中国矿业大学 概率论复习----典型考题汇总
概率论与数理统计习题及典型题解
习题及典型题解选择题○★1.事件,,A B C 中恰好有一个事件发生的事件是( ). (A);ABCABC ABC (B);ABC(C);ABC ABC ABC(D).A B C 答案A★.事件E ={事件,,A B C 至少有一个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);AB C(B);ABC Ω- (C)));(()(B A C A B A -+-+ (D).ABAC BC Ω-答案D(和A B +即并A B ,常用于,A B 互斥AB φ=时的A B )○★2.事件,,A B C 中恰好有两个事件发生的事件是( ).(A);ABCABCABCABC(B);ABAC BC(C);ABC ABC ABC(D).A B C 答案C○★4.事件E ={事件,,A B C 至少有两个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);BC A C B A C AB ABC +++(B);ABAC BC (C);BC A C B A C AB ++ (D).AB BCAC Ω-答案C○.投掷两颗均匀色子,则出现点数之和等于8的概率为( ). (A);111 (B);125 (C);61(D).365 9.从数字1～9中任取3个排成一个三位数, 所得三位数为偶数的概率是( ).(A)49; (B)59; (C)13; (D)19.○.一批产品共50件,其中有5件次品,任取2件,无次品的概率为( ). (A);101 (B);109 (C);24599 (D).245198答案D○★.某办公室10名员工编号从1到10,任选3人其最大编号为5的概率为( ). (A)1;12(B)1;20(C)1;5(D)1.4答案B○★.设,A B 为两事件,1(),3P A =23(|),(|),35P A B P B A ==则()P B =( ).(A)1;5(B)2;5(C)3;5(D)4.5答案A○.设()0.5,(|)0.8,P A P B A ==则()P AB =( ). (A)0.5; (B)0.6;(C)0.8;(D)0.4.答案D ○.设,3.0)(,4.0)(==B A P A P 则=)|(A B P ( ).(A)0.5; (B)0.6;(C)0.7;(D)0.8.答案A 6.已知()0.7,()0.3,()0.2,P AB P B P AB ===则()P A =( ).(A)0.2; (B)0.6; (C)0.4; (D)0.5 .○.已知()0.4,()0.3,()0.5,P A P B P A B ===则()P AB =( ). (A)0.1; (B)0.3; (C) 0.9; (D)0.2.10.已知,4.0)(,8.0)(,5.0)(===AB P B P A P 则=)|(B A P ( ). (A)0.4; (B)0.5; (C)0.8; (D) 0.6.12.设,8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则=)(B A P ( ). (A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8.答案C14.已知事件,A B 独立,()0.5,()0.1,P B P AB ==则()P A =( ). (A)0.5; (B)0.4; (C)0.2; (D)0.1. ○★15.设11(),(),32P A P B ==且,A B 独立,则=)(B A P ( ).(A)1/3; (B)1/2; (C)2/3;(D)5/6.答案C17.已知()0.6,()0.4,P A P AB ==则()P A B -=( ). (A)0.4; (B)0.2; (C)0.24; (D)0.6.○★18.设事件,A B 独立,()0.8,()0.5,P A P B ==则()P AB =( ). (A)0.2; (B)0.3; (C)0.4;(D)0.6.答案C★.设C B A ,,两两独立,()0.2,()0.4,()0.6,()0.96,P A P B P C P AB C ====则()P A B C =( ). (A)0.24, (B)1,(C)0.8,(D)0.52.答案C19.设X则a 为( ).(A)0.2; (B)0.3; (C)0.4; (D)0.1.○★21.设变量X 的密度21,01,()0,cx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他,则c =( ).(A)0; (B)3; (C)2;(D)1/3.答案A○★22.已知变量X 的分布20,0,(),01,1,1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨>⎪⎩ 则112P X ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭=( ).(A)1; (B)0; (C)1/4; (D)3/4. ○23.)(x Φ是标准正态分布函数,则=≤≤-)(a X a P ( ). (A);2/1)(-Φa (B);1)(2-Φa (C));(a Φ (D)).(1a Φ-答案B○★.设随机变量)4,1(~N X ,则下列变量( ))1,0(~N . (B)1;2X - (C);2X (D).4X 答案B○★.设变量X 密度,},4)3(ex p{21)(2R x x x f ∈+-=π则下列变量( )).1,0(~N(A);23+X (B);23+X(C);23-X答案B○★.设X 服从正态分布2(,)N μσ,则随着σ的增大,概率(2)P X μσ-<( ).(A)单调增加; (B)单调减小; (C)保持不变; (D)增减不定. 