定弦定角最值问题(含答案)汇编

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2019年初三数学定弦定角最值问题

定弦定角最值问题1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-第1题图第2题图第3题图2、如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 3、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-4、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+5、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．436、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________第6题图第7题图 7、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________8、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是弧BC 上上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________9．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________10．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________AC定弦定角最值问题1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，BC 交⊙O 于E 点，弧AE ＝弧CP ，则AD 的最小值为（ A ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-第1题图第2题图第3题图弧AE ＝弧CP ∠ACB ＝∠PDC ＝45° ∠BDC ＝135° D 在⊙G 上，AD ≥AG －4＝5－4＝12、如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ A ）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 3、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ A ）（与第1题相同解法）A ．1B ．2C ．2D ．324-4、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ B ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+5、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ C ）（与第4题相同解法）A ．21B ．22C ．23D ．436、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________3－1第6题图第7题图第8题图 7、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________2－18、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是弧BC 上上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________72 － 19．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________32+3第9题图第10题图10．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________45－ 4ACDP。

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】（2016 ·新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．41 4 2解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′ C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45 °＋45°＝90°∴AO′＝5又O′ B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE，则CE的最小值为（）A．13 2 B．13 2 C．5 D．169解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为13 2【练】（2015 ·江汉中考模拟1）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P 在射线AM上运动，连BP 交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2C．2 D．4 2 3解：连接CD∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′ C＝90°∴O′ B＝O′ C＝4又∠ACO′＝90 °∴ AO ′＝ 5∴AD 的最小值为 5－ 4＝ 1【例 3】（2016 ·勤学早四调模拟 1）如图，⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3 ，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥ AP 交直线 PB 于点 C ，则△ ABC 的面积的最大值是（） A ．12 6 3 B ． 6 3 3 C ．12 3 3 D ． 6 4 3【练】（2014 ·洪山区中考模拟 1）如图，⊙ O 的半径为 1，弦 AB ＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥ AP 交直线 PB 于点 C ，则△ ABC 的最大面积是（）A ．【例 5】如图，A （1，0）、B （3，0），以 AB 为直径作⊙ M ，射线 OF 交⊙ M 于E 、 F 两点， C 为弧 AB 的中点， D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时， CD 的最小值为 ______ 解：连接 DM∵ D 是弦 EF 的中点∴DM ⊥EF∴点 D 在以 A 为圆心的， OM 为直径的圆上运动当 CD 过圆心 A 时， CD 有最小值连接 CM∵ C 为弧 AB 的中点∴ CM ⊥ AB∴ CD 的最小值为 2 1练】如图， AB 是⊙ O 的直径， AB ＝2，∠ABC ＝60°， P 是上一动点， D 是 AP 的中点，连接 CD ，则 CD 的最小值为 _________ 解：连接 OD∵ D 为弦 AP 的中点∴OD ⊥AP∴点 D 在以 AO 为直径的圆上运动当 CD 过圆心 O ′时， CD 有最小值过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M ∵OB ＝OC ，∠ ABC ＝60°∴△ OBC 为等边三角形∴ OM ＝ 1 ， CM ＝ 322∴ O ′ C ＝ 74∴ CD 的最小值为 7 142 B ． C ．D ． 2。

(完整版)定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的鉴别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目种类】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②搜寻不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为 45°、 60°也许一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，依照三点确定隐形圆。

④确定圆心地址，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，依照点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例 1】(2016 ·新观察四调模拟1) 如图，△ ABC 中， AC＝ 3，BC＝ 42 ，∠ ACB ＝ 45°，D 为△ABC 内一动点，⊙ O 为△ ACD 的外接圆，直线BD 交⊙ O 于 P 点，交BC 于 E 点，弧 AE＝ CP，则 AD 的最小值为（）A ． 1B． 2C．2D．41 4 2解：∵∠ CDP ＝∠ ACB ＝ 45°∴∠ BDC ＝135 °（定弦定角最值）如图，当AD 过 O′时， AD 有最小值∵∠ BDC ＝135 °∴∠ BO′C＝ 90 °∴ △ BO′C 为等腰直角三角形∴∠ ACO ′＝ 45 °＋ 45 °＝ 90 °∴AO′＝ 5又O′B＝O′C＝ 4∴AD ＝5－ 4＝1【例 2】如图， AC＝ 3， BC ＝ 5，且∠ BAC ＝90°，D 为 AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于 E 点，连 CE，则 CE 的最小值为（）A ． 13 2B． 13 2C． 516 D．9解：连接 AE∵AD 为⊙ O 的直径∴∠AEB＝∠ AED ＝ 90 °∴ E 点在以 AB 为直径的圆上运动当 CE 过圆心O′时， CE 有最小值为13 2【练】(2015 ·江汉中考模拟1) 如图，在△ ABC 中， AC ＝ 3，BC ＝ 4 2 ，∠ ACB ＝ 45°，AM ∥ BC，点 P 在射线 AM 上运动，连BP 交△ APC 的外接圆于D，则 AD 的最小值为（）A ． 1B． 2C．2 D ． 4 2 3解：连接 CD∴∠ PAC ＝∠ PDC ＝∠ ACB＝ 45 °∴∠ BDC ＝135 °如图，当AD 过圆心 O′时， AD 有最小值∵∠ BDC ＝135°∴∠ BO′C＝ 90°∴O′B＝ O′C＝ 4又∠ ACO ′＝ 90°∴AO′＝ 5∴AD 的最小值为 5－4＝ 1【例3】 (2016 ·勤学早四调模拟1) 如图，⊙ O的半径为2，弦AB的长为 2 3 ，点 P 为优弧AB 上一动点， AC ⊥ AP交直线 PB 于点C，则△ ABC的面积的最大值是（）A ． 12 6 3B． 6 33C． 12 33D． 6 4 3【练】 (2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙ O 的半径为1，弦 AB＝ 1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC ⊥ AP 交直线 PB 于点 C，则△ ABC 的最大面积是（）A ．1B．2 22C．3D ．3 24【例 5】如图， A(1 ， 0) 、 B(3， 0) ，以 AB 为直径作⊙ M，射线 OF 交⊙ M 于 E 、 F 两点， C 为弧AB 的中点， D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时， CD 的最小值为 __________解：连接 DM∵D 是弦 EF 的中点∴DM ⊥ EF∴点 D 在以 A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心 A 时， CD 有最小值连接 CM∵C 为弧 AB 的中点∴ CM⊥ AB∴ CD 的最小值为 2 1【练】如图， AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 2，∠ ABC＝ 60°， P 是上一动点， D 是 AP 的中点，连接CD ，则 CD 的最小值为 __________解：连接 OD∵ D 为弦 AP 的中点∴OD⊥ AP∴点 D 在以 AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心 O′时， CD 有最小值过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M∵OB＝OC ，∠ ABC ＝ 60°∴△ OBC 为等边三角形∴OM ＝1， CM ＝3 22∴O′C＝747 1∴ CD 的最小值为42。

