6第六章 机械振动单元自测答案

第六章 机械振动单元自测答案

一、选择题

1．（C ） 解：v sin()sin sin cos 42dx T A t A A A dt πωωϕωωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫

=

=-+=-⋅+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

2．（C ）

解：由题意，其振幅为θ

已知t=0与竖直方向成一微小角度θ，当设定右边为正角位移， 则初位相πϕ=0，当设定左边为正角位移，则初位相0=ϕ 3．（C ）

解：设其振动方程为：()ϕω+=t A x cos 其中0x A =

ω：由ω=

12k k k =+，则ω= ϕ：当t=0时，0x x =-，则00cos x x ϕ-=，ϕπ=。

方程为：0cos x x π⎫

=+⎪⎪⎭

4．（D ）

解：由质点的位移为2

A

-

，且向X 轴的正方向运动可知 的端点在X 轴上投影，其坐标值为2

A

-，其

在X 方向的分量应为正值，所以应选D 。 5．(A)

二、填空题

1．（1）0 ；（2）2π

；（3）

3π-

解：由()ϕω+=t A x cos ,当t=0时，ϕcos A x =

当t=0时，质点在正的最大位移处，即x 0=A,则ϕcos A A = ,0=∴ϕ

当t=0时，质点在平衡位置向负方向运动，即X=0,且V<0，由ϕωsin A v -= ，则ϕ取2π 当t=0时，质点在位移2

A 处向正方向运动,则2

A x =

且V>0,则由ϕωsin A v -=

ϕ应取3π-.

2．0.84

解：单摆的周期为g

T

π2= ，则

84.07.05

.105.12

1

2

1

===

=

T T 。

3．2π-

或32

π

解：()t x 1和()t x 2频率相同，且由图可知()11cos ϕω+=t A x ，t=0时，010=x 且010

2

1π

ϕ=

∴

2x ：t=0时，220m X x =

020=V 2ϕ∴取0或π2，则位相差212πϕϕ-=-或π2

3

。 4．T=3.43 S ；()ππϕ3

432或-= 解：设振动方程为()ϕω+=t A x cos ，其中A=4，由图可知t=0时，x=-2 , V>0;t=2时, x=0 ,

V<0；则ϕcos 42=- ，21cos -=ϕ， 而由V>0可知0sin <ϕπϕ32-=∴或取π3

4. 由t=2时的状态，得：()ϕω+=2cos 40且V<0

得：ϕω+2为⎩

⎨⎧=-=πϕπϕ34322

52

22π

πϕωϕω=+=+

s T 43.37

24

≈=

⇒。

5．12A A - ；()

212cos π

ω+-=t A A x

解：因为两谐振动是同方向，同频率的振动，其频率为ω 从图中可见，两振动步调完全相反,则其合振动的振幅为12A A -

其合振动的振动相位与振幅大的那个相同，即与2x (+)的振动相位相同，由图中可见 t=0时 ，020=x 且020

则合振动的振动方程：()

212cos πω+-=t A A x

6．m 2

105-⨯；

2

π

解：()()()SI t t x 2

2

225cos 1025sin 102ππ-⨯=-⨯=-- 则合振动为：()()222

2

215cos 1025cos 107ππ-⨯++⨯=+=--t t x x x 2x 和1x 的相位差π,即振动步调完全相反.

合振幅为2

1

2105-⨯=-=A A x ，初相位与X 2的相同，即2π。 7．0.1 m ，2π

解：用旋转矢量法来求解

m A A A A A 1.01032.0203.004.0cos 22

3

1612122=⨯

⨯⨯⨯-+=-+=-π

求ϕ：ϕcos 2212

2212A A A A A ++=

ϕcos 1.0103201.003.004.01⨯⨯⨯++=-

0cos =ϕ，则2

π

ϕ=

。

三、计算题

1．解：（1）由振动方程可知 m A 2

100.6-⨯=，3πω

= 则由π

ω

2=

v

得Hz

v 613

2==

π

π

.s T 61

2===νω

π

.4πϕ-=。

（2）势能 22

1kx E p =总能221kA E =

由题意24

1221kA kx =可求得m x 21024.4-⨯±=。 （3）从平衡位置运动到2

A x ±=的最短时间为s T 75.08

=。 2．解：（1）由14

200

07.7-⋅==

=

s rad m

K

ω

选平衡位置为原点，x 轴指向下方

t=0时，ϕcos 1.00A x ==，ϕωυsin 00A -==

由以上两式得A=0.1m, 0=ϕ.故运动方程为：()t x 07.7cos 1.0=。 （2）物体在平衡位置上方5cm 时，弹簧对物体的拉力F= m(g-a) 而2

2

5.2s m

x a =-=ω， 则F=4(9.8-2.5)=29.2(N)

（3）设1t 时刻物体在平衡位置，此时x=0，即1cos 0t A ω=或0cos 1=t ω 此时物体向上运动，故v<0,由2

1πω=

t 得 ω

π

21=

t .

再设2t 时刻物体在平衡位置上方5cm 处，此时x=-5cm.

即2cos 1.005.0t ω=-，212cos -=t ω 因v<0 ,

3

22πω=t

解得ω

π

322=

t ，s t t t 074.0623212==

-=-=∆ω

πωπωπ。

3．解：（1）由旋转矢量图和B A V V = 可知

S T 42

=

所以T=8S ，18

1-=S v ，4

2ππω==r

以AB 的中点为坐标原点，X 轴指向右方 t=0时，ϕACOS cm x =-=5

t=2s 时，()ϕϕωsin 2cos 5A A cm x -=+=+= 由以上两式可解得 cm A 25= ，1=ϕtg

因为A 点质点的速度大于零，所以πϕ43-=或π4

5，运动方程为 ()ππ4

342cos 1025-⨯=-t x （2）

()πππ43442sin 1025-⨯-==-t v dt dx

t=0时，s

m 24

510-⨯=

πυ

4．解：t A x ωcos =，()ϕω+=t A y cos

（1）当0=ϕ 时，x=y,其运动轨迹是一条直线，且A x A ≤≤-.

（2）当0

30=ϕ时，由⎩

⎨

⎧

-==t t y t

A x A

A ωωωsin cos cos 223消去t ω 2

224344A y xy x =+-⇒

电子沿轨道的运动方向：用旋转矢量法，绘出这两个相互垂直的同频率简谐振动的合成轨迹，是电子沿顺时针方向运动的。 （3）当0

90=ϕ时，2

2

2

A y x =+ 同上可得，电子沿顺时针方向运动。