微分几何的基本概念

微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是：

曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。我们可以从以下几个定理来理解这个推广：

定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。

定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。 平面上的直线具有这个性质。 2. 确定一个直纹面的要素有：

所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。 正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。

确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u).

经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u)

曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。

3. 曲线的曲率公式为||r

, 空间曲线的基本公式是 . ⎪⎩

⎪⎨⎧-=+-==βτγγτακββ

κα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式

如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面．

平面上的点满足的条件为v u r r ⨯在),(00v u 点不等于零．

4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=∙=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ⨯=⨯=⨯=,,，那么c b a ,,位置关系是共面, )(s r

具有固定方向与

r r ⨯=0 的关系是充分条件 。

6. 一次函数b t a t r +=)(（t 为参数 ,a

,为常向量）的图象是 一直线, 曲线的曲率

和挠率与参数的选择关系是无关, 球面曲线的法面一定过球心, 过曲面上正常点处坐标曲线的个数为2。

7. 曲面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 可展曲面有三种类型：柱面，

锥面，切线曲面, 两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，它们具有相同的第一基本形式, 球面曲线的法面一定过球心．

（1） 称二次微分式>=<)(),())(),((u dP u dP u dP u dP I 为曲面S 的第一基本形

式。

（2） 记

>

∂∂=<=n u P h L ,/2

1211，M=

>

∂∂∂=

N=>∂∂=

2

222 我们称

2

2

22221212212122121,/,/2,/),(),(du n u P du du n u u P du n u P du du N M

M L

du du dP dP >∂∂<+>∂∂∂<+>∂∂=<⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡= 为S 在),(21u u P 处的第二基本形式，称L ，M ，N 为第二类基本量。 8．曲线的参数方程：

由矢量分析可知，若矢函数],[),(21t t t t r r ∈=中的矢量r 为半径，且在区间],[21t t 上连续，则矢径终点的轨迹一般为一条空间曲线，且)(t r 的坐标分量表达式就是该曲线的参数方程。

即若)}(),(),({)(t z t y t x t r =对应一条空间曲线Γ，则⎪⎩

⎪

⎨⎧=∈==)(],[),()

(21t z z t t t t y y t x x 为Γ的参数方程。

9． 几种特殊的矢函数：

（1）矢函数)(t r 为定长变矢的充要条件是0='⋅r r 。 （2）不为零的变矢 )(t r 为定向变矢 的充要条件是0='⨯r r 。

（3）若0≠'⨯r r ，则变矢 )(t r 平行于某一平面的充要条件是0),,(='''r r r 。

二 、 包络面：如果圆222R y x =+（R 是常数）是直线族0=++C By Ax 的包络，那么这个直线族一定是圆的切线族，所求条件是2222)(C B A R =+。 曲线论基本定理 给定区间 I = (a , b ) 上的连续可微函数`κ(s ) > 0 和连续函数`τ(s ) ，则在 E 3 中

① 存在弧长 s 参数化曲线 C : r = r (s ) ，使其曲率函数 κ(s ) =`κ(s ) ，并且其挠率函数 τ(s ) =`τ(s ) ；

② 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的．

曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行．

曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在

唯一性结果．

——只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet 公式．

例1 求平面族01sin sin cos =--+λλλz y x 的包络面)(∞<<-∞λ。 解答：λ

∂∂

=

0)1sin sin cos (--+λλλz y x =λλλcos cos sin z y x -+-， 于是，

λλs i n c o s )(x z y =-。 令

λc o s t x =， 则

λs i n t z y =-。

代入平面族的方程，可得1=t ，因而1)(,sin ,cos 22=-+=-=z y x z y x λλ，这就是包络面的方程发。又 ),s i n ,(c o s ),,(z z z y x λλ+= =)1,1,0()0,sin ,(cos z +λλ， 所以这个包络面是一个柱面。

例2 求半径为R ，球心位于圆周⎩⎨⎧==+0222z a y x 上的球面族的包络面，这里R ，

a 全是正常数。

解答： 该球面族即为

2222)s i n ()c o s (R z a y a x =+-+-λλ。 对参数λ求导，有

λλc o s s i n

y x =。 令λcos )(t a x +=，则λsin )(t a y +=，代入球面族方程，有 222z R t -=， 222)(t a y x +=+，

=at 2 22y x +222a z R -+-。