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】九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ABCDP2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________定角、定线段与定圆问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题（答案版）△45°＝【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC3，BC为＝＝，∠，ACBD24，CP于E点，弧AE＝△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BCABC内一动点，⊙O为的最小值为（）则AD．B．2CD．A．12241?4＝45°：∵∠CDP＝∠ACB解135°（定弦定角最值）∴∠BDC＝AD有最小值过O′时，如图，当AD 135°∵∠BDC＝＝BO90°′C∴∠BO′C∴△为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）162?21313?．D．B．5A．C 9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动13?2 CE有最小值为CE过圆心O′时，当42，∠ACB＝45°，3，BC＝AM∥BC，AC如图，在(2015【练】·江汉中考模拟1)△ABC中，＝点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2242?3 ．D ．CCD解：连接＝∠ACB＝45°∴∠PAC＝∠PDC135°BDC＝∴∠AD有最小值如图，当AD过圆心O′时，135°∵∠BDC＝90°∴∠BO′C＝4 B′＝O′C＝∴O又∠＝90°ACO′5′＝∴AO1＝5－4∴AD的最小值为32AB例【3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，的长为P，点的半径为2，弦AB为优弧⊙O ABC的面积的最大值是（）C上一动点，AC⊥AP交直线PB于点，则△3633?12312?66?334?．．AC．B ． D·洪山区中考模拟1)如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧【练】(2014AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）12．A． B 2233．．C D 24为弧于E、F两点，CAB(3，0)，以为直径作⊙M，射线OF交⊙M，【例5】如图，A(10)、B__________的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为AB的中点，D为EF解：连接DM的中点D是弦EF∵EF∴DM⊥为直径的圆上运动为圆心的，OM∴点D在以A有最小值时，CD当CD过圆心A连接CM AB 的中点∵C为弧⊥AB∴CM CD的最小值为∴12?的中点，连接AP是60°，P是上一动点，D，∠AB【练】如图，是⊙O的直径，AB＝2ABC＝__________ 的最小值为CD，则CDOD解：连接D为弦AP的中点∵OD⊥AP∴在以AO为直径的圆上运动∴点D CD有最小值′当CD过圆心O时，过点C作CM⊥AB于M∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴△OBC为等边三角形13，CM＝∴OM＝22．7＝C∴O′417的最小值为CD∴?24练习：如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DE2 _________AB 的距离的最大值是到CDE连接．当点在运动过程中，始终有，则点C?AB2。

轨迹问题之定角对定边定弦定角最值问题(含答案) (PDF版)

定弦定角最值问题----20190828【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2019·模拟)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E 点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．241-4解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为16（）A．213-B．213+C．5 D．9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+2019【练】(·洪山区中考模拟 1)如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB ＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12-【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60° ∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147-定弦定角1.（安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（）A ．23B ．2C ．13138D ．131312故选B.3.（宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为．4.等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为．答案：2-52（点H 在以BC 为直径的圆上）5.直线y ＝x ＋4分别与x 轴、y 轴相交与点M 、N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是．A.1B.2C.332 D.3答案：D （点C 在以AB 为弦的圆上）8.（外国语模拟）如图，以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，BE=BC ，过E 做EH ⊥BC ，点P 是Rt △BEH 的内心，连接AP ，若AB=2，则AP 的最小值为________.答案：22π（点P 在以BC 为弦的圆上）9.（江阴期中）如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为________．答案：π33（点F 在以AC 为直径的圆上）10.（南长区二模）如图，矩形OABC 的边OA 、OC分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(7，3)，点E 在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F(0，254)运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为________．答案：π425（点H 在以OE 为直径的圆上）。

九年级讲义：定弦定角最值问题(3)(2)

九年级讲义：定弦定角最值问题
【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）
A．1
B．2
C．
D．
【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）
A．
B．
C．5
D．
【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）
A．1
B．2
C．
D．
【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）
【练】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________
针对练习：
1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有，则点C到AB的距离的最大值是_________
A．
B．
C．
D．
【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________
【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________

专题3、中考辅助圆问题之定弦定角最值问题

隐圆再现--定弦定角问题【知识要点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

请在上方后面的图形中找到圆心。

【解题技巧】解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题讲解】例题1、如图，∠O的半径为1，弦AB﹦1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积为．例题2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．训练2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y 83 x2 3x 6 3 的顶点为A，并与x 轴正半轴交于点B，在y 轴上存在点C，使∠ACB＝30°. 则点C 的坐标是______例题3、如图，∠ABC，∠EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当∠EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．训练3、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为∠G 上一动点，CF ∠AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为．【及时训练】1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________2、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________4．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________【真题再现】1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上运动，且形状和大小保持不变，其中AB ＝4，BC ＝3．（1）当∠OAB ＝45°时，OA 的长为；（2）连接AC ，当AC ∥ON 时，求OA 的长；（3）设AB 边的中点为E ，分别求出OA 、OB 、OC 、OD 、OE 在运动过程中的长度变化范围．A C3.如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD的顶点A、D分别是边OM、ON边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB长的最大值为．2，以DE为边4,如图，点D和点E是等腰直角三角形ABC的边AC和AB上的点，且DE=2向外作正方形DEFG，则AF的最大值是。

九年级讲义：定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________O ABC DP2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为 BC 中点，P 为 AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________3.直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的顶点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是_______4、已知∠MON=300，矩形ABCD的顶点A、D分别是OM、ON上的动点，且AD=2，AB=3，则线段OB长度的最大值为___________变式：已知∠MON=450，矩形ABDC的顶点A、C分别是OM、ON上的动点，且AC=2，AB=1，则线段OB长度的最大值为___________。

九年级讲义：定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________O ABC DP2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________。

