数学课让静止的图形动起来-模板

数学课让静止的图形动起来
——六年级数学活动课纪实
（北京市顺义县第二教师进修学校周爱东贾福禄设计
北京市顺义县马坡中心小学献臣执教）
教学内容几何图形的面积计算
教学目标
1.培养学生的观察力、想象力，使学生有意识地把题目的条件看活，用动态的观点解答几何图形的题目。

2.渗透“事物之间是互相的，可以互相转化”的观点。

教学过程
一、出示准备题
用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形的地面，两条对角线上铺黑的，其它地方铺白色的，如图所示。

如果铺满这块地面共用101 块黑色的瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
（附图 {图}）
1.学生读题、提出问题、弄清题意。

2.师：这是以前我们研究过的一个问题，请大家回想一下，当时我们是用什么方法来研究解答这个问题的？
生：我们是在一个5×5的格内，沿两条对角线方向摆放硬币，用硬币代表黑色瓷砖。

再通过旋转、平移的方法，改变硬币的摆放位置，从中发现规律，来解答这个问题的。

3.生：独立操作，解答问题。

①操作：
（附图 {图}）
②指名说操作过程。

先在两条对角线上放满硬币（如图1）共放了9枚硬币；然后旋转每条对角线上的硬币，使其进入到5×5 格中的行与列中（如图2），在旋转过程中，硬币的摆放位置发生了改变，但是枚数没有变；最后再将硬币平移到两条边上（如图3）。

此时没有摆放硬币的小格由原来的被分成四块，而合并成了一块，且恰好组成了一个正方形，其边长恰好与原来大正方形的边长相差1。

③解答准备题：
同样道理我们可以通过旋转、平移两次动态处理，把题中两条对角线上的黑色瓷砖移到两条边上（如图）。

在这一转化过程中瓷砖的摆放位置发生了变化，但数量都没有变。

此时便容易求解：
（附图 {图}）
（101＋1）÷2＝51（大正方形每边瓷砖数）
51－1＝50（白色正方形每边瓷砖数）
50＝2500（块）
答：白色瓷砖共用了2500块。

4.教师小结导入新课：
刚才，我们在研究这个问题时，是通过旋转和平移把对角线上的瓷砖移到了边上，也就是把题目的条件看活了。

用动态的思维来考虑问题，这种动态解答问题的方法，在解答几何图形题时是常常用到的。

今天，我们就用动态考虑问题的方法，来研究几道几何图形的问题（板书课题：让静止的图形动起来）。

二、新授
3
（二）1.例1 图中三角形AED的面积占梯形ABCD面积的─，且AB
7
＝5cm、BC＝8cm，求三角形AED的面积？
（附图 {图}）
①指名读题。

3
②简要分析：三角形AED的面积占梯形ABCD面积的─，也可以理解
7
梯形ABCD面积是7份，三角形AED面积占3份，两个空白三角形面积的和占4份，AB是梯形和三角形的高，要求三角形AED的面积，知道了高，需要先求出底AD的长。

空白面积：三角形面积＝4∶3
③引导解答
师：在梯形ABCD中，你能否画出一个与AED面积相等的三角形来？这样的三角形可以画出多少个？
让学生独立思考，使他们体会到这样的三角形可以画出无数个，只要在BC 边上任取一点，和AD连起来所构成的三角形就知道和AED 的面积相等，因为它们是同底等高的三角形。

师：通过上述分析，我们就可以把E点理解成为一个“动点”，它可以沿
BC边来回移动。

在移的过程中三角形AED的形状发生了变化，但面积不变。

那么大家想一想，我们把点移到哪里，图形就更简单，题目就更容易解答呢？
（附图 {图}）
生：将E点移到B或C点处。

师：画出E点移到C点时的图形（见右图）并提问题：三角形ABC 的面积与原来两个空白三角形面积是否相等？为什么？
生：相等。

因为移动E点的过程中，梯形面积没有变，阴影三角形AED的面积也没有变，所以三角形ABC的面积与原来两个空白三角形面积的和相等。

生解答：
方法1 阴影部分与空白部分的面积分别是3份和4份，它们的高相
8×3
等，所以底是3份BC就是4份，因为BC＝8cm，所以AD＝─＝6cm，三角
4
形AED的面积是：6×5÷2＝15（cm）。

