建立函数模型的常用方法
如何根据实际问题建立函数模型
如何根据实际问题建立函数模型建立函数模型是解决实际问题中常用的一种数学工具，它能够将变量之间的关系进行抽象和表达，为问题的分析和求解提供有效的途径。
在本文中，将介绍如何根据实际问题建立函数模型，并通过具体案例加以说明。
一、实际问题的分析在建立函数模型之前，我们首先需要对实际问题进行全面的分析和理解。
这包括确定问题的背景、目标和限制条件，明确需要研究和求解的主要变量，以及它们之间的关系等。
二、确定函数的自变量和因变量在建立函数模型时，需要确定函数的自变量和因变量。
自变量是指在问题中可以独立变化的变量，而因变量是自变量变化所导致的结果。
通过明确自变量和因变量，可以为函数模型的建立提供基础。
三、收集数据和观察现象为了建立准确的函数模型，需要收集数据并观察现象。
通过实验、调查或者观察等手段获取数据，并对数据进行整理和分析，以揭示自变量和因变量之间的关系。
这有助于形成初步的函数模型。
四、选择函数类型和形式根据实际问题的特点和需求，选择合适的函数类型和形式。
常见的函数类型包括线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等。
根据数据和观察结果，选择适当的函数形式，并进行函数参数的估计。
五、建立函数模型在确定函数类型和形式之后，根据问题分析和数据观察结果，可以建立函数模型。
函数模型是问题分析和数据处理的产物，它能够简洁、准确地表达变量之间的关系。
六、模型的验证和修正建立函数模型之后，需要对模型进行验证和修正。
使用模型对新的数据进行拟合和预测，并与实际观测结果进行比较，以评估模型的准确性和适用性。
如果模型存在偏差或误差，可以考虑对模型进行调整和修正，以提高模型的精确度和适应性。
七、模型的应用和分析建立准确的函数模型之后，可以将其应用于实际问题的求解和分析中。
通过模型的分析和计算，可以获得对问题的深入理解和洞察，为问题的解决提供有力的支持和指导。
八、模型的优化和改进建立的函数模型可能存在不足之处，可以根据问题的需求和模型的应用，对模型进行优化和改进。
tensorflow构建模型的四种方法
Tensorflow构建模型四种方法1.使用现有的预训练模型一种是线下训练，然后保存模型，线上加载运行。
就是常规的模型部署。
一种是使用别人训练好共享出来的模型，加载到自己的业务场景中，适应性调整参数。
这个过程美其名曰：迁移学习。
如VGG16网络等。
from tensorflow.keras.applications import MobileNetV2#使用Mobile netV2网络，input_shape是单张图片输入尺寸#classes是分类数量base=MobileNetV2(include_top=False,pooling='max',weights="imagenet",input_shape=(100,100,3),classes=12) 2.keras.sequential模式就是将各个层按照特定顺序堆叠起来，灵活性差，它不能表示任意的神经网络结构，无法对中间计算得到的变量进行个性化的操作。
import tensorflow as tfmodel = tf.keras.models.Sequential()#需要加什么层，直接加就行model.add(yers.Flatten())#展平层model.add(yers.Dense(900,activation='relu6'))#全连接层model.add(yers.Dropout(0.3))#删除层model.add(yers.Dense(360,activation='relu6',kernel_regular izer=tf.keras.regularizers.l2(0.1)))model.add(yers.Dropout(0.3))model.add(yers.Dense(100,activation='relu6',kernel_regular izer=tf.keras.regularizers.l2(0.1)))model.add(yers.Dense(12, activation='softmax'))3.FunctionalAPI函数建立模型（最常用，可构建复杂网络）这种方式就是各个层都是一个函数，有明确的输入和输出，可以对输入和输出进行个性化的操作后，送入下一层，也可以复用。
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
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已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
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1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
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数学建模方法大汇总
数学建模方法大汇总数学建模是数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。
在数学建模中，常用的方法有很多种，下面将对常见的数学建模方法进行大汇总。
1.描述性统计法：通过总结、归纳和分析数据来描述现象和问题，常用的统计学方法有平均值、标准差、频率分布等。
2.数据拟合法：通过寻找最佳拟合曲线或函数来描述和预测数据的规律，常用的方法有最小二乘法、非线性优化等。
3.数理统计法：通过样本数据对总体参数进行估计和推断，常用的方法有参数估计、假设检验、方差分析等。
4.线性规划法：建立线性模型，通过线性规划方法求解最优解，常用的方法有单纯形法、对偶理论等。
5.整数规划法：在线性规划的基础上考虑决策变量为整数或约束条件为整数的情况，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
6.动态规划法：通过递推关系和最优子结构性质建立动态规划模型，通过计算子问题的最优解来求解原问题的最优解，常用的方法有最短路径算法、最优二叉查找树等。
7.图论方法：通过图的模型来描述和求解问题，常用的方法有最小生成树、最短路径、网络流等。
8.模糊数学法：通过模糊集合和隶属函数来描述问题，常用的方法有模糊综合评价、模糊决策等。
9.随机过程法：通过概率论和随机过程来描述和求解问题，常用的方法有马尔可夫过程、排队论等。
10.模拟仿真法：通过构建系统的数学模型，并使用计算机进行模拟和仿真来分析问题，常用的方法有蒙特卡洛方法、事件驱动仿真等。
11.统计回归分析法：通过建立自变量与因变量之间的关系来分析问题，常用的方法有线性回归、非线性回归等。
