正余弦函数图像的性质
第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
余弦函数和正切函数的图像及性质课件
-4π
-3π
-2π
-π
o-1Biblioteka 余弦函数的单调性y
1
-3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
x
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
π
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶
π
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。 (kπ+ π ,0) 2
对称中心 对称轴
π
2
x = kπ
正切函数的图像和性质
回忆： 回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的? y = sin x 图像的?
一、y=sinx 与 y=cosx 的性质
函 数 y= sinx 性质
(k∈z) ∈
y= cosx x∈ R [-1,1]
(k∈z) ∈
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1] x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
正弦余弦正切函数图象
1-
643 34 6
y 3 1 3 3 1 3 0
3
3
o
1 -
2
-
3
2
x
2
(2) 描点
2-
(3) 连线
正切函数图像： ytanx,
y
xxR,且 xk2,kZ
思考：
2
正切函数 ytanx
1
图像是否有渐近线？
3 2
2
o
1 2
3 2
x
渐近线方程：
2
xk,(kZ)
2
二、三角函数图象的性质
上平移一个
单位得到的
.●
2
x
y=sinx
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3 2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx
.y
1
o
-1 ●
-1 0 1 0 -y1= -cosx和
y=cosx 关
. y= cosx x [0,2 ] 于X轴对称 ●
.●
2
.
.3●
2
2
●
x
y= - cosx x [0, 2]
y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
返回目录
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
2
2
y
1
●
●
0Hale Waihona Puke 2-1●3
2
●
●
2
x
y
●
1
●
0
2
-1
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正余弦函数的图像及性质
1 类似 : cos x ≥ x ∈ ____________________ 2
了解单调性
5.若α , β 为锐角, 且 sin α < cos β , 则α , β 满足( A.α > β B .α < β C .α + β < )
π
2
D.α + β >
π
2
提高
π 设 x ∈ 0, , f ( x ) = sin(cos x ), g ( x ) = cos(sin x ), 2 求 f ( x )和 g ( x )的最大值和最小值 , 并将它们按 大小顺序排列起来
记忆y=cosx图像 图像 记忆
y=1 y = 1
图 (1)图像是一条无限延伸的 波浪线 像 ( 2 )夹在 y = 1和 y = 1两条直线间 特 ( 3 )图像上有特殊的五个点 点 π 3π ( 0,1), ( ,0 ), (π , 1), ( ,0 ), ( 2π ,1) 2 2
正余弦函数图像的作图方法 五点法 正余弦函数的性质 记图像来记性质
4.函数y = 2 sin x 1的定义域为( B ) π 5π 点拨 A. , 6 6 用好一个周期图像 5π π B . + 2 kπ , + 2kπ , k ∈ Z 6 6 找一带全 5π π C .( + 2kπ , + 2kπ ), k ∈ Z 6 6 5π π D . + kπ , + kπ , k ∈ Z 6 6
问y = sin 2 x是奇函数还是偶函数 ? y = cos 2 x呢 ?
了解图像对称性
3.已知函数 y = 2 cos x ( 0 ≤ x ≤ 2π )的图像和直 线 y = 2围成一个封闭的平面图 形 , 那么这个 ) 封闭的图形的面积是 ( A .4 B .2π C .8 D .4π
正弦函数余弦函数的图像和性质
y
1_
4 3 2 o
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
2
),
x
R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
1
.. 2 1 0 1. 2 x
返回
1.能否用描点法作函数 y sin x, x 0,2 的图象?
只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以
x 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过
的值查三角函数表得到。
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于
z 2
1
x
2
1 (x 4 ) 。所以自变量z只
图象的最高点(
2
,1)
y sin x, x 0,2 图象与x轴的交点(0,0)( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
3 2,
1)
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
三角函数的图像和性质
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
正、余弦函数图像的性质
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
2
o
2
2
x
例6.求函数 y tan(
2
x
3
) 的定义域、周期和单调区间。
x k , k Z
2 3 2
-1
x
最高点： (2k ,1) k Z
最低点：( 2k , 1) k Z
单调性： 在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数 在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
x
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 (
2 2 内是增函数 k 对称性： 对称中心是 ( , 0), k Z 2
k ,
k ) k Z
例5.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
正余弦函数的图像及性质.
