大一高数试题及解答
大专大一高数试题及答案

大专大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是:A. 1B. -1C. 3D. 1和3答案:D2. 极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)的值是:A. 0B. 4C. 8D. 不存在答案:C3. 以下哪个函数是奇函数:A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = -x答案:B4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 3D. 27答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 微分dy=f'(x)dx表示函数y=f(x)在x处的变化量是______。
答案:f'(x)dx2. 函数y=x^2+1的导数是______。
答案:2x3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是______。
答案:1/34. 函数y=ln(x)的不定积分是______。
答案:xln(x) - x + C三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
答案:首先求导数:y'=3x^2-12x+9令y'=0,解得x=1或x=3。
检查二阶导数:y''=6x-12当x=1时,y''=-6<0,所以x=1是极大值点。
当x=3时,y''=6>0,所以x=3是极小值点。
2. 求曲线y=x^2与直线y=2x-1的交点坐标。
答案:联立方程组:\begin{cases}y = x^2 \\y = 2x - 1\end{cases}解得x^2=2x-1,即x^2-2x+1=0,解得x=1。
将x=1代入任一方程得y=1。
因此交点坐标为(1, 1)。
3. 计算定积分∫(0,2) (2x+3) dx。
答案:∫(0,2) (2x+3) dx = [x^2 + 3x](0,2) = (2^2 + 3*2) - (0^2 + 3*0) = 4 + 6 = 10。
大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 极限的定义中,ε的值可以是()。
A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续,则以下哪项正确?()A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中,收敛的是()。
A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为()。
A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为()。
A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题(每题2分,共10分)6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。
8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。
9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。
10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy,y(0) = 0的通解为 y = _______。
三、计算题(每题10分,共30分)11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。
12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数,并计算在区间[0,1]上的定积分值。
13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。
大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。
2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。
x5.∫─────dx=_____________。
1-x416.limXsin───=___________。
x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。
dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an发散,则级数∑ an _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg── ,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④ ──f(x,y)t2an+1∞9.设an≥0,且lim───── =p,则级数∑an()n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程y'+3xy=6x2y是()①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0② 1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=()D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。
大一高等数学练习题及答案解析

大一高等数学练习题及答案解析 11.2.limx?0xx?.1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y2.3.设函数y?y由方程?1xe?tdt?xdy确定,则dxx?0tfdt?ff?1fx14. 设可导,且,,则f?x??5.微分方程y4y??4y?0的通解为 .二.选择题1.设常数k?0,则函数个; 个; 1个; 0个.2.微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为.y?Acos2x; y?Axcos2x;f?lnx?x?ke在内零点的个数为.y?Axcos2x?Bxsin2x;y?Asin2x..下列结论不一定成立的是.*f?x?dx??f?x?dxc,d?a,bca若,则必有;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有 xba?Taf?x?dx??f?x?dxT;tf?t?dtfx0若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??4. 设1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三.计算题 1 .计算定积分x3e?xdx2.2.计算不定积分xsinxcos5x.xxa,t2处的切线的方程. .求摆线?y?a,在4. 设F??cosdt,求F?.5.设四.应用题 1.求由曲线y?xn?nlimxnn,求n??.x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.222.设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定,试求D绕直线x?旋转一周所生成的旋转体的体积.ta?1,f?a?at在内的驻点为 t. 问a为何值时t最小?并求3. 设最小值.五.证明题设函数f在[0,1]上连续,在内可导且1ff=?1试证明至少存在一点??, 使得f?=1. 一.填空题: 11..limx?x?0e.4e.dy确定,则dxx?0121?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y3.设函数y?y由方程?1e?tdt?x?e?1.12x24. 设f?x?可导,且x1tfdt?f,f?1,则f?x??e2x.5.微分方程y4y??4y?0的通解为y?e二.选择题: .1.设常数k?0,则函数个; 个; 1个; 0个.2.