12.优化方法：通过求解函数的最大值或最小值来求解问题，常用的方法有迭代法、梯度下降法、遗传算法等。
13.系统动力学方法：通过建立动力学模型来分析系统的演化过程，常用的方法有积分方程、差分方程等。
14.图像处理方法：通过数学模型和算法来处理和分析图像，常用的方法有小波变换、边缘检测等。
15.知识图谱方法：通过构建知识图谱来描述和分析知识之间的关系，常用的方法有图论、语义分析等。
数学模型的建立
数学模型的建立引言数学模型是将现实世界中的实际问题转化为数学形式的表示。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析问题，并提供解决方案。
本文将讨论数学模型的基本概念、建立过程以及一些常用的建模方法。
数学模型的基本概念数学模型是一种以数学符号和方程组的形式来描述现实问题的工具。
它由变量、参数、约束条件和目标函数组成。
变量表示问题中的待求量，参数表示问题中的已知量，约束条件表示问题中的限制条件，目标函数表示问题中的目标。
数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下几个步骤：1. 研究问题：首先，我们需要深入研究和了解问题的背景和相关知识，明确问题的目标和要求。
2. 定义变量和参数：根据问题的特点，我们需要定义适当的变量和参数来表示问题中的各个要素。
3. 建立方程或不等式：根据问题的描述和已知条件，我们可以建立方程或不等式来描述问题中的关系。
4. 添加约束条件：将问题中的限制条件加入到模型中，确保模型的可行性和准确性。
5. 确定目标函数：根据问题的目标，确定一个合适的目标函数，以便我们可以通过最大化或最小化目标函数来求解问题。
6. 解模型并验证：使用合适的数学工具和方法求解模型，并验证模型的解是否符合实际情况。
常用的建模方法建立数学模型的方法多种多样，常见的建模方法包括：- 数理统计方法：通过收集和分析数据，利用统计学方法建立数学模型。
- 最优化方法：使用最优化理论和方法，通过最大化或最小化目标函数来建立模型。
- 离散事件模拟方法：将连续事件转化为离散事件，使用模拟技术来解决问题。
- 动态系统建模方法：将问题描述为动态系统，通过建立微分方程和差分方程来建模。
- 概率模型方法：通过概率论的知识，建立和分析随机现象的数学模型。
结论数学模型的建立是解决实际问题的重要工具。
通过合理的建模方法和技巧，我们可以更好地理解问题，并提供有效的解决方案。
不同的问题需要选择适合的建模方法，根据实际情况进行灵活应用。
建立数学模型需要综合运用数学、统计学和实际领域的知识，从多个角度综合分析问题，得出准确的结果。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
用matlab建立传递函数模型
用matlab建立传递函数模型用MATLAB建立传递函数模型在现代控制系统中，传递函数模型是一种常用的数学模型，用于描述信号在系统中的传递过程。
传递函数模型可以帮助我们理解和分析系统的动态特性，并为控制系统的设计和优化提供基础。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB建立传递函数模型，并展示其在实际应用中的一些例子。
让我们明确传递函数的定义。
传递函数是输入和输出之间的关系，通常用分子多项式和分母多项式的比值来表示。
在MATLAB中，可以使用tf函数来创建传递函数对象。
例如，创建一个传递函数模型为G(s) = (s+1)/(s^2+2s+1)的对象，可以使用以下代码：G = tf([1 1],[1 2 1]);在这个例子中，分子多项式的系数为[1 1]，分母多项式的系数为[1 2 1]。
tf函数会自动将这些系数转换为传递函数对象。
有了传递函数对象后，我们可以使用MATLAB的控制系统工具箱来进行各种分析和设计。
例如，我们可以使用step函数来绘制系统的单位阶跃响应曲线。
以下是一个绘制传递函数对象G的单位阶跃响应曲线的例子：step(G);除了绘制单位阶跃响应曲线外，MATLAB还提供了许多其他功能来分析和设计控制系统。
例如，我们可以使用bode函数来绘制系统的频率响应曲线，使用nyquist函数来绘制系统的奈奎斯特曲线，使用margin函数来计算系统的增益裕度和相位裕度等。
这些功能都可以帮助我们更好地理解和优化控制系统。
除了基本的传递函数模型外，MATLAB还支持复杂的系统建模和分析。
例如，我们可以使用串联、并联和反馈等操作来组合多个传递函数模型，以建立更复杂的系统模型。
此外，MATLAB还支持离散系统建模和分析，以及状态空间模型的建立和分析。
除了传递函数模型外，MATLAB还提供了其他类型的数学模型和工具，以满足不同的应用需求。
例如，MATLAB的神经网络工具箱可以用于建立和训练神经网络模型，MATLAB的图像处理工具箱可以用于图像处理和分析等。
建立数学模型的方法步骤特点及分类
建立数学模型的方法步骤特点及分类方法：1.归纳法：通过观察和分析问题的特点，总结规律，建立数学模型。
这种方法适用于一些具有规律性的问题。
2.拟合法：通过收集和分析实际数据，找到数据之间的关系，并用数学函数来拟合数据，建立数学模型。
这种方法常用于实际问题中的数据分析和预测。
3.分析法：通过对问题进行分析，找出问题的关键因素和数学关系，建立数学模型。
这种方法适用于复杂和抽象的问题。
步骤：1.确定问题：明确问题的背景、条件和目标。
2.收集数据：收集相关的实际数据，了解问题的现状。
3.建立假设：对问题进行分析，提出一些可能的假设。
4.建立模型：根据问题的性质和假设，选择合适的数学方法和函数，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
5.求解模型：通过数学计算和推理，解决建立的数学模型，得出结论。
6.模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较和分析，检验模型的准确性和可靠性。
7.结果解释：将模型的结果解释给决策者或用户，提供对问题的认识和决策依据。
特点：1.抽象性：数学模型对实际问题进行了抽象和简化，从而能够更好地描述和解决问题。
2.精确性：数学模型具有精确的语言和推理，能够给出准确的数值结果。
3.可行性：数学模型能够通过计算和推理得出结果，帮助解决实际问题。
4.替代性：数学模型可以替代实验或观测，节省时间和成本。
分类：1.数量模型：用数学表达式和符号来描述问题的数量关系，包括线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等。
2.质量模型：用数学方法描述问题的质量关系，包括概率模型、统计模型、优化模型等。
3.动态模型：描述问题随时间变化的规律和趋势，包括微分方程模型、差分方程模型、随机过程模型等。
4.静态模型：描述问题的状态和平衡点，包括线性规划模型、非线性规划模型、输入输出模型等。