隐形圆解决最值及面积问题 - 含答案

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

典型例题讲解1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．2414解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝12.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5 D．13-B．29解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为213-3.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2C．2D．34-2解：连接CD∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴O′B＝O′C＝4又∵∠ACO′＝90°∴AO′＝5 ∴AD的最小值为5－4＝14.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．312+D．346+6312+B．336+C．35.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．436.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点 ∴DM ⊥EF ∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB ∴CD 的最小值为127.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147- 8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连结B ′D ，则B ′D 的最小值是（）．A． B.6 C. D.4【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B ′E 可知，点A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B ′是动点，当E 、B ′、D 三点共线时，B ′D 的长最小，此时B ′D ＝DE －EB ′，问题得解.【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B ′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B ′D 的长最小值= DE －EB.故选A．【启示】此题属于动点（B ′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB ′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B ′、D 三点共线时，等号成立.9.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 .【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH . 22=B D DE B E ''≤-HGB A 112AB =1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH.当然此题也可利用的基本模型解决.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连结B′D ，则B′D 的最小值是（）．A． B .6 C . D .4【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B′E 可知，点A 、B 、B′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B′是动点，当E 、B′、D 三点共线时，B′D 的长最小，此时B′D ＝DE －EB′，问题得解.【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B′D 的长最小值= DE －EB′.故选A ．【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线时，等号成立.【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是.【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH .【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.DH OD OH ≤-22=B D DE B E ''≤-HGA 112AB =1DH OD OH ≤-【针对训练】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（）.A． B ． C ． D ．3作AC 的中点D ，连接OD 、BD ，∵OB ≤OD+BD ，∴当O 、D 、B 三点共线时OB 取得最大值，∵BD=2，OD=AD=21AC=1， ∴点B 到原点O 的最大距离为1+2．故选C2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（）.A ．B .C .D .4 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）.A .6B .C .9D .优质解答如图，设 O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交 O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°，∵∠OP 1B=90°，∴OP 1∥AC ∵AO=OB ，∴P 1C=P 1B ，∴OP 1=21AC=4，∴P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1=1， x y 5612+32210-2213-22131+322如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2经过圆心，经过圆心的弦最长， P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是9．故答案为：9．4.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）.A. B . C .5 D .5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（）．A ．B ．C .D .6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是A ．B ．C .D .7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是 .8．（2017威海）如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若点P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为．解答解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP ，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，∴点P 的运动轨迹是弧AC ，当O 、P 、B 共线时，PB 长度最小，设OB 交AC 于D ，如图所示：213-213+91651-31-21-21+23-31+231-此时PA=PC，OB⊥AC，。

13、定弦定角最值问题

22九年级讲义：定弦定角最值问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD 交⊙O于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE，则CE 的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC的外接圆于D，则AD 的最小值为（）【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB 的长为2 ，点P 为优弧AB 上一动点，AC3⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3 的等边△ABC，D、E 分别为边BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P 点，则CP 的最小值为【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于E、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时，CD 的最小值为【练】如图，AB 是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD，则CD 的最小值为针对练习：1.如图，在动点 C 与定长线段 AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC于点 D，BE⊥AC于点E，连接 DE．当点 C 在运动过程中，始终有DEAB 2 ，则点 C 到 AB 的2距离的最大值是3332.如图，已知以BC 为直径的⊙O，A 为B C 中点，P 为 AC上任意一点，A D⊥AP 交BP 于D，连CD．若BC＝8，则CD 的最小值为3.如图，在⊙O中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC的底边BC 所在直线经过点D，若⊙O的半径为1，则OC 的长不可能为（）A. 2－ B. －1 C.2 D. ＋13.如图，E，F是正方形A B C D的边A D上两个动点，满足A E＝D F．连接C F交B D 于G，连接B E交A G于点H．若正方形的边长为2，则线段D H长度的最小值是( )．23.如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=4 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD，以AD 为直径的圆交BD 于E，连接CE，则线段CE 长的最小值为( )4.如图，直径 AB、CD 的夹角为 60 º，P 为⊙O一的个动点（不与点 A、B、C、D 重合）。

初中数学：定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ABC DP2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为»BC中点，P为»AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________定角、定线段与定圆问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级讲义：定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________例题4 例题5 图8【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图8，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________O ABC DP。

中考专题名校优选训练-定弦定角问题(解答题部分)

