大物上预备知识——矢量

r dA dt
r r A
A(t)
r A(t t)
r
r
r
r
lim dA(t)
A lim A(t t) A(t)
dt
r t0 t
t 0
t
方向：沿A(t)矢量曲线的切线其
指向与时间增加响应的方向
r A 大小：lim t0 t
A
dA
0
dt
10
dA(t)
dA x
(t)
i
dAy (t)
j
et
ds dt
et
2.自然坐标系下加速度的分量表示
a
dv
dt
d (vet )
dt
dv dt
et
v
det dt
切向加速度 at
速度大小 的变化率
v det
dt
当：
有
|
et
||
et
|
方向
即：
v det
dt
v (den )
dt
v d
dt
en
v2
en
法向加速度
速度方向 的变化率
4
r
r
dr
o
r1
r r2
r r1
r dr
dr
r
r
dv
v1
r v2
r v1
r dv
dv
dr
r dr
r dr dr
dt dt
同理
dv
r dv
r dv dv
dt dt
5
rr r1 r2
r r
rrr1
r r2
r r12 r22 2r1r2 cos
rrrrrrrrrr1(rr1rr1rr2rr1)
置的坐标系统 讨论： (1) 运动学中参考系可任选。 (2) 参考系选定后，坐标系可任选。运动形式 相同，数学表述不同。
3、常见的坐标系
直角坐标系 （ x , y , z ） 、自然坐标系 ( s )、
球坐标系（ r, θ, ） 、柱坐标系（ , , z ）
二、质点
具有一定质量的，大小和形状可以忽略的理 想物体。 可以把物体看作质点来处理的两种情况:
综上所述：
加速度的大小：
七、圆周运动的角量描述
角位置 ：
质点所在的位矢与x轴的夹 角
角位移：
质点从A到B，位矢转过的角度 规定：
逆时针转向为正，顺时针转向为负
角速度：
角速度的方向满足右手定则：沿质点转动方向右 旋大拇指指向。
角加速度： d d2
dt d t 2
角量与线量的关系:
v R
t r
v r t
2.瞬时速度(简称速度)
v
lim
r
dr
t0 t dt
r (t)
r
oo
r (t
t
)
速度方向:
沿切线指向前进的方向
在直角坐标系中
v vxi vy j vzk
vx , vy , vz 为速度在 x、y、z 方向的分量。
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
3.速率
rr(2rr1rr2rr2
)
r r1
r r2
r r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
r r12 r22 2r1r2 cos
6
是
rr A/ B
的夹角Ar 。Brr|是Ar一|| 个Br |单si位n 矢r量。
r r r
AB
rr AB
rr Ar B rA Br r A B
rr A B
dAz (t)
k
dt
dt
dt
dt
1. d
(A B)
dA
dB
dt 2. d
( fA)
f
dt dA
dt df
A(
f为标量函数）
3.
dt d
(A
B)
dt dA
dt B
A
dB
dt 4. d
(A B)
dt dA
B
A
dt dB
dt
dt
dt
5.
d
(C )
0(C是常矢量）
v1
a
v
t
B
v1 v
v2
2.瞬时加速度（简称加速度）
a
lim
v
dv
d 2r
t0 t dt dt 2
在曲线运动中，加速度总是指向轨道曲线的凹侧。
在直角坐标系中：a axi ay j azk
ax
dvx dt
,
ay
dvy dt
,
az
dvz dt
大小：a
ax2
a
2 y
az2
五、运动学的两类问题
作平动的物体
物体本身线度和 它活动范围相比小
得很多
§1.2 质点运动的描述
一、位置矢量 运动方程 轨道方程
1.位置矢量
z
从坐标原点O出发，指
向质点所在位置P的一
有向线段
r
op
O
r
P
y
直角坐标系中位矢表示为：
r
xi
yj
zk
x
位矢的大小： r x 2 y 2 z 2
位矢的方向：
1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度
以及加速度
r r t
v
dr
dt
a
dv
dt
d2r dt 2
2. 已知速度函数（或加速度函数）以及初始条件
求质点的运动方程
v
dv
t adt
v0
t0
r r0
dr
t vdt
t0
矢量积分要 投影后积！
例1 已知质点的运动方程为
r (t)
2tiˆ
4t (6 t 2 )2t 0 t1 0 t2 2s
(4)r x2 y2 4t 2 (6 t 2 )2
令：dr 0 dt
t2
t1
0, 2s,
r1 6m r2 4.47m
rmin 4.47m
例2
已知
a 16 j ，t=0s时
v (0)
6i
r(0)
8k
求速度和运动方程。
解：设质点在任一位置x处速度为v，则
a dv dv dx vdv 4 3x2 dt dx dt dx
由初始条件
v
vdv
x (4 3x2 )dx v
8x 2x3
0
0
• 六、平面曲线运动的自然坐标描述
自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
在运动轨道上任取一点作为坐标原点O。
cos x cos y cos z
r
r
r
2.运动方程 矢量形式：
r r(t )
r
x (t )i
y(t)
j
z (t )k
参数形式： x x(t ), y y(t ), z z(t)
3.轨道方程
由参数方程消去t，即可得到质点的轨道方程
F (x, y, z) 0
例如平抛（v0 ，θ=0）
解:
dv
adt
16dtj
v (t )
t
v(0) dv
16dt j
0
v (t
)
v(0)
16tj
6i
16tj
dr
v (t )dt
r (t)
t
r(0) dr
(6i
0
16t j )dt
r (t
)
r (0)
6ti
8t
2
j
例3 一质点沿X轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为：a=4+3x2 (SI)。若质点在原点处的速度 为零，试求其在任意位置处的速度。
dt
11
大学物理学
（上）
质点运动学
1 参考系和坐标系 质点 2 质点运动的描述 3 相对运动
§1.1 参考系和坐标系 质点
一、参考系和坐标系
1、参考系 为了观察一个物体的运动而选作参考的另一
物体
常见参考系：
地心参考系、 地面参考系、日心参考系
2、坐标系 固定在参考系上，用以标定物体空间位置而设
运动方程
r
v0ti
1 2
gt
2
j
参数方程
x v0t
y 1 gt 2 2
轨道方程
y 1 g( x )2 2 v0
二、位移
t 时间内，位矢的变化称
为位移 ：
r r(t t) r(t)
讨论：
z
A
rs
B
r (t) r(t t)
O
x O′
y
（1）位移与坐标系原点的位置无关.
