两角和与差余弦

两角和与差的余弦

（第一课时）

一、教学目标：

（一）知识目标：

1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导；

2、能用赋值法推导C(α-β)公式；

3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。

（二）能力目标：

1、通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；

2、通过公式的灵活运用，培养学生的方程思想和变换能力。

（三）德育目标：

1、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系；

2、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；

3、通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识。

（四）美育目标：

公式，发现两角和差的三角函数与单角α、β之间的和通过鉴赏C(

α±β)

公谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。并引导学生领会C(

α±β)式的强大功能。

二、教学重难点

1．教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法。

2．教学难点：余弦和角公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能。

三、教学过程：

（一）提出问题，产生对公式的需求。

首先让学生通过具体实例消除对“cos(α+β)=cosα+cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公

式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。

（二）预备知识

1． 通过观看动画演示，形象直观地结合勾股定理简要介绍平面内两点间距

2． （结合以下问题，观看《几何画板》演示）

（1）分别指出点P 1、P 、P 2、P 3的坐标？

（2）弦P 1P 3的长如何表示？

（3）如何构造弦P 1P 3的等量关系？

[注]如何让推导公式的思路来得自然一些？课本出于叙述方便，隐去了证明的思路。教师的任务就是要给出一种合理的思路，比如我们要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，当发现|P 1P 3|可以用

cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P 1P 3相等的弦，从而才想到作出角

(-β)。这种思路和课本的叙述是不同的，但从思维的角度来讲，也许更具有某种合理性，更能激发同学通过积极思维去探索、发现问题。

（三）公式推导

1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式1324PP P P =

2．将1324PP P P =转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。

[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2 展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.

3．强调公式中α、β是任意角。用-β去代替β导出C (α-β)，初步认识用赋

值法推导新公式。要求学生注意公式中：角、函数的排列顺序及式中各项符号，引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感，从鉴赏的角度记忆公式。

（四）公式应用

正因为α、β的任意性，所以赋予C (α+β)公式的强大生命力。

1．请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的值呢？

让学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至有的同学会说他验证了

cos30°=sin60°…….（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。

2．若β固定，分别用2

π,π代替α，你将发现什么结论呢？ 让两名同学到黑板尝试，同时我走下讲台巡视，引导同学发现余弦

的诱导公式可用C (α±β)公式得到证明：

.βsin )β2

πcos(,βsin )β2πcos(,βcos )βπcos(=--=+-=±初步让学生发现C (α±β)公式是诱导公式的推广。（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）

3．倘若让你对C (α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？

可能有的同学发现cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin

β……，甚至有的会发现cos2α=cos(α+α)=cos 2α-sin 2α，这是以后要学的二倍角公式。甚至有调皮的同学竟发现： cos0=cos(α-α)=cos 2α+sin 2α=1.在无意中证明了平方关系。（据此，让同学感受到C (α±β)公式的强大功能）。（必要时，教师可适当提示）。

[注]按课本编排未必能让同学注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予C (α+β)公式的强大生命力）。于是我提出上述三

个问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值。在此基础上，学会选择恰当的数或式进行赋值推导诱导公式等。逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋值法。

4． 练习：

（1） cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步学会逆用公式。

（2） cos 215°-sin 215°，为二倍角公式埋下伏笔。

（3） c os80°cos35°+cos10°cos55°，逐步学会把不符合公式结构变

形使之符合。

（4） （2004全国高考题）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，若3cos 5α=，

则_____4πα⎛⎫+= ⎪⎝

⎭， 利用高考题的引用让学生串连三角函数的相关知识。

[注] 逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力。同时渗透了一种化归思想。

（五）总结

1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。

2、强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。要深刻领会公式承上启下的核心作用。

3、恰当赋值是学好本节基础；逆用公式是本节基本技能。

[注]通过课堂小结，可以培养学生归纳总结的能力。

（六）作业:P 40-41 1，2（2）（4），3（3）（4）（6）（8）

[注]通过布置作业使学生进一步巩固本节的重点内容。

板书设计