微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为y?Acos2xy; ?Axcos2x; ?y?Axcos2x?Bxsin2x; y?Asin2x.下列结论不一定成立的是f?lnx?x?k内零点的个数为. e 在若?c,da,b?,则必有dcf?x?dx??f?x?dxabb;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有a?Taf?x?dx??f?x?dxT;xtf?t?dtfx0 若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.. 设连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三.计算题: 1.计算定积分?0 解:2x3e?xdx202.2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedttde?t0220-------221??t22?t?te??edt?002?? -------22131e?2?e?te?2022--------22.计算不定积分解:xsinx5cosx.xsinx111?xdx?dx?xd??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx?--------3 x1dtanx44cosx4x113tanx?tanx?C4cos4x1-----------?xa,t2处的切线的方程..求摆线?y?a,在,a)2解:切点为 -------2k?dyasint?s)t??dxt??a即y?x?a.-------24. 设.设F??cosdt22F2xcosxcos. ,则xn?nn?1)?limxnn,求n??.1nilnxn??ln1ni?1n ---------解:n1i1limlnxn?lim?ln??lndx0n??n??nni?1--------------12ln2101?x =------------22ln2?1e?limxne 故 n??=xln10??x1四.应用题 1.求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解:大一高等数学期末考试试卷一、选择题2ex,x0,1. 若f??为连续函数,则a的值为.ax,x01 3-12. 已知f??2,则limh?0f?f的值为.h13-113. 定积分?2?的值为. ?20-2124. 若f在x?x0处不连续,则f在该点处.必不可导一定可导可能可导必无极限二、填空题1.平面上过点,且在任意一点处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. ?dx? . ?113. limx2sinx?01= . x4. y?2x3?3x2的极大值为三、计算题1. 求limx?0xln. sin3x22. 设y?求y?.. 求不定积分?xlndx.4. 求?30?x,x?1,? fdx,其中f??1?cosx?ex?1,x?1.?5. 设函数y?f由方程?edt??costdt?0所确定,求dy. 00ytx6. 设?fdx?sinx2?C,求?fdx.3??7. 求极限lim?1??. n2n?四、解答题1. 设f??1?x,且f?1,求f. n2. 求由曲线y?cosxx??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2??2所得旋转体的体积.3. 求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程.4. 求函数y?x[?5,1]上的最小值和最大值.五、证明题设f??在区间[a,b]上连续,证明bafdx?b?a1b[f?f]??f??dx.2a标准答案一、 1 B; C; D; A.二、 1 y?x?1;2; 0;0.三、 1 解原式?limx?5x5分 x?03x21分2分 x??lxn2d分 ?212x?[lndx2分21?x1?[ln?x2]?C1分解令x?1?t,则分03fdx1fdt 1分122t1??1dt 1分 1?cost1分 ?0?[et?t]1e2e1 1分两边求导得ey?y??cosx?0,分ycosx 1分 ye?cosx 1分 sinx?1cosx?dy?dx分 sinx?1解 ?fdx?12?fd2?C4分3??lim1?解原式=??n2n?322n3?32分 =e2分四、1 解令lnx?t,则x?et,f??1?et, 分 f??dt=t?et?C.2分 ?f?1,?C?0, 分fxex. 1分解 Vx2??2??cosxdx分 ?2202cos2xdx2分 ?解 ?22. 分 6x?1分 y??3x2?6x?24,y令y0,得x?1. 1分当x?1时,y0; 当1?x时,y0,分 ?为拐点, 1分该点处的切线为y?3?21. 分解y??1??2分令y??0,得x3?. 1分435y52.55,y,y1,分 ?4?435y5y最大值为. 分 ?最小值为?4?4五、证明bafdf?分 ab[f]aaf[2xdx分a[2x?df分 bbb[2x?]f?a?2?afdx分[f?f]?2?afdx,分移项即得所证分 bbb大一高数试题及答案一、填空题________ 11.函数y=arcsin√1-x+────── 的定义域为_________ √1-x2_______________。
大一高等数学考卷及答案

专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1.若函数f(x)在x=a处可导,则f'(a)等于()A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中,在x=0处连续但不可导的是()A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增,则f'(x)在I上()A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f'(x)>0,则f(x)在(a,b)内()A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续,且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L,则f(x)在x=a处()A.可导,f'(a)=LB.可导,f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题(每题1分,共5分)1.若函数f(x)在x=a处可导,则f(x)在x=a处一定连续。
()2.若函数f(x)在区间I上单调递增,则f'(x)在I上一定大于0。
()3.若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在I上一定存在零点。
()4.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上一定可积。
()5.若函数f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上一定连续。
()三、填空题(每题1分,共5分)1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。
2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。
3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。
4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。
5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。
四、简答题(每题2分,共10分)1.简述导数的定义。
2.简述连续与可导的关系。
3.简述罗尔定理。
4.简述拉格朗日中值定理。