中考专题名校优选训练-定弦定角问题（解答题部分）24．（1）知识再现如图（1）：若点A ，B 在直线l 同侧，A ，B 到l 的距离分别是3和2，4AB =．现在直线l 上找一点P ，使AP BP +的值最小，做法如下：作点A 关于直线L 的对称点A '，连接BA '，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段BA '的长度即为AP BP +的最小值．请你求出这个最小值．（2）实践应用①如图（2），⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA OB ⊥，60AOC ∠=︒，P 是OB 上一动点，则PA PC +的最小值是； ②如图（3），Rt OAB ∆的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3,3)，点C 的坐标为(1,0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则PA PC +的最小值为．③如图（4），菱形ABCD 中2AB =，120A ∠=︒，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK QK +的最小值为．④如图（5），在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，点D 是BC 边上的点，3CD =，将ABC ∆沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则PEB ∆的周长的最小值是．（3）拓展延伸如图（6），在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．保留作图痕迹，不必写出作法．25．边长为22ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一个动点（点P 不与A 、C 重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时斜旋转90︒到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，连接CF ，以DF 为直径的圆交CF 于点M ． ①在点P 的运动过程中，求点M 的运动路径长； ②求线段AM 的最小值．26．如图，已知O 的半径为2，以O 的弦AB 为直径作M ，点C 是O 优弧AB 上的一个动点（不与点A 、点B 重合）．连接AC 、BC ，分别与M 相交于点D 、点E ，连接DE ．若23AB =．（1）求C ∠的度数；（2）求DE 的长；（3）如果记tan ABC y ∠=，(03)ADx x DC=<<，那么在点C 的运动过程中，试用含x 的代数式表示y ．27．【问题情境】（1）点A 是O 外一点，点P 是O 上一动点．若O 的半径为2，且5OA =，则点P 到点A 的最短距离为．【直接运用】（2）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是．【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD 的边长为6，点M 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿边BC 、CD 方向向终点C 和D 运动，连接AM 和BN 交于点P ，则点P 到点C 的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，O 的半径为4，弦4AB =，点C 为优弧AB 上一动点，AM AC ⊥交直线CB 于点M ，则ABM ∆的面积最大值是．28．如图1所示，AB 是圆的一条弦，中点记为S ，圆心为O ，过S 作任意两条弦CD 、EF ，分别交圆于C 、D 、E 、F ．（Ⅰ）如图2所示，若圆的半径为2，弦AB 的长是23，且CD EF ⊥，连接CF ，ED ，CE ，DF ，记CD 的长为x ，EF 的长为y ，求x 与y 的函数关系式，并求四边形CEDF 的面积最大值；（Ⅱ）如图3所示，连接CF ，ED 分别交AB 于点M 、N ，求证：CM MF EN ND =．29．如图，扇形AOB 的扇形角AOB ∠为90︒，点C 为弧AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合）．过圆心O 分别作弦AC 、BC 的垂线OD 、OE ，垂足分别为D 、E ．已知扇形AOB 的半径等于2．（1）求ACB ∠的度数．（2）设弦AC a =、BC b =，试求a 、b 的关系式．（3）在（2）条件下，连接AB ，分别交OD 、OE 于M 、N ，记以线段AM 、MN 、BN 为三边的三角形的外接圆半径为r ，当四边形DOEC 的面积取最大值时，求22ra b+的值．30．阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：（1）如图①，圆O 的半径为1，圆外一点A 到圆心的距离为3，圆上一动点B ，当A 、O 、B 满足条件时，AB 有最小值为．（2）如图②，等腰ABC ∆两腰长为5，底边长为6，以A 为圆心，2为半径作圆，圆上动点P 到BC 的距离最小值为．（3）如图③，OA OB ⊥，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，C 是线段PQ 的中点，且4PQ =，则在线段PQ 滑动的过程中，求点C 运动形成的路径长，并说明理由．（4）如图④，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，点E 是AB 中点，点F 是BC 上一点，把BEF ∆沿着EF 翻折，点B 落在点B '处，求DB '的最小值，并说明理由．（5）如图⑤，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，求PQ 长的最小值，并说明理由．31．已知Rt ABCBC=，过A，D两点作O，交AB ∆，90=，43∠=︒，点D是BC中点，AD ACBAC于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆O与DB相交于点Q时，过D作DH ABH并交O⊥（垂足为)于点P，问：当O变动时DP DQ-的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．32．如图，OA、OB是O的两条半径，OA OB⊥，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知6OA=．（1）求证：ECD EDC∠=∠；（2）若2=，求DE长；BC OC（3）当A∠从15︒增大到30︒的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．33．在圆O 中，AB 是圆O 的直径，10AB =，点C 是圆O 上一点（与点A 、B 不重合），点M 是弦BC 的中点．（1）如图1，如果AM 交OC 于点E ，求:OE CE 的值；（2）如图2，如果AM OC ⊥于点E ，求sin ABC ∠的值；（3）如图3，如果:5:4AB BC =，点D 为弦BC 上一动点，过点D 作DF OC ⊥，交半径OC 于点H ，与射线BO 交于圆内点F ．探究一：如果设BD x =，FO y =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O 为圆心，OF 为半径的圆经过点D ，直接写出此时BD 的长度；请你完成上述两个探究．34．小明和同桌小聪在课后做作业时，对课本中的一道作业题，进行了认真探索．【作业题】如图1，一个半径为100m 的圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，测得圆周角45C ∠=︒，求桥AB 的长．小明和小聪经过交流，得到了如下的两种解决方法：方法一：延长BO 交O 与点E ，连接AE ，得Rt ABE ∆，E C ∠=∠，1002AB ∴=；方法二：作AB 的弦心距OH ，连接OB ，BOH C ∴∠=∠，解Rt OHB ∆，502HB ∴= 1002AB ∴=．感悟：圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角、半径建立一个关系式．（1）问题解决：受到（1）的启发，请你解下面命题：如图2，点(3,0)A 、(0,33)B -，C 为直线AB 上一点，过A 、O 、C 的E 的半径为2．求线段OC 的长．（2）问题拓展：如图3，ABC ∆中，75ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22AB =，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，设O 半径为x ，EF 为y ． ①y 关于x 的函数关系式；②求线段EF 长度的最小值．35．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，33AC =，3DC =，O 是边AB 上一动点(O 与点A 和B 不重合），以OA 为半径的O 与AB 相交于点E ．（1）若O 经过点D ，求证：BC 与O 相切；（2）试求在（1）中O 的半径OA 的长度；（3）请分别写出O 与BC 所在直线相交和相离时OA 的取值范围．36．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，点M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD DB BA =+．下面是运用“截长法”证明CD DB BA =+的部分证明过程．证明：如图2，在CD 上截取CG AB =，连接MA 、MB 、MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=①又A C ∠=∠②MAB MCG ∴∆≅∆③ MB MG ∴=又MD BC ⊥ BD DG ∴=AB BD CG DG ∴+=+即CD DB BA =+根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ① ， ② ， ③ ；【理解运用】如图1，AB 、BC 是O 的两条弦，4AB =，6BC =，点M 是ABC 的中点，MD BC ⊥于点D ，则BD = ；【变式探究】如图3，若点M 是AC 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC 是O 的直径，点A 圆上一定点，点D 圆上一动点，且满足45DAC ∠=︒，若6AB =，O 的半径为5，求AD 长．