<金榜>P136.2表格
正余弦函数性质的简单使用 认识图像
1.方程sin x lg x的解有几个?
了解奇偶性
2.已知f ( x) ax bsin x 1,若f (5) 7,求f (5)的值
问y sin2x是奇函数还是偶函数? y cos 2x呢?
了解图像对称性
3.已 知函 数y 2cos x(0 x 2 )的 图像 和直
线y 2围 成一 个封 闭 的平 面 图形, 那 么这 个
封 闭的 图形 的 面积 是( )
A.4
B.2
C.8 D.4
了解图像周期性
4.函数y 2sin x 1的定义 域为( B )
A.
6
,
5
6
点拨
B.
6
2k , 5
6
2k , k Z
C.(
2k ,
5
2k ),k
Z
用好一个周期图像 找一带全
6
6
D.6
k , 5
6
k __________________ 2
了解单调性
5.若 , 为锐角,且sin cos ,则 , 满足( )
A.
B.
C. D.
正余弦函数的图像及性质
请记好笔记,用好笔记
记忆y=sinx图像
y1
y 1
图 (1)图 像 是 一 条 无 限 延 伸 的波 浪 线
像 (2)夹 在y 1和y 1两 条 直 线 间
特 点
(3)图 像 上 有 特 殊 的 五 个 点
(0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
正弦函数 余弦函数的图像和性质ppt
1
1
0 0
0
y
2 1 -
1
0
1
1 -
o
2
3 2
2
x
作函数 y= sinx + 小值
y= sinx+
1 2
1 2
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
解：用辅角公式化简函数
3 cosx 2
= sinxcos 3 + cosxsin 3 = sin(x+ 3 )
X+ 3
0 －
3
o
1-
x
6
-
4
-
2
2
-1 -
4
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 4 , y ……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
2
1 2
1
1
1
0
0 1
1 -
o
2
3 2
2
x
练习 : 作函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的草图
作函数 y= sinx + 小值
1 2
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
练习：作函数y= －cosx,x∈[0,2π]的草图 解: 列表
X
0
2
1
3 2
2
1
cosx -cosx
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线.
如: x 查表 y sin 3 0.8660 3 ) 描点 ( ,0.8660 3
第四讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(解析版)
第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质知识提要1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R单调性[-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(-π2＋k π，π2＋k π) (k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × )(4)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × )2、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.例1 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． 解析：y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z)．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π； 令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π. 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为 [－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．变式：（1）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]（2）已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：（1）由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.解析：由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 故选C. 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解析：由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)． 例3 求下列函数的周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R)； (3)y ＝|sin x | (x ∈R)． 解析：(1)方法一 令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数f (z )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (z )＝sin z (z ∈R)的值才能重复取得， 而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)的周期是π..方法二 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R)的周期为2π2＝π. (2)设f (x )＝cos(1－πx )，则f (x )＝cos(πx －1)．∵cos[(πx －1)＋2π]＝cos[(πx ＋2π)－1]＝cos[π(x ＋2)－1]＝co s(πx －1)． ∴f (x ＋2)＝f (x )，从而函数y ＝cos(1－πx )(x ∈R)的周期是2. (3)作出y ＝|sin x |(x ∈R)的图象．由图象可知，y ＝|sin x |(x ∈R)的周期为π.例4 (1) 求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. (2) 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．