总之，建立数学模型是解决实际问题的重要方法之一、根据问题的性质和要求，选择合适的建模方法和模型类型，通过建立、求解和验证数学模型，可以得出有关问题的结论和解决方案。
数学建模方法详解
数学建模方法详解数学建模是指利用数学方法来研究和分析实际问题，并通过构建数学模型来描述和解决这些问题的过程。
数学建模具有很高的理论性和广泛的应用性，可以应用于科学、工程、经济等众多领域。
下面详细介绍几种常用的数学建模方法。
一、优化建模方法优化建模方法是指在给定的约束条件下，寻求其中一种目标函数的最优解。
该方法常用于生产、运输、资源分配等问题的优化调度。
优化建模的一般步骤包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件、制定求解算法以及分析和验证最优解。
二、动力系统建模方法动力系统建模方法是指将实际问题转化为一组微分方程或差分方程，研究系统在时间上的演化规律。
该方法可以用于描述和预测物理、生物、经济等多个领域的系统行为。
动力系统建模的关键在于建立正确的微分方程或差分方程，并选择合适的求解方法。
三、决策分析建模方法决策分析建模方法是指将决策问题转化为数学模型，并采用数学方法进行决策分析和评估。
该方法常用于风险管理、投资决策、供应链管理等领域。
决策分析建模的关键在于准确描述决策者的目标和偏好，并选择合适的决策规则进行决策分析。
四、统计建模方法统计建模方法是指利用统计学理论和方法来描述和分析实际问题。
该方法多用于数据分析、预测和模式识别等领域。
统计建模的过程包括收集数据、建立概率模型、估计模型参数以及进行模型检验和应用。
五、图论建模方法图论建模方法是指利用图论的理论和方法来描述和分析网络结构和关联关系。
该方法常用于社交网络分析、路径规划、电力网络优化等领域。
图论建模的关键在于构建网络模型，并选择适当的图算法进行分析和优化。
六、随机模型建模方法随机模型建模方法是指利用随机过程和概率论的理论和方法来描述和分析随机现象。
该方法常用于金融风险管理、信号处理、系统可靠性评估等领域。
随机模型建模的关键在于建立正确的随机过程模型，并进行概率分布和随机变量的分析。
七、模拟建模方法模拟建模方法是指利用计算机仿真技术来模拟和分析实际问题。
数学模型的建立过程
数学模型方法函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，对数学模型方法作一简述．数学模型方法（Mathematical Modeling)称为MM方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法．一、数学模型的含义数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机．二、数学模型的建立过程建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下：表述根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来．这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型．求解选择适当的方法，求得数学模型的解答．解释数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答．验证检验解答的正确性．例如,哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如图1所示．18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于1736年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图2所示．CB图1 图2人们步行七桥问题，就相当于图2的一笔画问题，即能否将图2所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质．哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如图2所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的．数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题．三、模型的建立研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；(2) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明定义域．例 重力为P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成α角的拉力F ，使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力F 与角α之间的函数模型（图3）．解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力αsin F P -成正比的（设摩擦系数为μ），故有)sin (cos αμαF P F -=,即 αμαμsin cos +=P F （0°<α<90°）建立函数模型是一个比较灵活的问题， 无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握． 图3四、数学建模方法数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）．数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段．常用的数学建模方法如下：（一） 机理分析法 从基本理论以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法1. 比例分析法 —— 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式．5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律．（二） 数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法1. 回归分析法——用于对函数()f x 的一组观测值(,())(1,2,)i i x f x i n ，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法．2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法．