大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上的单调性是:A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案:A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是:A. 0B. 1C. -1D. ∞答案:B3. 函数f(x)=x^3-3x+1的极值点是:A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案:A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 2D. -2答案:C5. 曲线y=e^x与直线y=ln x的交点个数是:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是________。
答案:-12. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5)的值是________。
答案:03. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的驻点是________。
答案:x=-3或x=14. 曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程是________。
答案:y=x-15. 曲线y=e^x与y=x^2的交点坐标是________。
答案:(0,1)和(1,e)三、计算题(每题10分,共30分)1. 求极限lim(x→0) [(x^2+1)/(x-1)]。
答案:-12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案:极小值点x=1,极小值f(1)=0;极大值点x=3,极大值f(3)=4。
3. 求曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程。
答案:y=-x+1四、证明题(每题15分,共15分)证明:函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
答案:略五、应用题(每题15分,共15分)1. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x)=0.01x^2+0.5x+100,其中x为生产量(单位:千件)。
求该产品的成本最低时的生产量。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷(1)课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:120分钟班级:学号:姓名:得分:一、填空(每小题3分,满分15分)1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A,则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导,且 f(x)。
0,f(0) = 1,f(1) = e,f(2) = e,∫f(2x)dx = 1/2ex,则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x),则 f'(0) = 1二、单项选择(每小题3分,满分15分)1.函数 f(x) = x*sinx,则 B 选项为正确答案,即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 },则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在,答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e)),答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项,即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导,且 f(x) < g(x),则必有 B 选项成立,即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题(每小题7分,共56分)1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定,即 y = 3 - x,因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1],因此 f'(x)。
高数a大一期末考试题简单及答案

高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 极限的定义中,如果对于任意的正数ε,存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε,则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。
以下哪个选项不是极限的定义?A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案:D2. 以下哪个函数是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案:B3. 以下哪个函数是偶函数?A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案:B4. 以下哪个函数在x=0处不可导?A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案:B5. 以下哪个选项是正确的不定积分?A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案:C6. 以下哪个选项是正确的定积分?A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案:B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解?A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案:A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数?A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案:B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用?A. ∫0/0 型不定式,分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式,分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式,分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式,分子分母同时除以分母的导数答案:D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开?A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。
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大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)1.函数 的定义域为______________________。
22111arcsin xx y -+-= 2.函数上点( 0,1 )处的切线方程是______________。
2e x y += 3.设f(X )在可导,且,则0x A (x)f'=hh x f h x f h )3()2(lim000--+→= _____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(x ,y )的切线斜率为2x ,则该曲线的方程是____________。
5._____________。
=-⎰dx xx41 6.__________。
=∞→xx x 1sinlim 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
9.微分方程的阶数为____________。
22233)(3dx y d x dxy d + ∞ ∞10.设级数 ∑ an 发散,则级数 ∑ an _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题。