37．ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．（1）探究猜想如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为：；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，正方形ADEF 对角线交于点O ．若已知22AB =，14CD BC =，请求出OC 的长．38．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．（1）已知120A ∠=︒，50B ∠=︒，C α∠=，请直接写出一个α的值，使四边形ABCD 为幸福四边形；（2）如图1，ABC ∆中，D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，AE DE =．求证：四边形DBCE 为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过D ，E ，C 三点作O ，与边AB 交于另一点F ，与边BC 交于点G ，且BF FC =．①求证：EG 是O 的直径；②连接FG ，若1AE =，7BG =，45BGF B ∠-∠=︒，求EG 的长和幸福四边形DBCE 的周长．39．定义：如图①，O 的半径为r ，若点P '在射线OP 上，且2OP OP r '⋅=．则称点P '是点P 关于O 的“反演点”．（1）如图①，设射线OP与O交于点A，若点P'是点P关于O的“反演点”，且OP PA'=，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）如图②，若点P'是点P关于O的“反演点”，过点P'作P B OP'⊥，交O于点B，连接PB，求证：PB为O的切线；（3）如图③，在Rt CDE∆中，90E∠=︒，6CE=，8DE=，以CE为直径作O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是．40．问题提出：如图①，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，4CB=，6CA=，C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求12AP BP+的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使1CD=，则12CD CPCP CB==．又PCD BCP∠=∠，所以PCD BCP∆∆∽．所以12PD CDBP CP==．所以12PD PB=，所以12AP BP AP PD+=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP+的最小值为；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP+的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，90COD∠=︒，6OC=，3OA=，5OB=，P是CD上一点，求2PA PB+的最小值．参考答案与试题解析24．【解答】解：（1）如图1中，作BM AA ⊥'于M ，连接AB ．在RT BMA ∆中，90BMA ∠=︒，4AB =，1AM =，22215BM AB AM ∴=-=，在RT BMA ∆'中，90BMA ∠'=︒，5MA '=，221525210BA BM MA ∴'=+'=+=．（2）①如图2中，延长AO 交O 于H ，连接CH 交OB 于点P ，此时PA PC +最小，OA OH =，PO AH ⊥，PA PH ∴=，PA PC PH PC HC ∴+=+=，AH 是直径，90ACH ∴∠=︒，60AOC ∠=︒，OA OC =， AOC ∴∆是等边三角形， 60HAC ∴∠=︒，在RT ACH ∆中，30AHC ∠=︒，2AC =，4AH ∴=，2223CH AH AC =-=．故答案为23．②如图3中，作点C 关于直线OB 的对称点C '，连接AC '交OB 于点P ，此时PC PA +最小，最小值AC ='，点C '坐标1(2，3)22235()()722AC ∴'=+=，故答案为7．③如图4中，当KP BC ⊥，KQ CD ⊥时，KP KQ +最小，连接AC 交BD 于点O ，由题意：111222BD CO BC KP CD KQ =+， 3KP KQ ∴+=，故答案为3． ④如图5中，E 、C 关于AD 对称，∴当点P 与点D 重合时，PEB ∆周长最小，在RT DEB ∆中，90DEB ∠=︒，3DE CD ==60DBE ∠=︒，2BD EB ∴=，设EB x =，则2BD x =，222(2)(3)x x ∴=+， 1x ∴=±， 0x >， 1x ∴=，1EB ∴=，2DB =，PEB ∴∆周长最小值33=+故答案为33+（3）作点B 关于AC 的对称点B '，连接DB '并延长交AC 于点P ，此时APB DPA ∠=∠．25．【解答】（1）证明：如图1，线段BP绕点B顺时针旋转90︒得到线段BQ，BP BQ∴=，90PBQ∠=︒．四边形ABCD是正方形，BA BC∴=，90ABC∠=︒．ABC PBQ∴∠=∠．ABC PBC PBQ PBC∴∠-∠=∠-∠，即ABP CBQ∠=∠．在BAP∆和BCQ∆中，BA BCABP CBQBBQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，()BAP BCQ SAS∴∆≅∆．CQ AP∴=；（2）解：如图1，四边形ABCD是正方形，1452BAC BAD∴∠=∠=︒，1452BCA BCD∠=∠=︒，18045135APB ABP∴∠+∠=︒-︒=︒，22DC AD==，由勾股定理得：22(22)(22)4AC+=，AP x=，4PC x∴=-，PBQ∆是等腰直角三角形，45BPQ∴∠=︒，18045135APB CPQ∴∠+∠=︒-︒=︒，CPQ ABP∴∠=∠，45BAC ACB∠=∠=︒，APB CEP∴∆∆∽，∴AP ABCE CP=，∴22xy=22(4)2(04)22y x x x x∴=-=<<．（3）如图2中，①连接DM ． DF 是直径，90DMF DMC ∴∠=∠=︒，∴点M 在以CD 为直径的J 上运动，当点P 与A 重合时，点1M 是CD （直径CD 下方）的中点，当点P 与C 重合时，点2M 是CD （直径CD 上方）的中点，∴点M 的运动轨迹是图中的半圆（红线）2π． ②连接AJ ，JM ． 2JM =22(22)(2)10AJ +AM AJ JM -， 102AM ∴-AM ∴10226．【解答】解：（1）如图：连接OB 、OM ．则在Rt OMB ∆中，2OB =，3MB 1OM ∴=． 12OM OB =，30OBM ∴∠=︒． 60MOB ∴∠=︒．连接OA ．则120AOB ∠=︒．1602C AOB ∴∠=∠=︒．（2）四边形ABED 内接于M ，180CBA ADE ∴∠+∠=︒，180CDE ADE ∠+∠=︒，CDE CBA ∴∠=∠，在CDE ∆和CBA ∆中， CDE CBA ∠=∠，ECD ACB ∠=∠，CDE CBA ∴∆∆∽，∴DE DC AB BC=．连接BD ，则90BDC ADB ∠=∠=︒．在Rt BCD ∆中，60BCD ∠=︒，30CBD ∴∠=︒．2BC DC ∴=．∴12DC BC =．即12DE AB =． 1123322DE AB ∴==⨯=．（3）连接AE ．AB 是M 的直径，90AEB AEC ∴∠=∠=︒．由AD x DC=，可得AD x DC =，(1)AC AD DC x DC =+=+．在Rt ACE ∆中，cos CE ACE AC ∠=，sin AE ACE AC ∠=， 1cos (1)cos60(1)2CE AC ACE x DC x DC ∴=∠=+︒=+； 3sin (1)sin 60(1)2AE AC ACE x DC x DC =∠=+︒=+．又由（2），知2BC DC =．112(1)(3)22BE BC CE DC x DC x DC ∴=-=-+=-．在Rt ABE ∆中，3(1)3(1)2tan 13(3)2x DC AE x ABC BE x x DC ++∠===--， ∴3(1)(03)3x y x x+=<<-．27．【解答】解：（1）连接AP 、OP ，如图4所示： O 的半径为2，2OP ∴=，523OA OP ∴-=-=，PA OA OP ∴-，3PA ∴，∴当点P 在OA 上时，PA 最短，最小值为3，故答案为：3；（2）连接OA ，交半圆于P '，连接OP ，如图1所示：2AC BC ==，BC 为半圆的直径，112OP OC BC ∴===， 90ACB ∠=︒，2222215OA AC OC ∴=++AP OA OP -， 51AP ∴-，∴当点P 在OA 上时，AP 51， 51；（3）点P 到点C 的最短距离为353，理由如下：取AB 中点O ，连接OP 、OC 、PC ，如图2所示：点M 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿边BC 、CD 方向向终点C 和D 运动， BM CN ∴=，四边形ABCD 是正方形，6AB BC ∴==，90ABM BCN ∠=∠=︒，在ABM ∆和BCN ∆中，BM CN ABM BCN AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABM BCN SAS ∴∆≅∆，BAM CBN ∴∠=∠，90CBN ABN ∠+∠=︒，90BAM ABN ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上运动， 132OP OA OB AB ====，22223635OC OB BC =+=+=，又PC OC OP -，353PC ∴-，PC ∴的最小值为353-；（4）连接OA 、OB ，如图3所示：4OA OB AB ===，AOB ∴∆是等边三角形，60AOB ∴∠=︒，11603022ACB AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒， AM AC ⊥，60M ∴∠=︒，∴点M 在以120ADB ∠=︒的D 上，4AB =，ABM S ∆最大，则点M 到AB 的距离最大，∴当AM BM =时点M 到AB 的距离最大，ABM ∴∆是等边三角形，131344432222ABM S AB AB ∆∴=⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：43．