(三)仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验．① 离散系统仿真——有一组状态变量．② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图．2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构．3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统．五、几个数学模型1.如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到未来某个时期全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿．你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果．建立模型的目的: 在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求人口X (t )的变化规律，用它描述人口的发展状况．先看一种最简单的计算方法．要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的．记今年人口为x 0，k 年后人口为x k ，年增长率为r ，则预报公式为x k ＝x 0(1+r )k显然，这个公式的基本前提是年增长率r 保持不变．这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办?历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题．早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，其中最简单的有两种.2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)英国人口学家马尔萨斯(Malthus l766—1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型．这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比． 记时刻t 的人口为x (t )，初始时刻(t ＝0)的人口为x 0，人口增长率为r ，r 是单位时间内x x (t )的增量与x (t )的比例系数．根据r 是常数的基本假设，t 到t+Δt 时间内人口增量为x (t+Δt ))(t x - = r x (t )Δt于是x (t )满足如下的微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx 由这个线性常系数微分方程容易解出rt e x t x 0)(=表明人口将按指数规律无限增长(r ＞0)．将t 以年为单位离散化，人口以re 为公比的等比数列增长．因为这时r 表示年增长率，通常r <<1，所以可用近似关系r e r +≈1,那么 tr x t x )1()(0+≈可见,前面给出的预报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示．由rt e x t x 0)(= 给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意．但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异．显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率r 估计过高．人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型．产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点．看来为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了．3.阻滞增长模型(Logistic 模型)将增长率r 表示为人口x (t )的函数r (t ) (即增长率相对于固定的人口数x 来说是常数),按照前面的分析r (x )应是x 的减函数．一个最简单的假定是设r (x )为x 的线性函数r (x )= r –sx ， s ＞0，这里r 相当于x=0时的增长率，称固有增长率． 它与指数模型中的增长率r 不同(虽然用了相同的符号)．显然对于任意的x ＞0，增长率r (x )＜r ．为了确定系数s ，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x m ，称最大人口容量．当x=x m 时增长率应为零，即r (x m )＝0，由此确定出s .人口增长率函数r (x )可以表为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)(其中r 、x m 是根据人口统计数据或经验确定的常数．因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x x 1体现了对人口增长的阻滞作用． 在此的假设下,指数增长模型应修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0)0(1 x x x x x r dt dx m 称为阻滞增长模型．此非线性微分方程可用分离变量法求解,结果为rtm me x x x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(其阻滞增长模型x (t )的曲线如图本世纪初人们曾用这个模型预报美国的人口．直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合．后来的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量x m ．由此看来，这个模型的缺点之一是x m 不易准确地得到．事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变，x m 也是可以改变的．4. 随机性人口模型上面讨论的人口模型都是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口．但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测．之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理．如果研究对象是一个自然村落或一个家族的人口，数量不大、需作为离散变量看待时，就要利用随机性人口模型来描述其变化过程了.