(1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)1.设函数则f[g(x)]= ( ) x x g xx f -==1)(,1)( ① ② ③ ④xx 11-x 11-x -112.是 ( )11sin +xx ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量3.下列说法正确的是 ( )①若f( X )在 X =Xo 连续, 则f( X )在X =Xo 可导 ②若f( X )在 X =Xo 不可导,则f( X )在X =Xo 不连续 ③若f( X )在 X =Xo 不可微,则f( X )在X =Xo 极限不存在 ④若f( X )在 X =Xo 不连续,则f( X )在X =Xo 不可导 4.若在区间(a,b)内恒有,则在0)(",0)('><x f x f (a,b)内曲线弧y=f(x)为 ( )①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧5.设,则 ( ))(')('x G x F = ① F(X)+G(X) 为常数 ② F(X)-G(X) 为常数 ③ F(X)-G(X) =0 ④⎰⎰=dx x G dxddx x F dxd )()( 1 6.( )=⎰-dx x 11-1① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) ①平行于xoy面的平面 ②平行于oz轴的平面 ③过oz轴的平面 ④直线8.设,则f(tx,ty)yx y x y x y x f tan),(233++==( )① ②),(y x tf),(2y x f t ③ ④ ),(3y x f t ),(12y x tan +1 ∞9.设an ≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an ( ) n→∞ a n=1 ①在p〉1时收敛,p〈1时发散 ②在p≥1时收敛,p〈1时发散 ③在p≤1时收敛,p〉1时发散 ④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程 y'+3xy=6x2y 是 ( ) ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 (二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是 ( ) ①y=ex ②y=x3+1③y=x3cosx ④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a) ②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1) ③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a) ④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X )在 X =Xo 的左右导数存在且相等是f(X )在 X =Xo 可导的 ( )①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim───∫3tgt2dt=()x→0x3 01①0②1③──④∞3xy17.limxysin─────=()x→0x2+y2y→0①0②1③∞④sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()①设y'=p,则y"=p'dp②设y'=p,则y"=───dydp③设y'=p,则y"=p───dy1dp④设y'=p,则y"=─────pdy∞∞19.设幂级数 ∑ an xn 在xo (xo ≠0)收敛, 则 ∑ an xn 在│x│〈│xo│( )n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an 有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ= ( ) D x 1 1 sinx① ∫ dx ∫ ───── dy 0 x x__1 √y sinx② ∫ dy ∫ ─────dx 0 y x __1 √x sinx③ ∫ dx ∫ ─────dy 0 x x __1 √x sinx④ ∫ dy ∫ ─────dx 0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)1.设求 y’ 。
大一高数试卷试题含解答.docx

大一高数试题及解答大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________121.函数y=arcsin√1-x+──────的定义域为_________√1-x2_______________。
2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是 ______________。
f( Xo+2 h)-f( Xo-3 h)3.设f( X)在 Xo 可导且f ' (Xo)=A,则lim───────────────h→o h=_____________ 。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。
x5.∫─────dx=_____________。
1-x416.limXsin───=___________。
x→∞X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)= ____________。
_______R22√R-x8.累次积分∫dx∫f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。
00d3y3d2y9.微分方程───+──(─── )2的阶数为 ____________。
dx3xdx2∞∞10.设级数∑an 发散,则级数∑an _______________。
n=1n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=──,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-──②1+──③ ────④xxx1-x12.x→ 0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X =Xo连续,则f(X)在X=Xo 可导②若f( X )在 X =Xo不可导,则f( X )在 X=Xo 不连续③若f( X )在 X =Xo不可微,则f( X )在 X=Xo 极限不存在④若f( X )在 X =Xo不连续,则f( X )在 X=Xo 不可导4.若在区间(a,b)内恒有f' (x)〈0,f " (x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F '(x)=G'(x),则()①F(X) +G (X)②F(X) -G (X)③F(X) -G (X)为常数为常数=0d④ ──∫F(x)dxd=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg──,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④──f(x,y)t2an+1∞9.设a n≥0,且lim─────=p,则级数∑an()n→∞an=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散210.方程y'+3xy=6xy是①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=e③y=xx3②y=x3+1④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x〈1 x〈2 b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f ' (ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f ' (ζ)(x2-x 1)③f(x 2)-f(x 1)=f'(ζ)(b-a)④f(x 2)-f(x 1)=f'(ζ)(x2-x 1)13.