答案C★.A 地到B 地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟)~(50,100)X N ;第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间~(60,16)Y N .(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( ). (A)均应走第一条路; (B)均应走第二条路; (C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路; (D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路. (1)走第一条路线能及时赶到的概率7050(70)(2)0.9772,10P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭走第二条路线能及时赶到的概率7060(70)(2.5)0.9938,4P Y -⎛⎫≤=Φ=Φ=⎪⎝⎭在这种场合应走第二条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率6550(65)(1.5)0.9332,10P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭而走第二条路线能及时赶到的概率6560(65)(1.25)0.8944,4P Y -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭此时以走第一条路更为保险.答案D○▲.设变量X 的密度为()f x ,且()()f x f x =-,分布为()F x ,则对任意实数a ,有( ).(A)0()1()d a F a f x x -=-⎰; (B)01()()d 2a F a f x x -=-⎰; (C)()()F a F a -=; (D)()2()1F a F a -=-.答案B○★.设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数( ). (A)连续函数; (B)有一个间断点; (C)阶梯函数; (D)有两个间断点. 答案B★.设二维变量(,)X Y 分量,X Y 同分布,1(1)4P X =-=,1(0)2P X ==,1(1)4P X ==,且(0)1P XY ==,则22()P X Y ==( ).(A)0; (B)1/4;(C)1/2;(D)1.答案A○★.关于二维分布下列叙述中错误的是( ). (A)联合分布决定边缘分布;(B)边缘分布不能决定联合分布; (C)联合分布不同,边缘分布可能相同; (D)边缘分布之积即为联合分布.答案D○★.设二维变量211,02,,03(,)~()0,x y x xy X Y f x ⎧≤≤≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它,则(1)P X Y +≥=( ).(A)65;72 (B)7;72 (C)11;12 (D)1.12答案A可先计算{1}P X Y +<○★.已知二维变量sin(),0,,(,)~(,)40,.C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ).答案D(A)1/2;2;1;1.○★.设二维变量22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae -+++-+-=,则A 的值为( ).(A)3π(B)π3 (C)π2答案B○★.设变量),(~p n B X ,期望4.2)(=X E ,方差44.1)(=X D ,则参数p n ,的值为( ). (A);6.0,4==p n (B)6,0.4;n p == (C)8,0.3;n p == (D)12,0.2.n p == 答案B○★.已知离散变量X 的取值为11x =-,20x =,31x =,且()0.1E X =,()0.89D X =,则对应于123,,x x x 的取值概率123,,p p p 依次为( ). (A)0.4,0.1,0.5; (B)0.1,0.4,0.5;(C)0.5,0.1,0.4; (D)0.4,0.5,0.1.答案A○★.设二维变量(,)X Y 的边缘,X Y 不相关,则下列推论不正确的是( ). (A),0;X Y ρ= (B),X Y 独立; (C)ov(,)0;C X Y = (D)()D X Y DX DY +=+答案B○★25.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体2(2,4)N 的简单样本,X 是样本均值,正确的是( ). (A));1,0(~/42N nX -~(0,1);X N~(0,1);X N(D)).1,0(~42N X - 答案A☆.设随机变量,X Y 方差不为零,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y ( ). (A)不相关的充分条件,但非必要条件; (B)独立的必要条件,但非充分条件; (C)不相关的充分必要条件; (D)独立的充分必要条件. 答案C☆.设()1,()4,cov(,)1D X D Y X Y ===,则2U X Y =-,2V X Y =-的相关系数为( ). (A)0;(C)1;2答案D○★.设,X Y 独立同分布(0,1) N ,则关于22Z X Y =+的分布叙述错误的是( ). (A)参数为1的指数分布; (B)参数为1/2的指数分布; (C)参数为2的卡方分布; (D)参数为1的瑞利分布的平方. 答案A▲.设变量,X Y 独立同分布(0,1)N ,91,,Y Y 是Y 的样本,则~T =( ).