飞行力学第七章

(2Cm

Ma
Cm Ma
)

1 Iy
( q* sc a
Cm ) Ma
1ms
M

M Iy

1 Iy
qscCm
1 s2
引入符号
M

M Iy

1 c2 I y V* qsCm
1s
Mq

Mq Iy

1 c2 I y V* qsCmq
1s
方程重新整理得
x V q T
2

2n


2 n

0
对应二阶系统微分方程为
x 2nx n2x 0
系统特征根为
1,2 n in 1 2
i
对应二阶系统微分方程的解为
x(t)

X
e1t
1

X 2e2t
典型模态
典型模态：每个实特征根或每对复特征根代表一种简单运动， 称为典型模态。飞机总运动由各典型模态迭加。
V XV





ZV
q MV M ZV



0
X g Z M M Z
0
0 1 Mq M 1
g V
0




0 q
0




对于稳定性问题
x Ax, x(0) 0
计算结果
b1, b2 , b3 , b4 0 R 29.88 0
纵向运动具有动稳定性。
6. 特征根计算
计算结果
1,2 2.520 2.597i 3,4 0.017 0.213i
分析 一对模值较大的共轭复根；一对模值较小的共轭复根。
7. 模态特性分析
模态1： 1,2 1 1i 2.52 2.597i
通解取决于特征行列式
a11 a12 a21 a22
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
a1n a2n 0
an1
an2
ann
展开后为关于λ的n次实系数代数方程，存在n个根。
无重根时的通解形式：
xi (t )

C e1t i1

C e2t i2
t2 : 发散振荡振幅包线或单调发散运动幅度增至初始二倍 所需时间。
若


为负实根： x (t1 2 )
j
x (0)
j
j
e jt1 2
1 2
ln 2 0.693
t1 2 j j j
总之，实根 j 或共轭复根k ik对应的半衰时／倍幅时为
t1/ 2或t 2
7.1.1 纵向扰动运动方程和基本求解理论
基准运动为无侧滑、无滚转的定直平飞，并且 * 0
即 sin(* ) 0
cos(* ) 1
根据纵向小扰动方程，握杆时(e 0)纵向扰动运动满足
mdV dt
(TV

DV )V
D
W
d
不同类型特征根对应的模态运动：
实型特征根 y ejt
t
0
j 0 单调衰减
t
0
j 0 单调发散
t
0
j 0 等值
复型特征根 k ik y ekt sin(k t )
0
t0
t0
t
k 0 阻尼振荡 k 0 发散振荡
结 1. 初始状态非零时，
即 x Ax Bu, x(0) 0
0 1 Mq M 1
g V
0





0 q
0




这是非齐次方程，应用前述此方程求解,如前面所述 的线性微分方程的求解理论，其解的结构为，
n
x(t) X ieit g(t) i 1
CLa 4.44(1/rad) CLq 3.8
CD 0.33(1/rad) Cm 4.36
Cm 0.683(1/rad) Cmq 9.96
2. 等效气动导数计算
等效气动导数计算结果
X
D m
1 m
(qsCD ) qsCD

m
1 Z mV* qsC L
t1 2 0.275s T 2.42s N1 2 0.11次
短周期模态
特点：周期短，频率高，阻尼大(衰减快)的振荡运动
模态2： 3,4 2 2i 0.017 0.213i
t1 2 40.31s T 29.5s
N1 2 1.37次
长周期模态
特点：周期长，频率低，阻尼小(衰减慢)的振荡运动
x() 0 x(t) x(0)
(3) 当 0
x()
结论：x随时间的变化过程取决于特征根，且x的终值取
决于特征值的符号。
多元线性自由系统——齐次微分方程组
(1) 形式
x1 a11 x1 a12 x2

x2

a21
x1

a22
x2


xn an1 x1 an2 x2
一元线性自由系统——齐次微分方程
形式 dx ax 0 dt
通解取决于 a 0
或记为 x ax 0 即 a —特征方程及特征值
通解 x(t) Cet
故 x(t) x(0)et
无论初 值如何
取决于初值， C x(0)
(1) 当 0
(2) 当 0
k 0 等幅振荡
论
当且仅当所有
或
j
k

ik具有负实部时，
xi ()

0
若某一特征值具有正实部时, xi ()
2. 每一模态对各个状态参数 xi的影响体现在其幅值和相位；
这与特征值对应的特征向量有关。
3.模态运动参数
(1) 半衰期或倍幅时 (t1 2或t2 )
t1 2 : 阻尼振荡振幅包线或单调衰减运动幅度减至初始一半 所需时间。
引言
概述 动稳定性
研究飞机状态受到扰动后，最终能否恢复到原来的飞行 状态，及恢复过程的动态特性。
动操纵性
在操纵作用下，研究飞机从一个飞行状态改变到另一个 飞行状态的动态特性。
研究方法
以动力学方程为基础，通常简化为小扰动线化方程。
x f ( x, u, t) x Ax Bu
定常线性常微分系统分析方法
mV0( dt

d
dt
)