28．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OS ，OB ，点S 是AB 中点，点O 是圆心，OS AB ∴⊥，112AS AB ==，在Rt OBS ∆中，2OB =，1OS ∴=，作OG CD ⊥于G ，OH EF ⊥于H ，CD EF ⊥，∴四边形OGSH 是矩形，GS OH ∴=，根据勾股定理得，2221OG GS OS +==，221OG OH ∴+=连接OC ，22224()2xOG OC CD ∴=-=- 同理：224()2yOH =-，)224()4(122x y∴-+-=，228(234)y x x ∴-CD EF ⊥，12CEDF S S xy ∴==四边形， 2222222111(28)(14)49444S x y x x x ∴=⨯=-=--+， ∴当214x =即14x =时，S 最大7=，（Ⅱ）如图3，过O 作OL ED ⊥，OT CF ⊥．连接ON ，OM ，OS ，SL ，ST ， 12LE ED ∴=，12CT FC = ESD CSF ∠=∠，SED SCF ∠=∠，ESD CSF ∴∆∆∽，∴ES ED CS FC=， ∴ES LE CS CT= E C ∠=∠， ESL CST ∴∆∆∽，SLN STM ∴∠=∠．S 是AB 中点，OS AB ∴⊥．90OSN OLN ∴∠=∠=︒，180OSN OLN ∴∠+∠=︒，O ∴，S ，N ，L 四点共圆，同理：O ，T ，M ，S 四点共圆，STM SOM ∴∠=∠，SLN SON ∠=∠，SON SOM ∴∠=∠，OS AB ⊥，MS NS ∴=，CM MF AM MB ∴=，EN ND BN NA =，AM BN =，BM AN =，CM MF EN ND ∴=．29．【解答】解：（1）连接OC ，OD AC ⊥，OA OC =， 12DOC AOC ∴∠=∠，同理，OE BC ⊥，OC OB =， 12COE BOC ∴∠=∠， 1452DOE DOC COE AOB ∴∠=∠+∠=∠=︒， ∴在四边形DOEC 中，135DCE ACB ∠=∠=︒；（2）AC a =，BC b =，12DC a ∴=，12EC b =，在DEC ∆中，135DCE ∠=︒，过E 作EH AG ⊥，交AC 于H ，45ECH ∴∠=︒，2122EH CH b ∴===， 124DH a ∴=+，连接AB ，则DE 为ABC ∆中位线，122DE AB ∴==，在Rt DEH ∆中，222DE EH DH =+，222122()()2a ∴=+， 2228a b ab ∴+=；（3）如图2，连接CM 、CN ，由垂径定理，OD 、OE 分别为AC 、CB 的中垂线，AM CM ∴=，BN CN =，由（1）可知，45CAB CBA ∠+∠=︒， 90MCN ∴∠=︒，Rt CMN ∴∆的外接圆半径为12r MN =．由题意得：AOD COD ∆≅∆，BOE COC ∆≅∆， ∴12DOEC AOBCS S =四边形四边形． AOB ABC AOBC S S S ∆∆=+四边形，又2AOB S ∆=，∴当ABC S ∆取最大值时，AOBC S 四边形最大，则DOEC S 四边形最大， 12ABC S AB h ∆⋅=⨯， ∴当h 最大值时，ODCE S 四边形最大，C 为弧AB 中点， AC BC ∴=，即a b =，作OC AB ⊥于P 点，则AP PB =2PC =又由（2）得：228a b +=，又a b =，∴2228a +=，∴2228BC a b ===-12BE BC =，∴22124BE BC ==， 90NEB BPC ∠=∠=︒，NBE CBP ∠=∠， BEN BPC ∴∆∆∽，BE BC BN BP ∴⋅=⋅，22BE BN ∴=2(2BN ∴=2BN ∴=，2)2PN ∴==2MN r ∴=，22r PN ∴==-，又22282a b BC ===-，∴2222182(842)r a b -==+-． 30．【解答】解：（1）如图①，连接OA ，OB ，OA ，在ABO ∆中，AB AO BO -，当点B 在线段AO 上时，AB 有最小值312=-=，故答案为：点B 在线段AO 上，2．（2）如图②中，过点A 作AH BC ⊥于H ，交A 于P ，此时点P 到BC 的距离最小．6AB AC ==，AH BC ⊥，132BH CH BC ∴===， 2222534AH AB BH ∴=-=-=， 2PA =，2PH AH AP ∴===，∴圆上动点P 到BC 的距离最小值为2，故答案为：2．（3）如图③中，连接OC ．90POQ ∠=︒，4PQ =，PC CQ =， 122OC PQ ∴==，∴点C 的运动轨迹是圆弧，运动路径的长902180ππ==．（4）如图④中，连接DE ，DB '．四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，2AE EB ==，8AD =，222228217DE AE AD ∴=+=+=，2BE EB ='=，DB DE EB ∴'-'，2172DB ∴'-，DB ∴'的最小值为2172-．（5）当O 、Q 、P 三点一线且OP BC ⊥时，PQ 有最小值，设AC 与圆的切点为D ，连接OD ，如图⑤中，AC 为圆的切线，OD AC ∴⊥，8AC =，6BC =，10AB =，222AC BC AB ∴+=，90ACB ∴∠=︒，//OD BC ∴，且O 为AB 中点，OD ∴为ABC ∆的中位线，132OD BC ∴==，同理可得142PO AC ==， 431PQ OP OQ ∴=-=-=，PQ ∴的最小值为1．31．【解答】解：（1）90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，43BC =，12AD BC ∴==；（2）连DE 、ME ，如图，D M D E >，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，OE DM ∴⊥，又AD AC =，ADC ∴∆为等边三角形，60CAD ∴∠=︒，30DAO ∴∠=︒，60DON ∴∠=︒，在Rt ADN ∆中，12DN AD =在Rt ODN ∆中，1ON ==， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当M D M E =，DE 为底边，如图3，作D H AE ⊥， 2AD =，30DAE ∠=︒，DH ∴=60DEA ∠=︒，2DE =，ODE ∴∆为等边三角形，2OE DE ∴==，1OH =，30M DAE ∠=∠=︒，而M D M E =，75MDE ∴∠=︒，907515ADM ∴∠=︒-︒=︒，45DNO ∴∠=︒，NDH ∴∆为等腰直角三角形，NH DH ∴==1ON ∴=；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当O 变动时DP DQ -的值不变，DP DQ -=连AP 、AQ ，如图2，60C CAD ∠=∠=︒，而DP AB ⊥，//AC DP ∴，60PDB C ∴∠=∠=︒，又PAQ PDB ∠=∠，60PAQ ∴∠=︒，CAQ PAD ∴∠=∠，AC AD =，AQC P ∠=∠，AQC APD ∴∆≅∆，DP CQ ∴=， 23DP DQ CQ DQ CD ∴-=-==．32．【解答】（1）证明：连接OD ，如图1所示：DE 是O 的切线，90EDC ODA ∴∠+∠=︒，OA OB ⊥，90ACO OAC ∴∠+∠=︒，OA 、OB 是O 的两条半径，OA OB ∴=，ODA OAC ∴∠=∠，EDC ACO ∴∠=∠，ECD ACO ∠=∠，ECD EDC ∴∠=∠；（2）解：2BC OC =，6OB OA ==，2OC ∴=，设DE x =，ECD EDC ∠=∠，CE DE x ∴==，2OE x ∴=+，90ODE ∠=︒，222OD DE OE ∴+=，即：2226(2)x x +=+，解得：8x =，8DE ∴=；（3）解：过点D 作DF AO ⊥交AO 的延长线于F ，如图2所示：当15A ∠=︒时，30DOF ∠=︒，11322DF OD OA ∴===，150DOA ∠=︒， 2150611156315936022AOD ABD ODA S S S OA DF πππ∆⋅=-=-⋅=-⨯⨯=-弓形扇形，当30A ∠=︒时，60DOF ∠=︒， 333322DF OD OA ∴===，120DOA ∠=︒， 212061112633129336022AOD ABD ODA S S S OA DF πππ∆⨯=-=-⋅=-⨯⨯=-弓形扇形， ∴当A ∠从15︒增大到30︒的过程中，AD 在圆内扫过的面积(159)(1293)3939πππ=---=+-．33．【解答】解：（1）过点O 作//ON BC 交AM 于点N ，如图1∴AO ON AB BM=，ON OE MC CE =， 12AO BO AB == ∴12AO ON AB BM == 点M 是弦BC 的中点BM MC ∴=∴OE ON CE BM=，:1:2OE CE∴=；（2）联结OM，如图2点M是弦BC的中点，OM经过圆心O OM BC∴⊥，90OMC∠=︒，AM OC⊥，90MEO∴∠=︒90OMC MEO∴∠=∠=︒，又MOC EOM∠=∠MOC EOM∴∆∆∽；∴OM OC OE OM=，:1:2 OE CE=∴33OM OC=，OB OC=ABC OCM∴∠=∠在直角MOC∆中，3 sin3OMOCMOC∠==∴3 sin3ABC∠=；（3）探究一：如图3，过点D作DL DF⊥交BO于点L，取BC中点M，连接OM DF OC⊥，//DL OC∴，LDB C B∴∠=∠=∠BL DL∴=，10AB=，:5:4AB BC=，8BC∴=，5OC=，4BM CM==，4cos 5MC CH OCM OC CD ∴∠=== //DL OC ， ∴BL BD OB BC= 设BD x =，则8CD x =-， 58BL DL x ∴==，4(8)5CH x =-，45(8)5OH OC CH x =-=--， //OH DL ， ∴OH OFLD FL =， ∴475555588x y x y x-=+-；y ∴关于x 的函数解析式是2057y x =- 定义域是7742x <，探究二：以O 为圆心，OF 为半径的圆经过D ，OF OD ∴=，DF OC ⊥，OC ∴垂直平分DF ，FO OL =，558y x ∴=-，∴2055578x x -=-，解得：11239x =，11239BD ∴=．