时刻t 的人口用随机变量)(t X 表示，)(t X 只取整数值．记)(t P n 为n t X =)(的概率，=n 0,1,2,…，下面要在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求)(t P n 的变化规律，并由此得出人口)(t X 的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况．模型假设 若n t X =)(，对人口在t 到t t ∆+的出生和死亡作如下假设(t ∆很小)：1．出生一人的概率与t ∆成正比，记作t b n ∆；出生二人及二人以上的概率为)(t o ∆．2．死亡一人的概率与t ∆成正比，记作t d n ∆；死亡二人及二人以上的概率为)(t o ∆．3．出生与死亡是相互独立的随机事件．4．进一步设n b 和n d 均与n 成正比，记n b n λ=，n d n μ=，λ和μ分别是单位时间内1=n 时一个人出生和死亡的概率.建模与求解 为了得到)(t P n 的方程，考察随机事件n t t X =∆+)(．根据假设1—3，与出生或死亡一人的概率相比、出生或死亡二人及二人以上的概率，出生一人且死亡一人的概率均可忽略．这样，n t t X =∆+)(可以分解为仅仅三个互不相容的事件之和：1)(-=n t X 且t ∆内出生一人,其概率为t b n ∆；1)(+=n t X 且t ∆内死亡一人，其概率为t d n ∆；n t X =)( 且t ∆内人口未变，其概率为P {人口未变}=1-P{人口增加或减少1人}=t d t b n n ∆-∆-1．按照全概率公式有P {时刻t t ∆+有n 个人}=P {t ∆增加1人}P{时刻t 有n-1个人}+P {t ∆减少1人}P{时刻t 有n+1个人}+P {t ∆人口未变}P{时刻t 有n 个人}.即)1)(()()()(111t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆++-- (1)即)()()()()()(111t P d b d t P b t P tt P t t P n n n n n n n n n +-+=∆-∆++--令0→∆t ，可得关于)(t P n 的微分方程：)()()()(1111t P d b t P d t P b dtdP n n n n n n n n +-+=++-- (2) 特别地，在假设4(n b n λ=，n d n μ=)下方程为)()()()1()()1(11t nP t P n t P n dtdP n n n n μλμλ+-++-=+- (3) 若初始时刻(0=t )人口为确定数量0n ，则)(t P n 的初始条件为⎩⎨⎧≠==. ,0, ,1)0(00n n n n P n (4) (3)式对于不同的n 是一组递推方程，在条件(4)下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果．幸而，通常人们对(3)式的解)(t P n 并不关心，感兴趣的只是)(t X 的期望)}({t X E .以下简记期望)(t E )}({t X E =, 0)0(n E =,方差)(t D )}({t X D =. 0)0(=D .而它们可以由(3)、(4)直接得到，因为按照定义，∑∞==1)()(n n t nP t E (5)对(5)求导并将(3)代人得∑∑∑∞=∞=+∞=-+-++-=121111)()()()1()()1(n n n n n n t P n t P n n t P n n dt dE μλμλ (6) 注意到∑∑∑∞=∞=∞=-+=+=-1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n ∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=+1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n 代入(6)式 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=+--++=11211)()()()()()1()()1(n n n n n n n n t nP t P n t P n n t P n n dt dE μλμλμλ 利用(5)式，则有)()()()(1t E t nP dt dE n n μλμλ-=-=∑∞= (7) 由于0)0(n E = (8)显然，方程(7)在(8)下的解为rt t e n e n t E 0)(0)(==-μλ,μλ-=r . (9)这个结果与1.4节(3)式表示的指数模型rt e x t x 0)(= (10)形式上完全一致．从含义上看，随机性模型(9)中出生概率λ与死亡概率μ之差r 可称为净增长概率,人口的期望值)(t E 呈指数增长．在人口数量很多的情况下如果将r 视为平均意义上的净增长率，那么)(t E 就可以看成确定性模型(10)中的人口总数)(t x 了。
解决实际问题的函数模型建立
解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。
函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。
本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。
一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。
它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。
举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。
二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。
非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。
以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。
通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。
三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。
它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。
以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。