设f( X)在 X =Xo 的左右导数存在且相等是f( X)在 X =Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x 4 4②x 4+c41x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0x301① 0② 1③ ──④ ∞3xy17.limxysin─────=()x→0x 2+y 2y→0③∞① 0②1④sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()①设y ' =p,则y"=p'dp②设y ' =p,则y"=───dydp③设y ' =p,则y"=p───dy1dp④设y ' =p,则y" =─────pdy∞∞n19.设幂级数∑ anx在x(oxo≠0)n收敛,则∑ anx在│x│〈│xo│()n=on=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an 有关sinx20.设D域由y=x,y=x2 所围成,则∫∫ ─────dσ=()Dx11sinx① ∫ dx∫ ───── dy0xx__1√ysinx② ∫ dy∫─────dx0yx__1√xsinx③ ∫ dx∫─────dy0xx__1√xsinx④ ∫ dy∫─────dx0xx三、计算题(每小题5分,共45分)___________y'1.设。
大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列函数中,不是周期函数的是()。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的零点个数是()。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是()。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷大4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3在x = 1处的切线斜率是()。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 以下哪个不是微分方程dy/dx = y/x的解()。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^(-1)D. y = x6. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是()。
A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 17. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的值域是()。
A. [0, 1]B. [1, e]C. [0, e]D. [1, 2]8. 以下哪个是复合函数f(g(x))的导数()。
A. f'(g(x)) * g'(x)B. f(g(x)) * g'(x)C. f'(x) * g'(x)D. f(x) * g'(x)9. 以下哪个是泰勒级数展开的公式()。
A. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nB. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nC. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^nD. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^n10. 以下哪个是拉格朗日中值定理的条件()。
A. f(x) 在区间[a, b]上连续B. f(x) 在区间(a, b)上可导C. f(x) 在区间[a, b]上可导D. f(x) 在区间(a, b)上连续且可导答案:1-5 C B B C A 6-10 B A A D D二、填空题(每题2分,共10分)1. 若f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6,则f'(x) = __________。
大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)=x^2-4x+3,若f(a)=0,则a的值为()。
A. 1B. 3C. -1D. 2答案:B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为()。
A. 0B. 1C. ∞D. -1答案:B3. 若函数f(x)在点x=a处可导,则()。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案:A4. 设数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1,n∈N*,则a_3的值为()。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为______。
答案:1/32. 若矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\],则A 的行列式det(A)为______。
答案:-23. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6,f'(x)=3x^2-12x+11,则f'(1)的值为______。
答案:24. 函数y=ln(x)的反函数为______。
答案:e^y三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12在x=2处的切线方程。
答案:首先计算f'(x)=3x^2-6x+4,代入x=2得到f'(2)=6,然后计算f(2)=0,所以切线方程为y-0=6(x-2),即y=6x-12。
2. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。
答案:该级数为π^2/6。
3. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)的极值点。
答案:首先求导f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2。
然后计算二阶导数f''(x)=6x-6,代入x=0和x=2,得到f''(0)<0,f''(2)>0,所以x=0是极大值点,x=2是极小值点。
大一高数b期末考试试题及答案

大一高数b期末考试试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为:A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为:A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个函数是奇函数:A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为:A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 以下哪个积分是发散的:A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x^2 dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) ln(x) dx6. 以下哪个级数是收敛的:A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1/2+1/4+1/8+1/16+...7. 以下哪个矩阵是可逆的:A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]8. 以下哪个行列式等于0:A. |1 2; 3 4|B. |2 0; 0 2|C. |1 1; 1 1|D. |1 -1; -1 1|9. 以下哪个方程组有唯一解:A. x+y=1x-y=1B. x+y=12x+2y=2C. x+2y=32x+4y=6D. x+y=1x+2y=310. 以下哪个二重积分的计算结果是2π:A. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyB. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyC. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdyD. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdy二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^3-3x的导数为_________。
