周期数据 正 弦 周 期 复 杂 周 期 非周期数据
随机过程数据
平稳过程 各 态 历 经 非 各 态 历 经
9
非平稳过程
准 周 期
瞬 态 数 据
§7-2 随机过程及其特征
一、研究随机过程理论的实际意义 由于被测量随时间、空间连续变化，导致测量过程和结果是 随时间而连续变化。
x(t )
x(t )
x(t )
0
平稳随 机过程
t 0
t 0
非平稳随 机过程
t
18
平稳随机过程的条件： ①随机过程是平稳的第一个条件是均值为常数；
mx (t ) mx C
②随机过程是平稳的第二个条件是其方差为常数；
《误差理论与数据处理》课程教学大纲
《误差理论与数据处理》课程教学大纲【课程代码】：13319608【英文译名】：Error Theory and Surveying Adjustment 【适用专业】：地理信息系统【学分数】：4 【总学时数】：64一、本课程教学目的和课程性质误差理论与数据处理是地理信息系统专业的工程技术基础必修课之一、通过学习本门课程，使学生能够应用概率和数理统计方法来分析观测数据，采用最小二乘法作为处理观测数据的基本原则，合理计算处理，以得到更接近真值的结果。
在内容上，主要讲解测量平差的基本原理、方法和技能；论述近代测量平差的基本理论与方法，介绍测量数据处理的最新研究成果。
二、本课程的基本要求通过本门课程的学习,掌握平差课程的任务和研究对象,并很好的掌握几种主要的平差方法.在了解了近代平差基本理论和最新的研究成果基础上，在后续的课程中灵活应用对数据的处理和误差分析，为以后的工作和进一步深造打下良好的基础。
三、本课程与其他课程的关系前修课程:测量学、高等数学、线性代数、概率论与数理统计；后续课程:GPS原理、摄影测量学、遥感原理与应用。
四、课程内容《误差理论与数据处理》是研究误差的一门学科，通过学习本门课程，使学生能正确处理测量数据，合理计算处理，以得到理想的结果。
本课程要求：基本知识的掌握，掌握误差的基本概念，不同性质误差的变化规律及处理方法。
权的概念及不等精度测量的数据处理方法，误差的合成及分配，回归、相关等。
本课程内容安排如下：第一章绪论基本内容：主要介绍有关误差的一些基本概念，观测误差及测量平差理论研究的对象。
属于了解内容。
第二章误差分布及精度指标环境与资源学院基本内容：本章节主要介绍有关平差的含义、观测条件、系统误差、偶然误差的概念。
及偶然误差的统计规律性及精度、方差、中误差的概念。
重点：掌握概念：观测条件、系统误差、偶然误差；难点：偶然误差的规律性以及所服从的分布；第三章协方差传播律及权基本内容：本章节主要介绍有关协因数传播率的概念及应用领域，使学生掌握协因数、协因数阵、权阵的概念；掌握协因数传播律的一般形式与特殊形式权倒数传播律。
计算方法与误差理论-7.
解: (1)写出递推公式:
(2)列表依次计算:
xi 0.0 0.1 yi 1.0000
(1-0.2*0)y0=y0=1.0000
xi
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
yi
(1-0.2*0.1)y1=0.98y1=0.9800 (1-0.2*0.2)y2=0.96y2=0.9408 (1-0.2*0.3)y3=0.94y3=0.8844 (1-0.2*0.4)y4=0.92y4=0.8136 (1-0.2*0.5)y5=0.9y5=0.7322 (1-0.2*0.6)y6=0.88y6=0.6444
局部截断误差： 1 3 ( 2) 3 Ri 1 h y ' ' ' ( i ) O(h ) 12
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法
单步隐式公式
用上一步结果yi，不能直接得出yi+1，而需 要通过其他方法(迭代法)求解 一般形式： yi 1 yi h ( xi , yi , yi 1 , h) i 0,1,, n 1 y0
xi 1
xi
y ' ( x)dx
xi 1
xi
f ( x, y ( x))dx
xi1 xi
( y ' ( x) f ( x, y ))
即：y ( xi 1 ) y ( xi ) yi 1 yi hf ( xi , yi )
f ( x, y ( x))dx
用左矩形公式计算积分 , 得：y ( xi 1 ) y ( xi ) hf ( xi , y ( xi )) i 0,1,2,...,n 1
梯形公式的局部截断误差：
误差理论与测量平差基础习题集3
7. 如图 7-15 所示的水准网中，A，B 为已知点，P1~P3 为待定点，独立观测 了8段 路线的高差 h1~h8，路线长度 S1 =S2 =S3 =S4=S5 =S6 =S7 =1km,S8=2km,试问平差后 哪一点高程精度最高，相对于精度最低的点的精度之比是多少