通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。
四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。
它用于分析风险、预测概率等实际问题。
以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。
通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。
快速掌握有理函数和无理函数的方法
快速掌握有理函数和无理函数的方法在学习高中数学的过程中，有理函数和无理函数是两个比较重要的概念。
掌握有理函数和无理函数的方法，能够帮助我们更好地理解和应用这两类函数，为解题提供便利。
本文将介绍有理函数和无理函数的定义、常见的解题方法以及应用技巧，以帮助读者快速掌握这两类函数。
一、有理函数的方法有理函数是指由整式函数构成的函数。
具体来说，有理函数可以表示为多项式函数的商函数。
在求解有理函数的问题时，我们可以运用以下方法：1. 分式分解法分式分解法是求解有理函数的常用方法，它将复杂的有理函数分解为更简单的部分。
通过对多项式的因式分解，我们可以将有理函数表示为更容易处理的形式。
这样，我们就能够更方便地计算函数的零点、极限等重要性质。
2. 带余除法在求解有理函数的除法问题时，带余除法是一种常用的方法。
它可以将一个多项式除以另一个多项式，并得到商多项式和余式。
通过带余除法，我们可以找到有理函数的部分分式表达式，以便进行后续计算和运算。
3. 零点与极限的求解在分析有理函数的性质时，我们常常需要求解函数的零点和极限。
有理函数的零点是使得函数取零值的值，而函数的极限则是在某个趋近过程中函数的趋向值。
通过求解有理函数的零点和极限，我们可以了解函数的图像走势、特征和性质。
二、无理函数的方法无理函数是指不能写成有理函数形式的函数。
它包括开方函数、幂函数和指数函数等。
在解题时，我们可以采取以下方法：1. 简化与化归对于复杂的无理函数，我们可以通过简化与化归的方法，将其转化为更为简单的形式。
例如，对于涉及到无理数的无理函数，我们可以尝试化为无理数的常用形式，如√2、√3等。
2. 近似与逼近有时候，我们难以找到无理函数的确切值，但可以通过逼近的方法找到较为接近的近似值。
这种方法常用于解决无理函数的图像绘制、数值计算和实际应用问题等。
3. 求导与积分在计算无理函数的导数与积分时，我们可以借助导数和积分的性质，运用基本公式和方法进行求解。
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
常用数学建模方法数学建模方法的流程图
常用数学建模方法数学建模方法的流程图数学建模少见微积分方法以及常见题型核心提示：数学建模方法一、机理分析法从基本磁学物理定律以及系统内的结构数据来推导出模型 1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研的重要分析方法，对社会学和经济学等教育领域领域的实际缺陷，在决策，对策等重新得到学科中曾得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立" 瞬时变化率" 的表达式。
5. 偏微分方程--逐步解决因变量与两个以上自数学建模方法一、机理分析法以及基本物理定律从系统的结构数据来推导出模型1. 比例分析法--建立变量之间函数隔阂的最基本最常用的方法。
2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研的关键性方法，人类学对社会学和经济学等领域的实际难题，在决策，对策等学科中所得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的癸日变化规律，关键是建立" 瞬时变化率" 的表达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与四个以上自变量之间的变化规律。
二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型1. 回归分析法--用于对函数f （x ）的一组观测值（xi,fi ）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立资料，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为原核细胞统计方法。
3. 回归分析法--用于对函数f （x ）的一组观测值（xi,fi ）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理统合的是静态的分立数据，故称为数理统计方法。
4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计数据方法。
三、仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。
高中数学学习中的数学模型构建方法
高中数学学习中的数学模型构建方法在高中数学学习中，数学模型构建是一个重要的环节。
数学模型是将实际问题转化为数学语言的一种工具，通过建立模型，可以更好地理解和解决实际问题。
本文将介绍一些常用的数学模型构建方法，以帮助高中生在数学学习中更好地运用模型。
一、函数模型构建方法函数模型是数学模型中最常见也是最基础的一种形式。
构建函数模型时，可以根据实际问题中所涉及的变量关系，选择合适的数学函数来表达。
以下是一些常见的函数模型构建方法：1. 线性函数模型：当实际问题中的变量之间呈现线性关系时，可以使用线性函数模型来描述。
线性函数的形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示直线的斜率和截距。
2. 指数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现指数增长或递减的特点时，可以使用指数函数模型来描述。
指数函数的形式为 y = a^x，其中 a 是常数，x 表示自变量。
3. 对数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现对数关系时，可以使用对数函数模型来描述。
对数函数的形式为 y = loga(x)，其中 a 是底数，x 表示自变量。
二、统计模型构建方法统计模型是一种通过数据分析来建立的模型。
在高中数学学习中，常常需要根据给定的数据，建立统计模型来进行预测或者推断。
以下是一些常见的统计模型构建方法：1. 线性回归模型：线性回归是一种常用的统计方法，通过分析自变量和因变量的线性关系，建立一个拟合程度较高的线性模型。
线性回归模型的表达形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示回归系数和截距。