2. 曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程为y-(-1)=_________(x-2)。
大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)=x^3-3x,求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案:A2. 求极限lim(x→0) (sinx/x) 的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B3. 设曲线y=x^2+1与直线y=2x+3相交于点A和点B,求交点的横坐标。
A. -2, 1B. 1, 2C. -1, 2D. 1, -2答案:C4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 设函数f(x)=x^2-4x+3,求f(2)的值。
答案:-16. 求不定积分∫(1/x) dx。
答案:ln|x|+C7. 设函数f(x)=e^x,求f'(x)的值。
答案:e^x8. 计算定积分∫(0,π) sinx dx。
答案:2三、解答题(每题10分,共60分)9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解:首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11,令f'(x)=0,解得x=1或x=11/3。
当x<1或x>11/3时,f'(x)>0,函数单调递增;当1<x<11/3时,f'(x)<0,函数单调递减。
因此,x=1为极大值点,x=11/3为极小值点。
10. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。
解:首先求导数y'=3x^2-6x,代入x=1得y'|_(x=1)=-3。
切线方程为y-0=-3(x-1),即y=-3x+3。
11. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy,其中D是由x^2+y^2≤4所围成的圆域。
解:将二重积分转换为极坐标系下的形式,即∬D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0,2π) ∫(0,2) (ρ^2) ρ dρ dθ = 8π。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷一、选择题(共12分)2ex,x0,1. (3分)若f(x)为连续函数,则a的值为( ).a x,x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)的值为(). 2h(A)1 (B)3 (C)-1 (D)1 23. (3分)定积分2的值为(). 2(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若f(x)在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)1.(3分)平面上过点(0,1),且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. (3分)(x2x4sinx)dx . 113. (3分) limx2sinx01= . x4. (3分) y2x33x2的极大值为三、计算题(共42分)1. (6分)求limx0xln(15x). sin3x22. (6分)设y求y. 3. (6分)求不定积分xln(1x2)dx.4. (6分)求 30x,x1, f(x1)dx,其中f(x)1cosx ex1,x 1.5. (6分)设函数y f(x)由方程edt costdt0所确定,求dy. 00ytx6. (6分)设f(x)dx sinx2C,求f(2x3)dx.37. (6分)求极限lim1. n2n四、解答题(共28分)1. (7分)设f(lnx)1x,且f(0)1,求f(x). n2. (7分)求由曲线y cosx x与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2 2所得旋转体的体积.3. (7分)求曲线y x33x224x19在拐点处的切线方程.4. (7分)求函数y x[5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设f(x)在区间[a,b]上连续,证明baf(x)dx b a1b[f(a)f(b)](x a)(x b)f(x)dx. 22a 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 y x1; 2 32; 3 0; 4 0. 3三、 1 解原式limx5x 5分 x03x25 1分 32分 2 x lxn2(解lny l2x1212x[2] 4分y2x12x 13 解原式1ln(1x2)d(1x2) 3分 212x[(1x2)ln(1x2)(1x2)dx2分 221x1[(1x2)ln(1x2)x2] C 1分 24 解令x1t,则 2分03f(x)dx1f(t)dt 1分122t11(et1)dt 1分 1cost2 1分0[et t]1e2e 1 1分5 两边求导得ey y cosx0, 2分ycosx 1分 ye cosx 1分 sinx 1cosx dy dx 2分 sinx 16 解f(2x3)dx 12f(2x3)d(2x 2分1sin(2x3)2 C 4分 27 3lim1解原式=n2n322n332 4分 =e 2分四、1 解令lnx t,则x et,f(t)1et, 3分f(t)(1et)dt=t et C. 2分f(0)1,C0, 2分f(x)x ex. 1分2 解 Vx22cosxdx 3分 2202cos2xdx 2分3 解22. 2分6x 6 1分 y3x26x24,y 令y0,得x 1. 1分当x1时,y0; 当1x时,y0, 2分(1,3)为拐点, 1分该点处的切线为y321(x1). 2分 4 解y1 2分令y0,得x3. 1分435y(5)5 2.55,y,y(1)1, 2分4 435y(5)5y最大值为. 分最小值为4 4五、证明ba(x a)(x b)f(x)(x a)(x b)df(x)分 ab[(x a)(x b)f(x)]a af(x)[2x(a b)dx分a[2x(a b)df(x)分 bbb[2x(a b)]f(x)a2af(x)dx分(b a)[f(a)f(b)]2af(x)dx,分移项即得所证分 bbb。
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C. 2(x 1) 2x
D. 2(x 1) x
2.已知 f(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,则 f(x)=( )
A.x+3
B.x-3
C.2x
D.-2x
3. lim ( x ) x ( ) x x 1
A.e
B.e-1
C.
D.1
4.函数 y
x 3 的连续区间是( )
4.若在区间(a,b)内恒有 f ' ( x) 0, f "( x) 0 ,则在
(a,b)内曲线弧y=f(x)为 ( )
①上升的凸弧
②下降的凸弧
③上升的凹弧
④下降的凹弧
5.设 F ' ( x) G' ( x) ,则 ( )
① F(X)+G(X) 为常数 ② F(X)-G(X) 为常数 ③ F(X)-G(X) =0
1.(-1,1)
2.2x-y+1=0
4.y=x2+1
5.