解 （1）∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32(2)设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1， ∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3； 当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.巩固提高※夯实基础1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( A )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2、函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．[0,2]3、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解析：①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋34，k ∈Z .∴ 函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠3k ＋34，k ∈Z }．②T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3.③由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . ④由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z . 解得x ＝3k 2－34，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2－34，0，k ∈Z . 4. 设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．解析：f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22.5. 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .※能力提高6、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2解析：根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 7、函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )解析：|sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 解析：∵|)6(|)(πf x f ≤， ∴)6(πf 为)(x f 的最小值或最大值，∴ 1)62sin()6(±=+⨯=ϕππf ， ∴ Z k k ∈+=+,23ππϕπ，∴ Z k k ∈+=,6ππϕ.当6πϕ=时，2167sin )622sin()2(-==+⨯=ππππf ，216sin )62sin()(==+=ππππf . 这与)()2(ππf f >矛盾，舍去。
正余弦函数的图像与性质
结合图象可得：
3 π π 3 x∈－5，－ π∪－ ， ∪ π，5. 2 2 2 2
探要点、究所然
例 3 在同一坐标系中，作函数 y＝sin x 和 y＝lg x 的图象，根据图象判断 出方程 sin x＝lg x 的解的个数．
解 建立坐标系 xOy，先用五点法画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再 依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 的图象． 1 描出点 ，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图 10
-
,1)
,1)
y
五点作图法
1-
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) x y=sinx 0 0
2
0
3 2
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
-
余弦函数的图象
(五点作图法) (1) 列表
x y
(2) 描点 (3) 连线
1
y
0 1
2
0
1
3 2
0
2 1
o
-1
-
2
3 2
2
x
y=cosx,x [0,2π]
2、余弦函数的图像
定义域 xR 值
正余弦函数图像和性质PPT课件
（2）余弦函数“五点作图法”：
y 1 y=cosx
3 2
2
o
2
-1
3 2
Y=sinx 2 5 3 x
2
五个关 键点：
( 0 ,1),
( ,0 ), 2
( , 1), ( 3 , 0 ) , ( 2 ,1)
2
（3）正、余弦函数图象的关系
cosx=sin(x+
2
y=cosx
y
) sinx=cos( -x)=cos(x- )
定义域 值域 周期性 对称性 单调性
性质的应. 用
3
一.基础知识复习
（一）正、余弦函数图象
“五点作图法”
（1）正弦函数“五点作图法”：
y
1
4
3
2
-
3 2
-
-
2
o
2
3 2
2
3
4 x
-1
五个关键点：
( 0 , 0 ) ,(
2
, 1 ) , ( , 0 ) ,( 3
2
, 1)(, 2 , 0 )
正 余弦函数的图象与性质(1)
y
1
ysinx,x[0,2
3p
π
2
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sin在[0，2π]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？
《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的知识框架
正弦线 正弦函数的图象 平移变换 余弦函数的图象
正弦函数的性质 “五点法”作 图
余弦函数的性质
⑤奇偶性:
奇偶性的y1定义y=：sif f n( ( x x x ) ) ( x ff R( ( x x )) ) ff( ( x x ) ) 为 为 偶 奇 函 函 数 数
正余弦函数图像及性质
y
1_
4 3 2 o
_
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
例题讲解:
例.用“五点法”作出函数y 1 sin x, x 0,2 的简图。
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
2
3 2
2
sin x 0 1 0 1 0
sin x 1 1 2 1 0 1
(2)描点,连线
2y
1
0
1
2
x 3 2
2巩固Biblioteka 习:1.作函数 y cos x, x 0,2 的简图。
正弦函数、余弦函数的图象和性质 （一）
1. sin a, cos a, tan a 的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
2.如何用描点法作出函数 y x2 2x的图象?