2. logistic 回归模型：logistic 回归模型是一种常用的分类模型，在二分类问题中应用较为广泛。
logistic 回归模型通过分析自变量和因变量之间的关系，给出了一个概率值，用于判断样本属于哪一类。
三、几何模型构建方法几何模型是一种通过几何图形来表示实际问题的数学模型。
在高中几何学中，常常需要根据给定的条件，建立相应的几何模型来求解问题。
二次函数的模型建立与解决实际问题
二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。
本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。
一、二次函数的基本形式二次函数一般可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中，a不等于0，否则称为一次函数。
二次函数的图像一般是一个抛物线。
二、二次函数的模型建立方法建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。
常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。
下面以几个具体的例子来说明。
例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + cy2 = ax2^2 + bx2 + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：c = a * 0^2 + b * 0 + c0 = a * x^2 + b * x + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。
由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
三、利用二次函数解决实际问题二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。
在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。
在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。
数学建模中的主要方法和应用
数学建模中的主要方法和应用数学建模是当今现代科学技术发展中的重要组成部分，它将数学方法、计算机技术与实际问题结合，通过数学模型建立、分析和求解实际问题，为人类社会的发展提供了巨大的支持和帮助。
数学建模方法丰富多彩，如最优化方法、微分方程模型、图论模型和随机过程模型等，其中最常用的是最优化方法和微分方程模型。
下面将从理论和实践两个方面展开介绍，重点讲述数学建模中最常用的方法及其应用。
一、最优化方法最优化方法是数学建模中应用广泛的一种方法，它是求解优化问题的一类数学算法。
在数学建模中，最优化方法的应用范围非常广泛，可以用于优化问题的建模与求解，如在工业生产中，我们需要在保证质量的前提下尽量节约原材料和能源，这时就可以采用最优化方法建立优化模型。
最优化方法按不同的算法分类，可以分为线性规划、非线性规划和动态规划等，其中线性规划是最为常见和基础的一种方法。
线性规划的求解一般采用单纯形法，通过计算确定最优解。
非线性规划是线性规划的扩展，它是求解目标函数不是线性函数的规划问题。
非线性规划的求解方法有牛顿法和梯度下降法等，这些方法都需要利用微积分的基础知识。
对于一个复杂的优化问题，在建立模型的过程中，最关键的就是确定目标函数。
一个好的目标函数需要具备可行性、一致性、可表达性和可求解性等特点。
在具体求解过程中，还需要对目标函数进行求导，确定优化点，并验证该点是否为全局最优解。
二、微分方程模型微分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它是利用微积分的基础知识建立模型，解决与时间有关的问题。
在实际生活中，许多问题都与时间有关，如人口增长、物种灭绝、气候变化等，这些问题的变化过程都可以通过微分方程模型进行描述和分析。
微分方程模型按不同级别分类，可以分为一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程等，其中最为常用的是一阶微分方程。
一阶微分方程是指微分方程中未知函数的导数最高次数为一的情况，它可以描述很多与时间相关的变化问题。
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法有以下几种常用的方法：
1. 数学优化模型：通过建立一个目标函数和一系列约束条件来描述问题，并利用数学优化方法寻找使目标函数最优的解。
2. 方程模型：将问题转化为一组方程或不等式，利用数学方法求解得到结果。
3. 统计模型：基于一定的统计原理和假设，利用统计方法来分析和预测数据、进行参数估计和假设检验等。
4. 动态模型：将问题看作是一个动态的过程，并建立一套描述系统演化过程的方程组，以预测未来状态和行为。
5. 分段模型：将系统划分为多个不同的阶段或状态，并对每个阶段或状态建立适当的模型，再通过合并各个模型的结果来得到整体的解析。
6. 离散模型：将问题中的连续变量离散化为一组有限的状态或取值，并用状态转移矩阵或概率分布描述变量之间的关系和演化规律。
7. 系统动力学模型：基于对系统结构和行为的理解，建立一系列动态方程来描述系统各种因素之间的相互作用和演化过程。
8. 随机过程模型：用概率论和随机过程理论来描述系统的不确定性和随机性，并对系统的平均行为和波动性进行分析和预测。
以上仅是一些常用的数学建模方法，实际建模过程中可以根据具体问题的特点选择合适的建模方法，或者结合多种方法进行综合建模。
实际问题中的函数模型
实际问题中的函数模型随着经济和科技的快速发展，越来越多的实际问题需要运用数学模型进行解决。
而函数模型，作为数学模型中的一种，正是被广泛运用于各种实际问题中的。
本文将阐述几个实际问题中的函数模型，并探讨如何建立这些函数模型以及其应用。
一、收益函数模型在市场经济环境下，各类企业都需要关注其产品或服务的收益情况。
而构建一种可靠的收益函数模型，对企业的业务决策至关重要。
收益函数模型是一种以产品或服务售价和销量为自变量，以收益为因变量的函数模型。
在建立收益函数模型时，可以先通过市场调研等渠道，了解消费者对产品或服务的需求和购买力。
然后，根据实际成本等因素，确定合理的售价，建立售价和销量的函数关系。
最终，由此得到收益函数模型。
应用收益函数模型，企业可以清晰地了解其产品或服务的销售状况，并做出相应的决策。
例如，可以根据模型预测进一步的销售情况，制定促销策略等。
二、距离函数模型距离函数模型是指以距离为自变量，以其他因素（如时间、成本等）为因变量的函数模型。