LV V

L
(L T*)
Iy
d q dt

MV V

M

M

Mq q
q d
dt

引入符号
XV

TV
DV m

1 m
T V

1 m
(qsCD ) V

1 m TV

qs mV*
(2CD
解
数
计
计
析
据
算
算
计
算
1. 飞机原始特性数据
初始状态参数
Ma* = 0.158
H 0
ρ = 1.225(kg/m3 ) c = 340(m/s)
构造参数
W 12224(N)
S 17.1(m2 )
c 1.74(m)
气动参数
I y 4067.5(kg m2 )
CL* 0.41
CD* 0.05
b4 g( Z MV ZV M )
对于四次特征方程，当且仅当下列行列式及其各阶主子式为 正时，飞机存在动稳定性（特征根具有负实部）：
b1 1 0 0 b3 b2 b1 1 0 b4 b3 b2 0 0 0 b4
1) b1, b2 , b3, b4 0
2) R b1b2b3 b12b4 b32 0 Routh-Hurwitz判据
b4 g(Z MV ZV M )
计算结果
b1 5.0753 b2 13.3126 b3 0.6770 b4 0.59816
5. Routh-Hurwitz稳定性判别
判据
1) b1, b2 , b3, b4 0 2) R b1b2b3 b12b4 b32 0
………M…………MI…y……I1y qscCm
3. 系统矩阵
m s2 1s
1 s2
4. 特征方程系数计算
计算公式
b1 Z ( XV Mq M )
b2 ZV ( X g) XV (Z Mq M ) M Mq Z b3 XV (Z Mq M ) gZV (Mq M ) X (ZV Mq MV )
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
第七章
飞机的 纵向稳定性与操纵性
内容
引言 7.1 飞机纵向运动稳定性 7.2 飞机纵向动操纵性 7.3 带自动器飞机的纵向操纵性和稳定性特性 7.4 飞机的纵向飞行品质 小结

Ma
CD ) Ma
1s
X


D m
1 (qsCD ) qsCD
m
m
m s2
Z

L mV*

1 mV*
qsCL
1s
ZV

LV mV*

1 mV*
(qsCL ) V

qs mV*2
(2CL

Ma
CL ) Ma
1m
MV

MV Iy

1 Iy

q*sc V*
i 是特征矩阵A的特征值，g(t) 是一个特解，Xi 由初
始条件确定。
7.1.2 模态特性分析方法
1.稳定的特征行列式
XV
(X g)
0
g
()
ZV
Z
1
0
0
(MV M ZV ) (M M Z ) (Mq M ) 0
dx dt

x



q


MV
ZV M
ZV



0
X g Z M M Z
0

Xe

Ze
Me M Ze


0
XT

MT
ZT M
ZT

e


T


0


0.693
j
或
0.693
k
(2) 振荡角频率或周期T
n 1 2
T 2 2 n 1 2
n 为无阻尼自振频率
反映振荡时阻尼 和频率间关系
(3) 半衰时或倍增时内振荡次数 ( N1 2或N2 )
N1 2

t1 2 T

0.693 k 2 k
0.11 k k
当b4=0，一实根临界； 当R=0，一对复根临界。
2.二阶振动系统
上述一元四次代数方程可分解为两个一元二次代数
方程之积(2 D1 F1)(2 D2 F2 ) 0
Routh-Hurwitz判据 D1 0, F1 0, D2 0, F2 0 二阶系统特征方程可进一步表达为标准形式
dV dt

XV V
(X

g)

g

0
d
dt

ZV
V

Z

q
0
= x1 x2 x3 x4 T
d q dt (MV
M ZV
)V (M
M Z
) (Mq
M )q 0
d q 0
dt
( )
N2

t2 T

0.11 k k
N 1/ 2或N 2

0.11
k k
7.1.3 典型的纵向运动模态
学习内容
典型模态特性 纵向小扰动运动 稳定特性
物理成因
实例分析（P211例题）
对于常规布局飞机，其模态特性呈现一定的规律。
分析步骤
飞
等
特
特
小
机
效
征
征
扰
原
气
方
根
动
始
动
程
计
运
特
导
系
算
动
性
数
数
0
0
1

展开可得特征方程: () 4 b13 b22 b3 b4 0
b1 Z ( XV Mq M )
式中：b2 ZV ( X g) XV (Z Mq M ) M Mq Z
b3 XV (Z Mq M ) gZV (Mq M ) X (ZV Mq MV )
此方程求解,如前述四阶线性常系数微分方程的求解， 即求特征矩阵A的特征根及相应的特征向量
当所有的n个特征根互异时，其解为
n
x(t) X ieit i 1
Xi 是特征矩阵A相应于i 的特征向量，具体值取决于
初始条件。
对于操纵性问题，讨论施加操纵后的飞机运动情况， 对应的运动模型为
V XV


C ert ir

A e1t i1
sin(1t
i1
)

A e2t i2
sin(2t

i2
)


A est is
sin(st
is
)
其中 1 r为r个实根；
1 i1 s is 为s对复根；
系数 Cij 、Aik及 ik 与初始条件有关。
7.1 飞机纵向运动稳定性