1 3 3
方法2 8×5×─÷（1－─）×─＝15（cm）
2 7 7
师小结：这道题，我们除了把E点移到B点或C点，还可以移到一个特殊的点上，来解答，而且也可以通过添加辅助线的方法求解，这些解法留给大家在课下进行研究。

在解答这道题的过程中，我们通过点的移动，寻找到了解题的突破口，可见这种“动态考虑问题”的思想可以使解题的方法更灵活，更巧妙。

这种解题思路还有更广泛的应用呢，下面我们来看例2。

例2 有红黄绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个盒内它们之间相互叠合（如图，教师备有教具）已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，那么正方形盒的面积是多少？
①指名读题
②启发、引导
师：三张纸片大小一样，但它们露出的面积却不同，这是为什么？
生：三张纸片放入正方形盒内，要互相叠合，由于放置顺序不同，露出的面积就不同。

师：谁能说一说这三张纸的放置顺序。

生：先放绿色的、再放黄色的，最后放红色的。

师：现在黄色、绿色纸片露出的部分都不是长方形，你能不能通过改变放置
顺序，使它们露出的部分变成长方形。

生：先放黄色纸片再放绿色的，最后放红色的。

（在学生说的同时，教师直观演示将黄色纸片抽出，露出绿色长方形，然后再把黄色纸片插入绿色纸片下面，将图1变成了图2）
（附图 {图}）
师：现在黄色、绿色纸片露出的部分都变成了长方形，请你比较它们的面积是否相等？分别是多长？
生：面积相等。

因为它们的长相等，宽都等于正方形盒的边长减去小正方形纸片的边长也相等，所以面积相等。

它们的面积和没有变。

各自的面积分别是（14＋10）÷2＝12
师：请大家认真观察，现在这三张纸片，哪个位置特殊？能否改变它的位置？
生：黄色纸片的位置特殊。

因为红色和绿色纸片都有两条边和正方形纸盒的边重合，而黄色纸片只有一条边与纸盒的边重合。

我们可以使黄色纸片向左移动，使它也有两条边与纸盒的边重合。

（师演示移动，得出图 3。

此时问题已转化成了学生以前所研究过的问题，根据三个长方形面积间的倍数关系可推出边长的份数关系，便可顺利求解。

3
20＋12×2＋12×─＝
5
5 64
或20÷─────＝20×─＝
（5＋3） 25
所以正方形纸盒的面积是。

师：刚才我们解答问题实际上是走了弯路请大家（对照图1和图3，想一想还可以怎样将图1转化成图3？）
（附图 {图}）
生：直接向左移动黄色纸片。

师：直观演示向左移动黄色纸片，并提出问题：请观察黄色和绿色露出的部分面积各发生了什么变化？
使学生体会到：黄色纸片的面积在减少，绿色纸片的面积在增加，它们的面积和不变。

3.教师小结。

投影出示上述两道例题的原图与转化后的图的对比图。

（已脱离了实际数据）（附图 {图}）
今天我们所研究的两个问题，都需要把题目的条件看活，将原题转化后再求解。

例1是通过点的移动，将原来分着的空白三角形合并成了一个三角形。

例2是通过面的平移，把复杂的图形变成了简单图形，把原来面积不等变成了相等。

这种“动态考虑问题”的思想可以使我们解题的思路更快捷，解题的方法更灵巧所以希望同学们今后能自觉运用这种动态思想来解答问题。

三、练习
已知长方形的长是8cm，宽是4cm，图中阴影面积是10cm，求CD长多少厘米？。