(A)(9);t (B)(8);t(C)2(9);χ(D)2(8).χ答案A○★.设独立随机变量),(~2σμN X ,)(~2n Y χ,则统计量~)(YX n σμ-( ).(A)(1);t n - (B)();t n (C)(0,1);N(D)(1,).F n答案B○★.设i X 独立同分布2(,)N μσ,记2211()1n i i S X X n ==--∑,22111()ni i S X X n ==-∑, 22211()1n i i S X n μ==--∑,22311()ni i S X n μ==-∑.则服从分布(1)t n -的是( ).123答案B○★.设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的独立样本,其中μ未知,计算总体方差2σ的置信度为1α-的置信区间时,使用的统计量是( ).(A)2();n χ (B)2(1);n χ-(C)();t n (D)(1).t n -答案B○★.设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的独立样本,已知μ,计算总体方差2σ的置信度为1α-的置信区间时,使用的统计量是( ). (A)2();n χ (B)2(1);n χ-(C)();t n (D)(1).t n -答案A○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(0,)N σ的样本,则服从(1)t n -的统计量是( ).(B);nX S(D)2.nX S 答案A○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的样本,则2σ的无偏估计是( ).(A)μ已知时,统计量211()1ni i X n μ=-+∑; (B)μ已知时,统计量211()1ni i X n μ=--∑; (C)μ未知时,统计量211()ni i X X n =-∑; (D)μ未知时,统计量211()1ni i X X n =--∑. 答案D○★.设总体),(~2σμN X ,均值μ的置信度为95%的置信区间含义是( ). (A)平均含总体95%的值;(B)平均含样本95%的值;(C)以95%的概率包含μ的值; (D)μ的分布在置信区间的概率为95%.答案C○★.已知正态总体方差2σ,则均值μ的置信区间长度L 与置信度1α-的关系是( ).(A)当1α-变小时,L 缩短; (B)当1α-变小时,L 变长;(C)当1α-变小时,L 不变;(D)以上说法都不对. 答案A 填空题○★.甲,乙,丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹,设事件,,A B C 分别表示甲,乙,丙击中目标.则三门炮至少有两门炮击中目标如何表示 . 答案AB AC BC ABC ABC ABC ABC +++或或ABBCAC Ω-或)ABC ABC ABC ABC Ω+++-(E ={事件,,A B C 至少有两个发生}的多种表示:;ABAC BC ;ABC ABC ABC ABC +++()()()A BC B AC C AB ---;()()()AB AC B C ;ABBCAC Ω-;()()()AB ABC AC ABC BC ABC ABC -+-+-+;)ABC ABC ABC ABC Ω+++-(;()()A BC BC ABC -+-及交换次序;()()AB AC AB BC AB +-+-及交换次序; )ABC ABC ABC ABC ++-(;()()()()AB C A B C B A C C A B --+-+-.★.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概率为490.656110⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此牌号含有数字8的概率即答案为4910.343910⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ○★.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只,恰有2只红球的概率为 .答案3518371324=C C C ○★.设M 件产品中含m 件次品,从中任取两件至少有一件次品的概率为 .答案221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ▲.产品中有10件次品, 90件正品,抽取5件至少有一件次品的概率为 .答案41625.058375.0115100590=-=-C C○★.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .答案762826)(22821224=⨯=C C C ★.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .答案1312141341339352133120.602422100C C C C C C +=≈或392610.60245150-≈ ○.袋中有a 只红球,b 只黑球,有放回摸球,则{P 第k 次摸球首次摸到红球}= .答案11()k k kb a ab a b a b a b --⎛⎫= ⎪+++⎝⎭★.在贝努利试验中每次试验成功的概率为,p 试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案11()(1)(1),2,3.k k k p P X k p p p p k --===-+-=⋅⋅⋅★.在贝努利概型中,()P A p =,求在出现3次A 以前出现3次A 的概率为 .