（2）位移不同于路程 r s AB
r Cr
B
r
A
3
ur 矢r量的r点乘r
A B | A || B | cos
rr A B
rrrr rrrr r rA Axri Ay rj Azkr , Br Bxir By rj Bzk A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
at(t 1)5 2(m/s2)
an a2 at2 5 2
v2 5 2(m)
an
§1.3 相对运动
(a) 车做匀速直线运 动时，车上的人观察 到小球做直线运动。
(b)车做匀速直线运动 时，地面上的人观察 到小球做抛物线运动。
两参考系:地面（S）和匀速车厢（S′），车厢中物
体P从A运动到B
第2题 一质点做抛物体运动（忽略空气阻力），
质点在运动过程中：
dv
（1） 是否变化？
y
dt
（2） d v 是否变化？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
x
dt
（3）法向加速度是否变化？
（4）最大和最小曲率半径在何处？
当 t 0 时：
|
dr
|
ds
在直角坐标系中：
r
xi
yj
zk
位移大小： r (x)2 (y)2 (z)2
位移的大小只能写成：| r |，不能写成
|
r
|
或
r
。
|
r
|
r
|
r2
|
|
r1
|
| r |
r2 r1
O
r
表示位矢大小的增量。
三.速度 速率
描述质点位置变化快慢的物理量
1.平均速度
表明：在相对作匀速直线运动的不同参考系中 观察同一质点的运动，所测得的加速度相同
伽利略变换关系的前提是：绝对时空观 即长度和时间的测量不依赖于参考系（绝对 空间和绝对时间）。
绝对时空观，只适用于宏观的、低速运动的 物体
【思考】
第1题 在质点运动学讲课中曾有两式 与
在数学上都是矢量合成，在物理上有何差别？
(6
t
2
)
ˆj
试求：1、t=2s时的速度、加速度。
2、头两秒内的平均速度、平均加速度
3、何时 v r ?
思考 4、质点何时离原点最近？该最小距离是多少？
解:
(1)v
2iˆ
2tˆj
v (2)
2iˆ
4
ˆj
a
2
ˆj
(2)v
r(2) 2
r(0) 0
2iˆ
2
ˆj
(3)v
r
v
r
0
a
2 ˆj
8
r dA dt
d dt d dt
rrr ( Axi Ay j Azk )
(
r Axi )
d dt
(
Ay
r j)
d dt
r ( Azk )
dAx
r i
dAy
r j
dAz
r k
dt dt dt
Axr dArx , Ay r dAy ,r Az dAz
A Axi Ay j Azk
9
平均速率： v s t
s
A r B
瞬时速率（简称速率）：
v lim s ds t t0 dt
一般：
v v
| v ||
dr
|
dr
ds
v
dt dt dt
四、加速度
描述质点速度变化快慢的物理量。
1.平均加速度
t , v1;
t t,
v2 ;
v1
A
在t时间内速度增量为：
v
平均加速度：
v2
质点位置：
s s(t)
路程：
s sQ sP
P
s
s
O
Q
坐标轴： s
切向坐标轴
沿质点前进方向的
O
切向，单位矢量为 et
P
et
en
s
en
Q
et
法向坐标轴
沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
e t , e n 为单位矢量， 大小不变，但方向
改变。
1.自然坐标系下速度的分量表示
v
dr
dt
dr dt
r
B
r
A
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，大家一定
要把符号搞清r楚，r不要r混r淆。r r r r
A B A B AB BA
7
rrr
r r1
r r2
rr i j k r1 r2 x1 y1 z1
x2 yr2 z2
r r2 r
r r1
r
( y1z2 y2 z1)i (z1x2 z2 x1) j (x1 y2 x2 y1)k
线量
at
dv dt
R
角量
an
v2 R
R 2
例 已知质点r在水5平ti面内(1运5t动 ，5t运2 )动j 方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解：v
dr
5i
(1510t)
j
dt
a
dv
10j
dt
v 25 (15 10t)2
at
dv dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
1
z
r
rrrr r r r A Axi Ay j Azk
Az A
Axo
Ay
y
i , j,k
r A | A |
x
Ax2 Ay 2 Az 2
2
z
cos x , cos y , cos z
r
r
r
Az
r A
o Ay
y
cos2 cos2 cos2 1
r xAx
r C
B
r A
u
Δ rPS
B
Δ rPS
A
Δ rSS
A′
由矢量图得： rPS rPS rSS (1)
(1)式除以时间，得： rPS rPS rSS (2) t t t
如果： t t ，则有
vPS vPS vSS (3)
一般记作：
V
V
u
--伽利略速度变换
（3）式对 t 再求导，得：
a
a
a0
伽利略加速度变换