距离函数模型常用于物流、地理等领域的问题中。
在建立距离函数模型时，需要先了解不同地区或物流中心之间的距离，根据实际交通等因素，确定时间和成本等变量。
然后，通过数据分析等方法，建立距离和时间、成本等因变量之间的函数关系。
最终，得到距离函数模型。
应用距离函数模型，可以帮助解决物流中心选址、物流运输路径规划等实际问题。
例如，根据模型预测时效、成本等因素，指导物流公司做出最优决策。
三、人口增长函数模型人口增长是许多国家和地区面临的一个实际问题。
建立人口增长函数模型，可以帮助政府、研究机构等对人口的发展趋势进行预测和管理。
在建立人口增长函数模型时，需要先了解人口增长的历史数据，包括出生率、死亡率、迁入率、迁出率等因素。
然后，可以运用数学模型和统计学方法，建立人口增长和上述因素之间的函数关系。
最终，得到人口增长函数模型。
应用人口增长函数模型，可以帮助政府和研究机构预测未来的人口发展趋势，为制定相应政策提供依据。
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建立函数模型的常用方法
函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，下面对建立函数模型解决实际问题常用的方法举例说明。
一、列表法
例1、某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元， 可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元；已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？（天数为整数），并求出最大利润。
分析：通过阅读、审题找出此问题的主要关系（目标与条件的关系），即“生产童装与西服的天数”决定了“利润”，所以将生产童装的参数变量设为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，于是每项利润即可表示了。
在把“问题情景”译为“数学语言”时，为便于数据处理，运用表格或图形处理数据，有利于寻找数量关系。
解：设生产童装的天数为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，从而建立总利润模型为：y ＝22×200x ＋80×50（30－x ），化简得有＝400x ＋120000，同时注意到每月成本支出不超过23万元，据此可得40×200x ＋150×50（30－x ）≤230000，从中求出x 的取值范围为100≤≤x ，且x 为正整数，显然当x ＝10时赢利最大，最大利润124000max =y 元。
点评：现实生活中很多事例可以用一次函数知识和方法建模解决，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时，为减函数。
二、拟合法
例2、某地西红柿从2月1日起上市，通过市场调查得到西红柿种植成本Q
（单位：元/2
10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关
系：（1）b at Q +=；（2）c bt at Q ++=2；（3）t b a Q ⋅=；（4）t a Q b log ⋅=
利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。
解：（1）由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可
能是常数函数，从而用函数b at Q +=； t b a Q ⋅=； t a Q b log ⋅=中的任意一个进行描
述时都应有0a ≠，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所
以，选取二次函数c
bt at Q ++=2
进行描述。
以表格所提供的三组数据分别代入c bt at Q ++=2，得到 150250050,10812100110,150********.a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩
解上述方程组得1,2003,2225.2a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩
所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为
21322520022
Q t t =
-+。
（2）当3215012()200
t -=-=⨯天时，西红柿种植成本最低为 21322515015010020022Q =⨯-⨯+=（元/210kg ）。
点评：本题求解的关键是利用表格中的数据，选择正确的函数模型进行拟合。
三、图象法
例3、甲商店某种商品4月份(30天,4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量Q (件)与时间t (天)函数关系如图(二)所示。
①写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式P f t =（）,写出图(二)表
示的日销售量与时间的函数关系式Q g t =（）
,及日销售金额M (元)与时间的函数
关系()M h t =.
②乙商店销售同一种商品,在4月份采用另一种销售策略,日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系为22102750N t t =--+,比较4月份每天两商店销售金额的大小.
解：(1)设价格函数是b kt y +=,过点（0，15）（30，30）则
⎪⎩
⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=2115303015k b l b k b ∴),300(1521)(N t t t t f ∈≤<+= 销售量函数m at y +=，过点)40,30(),160,0(
则⎩
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=41604030160a m m a m ∴)300(1604)(≤<+-=t t t Q ()t N ∈ 则21(15)(4160)2202400(030,)2
M t t t t t t N =+-+=-++<≤∈ (2)22102750()N t t t N =--+∈
⎩⎨⎧≥≥>≤<<-=-=12
300110035030)(t t t N M t Q ()t N ∈ 即前11天甲商店销售额少，以后乙均比甲少.
点评：通过函数图像明确建立何种函数模型，抓住图像中的特殊点、曲线的单调性等是正确建立函数模型的关键。