建立函数模型的常用方法

建立函数模型的常用方法

函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，下面对建立函数模型解决实际问题常用的方法举例说明。

一、列表法

例1、某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元， 可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元；已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？（天数为整数），并求出最大利润。

分析：通过阅读、审题找出此问题的主要关系（目标与条件的关系），即“生产童装与西服的天数”决定了“利润”，所以将生产童装的参数变量设为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，于是每项利润即可表示了。在把“问题情景”译为“数学语言”时，为便于数据处理，运用表格或图形处理数据，有利于寻找数量关系。

解：设生产童装的天数为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，从而建立总利润模型为：y ＝22×200x ＋80×50（30－x ），化简得有＝400x ＋120000，同时注意到每月成本支出不超过23万元，据此可得40×200x ＋150×50（30－x ）≤230000，从中求出x 的取值范围为100≤≤x ，且x 为正整数，显然当x ＝10时赢利最大，最大利润124000max =y 元。

点评：现实生活中很多事例可以用一次函数知识和方法建模解决，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时，为减函数。

二、拟合法

例2、某地西红柿从2月1日起上市，通过市场调查得到西红柿种植成本Q

（单位：元/2

10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关

系：（1）b at Q +=；（2）c bt at Q ++=2；（3）t b a Q ⋅=；（4）t a Q b log ⋅=

利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。

解：（1）由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可

能是常数函数，从而用函数b at Q +=； t b a Q ⋅=； t a Q b log ⋅=中的任意一个进行描

述时都应有0a ≠，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所

以，选取二次函数c

bt at Q ++=2

进行描述。

以表格所提供的三组数据分别代入c bt at Q ++=2，得到 150250050,10812100110,150********.a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩

解上述方程组得1,2003,2225.2a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩

所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为

21322520022

Q t t =

-+。 （2）当3215012()200

t -=-=⨯天时，西红柿种植成本最低为 21322515015010020022Q =⨯-⨯+=（元/210kg ）。 点评：本题求解的关键是利用表格中的数据，选择正确的函数模型进行拟合。

三、图象法

例3、甲商店某种商品4月份(30天,4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量Q (件)与时间t (天)函数关系如图(二)所示。

①写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式P f t =（）,写出图(二)表

示的日销售量与时间的函数关系式Q g t =（）

,及日销售金额M (元)与时间的函数

关系()M h t =.

②乙商店销售同一种商品,在4月份采用另一种销售策略,日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系为22102750N t t =--+,比较4月份每天两商店销售金额的大小.

解：(1)设价格函数是b kt y +=,过点（0，15）（30，30）则

⎪⎩

⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=2115303015k b l b k b ∴),300(1521)(N t t t t f ∈≤<+= 销售量函数m at y +=，过点)40,30(),160,0(

则⎩

⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=41604030160a m m a m ∴)300(1604)(≤<+-=t t t Q ()t N ∈ 则21(15)(4160)2202400(030,)2

M t t t t t t N =+-+=-++<≤∈ (2)22102750()N t t t N =--+∈

⎩⎨⎧≥≥>≤<<-=-=12

300110035030)(t t t N M t Q ()t N ∈ 即前11天甲商店销售额少，以后乙均比甲少.

点评：通过函数图像明确建立何种函数模型，抓住图像中的特殊点、曲线的单调性等是正确建立函数模型的关键。