1 2
arctan x 2
c
7.ycos(xy)
3.5A 6.1
π/2 π 8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr
0
0
9.三阶
பைடு நூலகம்
10.发散
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的 ( )内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
B.x5+C
C. 2 x 3 C 3
x5 D.
C
15
13.
8
3
e
x
dx
( )
8
A.0
B. 2
8
3
e
x
大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2,下面哪个选项是其导函数?A. f'(x) = 2x + 3B. f'(x) = 2x + 6C. f'(x) = x^2 + 3x + 2D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 32. 已知函数 f(x) 连续,则 f(x) = 3x 的解集为:A. x ∈ RB. x = 3C. x = 0D. x = -33. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4,求其极值点。
A. (1, 6)B. (-1, -3)C. (0, 4)D. (2, 2)二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。
2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。
三、解答题1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。
2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。
答案解析:一、选择题1. A解析:由 f(x) = x^2 + 3x + 2,对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。
2. A解析:由 f(x) = 3x,函数 f(x) 直接写出,解集为整个实数集 R。
3. B解析:求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3,令 f'(x) = 0 解得 x = -1,代入原函数求得 y = -3,故极值点为 (-1, -3)。
二、计算题1. 首先,通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。
2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2,将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。
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大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。
2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。
x5.∫─────dx=_____________。
1-x416.limXsin───=___________。
x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。
dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an发散,则级数∑ an _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg── ,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④ ──f(x,y)t2an+1∞9.设an≥0,且lim───── =p,则级数∑an()n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程y'+3xy=6x2y是()①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0② 1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③ 设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=()D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。
√ x(x+3)sin(9x2-16)2.求lim─────────── 。
x→4/3 3x-4dx3.计算∫ ─────── 。
(1+ex)2t 1 dy4.设x=∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求─── 。
0 t dx5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。
___6.设u=ex+√y+sinz,求du。
x asinθ7.计算∫ ∫ rsinθdrdθ。
0 0y+18.求微分方程dy=(──── )2dx通解。
x+139.将f(x)=───────── 展成的幂级数。
(1-x)(2+x)四、应用和证明题(共15分)1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度(比例常数为k〉0)求速度与时间的关系。
___ 12.(7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x〉3-── 。
x附:高数(一)参考答案和评分标准一、填空题(每小题1分,共10分)1.(-1,1)2.2x-y+1=03.5A4.y=x2+115.──arctgx2+c26.17.ycos(xy)π/2 π8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr0 09.三阶10.发散二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.②6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③(二)每小题2分,共20分11.④ 12.④ 13.⑤ 14.③ 15.③16.② 17.① 18.③ 19.① 20.②三、计算题(每小题5分,共45分)11.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)](2分)211111──y'=──(────-──-────)(2分)y2x-1xx+3__________1/x-1111y'=── /──────(────-──-────)(1分)2√ x(x+3)x-1xx+318xcos(9x2-16)2.解:原式=lim──────────────── (3分)x→4/3 318(4/3)cos[9(4/3)2-16]=────────────────────── =8(2分)31+ex-ex3.解:原式=∫───────dx(2分)(1+ex)2dxd(1+ex)=∫─────-∫─────── (1分)1+ex(1+ex)21+ex-ex1=∫───────dx+───── (1分)1+ex1+ex1=x-ln(1+ex)+───── +c(1分)1+ex4.解:因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arctgtdt(3分)dy-(sint)arctgtdt所以─── =──────────────── =-tgt(2分)dx(cost)arctgtdt5.解:所求直线的方向数为{1,0,-3}(3分)x-1y-1z-2所求直线方程为────=────=──── (2分)10-3__ __6.