34．【解答】解：（1）tan OB OAB OA ∠==60OAB ∴∠=︒，延长OE 交O 于点F ，连接CF ，60F OAB ∴∠=∠=︒，OC ∴=；（2）①75ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，60BAC ∴∠=︒，如图3，延长EO 交O 于点G ．连接GF ，y ∴=；②如图3，作AH BC ⊥于点H ，Rt ABH ∆中，45ABC ∠=︒，AB =，2AH ∴=，2AD EG x ==，222AD ∴，即12x ，y ∴的最小值为3．35．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD ．OA OD =，AD 平分BAC ∠，ODA OAD ∴∠=∠，OAD CAD ∠=∠．ODA CAD ∴∠=∠．//OD AC ∴．90ODB C ∴∠=∠=︒．BC ∴是O 的切线．（2）在Rt ACD ∆中，226AD AC CD =+=12CD AD ∴=30CAD DAB ∴∠=∠=︒连接ED ，AE 为O 的直径90ADE ∴∠=︒233ADED ∴==∴243AE ED ==，即O 的半径OA 的长度是23．（3）当023OA <<时O 与BC 所在直线相离当2363OA <<时O 与BC 所在直线相交．36．【解答】【问题呈现】①相等的弧所对的弦相等②同弧所对的圆周角相等③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；【理解运用】CD DB BA =+，即6CD CD AB =-+，即64CD CD =-+，解得：5CD =，651BD BC CD =-=-=，故答案为：1；【变式探究】DB CD BA =+．证明：在DB 上截去BG BA =，连接MA 、MB 、MC 、MG ，M 是弧AC 的中点，AM MC ∴=，MBA MBG ∠=∠．又MB MB =()MAB MGB SAS ∴∆≅∆MA MG ∴=MC MG ∴=，又DM BC ⊥，DC DG ∴=，AB DC BG DG +=+，即DB CD BA =+；【实践应用】如图，BC 是圆的直径，所以90BAC ∠=︒．因为6AB =，圆的半径为5，所以8AC =．已知145D AC ∠=︒，过点1D 作11D G AC ⊥于点1G ，则11CG AB AG +=，所以11(68)72AG =+=．所以172AD =．如图245D AC ∠=︒，同理易得2AD =所以AD的长为37．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =， 90BAC DAF ∠=∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，在DAB ∆与FAC ∆中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB FAC SAS ∴∆≅∆，ABC ACF ∴∠=∠，AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，454590ACB ACF ∴∠+∠==︒+︒=︒，即BC CF ⊥；故答案为：垂直；②DAB FAC ∆≅∆，CF BD ∴=，BC BD CD =+，BC CF CD ∴=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ⊥成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．理由如下：正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF ∠=∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，在DAB ∆与FAC ∆中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAB FAC SAS ∴∆≅∆，ABD ACF ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，AB AC =，45ACB ABC ∴∠=∠=︒．18045135ABD ∴∠=︒-︒=︒，1354590BCF ACF ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， CF BC ∴⊥．CD DB BC =+，DB CF =，CD CF BC ∴=+．（3）90BAC ∠=︒，AB AC ==4BC ∴=，114CD BC ∴==， 5BD ∴=，由（2）同理可证得DAB FAC ∆≅∆，BC CF ∴⊥，5CF BD ==，四边形ADEF 是正方形，OD OF ∴=，90DCF ∠=︒， 2226DF CD CF ∴=+=，262OC ∴=． 38．【解答】（1）解：120A ∠=︒，50B ∠=︒，C α∠=， 36012050190D αα∴∠=︒-︒-︒-=︒-，若A B D ∠=∠-∠，则12050(190)α︒=︒-︒-，解得：260α=︒（舍)，若A D B ∠=∠-∠，则120(190)50α︒=︒--︒，解得：20a =︒，若B A C ∠=∠-∠，则50120α︒=︒-，解得：70α=︒，若B C A ∠=∠-∠，则50120α︒=-︒，解得：170α=︒，若C B D ∠=∠-∠，则50(190)αα=︒-︒-，无解，若C D B ∠=∠-∠，则(190)50αα=︒--︒，解得：70α=︒，若D A C ∠=∠-∠，则190120αα︒-=︒-，无解，若D C A ∠=∠-∠，则190120αα︒-=-︒，解得：155α=︒，综上，α的值是20︒或70︒或170︒或155︒（写一个即可），故答案为：20︒或70︒或170︒或155︒（写一个即可）；（2）证明：如图1，设A x ∠=，C y ∠=，则180B x y ∠=︒--，AE DE =，ADE A x ∴∠=∠=，180BDE x ∴∠=︒-，在四边形DBCE 中，180B x y BDE C ∠=︒--=∠-∠， ∴四边形DBCE 为幸福四边形；（3）①证明：如图2，D 、F 、G 、E 四点都在O 上，ADE FGE∴∠=∠，ADE A∠=∠，FGE A∴∠=∠，FGE ACF∠=∠，A ACF∴∠=∠，BF CF=，B BCF∴∠=∠，180A B BCA∠+∠+∠=︒，90ACF BCF∴∠+∠=︒，即90ACB∠=︒，EG∴是O的直径；②如图3，过E作EH AB⊥于H，连接DG，BF CF=，B BCF BDG∴∠=∠=∠，7BG DG∴==，EG是O的直径，90GDE∴∠=︒，1DE AE==，221752EG∴+45BGF B∠-∠=︒，BGF BCF CFG∠-∠=∠，45CFG CEG∴∠=∠=︒，ECG∴∆是等腰直角三角形，5CE CG∴==，7512BC∴=+=，516AC=+=，222261265AB AC BC∴++，90AHE ACB∠=∠=︒，A A∠=∠，AHE ACB∴∆∆∽，∴AH AEAC AB=，即665AH=，5AH∴=AE DE=，EH AD⊥，252AD AH∴==，∴幸福四边形DBCE的周长BD ED CE BC=+++25651512=+++285185=+． 39．【解答】（1）证明：由已知得2OP OP r '⋅=， OP PA '=，PP PA AP OP P A r ''''∴=+=+=， ∴OP PP PP OP''='， ∴点P '为线段OP 的一个黄金分割点；（2）证明：P B OP '⊥， 90OP B '∴∠=︒，2OP OP r '⋅=， ∴OP OB OB OP'=， P OB BOP '∠=∠，∴△P OB BOP '∆∽，90OBP OP B '∴∠=∠=︒， PB OB ∴⊥，PB ∴为O 的切线；（3）解：如图③，过点O 作OH CD ⊥于H ，连接OD ，6CE =，O ∴的半径为3，即3r =，点P '是点P 关于O 的“反演点”， 239OP OP '∴⋅==，9OP OP'∴=， OH OP OD ，90CEB ∠=︒，6CE =，8DE =， 10CD ∴=，84sin 105OH C OC ∠===， 41255OH OC ∴==，由勾股定理得：22223873OD OE DE ++= 9OP OP='，OH OP OD ， 973154OP '．故答案为：97315734OP '． 40．【解答】解：（1）如图1，连接AD ，12AP BP AP PD +=+，要使12AP BP +最小， AP AD ∴+最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP AD +最小，即：12AP BP +最小值为AD ，在Rt ACD ∆中，1CD =，6AC =， 2237AD AC CD ∴=+=，12AP BP +的最小值为37，故答案为：37；（2）如图2，连接CP ，在CA 上取点D ，使23CD =， ∴13CD CP CP CA ==， PCD ACP ∠=∠，PCD ACP ∴∆∆∽，∴13PD AP =， 13PD AP ∴=， ∴13AP BP BP PD +=+，∴同（1）的方法得出13AP BP +的最小值为222373BD BC CD =+=；（3）如图3，延长OA 到点E ，使6CE =， 12OE OC CE ∴=+=，连接PE 、OP ， 3OA =，OP ∴12OA OP OP OE ==， AOP AOP ∠=∠， OAP OPE ∴∆∆∽， ∴12AP EP =， 2EP PA ∴=， 2PA PB EP PB ∴+=+， ∴当E 、P 、B 三点共线时，取得最小值为：2213BE OB OE =+=．。