{P 出现3次A 以前出现3次}A 53{k P ==∑出现3次A 以前出现3次,A 且共试验k 次}(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次A ,或者至少出现3次A )53{k P ==∑前1k -次贝努利试验出现2次A ,且第k 次试验出现A }21222234p p C p q p C p q p =⋅+⋅+⋅31323234.p C p q C p q =++或{P =贝努利试验5次试验中至少出现3次A }33244555.C p q C p q p =++(证明两结果相等)○.设,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P 则=)(AB P .答案7.0 39.设事件B A ,独立, P (A )=0.4, P (B ) =0.6, 则P (A ∪B )= .答案0.76○★.已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()6P AC P BC ==,则C B A ,,全不发生的概率为 .答案712▲.设三个事件,,A B C 独立,且()0P ABC =,1()()()2P A P B P C ==<,9()16P ABC =,则()P A = .答案1()4P A =.40.甲,乙独立地射击,中靶率依次为0.8,0.7,则都中靶的概率为 .▲.某单位装有两种系统A 与B ,系统A 单独使用时有效概率为7.0;在系统A 有效的条件下,系统B 有效概率为84.0.则两种系统都有效的概率为 .答案0.588○★43.产品经两道独立工序,每道工序次品率为2.0,则产品是次品的概率为 . 答案291(10.2)25--=○★.产品经三道独立工序,每道工序次品率为2.0,则产品是次品的概率为 . 答案3611(10.2)125--=○46.设连续型变量X 的分布22,0,()0, 0.x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨≤⎪⎩则=A ,=B .由分布性质得22200020lim ()lim (),1()lim (),x x x x x F x A Be A B F A Be A -→→+-→-∞⎧==+=+⎪⎪⎨⎪=+∞=+=⎪⎩答案1=A ,1-=B ○51.已知变量X 密度)(x f =11,20,x ⎧-+⎪⎨⎪⎩其它.02,x ≤≤则X 的分布函数)(x F = .答案⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<=.2,1,20,41,0,0)(2x x x x x x F○.设离散型随机变量X则X 的分布函数为 .答案0,0,0.3,01,()0.5,12,1, 2.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩★.已知变量X 的分布函数为20,1e ,()0.0,x x F x x ->⎧-=⎨≤⎩则{}13P X -≤<= .○.设X 的分布列为则2Y X =的分布列为 .○★.设随机变量X 的分布列为则2Y X X =+的分布列为 . 答案▲.已知变量X 的分布30,0,(),01,1,1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨>⎪⎩则1142P X ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭= .★.公共汽车站台上，某路公共汽车每5分钟有一辆到达,假设乘客到达时间均匀分布,则10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率是 ;10位乘客中没有1位等待时间超过4分钟的概率是 .答案0.268；0.1072☆.一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2(),800.af x x x=≥若随机独立抽取6件产品,则至少有两件寿命大于1000小时的概率为 . 答案624/625=0.9984.(a =800)○★.一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 .答案2/51;e --/51,02,()1, 2.x e x F x x -⎧-≤<=⎨≥⎩ ○.设随机变量~(3,9)X N ,则变量3~3X Y -=. ○▲.设随机变量X ~)2,1(2N ,则概率=≤≤)5.32(X P .)975.0)96.1(,894.0)25.1(,841.0)1(,691.0)5.0((=Φ=Φ=Φ=Φ答案203.0203.0691.0894.0)5.0()25.1(215.321212)5.32(=-=Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤X P X P○★.设X 为正态分布,计算:(1)若X ~2(1,2),N 概率{ 3.5},P X ≤{02};P X <≤(2)若2~(,),X N μσ概率(22).P X μσμσ-<<+(1) 3.51{ 3.5}(1.25)0.894.2P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭2101{02}22P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(0.5)120.69110.382.=Φ-=⨯-=(2)(22)2(2)120.97710.954.P X μσμσ-<<+=Φ-=⨯-=○★.设随机变量12,X X 独立同服从分布(0,1)N ,则12(||P X X -≤= .答案2(1)10.6826Φ-=○★.设随机变量X 密度2(),,x f x e x R π-=∈则其方差为 .答案12π○★28.