解:du=ex +√y + sinzd(x+√y+sinx)(3分)__一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二课程代码:00020一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ,则( )A.x 211-B.x 12- C.x2)1x (2-D.x)1x (2- 2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=( ) A.x+3 B.x-3 C.2x D.-2x 3.=+∞→xx )1x x (lim ( )A.eB.e -1C.∞D.14.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是( )A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,35.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 , , 在x=-1连续,则a=( )A.1B.-1C.2D.06.设y=lnsinx,则dy=( ) A.-cotx dxB.cotx dxC.-tanx dxD.tanx dx7.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x ( )A.0B.1C.lnaD.(lna)n8.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是( ) A.x )x (C B.0x x x)x (C =C.dx)x (dC D.0x x dx )x (dC =9.函数y=e -x -x 在区间(-1,1)内( ) A.单调减小 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减 10.如可微函数f(x)在x 0处取到极大值f(x 0),则( )A.0)x (f 0='B.0)x (f 0>'C.0)x (f 0<'D.)x (f 0'不一定存在11.='+⎰dx )]x (f x )x (f [( ) A.f(x)+C B.⎰dx )x (xf C.xf(x)+CD.⎰+dx )]x (f x [12.设f(x)的一个原函数是x 2,则⎰=dx )x (xf ( ) A.C 3x 3+ B.x 5+C C.C x 323+D.C 15x 5+ 13.⎰-=88xdx e3( ) A.0B.dx e28x3⎰C.⎰-22xdx eD.⎰-22x 2dx e x 314.下列广义积分中,发散的是( )A.⎰10x dxB.⎰10x dxC.⎰103xdx D.⎰-1x1dx15.满足下述何条件,级数∑∞=1n nU一定收敛( )A.有界∑=n1i iUB.0U lim n n =∞→C.1r U Ulim n1n n <=+∞→ D.∑∞=1n n|U|收敛16.幂级数∑∞=-1n n)1x (的收敛区间是( )A.(]2,0B.(0,2)C.[)2,0D.(-1,1)17.设yx 2ez -=,则=∂∂yz( ) A.yx 2e-B.yx 222ey x-C.yx 2e yx 2--D.yx 2e y1--18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2) 19.=⎰⎰π≤≤π≤≤2y 02x 0ydxdy cos x cos ( )A.0B.1C.-1D.220.微分方程x sin 1dxdy+=满足初始条件y(0)=2的特解是( ) A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3二、简单计算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)21.求极限 .1n )n 3n (l i mn --+∞→ 22.设).1(y ,x y x1'=求23.求不定积分⎰+.dx xcos x sin 1x2cos24.求函数z=ln(1+x 2+y 2)当x=1,y=2时的全微分. 25.用级数的敛散定义判定级数∑∞=++1n .1n n 1的敛散性三、计算题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)26.设.y zy x z x,)u (F ,x y u ),u (xF xy z ∂∂+∂∂=+=求为可导函数 27.计算定积分 I ⎰=21.dx x ln x28.计算二重积分dxdy )y x cos(I D22⎰⎰+=,其中D 是由x 轴和2x 2y -π=所围成的闭区域.29.求微分方程0e y dxdyxx =-+满足初始条件y(1)=e 的特解. 四、应用题(本大题共2小题,每小题8分,共16分) 30.已知某厂生产x 件某产品的成本为C=25000+200x+ 问.x 4012(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线x y =,直线x+y=6和 10.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 11.函数f (x )=x 2e -x 的单调增加区间为______________. 12.不定积分⎰+32d x x=__________________.13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(,则f (x )=________________.14.微分方程x d y -y d x =2d y 的通解为____________________.15.设z=x e xy,则yx z∂∂∂2=______________________.三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)16.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤+>-0130e x x x k x 在x =0处连续,试求常数k . 17.求函数f(x)=x x2sin e +x arctan x 的导数. 18.求极限xx x x x sin e lim 20-→.19.计算定积分⎰π202d 2sin x x .20.求不定积分⎰++211x x d x .四、计算题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分) 21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0,2]上的最大值和最小值. 22.已知f (3x +2)=2x e -3x ,计算⎰52d )(x x f .23.计算二重积分⎰⎰Dy x y x d d 2,其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.五、应用题(本大题9分)24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ,其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体(如图).问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大?21 -3/222 -e^-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t^2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) e^(4x)三四一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二21 -3/222 -e^-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t^2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三四。