定弦定角经典例题

在定弦定角问题中，若弦长为10cm，半径为13cm，则弦所对的圆心角（小于平角）的度数为：A. 60°B. 90°（正确答案）C. 120°D. 150°已知圆内接四边形的对角互补，若其中一个角的度数为120°，则其对角的度数为：A. 30°B. 60°（正确答案）C. 90°D. 150°在一个半径为5的圆中，有一条长度为6的弦，该弦所对的劣弧的圆心角为：A. 72°（正确答案）B. 108°C. 144°D. 216°若圆中一条弦把和它垂直的半径分成3cm和4cm两部分，则这条弦的长度为：A. 3cmB. 4cm（正确答案）C. 5cmD. 6cm在一个圆中，若一条弦的长度等于半径，则该弦所对的圆心角（小于平角）的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°（正确答案）D. 90°已知圆的一条弦长为8cm，该弦所对的圆心角为120°，则圆的半径为：A. 4cmB. 8cm（正确答案）C. 12cmD. 16cm在一个半径为10的圆中，有一条弦与半径垂直且把半径分为两段，其中较长的一段为6，则弦长为：A. 8cm（正确答案）B. 10cmC. 12cm已知圆的一条弦把半径分为3cm和7cm两部分，且弦与半径不垂直，则弦长为：A. 4√3cmB. 6√3cmC. 8√3cm（正确答案）D. 10√3cm在一个圆中，若一条弦所对的圆心角为60°，则该弦与两条半径构成的三角形的面积为（假设半径为R）：A. (1/2)R²B. (√3/2)R²（正确答案）C. (√3/4)R²D. (1/4)R²。

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