在图 7-16 所示的三角形中，A,B 为已知点，C 为待定点。A,B 点的已知坐标,C 点的近似坐标及 AC 和 BC 边的近似边长列于图中(均以 km 为单位)，试按间接平 整法求 C 点坐标的权倒数和相关权倒数(设 =2x105,参数以 m 为单位)。
在图 7-1 所示的闭合水准网中，A 为已知点（HA=，P1，P2 为高程未知点， 测得离差及水准路线长度为： h1= ,S1=2km，h2 =，S2 = 2km,h3 = - ,S3 = lkm。 试用间接平差法求各髙差的平差值。
在三角形(图 7-2)中，以不等精度测得 α=78º23´12"，Pα=1; β= 85º30 '06 "，Pß =2; γ=16º06'32"，Pγ=1; δ=343º53'24", Pδ=1； 试用间接平差法求各内角的平差值。 7. 设在单一附合水准路线(图 7-3)中已知 A,B 两点高程为 HA，HB，路线长为 S1，S2，观测高差为 h1 h2，试用间接平差法写出 P 点高程平差值的公式。
§7-4 水准网平差示例
7. 4. 42 在水准网平差中，定权式为 时，经平差计 算求得的单位权中误差 代表什么量的中误差在
以 km 为单位，当令 c=2
令 c=1 和 c=2 两种情况下，经平差分别求得的 V, ，
以及 相同吗” 在图 7-20 所示的水准网中，A,B 为已知
834误差理论与测量平差基础大纲(2012年版)
《误差理论与测量平差基础》考研复习大纲（2012年）第一章、绪论（4分）了解系统误差、偶然误差、粗差及其处理方法；掌握测量平差学科的研究对象；理解测量平差任务；了解本课程的任务和内容。
第二章、误差分布与精度指标（6分）理解偶然误差的特性；掌握衡量精度的绝对指标和相对指标，精度、准确度与精确度；理解测量不确定度。
第三章、协方差传播律及权（20分）理解数学期望的传播；掌握方差协方差阵、权、权阵、协因数、协因数阵的概念及其表示方法；掌握协方差传播律及其应用；熟练掌握权与定权的常用方法，协因数、协因数传播律及其应用，理解由观测值函数的真误差估计中误差的方法；了解系统误差的传播。
第四章、平差数学模型与最小二乘原理（10分）掌握各种平差问题必要观测数，多余观测数的确定方法；掌握测量平差的函数模型，函数模型的线性化，掌握参数估计与最小二乘平差准则。
第五章、条件平差（20分）熟练掌握条件数的确定，条件平差原理；掌握各种平差问题条件方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第六章、附有参数的条件平差（15分）了解附有参数的条件平差函数模型和随机模型的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第七章、间接平差（20分）掌握间接平差原理，误差方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定；掌握间接平差应用（直接平差，三角网坐标平差，导线网间接平差，GPS 网平差）。
第八章、附有限制条件的间接平差（15分）掌握附有限制条件的间接平差原理；掌握误差方程、条件方程列立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第九章、概括平差函数模型（10分）熟悉基本平差方法的概括函数模型；附有限制条件的条件平差原理，精度评定；熟悉各种平差方法的共性与特征；理解平差结果的统计性质。
第十章、误差椭圆（10分）了解点位中误差概念以及计算方法；掌握任意方向的位差计算；点位误差的极大值和极小值的计算；理解误差曲线的基本概念；掌握误差椭圆要素计算；理解点位落入误差椭圆内的概率；第十一章、平差系统的统计假设检验（10分）熟悉统计假设检验的基本方法；了解误差分布的假设检验；掌握平差模型正确性的统计检验；理解平差参数的统计检验和区间估计；了解粗差检验的数据探测法。
《误差理论与数据处理》课程介绍与教学大纲
《误差理论与数据处理》课程简介课程编号：06024901课程名称：误差理论与数据处理/ Error Theory and Data Processing学分：2学时：32（上机：6 ）适用专业：测控技术与仪器建议修读学期：5开课单位：测控与仪表系先修课程：高等数学、概率论与数理统计、线性代数考核方式与成绩评定标准：百分制，笔试（闭卷）成绩：70%,平时（实验、作业、考勤等）成绩：30% 教材与主要参考书目：1.误差理论与数据处理（第七版），费业泰，机械工'业出版社，2015, 5.误差理论与数据处理，丁振良，哈尔滨工业大学出版社，2015, 22.误差理论与数据处理，蒋萍，国防工业出版社，2014, 9.误差原理与数据处理，钱政，科学出版社，2013, 4内容概述：本课程介绍了误差理论的基本概念、基本理论，着重讲述了有关测量及测量误差的基本概念, 误差理论中有关随机误差和系统误差的分析和计算，误差合成与分配等。