(1)列表
x
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
0
2
1
y
y cos x, x0,2 1
0
1
2
x 3 2
2
x 3 2
2
返回
1
.. 2 1 0 1. 2 x
正弦函数、余弦函数的图象和性质
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
图象的最低点 ( ,1)
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] 解:（2 1）列表
xx
cos x x 01 sin sin cosx x 1 1 -1
2。用平移诱变法，由正弦图象平移得到佘弦 函数图象，这不是新问题，在函数一章学习 平移作图时，就使用过，请同学多作比较。 应该说明的是平移量是不唯一的，方向也可 左可右。
单位 ：蠡县南庄实验中学 网址 ：
;
/
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
总结提炼
1。本节课介绍了四种作函数图象的方 法，其中五点作图法最常用，要牢记五 个关键点的选取特点。
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最低点 ( 3 ,1)
2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用变换法作余弦函数的图像
正余弦函数图像及其性质(提高+答案)教师版
教师姓名 学生姓名 年 级 高一 上课时间学 科数学课题名称正余弦函数图像及其性质一．知识梳理：1.正余弦函数的图像(1)正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点),(y x P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线. (2)用单位圆中的正弦线作正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象（几何法）：(3)用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。
(4)正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：正余弦函数图像及其性质第2页把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
2.余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：3.函数性南 函数 sin y x =cos y x =定义域 R R值域 []1,1-[]1,1-有界性 有界函数sin 1x ≤有界函数cos 1x ≤奇偶性奇函数偶函数对称性对称轴方程：2x k ππ=+对称中心：(),0k π对称轴方程：x k π= 对称中心：,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭周期性周期函数(2)T π= 周期函数(2)T π=单调性单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦单调增区间[]2,2k k πππ-单调减区间32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调减区间[]2,2()k k k Z πππ+∈最值性max min 2,(),122,(),12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-max min 2,(),12,(),1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-二、例题讲解：1. 基础梳理1：图像简单应用例1.画出函数1π3sin()24y x =-在[0,2]π上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论 答案：例2.定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，根据函数的图像与性质填空：(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值； (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，()0f x >.答案：(1) 2[1,]2-;(2) 2,4x k k Z ππ=+∈; (3) 2π; (4) 22()2k x k k Z πππ<<+∈ 例3.求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21=（2）x y cos 2-= 答案：定义域为R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121-， 定义域为)(,23222z k k x k ∈+≤≤+ππππ，值域为0,2⎡⎤⎣⎦.第4页例4.求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x 值 （1） y=sinx+cosx （2）y=asinx+b答案：（1）（分析：这个函数不是sinx 或cosx 型函数，而是asinx+bcosx 型） ∴y=sinx+cosx=2sin(4π+x )≤2，当224πππ+=+k x 时取“=”， 即当x=2kπ4π+时，y max =2 （2）显然|sinx|≤1，∴|asinx|≤|a| 即asinx≤|a| ∴asinx+b≤|a|+b；当a>0时，asinx+b≤a+b 当sinx=1即x=2kπ+2π时取“=” ∴此时，当x=2kπ+2π时，y max =a+b 当a<0时，∴当x=2kπ+23π时，y max =-a+b （以上K ∈Z ）2. 基础梳理2：函数性质 例5.判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.答案：sin()=cos 2y x x π=--，为偶函数，单调递增区间为[]2,2()k k k Z πππ+∈，单调递减区间为[]2,2()k k k Z πππ-∈.例6.设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．32 B ．－32C ．－34 D ．－2 答案：D例7.判断下列函数的奇偶性 （1）1sin cos ()1sin cos x x f x x x+-=++ （2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+答案：（1）非奇非偶 （2）既是奇函数又是偶函数例8.（1）函数3sin(2)3y x π=+的对称轴方程是（2）若函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于3x π=对称，则a =答案：（1）1212x k ππ=+， （2）33a =-例9.设()sin (0)53kf x x k π⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭（1）求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．（2）求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．答案：（1）55,318k x k Z ππ=+∈，55(,0),39k k Z ππ-∈ （2）32k =3. 难点分析1：函数复合与最值例10.