数学建模关于减肥问题论文

数学模型与数学实验

报告论文

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2017 年 11 月 23 日

目录

第1章. 摘要 (1)

第2章. 问题重述 (2)

第3章. 模型分析 (3)

第4章. 模型假设 (4)

第5章. 基本模型 (5)

第6章. 减肥计划的提出 (5)

第7章. 减肥计划的制定 (5)

第8章. 总结 (8)

参考文献 (8)

第1章.摘要

随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条，因此减肥并不是口头话题，更有人花很多时间和金钱去实施减肥。这也造成了各种减肥药、减肥器械和治疗方法的巨大市场。各种假药或对身体有害的药物，夸大疗效的虚假广告等等也就应运而生，对人们造成了不必要的伤害。所以，如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。

关键词：减肥饮食合理运动

第2章.问题重述

联合馆世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位:kg）除以身高（单位:m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25位超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24,30改为29。

在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条，因此减肥并不是口头话题，更有人花很多时间和金钱去实施减肥。这也造成了各种减肥药、减肥器械和治疗方法的巨大市场。各种假药或对身体有害的药物，夸大疗效的虚假广告等等也就应运而生，对人们造成了不必要的伤害。

情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、

减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况却是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

第3章.模型分析

通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。

当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。

每日膳食中，营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准，营养素的要求量是指维持身体正常的生理所需要的营养素数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。（每天膳食提供的热量不少于5000-7500J，这是维持正常生命的最少热量）通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型--差分方程模型来谈论。

根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：

1.体重增加正比于吸收的热量，平均每天8000kcal，增加体重1kg（kcal为为国际单位制单位，1kcal=4.2kj）；

2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320cal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal-3200kcal；

3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动型是有关；

4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不小于10000kcal。

记第k周末体重为ω(k)，第k周吸收热量为c(k)，热量转换系数α=1/8000（kg/kcal），代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)，k=0,1,2, (1)

增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

第6章.减肥计划的提出

某甲身高1.7m，体重100kg，BMI高达34.6。自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至75kg并维持下去：

1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。

3）给出达到目标后维持体重的方案。

第7章.减肥计划的制定

1）首先应确定某甲的代谢消耗系数β。根据他每周吸收

c=20000kcal 热量，体重ω=100kg 不变，由（1）式得

ω=ω+αc-βω β=αc/ω=20000/8000/100=0.025 相当每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal 。从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人，吸收的热量又多，胖是在所难免的。

·第一阶段要求体重每周减少b=1kg ，吸收热量减至下限c min =10000kcal ，即

ω(k)-ω(k+1)=b ，ω(k)=ω()-bk

由基本模型（1）式可得

c(k+1)=1/α[βω(k)-b]=β/α·ω(0)-b/α·(1+βk) 将α、β、b 的数值代入，并考虑下限c min ，有

c(k+1)=12000-200k,k=0,1,2,..,9 （2）

吸收热量，可使体重每周减少1kg ，至10周末达到90kg 。 ·第二阶段要求没周吸收热量保持下限c min ，由基本模式

（1）式可得

ω(k+1)=(1-β)ω(k)+αc min （3）

为了得到体重减至75kg 所需的周数，将（3）式递推可得

（4）

ω(k+n)=(1-β) ω(k)+αc min [1+(1-β)+...+(1-β) ]=(1-β) [ω(k)-αc min /β]+αc min /β 已知ω(k)=90，要求ω(k+n)=75，再以α、β、c min 的数值代入，（4）式给出

75=0.975 (90-50)+50 （5）

得到n=19，即每周吸收热量保持下限10000kcal ，再有n 1-n n

n