主要目的和任务是使学生掌握相关物理量的静态测量和动态测量的误差理论与数据处理的方法。
英文：This course introduces the basic theory and basic concepts of error theory, focuses on basic concepts of measurement and error of measurement, the analysis and calculation about the random error and system error, and describes the error synthesis and distribution etc. The main purpose is to enable students to master the error theory and data processing method of relevant physical quantities in the static and dynamic measurement.《误差理论与数据处理》教学大纲课程编号：06024901课程名称：误差理论与数据处理/ Error Theory and Data Processing学分：2学时：32（上机：6 ）适用专业：测控技术与仪器建议修读学期：5一、课程性质、目的与任务本课程为测控技术与仪器专业的一门重要的专业基础课，主要是使学生掌握有关物理量的静态测量和动态测量的误差理论与数据处理的方法。
《误差理论与测量平差基础》课程学习指南
《误差理论与测量平差基础》课程学习指南2011.09一、课程学习目标通过学习牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，熟悉三种控制网平差的全过程，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。
二、课程知识结构本课程由两大部分内容组成，即误差理论和测量平差基础。
误差理论部分是研究误差来源以及处理方法、研究偶然误差的统计性质、误差分布、误差的传播以及衡量精度的指标等。
测量平差基础部分处理带有偶然误差的观测值，求出待求量的最佳估值，并评定测量成果的精度。
课程学习内容分细为七块，即，误差理论、测量平差原理、测量平差方法、测量平差计算、点和线的位置误差、假设检验、近代测量平差等。
学习的层次可分为:理论、原理、方法、应用四个层次，其中，平差原理、平差方法、平差计算为测量平差学习的核心内容。
三、基本要求1、基本知识部分：1)误差理论部分✧了解观测误差产生的原因；✧掌握误差分类及其处理方法；✧掌握偶然误差的统计特性以及误差分布；✧掌握衡量精度的绝对指标和相对指标；✧了解测量平差的任务和内容。
✧掌握求函数的协方差阵（协因数阵）的方法。
2)测量平差基础部分✧掌握测量平差的数学模型（包括函数模型和随机模型）概念；✧掌握间接平差、条件平差以及附有限制条件的条件平差函数模型建立方法；✧了解最小二乘准则及其最小二乘估计的统计特性。
✧掌握基本平差原理、平差计算公式以及精度评定方法。
2、理论联系实际部分1）掌握三角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程式建立、条件平差时条件式建立方法、观测值权阵确立方法。
2）平差计算：分组平差原理、高斯约化原理。
3）掌握点位（误差椭圆）、直线元位置误差的计算。
3、近代平差部分掌握秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。
四、学习建议1、开始学习前预习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识。
2、对公式推导过程要有清晰的认识，熟悉各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨公式中的符号所对应的向量。
3、每一个知识点均需做一定的习题，巩固课堂理论知识；4、所有平差方法学习之后，同一算例采用不同方法求解，得出一致结果。
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0 k
Yj0
X
0 j
ˆ jk
Xˆ j
0
xˆ j
ˆ jk
Yˆj
0
yˆ j
ˆ jk
Xˆ k
0
xˆk
ˆ jk
Yˆk
0
yˆk
jk
k
jk
ˆ
Xˆ
jk j
xˆ j
0
பைடு நூலகம்
ˆ jk
Yˆj
yˆ j
测边网坐标平差的误差方程
Xˆ j
X
0 j
xˆ j ,
Yˆj
Y
0 j
yˆ j
Xˆ k
X
0 k
xˆk ,
Yˆk Yk0 yˆ k .