求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么. （1） y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2x-4sinx+5 (3) y=xx cos 3cos 3+- 答案：(1) x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 (2)当x=2k π-2πk ∈Z 时y max =10 (3) 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2例11.求下列函数的值域（1）sin 3cos ,,62y x x x ππ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭（2）2cos sin ,,44y x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦（3）1cos 3cos x y x -=+答案：（1）[)2,1y ∈-（2）125,24y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦（3）(,3][1,)-∞-∞U第6页例12.已知函数()23sin sin cos f x x x x =+⋅，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值． 答案： 31π3()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）. 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. 当π2π233x -=，即π2x =时，()f x 的最大值为3； 当π3π232x -=，即11π12x =时，()f x 的最小值为312-+。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
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正余弦函数图像的性质
一． 知识点
（1）三角函数的图像变换：
()1
sin sin x x y x y x ϕω
ϕ=−−−−−−−−→=+−−−−−−−→
横坐标变为原来的倍
沿轴向左平移个单位长度()()sin sin A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍
()sin y k y A x k ωϕ−−−−−−−−→=++沿轴向上平移个单位长度
例：函数sin 3sin 23y x y x π⎛
⎫=→=- ⎪⎝
⎭：
1
3
2sin sin 3x y x y x ππ⎛
⎫=−−−−−−−−→=-−−−−−−−→
⎪⎝
⎭沿轴向右平移个单位长度
横坐标缩短为原来的倍sin 23sin 233y x y x ππ⎛⎫⎛
⎫=-−−−−−−−→=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭纵坐标伸长为原来的3倍
（2）正弦函数的性质与图像：见完全解读P88
二． 历年真题
（2005）函数y=sin （x+
2π）在区间-,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是【 B 】 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 减函数 D. 增函数
（2008）函数y=f(x)的图像由y=sinx 的图像向右平移4
π
单位得到，则f(x)=【 B 】 A. sin （x+
4π） B. sin(x -4
π) C.4π+sinx D. -4π
+sinx
（2009）函数y=cos (x -4
π
) 【 B 】 A. 在（-
4π，34π）上是增函数 B. 在（-34π，4π）上是增函数 C. 在（-4π，34π）上是减函数 D. 在（-34π，4
π
）上是减函数
（2014）若x ),(ππ-∈且cosx ﹥sinx ，则【 B 】
A. )4,
0(π
∈x B. )4,43(ππ-
∈x
C. )4,43(ππ-∈x )4,0(π⋃
D. )2,43(ππ--∈x )4
,0(π
⋃
（2007）已知0>ω，)2
,2(π
πϕ-∈. 如果函数)sin(ϕω+=x y 的最小正周期是π，
且其图象关于直线12
π
=
x 对称，则取到函数最小值的自变量是【 A 】
A. Z k k x ∈+-
=,125ππ B. Z k k x ∈+-=,65
ππ C. Z k k x ∈+=,61ππ D. Z k k x ∈+=,12
1
ππ
（2009）函数2=2sin -3sin +1y x x 的最小值是 【 A 】
A. -18
B.- 1
4
C.0
D.1
（2015）函数14cos 34sin 3+-=x x y 的最小正周期和最小值分别是【 D 】
A. π和3-1
B. π和32-1
C.
2π和3-1 D. 2
π
和32-1
（2010）（本题满分18分） 已知函数，f （x ）=sin 2x+2
3sinxcosxcos 2x 。
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）y= f （x ）图像的对称轴方程为x=a ，求a 所有可能的值； （Ⅲ）若f （x 0）= --2，x 0∈（--
125π，12
7
π），求x 0的值。
（2013）(本题满分18分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64cos 43sin ππx x y 。
① 求该函数的最小正周期。
② 当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈8,16ππx 时，求该函数的最大值。
三． 练习
1.函数)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期是（ C ）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π 2.函数)62sin(5π
+=x y 图象的一条对称轴方程是( C )
A ．12
x π
=-
B ．0x =
C ．6
x π
=
D ．3
x π
=
3.函数y = sin(12x +4π
)在[-2π，2π]内的单调递增区间是__________.
4.已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +32
5
（x ∈R ） (Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)求f (x )单调区间；
(Ⅲ)求f (x )图象的对称轴，对称中心.
5.已知函数()4cos sin()16f x x x π
=+-.
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
6.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（0ω>）的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围.
7.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ
=-+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域.
8.已知函数2()cos(2)cos23
f x x x π
=-
-(x ∈R )． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若3
(),1,2
2
B f b =-
= 3,c =且,a b >试判断∆ABC 的形状，并说明理由．
9.已知函数()Asin 6f x wx π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,()0,0A w >>，(,)x ∈-∞+∞,的最小正周期为2,
且()0f =,则函数()3f =（ ）
A ．
B C ．-2
D ．2。