Lˆi Li vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2
Li
vi
S
0 jk
X
0 jk
S
0 jk
(xˆk
xˆ j )
Y
0 jk
S
0 jk
xˆ j
"
c
os
0 jk
S
0 jk
yˆ j
"
s
in
0 jk
S
0 jk
xˆk
"
cos
0 jk
S
0 jk
yˆ k
Li vi ˆ jk ˆ jh
ˆ 0
li
Li
(
0 jk
0 jh
)
Li
L0i
最后得到： vi jk jh li
" jk
k"j
ˆ jh
h
j
k Li
ˆ jk
三、测边网函数模型
0 j
)
2
Y
0 jk
(
S
0 jk
)
2
X
0 k
X
0 j
ˆ jk Yk
0
X
0 jk
S0 2 jk
二、测角网函数模型
jk
Y
0 jk
S0 2 jk
xˆ j
X
0 jk
S0 2 jk
yˆ j
Y
0 jk
S0 2 jk
xˆk
X
0 jk
S0 2 jk
yˆk
" jk
"
s
in
0 jk
S
0 jk
F
T
N 1 BB
F
Dˆˆ
Q 2
0 ˆˆ
2 0
(
F
T
N
1 BB
F
)
m ,m
式中：fi
Xˆ i
(i 0
1，2，t)
令： F T f1 f2 ft
则： dˆ F T xˆ
该式称为权函数式！
例7-8 水准网间接平差示例
如图所示：A、B 是已知的高程点，C、D、E 是待定点。
已知数据与观测数据列于下表。 试按间接平差求：
Lˆ
L
V
BN
1 BB
BT
Pl
L0
QLˆLˆ
B
N 1 BB
BT
P
Q(BNBB1
BT
P)T
BNB1B BT
PB
N1 BB
BT
BNB1BBT
由协因数传播律，可得：
QLL Q
QXˆXˆ
N 1 BB
BT
PQPBNBB1
N 1 BB
或：Lˆ L V E EVL
QLˆLˆ
(
E
,
E
)
QLL QVL
QLV QVV
所以：Qll QLL Q
间接平差基本向量的关系式为：
(BNB1B BT Q)(PBNB1B BT E) BNB1B BT PBNB1B BT BNB1B BT
L l L0
xˆ
N
1 BB
BT
pl
Q PBNB1BBT Q Q BNB1B BT
V
Bxˆ
l
(
BN
1 BB
BT
P
E)l
0
ˆ
Xˆ
jk k
xˆk 0
ˆ jk
Yˆk
yˆk 0
Yk0
Y
0 j
ˆ jk Yˆj
0
X
0 jk
S0 2 jk
,
ˆ jk Xˆ k
0
Y
0 jk
S0 2 jk
,
ˆ jk Xˆ j
0
(
X
0 k
X
0 j
)
2
1 ( Yk0
Y
0 j
)2
(
X
0 k
Yk0
Y
0 j
X
0 j
)
2
(Yk0
Y
QLL
QZZ
QXˆL QQVLˆLL
QLXˆ QXˆXˆ QVXˆ QLˆXˆ
QLV QXˆV QVV QLˆV
QLLˆ QXˆLˆ
QVLˆ QLˆLˆ
L
或：Z
Xˆ
V
Lˆ
§7.3 精度评定
因为：l L (BX 0 d )
QVV (BNBB1 BT P E)Q(BNBB1 BT P E)T
( yˆk
yˆ j )
令：
li
Li
S
0 jk
vi
X
0 jk
S
0 jk
xˆ j
Y
0 jk
S
0 jk
yˆ j
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆ k
li
三、测边网函数模型
vi
X
0 jk
S
0 jk
xˆ j
Y
0 jk
S
0 jk
yˆ j
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆk li
第七章 间接平差
§7.1 间接平差原理（板书） §7.2 误差方程 §7.3 精度评定 §7.4 间接平差公式汇编
和水准网平差示例
§7.2 误差方程
上节课主要内容回顾：
L
B
Xˆ
d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
t1 t1 t1
Lˆ LV
n1 n1 n1
V B xˆ l (l L (BX 0 d ) L L0 )
BT PV 0
V T PV l T P(Bxˆ l) l T Pl l T PBxˆ
l T PB (BT Pl)T
V T PV l T Pl (BT Pl)T xˆ l T Pl W T xˆ
二、协因数阵的计算
已知：QLL Q 令：Z T LT Xˆ T V T LˆT
则：
n1 nt t1 n1
误差方程— n个V和t个xˆ共n t个未知数
V T PV min
基础方程
V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
BT PV 0
BT PBxˆ BT Pl 0
N BB BT PB,
tt
W BT Pl t1
NBB xˆ W 0
法方程
xˆ (BT PB)1 BT Pl V Bxˆ l
Xˆ X 0 xˆ
L LV
§7.2 误差方程
一、测方向三角网函数模型（不讲） 二、测角网函数模型 三、测边网函数模型 四、拟合模型 五、坐标转换模型
二、测角网函数模型
测角网坐标平差的误差方程
ˆ jh
h
ˆ jk arctan
E E
QLˆLˆ
BN
B 1 T
bb
§7.3 精度评定
三、参数函数的中误差
设参数函数为： ˆ (Xˆ1, Xˆ 2 , , Xˆ t )
取全微分得：
dˆ f1dXˆ1 f2dXˆ 2 ftdXˆ t 或：dˆ f1xˆ1 f2 xˆ2 ft xˆt
由协因数传播律，可得：
Qˆˆ
FTQXˆXˆ F
三、测边网函数模型
三、测边网函数模型
三、测边网函数模型
四、拟合模型
四、拟合模型
五、坐标转换模型
§7.3 精度评定
随机模型：
D
ˆ 02Q
ˆ
2 0
P 1
一、单位权方差的估值公式
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV nt
ˆ0
V T PV nt
V T PV 的简便算法：
V T PV (Bxˆ l)T PV xˆT BT PV l T PV