用二维随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）(0)_____;P Y a <≤=（2）(,)______;P a X b Y c <≤≤=（3）(,)_____.P X a Y b >≤= 答案（1）F(+∞,a)-F(+∞,0),（2）F(b,c)-F(a,c),（3）F(+∞,b)-F(a,b)○★.设独立指数分布12(),()X E Y E λλ,则()P X x Y y ≥≥=或 ( ).答案DA.1212()1xy x y ee e λλλλ---+--+ B.12()x y e λλ-+ C.12()1x y e λλ-+- D.1212()x y x y e e λλλλ---++-○★.设独立指数分布12(),()X E Y E λλ,则1112(,)P X Y λλ--≥≥= .答案2e -121212()(,)()()(1)(1)1x y x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e e e λλλλλλ-----+≤≤=≤≤=--=--+ 1212()(,)()()x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e λλλλ---+≥≥=≥≥== ()()()(,)P X x Y y P X x P Y y P X x Y y ≤≤=≤+≤-≤≤或12121212()()1111x x x x x y x y e e e e e e λλλλλλλλ-----+-+=-+-+-=-（）（）-+1212()()()()(,)x y x y P X x Y y P X x P Y y P X x Y y e e λλλλ---+≥≥=≥+≥-≥≥=+-或○.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2P X ==,则变量max{,}Z X Y =的分布列是 .答案13(0),(1).44P Z P Z ====○.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2P X ==,则变量min{,}Z X Y =的分布列是 .答案31(0),(1).44P Z P Z ====○★.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布列为 .22343335551133{3},{4},{5}.10105C C P X P X P X C C C =========通式.5,4,3,20)2)(1()(3521=--===-k k k C C k X P k 或.5,4,3,20)2)(1()1()()(352135313=--==-=-≤-≤==--k k k C C C C C k X P k X P k X P k k k ★.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布函数为 .答案0,3,0.1,34,()0.4,45,1,5.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩★.在编号为1至5的球中任选3只,最小号码X 的分布列为 .2535(5)(4)(),1,2,3.20k C k k P X k k C ---====.3,2,1,20)4)(5()1()()(32533536=--==-=-≥-≥==---k k k C C C C C k X P k X P k X P k kk 或 ○.设二维变量),(Y X 边缘独立= ,β= .答案11,,36αβ==或11,.63αβ== ★.设二维变量),(Y X 边缘独立,联合分布阵列如下,则α= ,β= .两行成比例,1:218:9131:61:===βα答案3=α,9=β. ★.设二维变量(,)X Y 的边际,X Y 均为10-分布,1(0,0)3P X Y ===,1(1,1)6P X Y ===,且事件{0}X =与{1}Y =相互独立,则(0,1)P X Y ==,(1,0)P X Y ==的值分别为 .答案16,13或13,16★.用联合分布(,)F x y 表示概率(,)P X a Y b >≤= . 答案()(,)=(,)(,)X F b F a b F b F a b -+∞-★.设指数分布~(),~()X E Y E λμ独立,则(,)P X x Y y >>= .答案()x y eλμ-+@.设二维变量1,||1,||1,(,)40,.xy x y f x y +⎧⎪<<=⎨⎪⎩其它则,X Y 是否相互独立 ;22,Y X 是否相互独立 .答案否;是.○★.设变量X 密度,01,()0,cx x f x α⎧≤≤=⎨⎩其它,且,75.0=EX 则=DX .答案3,80DX =(3,2)c α== 13.设离散型变量X 的分布列如下,则变量21Y X =+的期望EY = .答案8.8EY =○.设随机变量,X Y 的数学期望分别为5和0,则随机变量32X Y -的期望为 .58.设随机变量,X Y 相互独立,并且方差分别为4和9,则方差(2)D X Y += . ○.设独立变量,X Y 的方差分别为1和3,则方差(32)D X Y -= . 60.设随机变量X 服从二项分布(10,0.5),B 则()E X . 61.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则()E X = .59.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为),(2σμN 的简单样本,则∑==ni i X n X 11的期望为 .○63.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为(0,1)N 的简单样本,则样本均值∑==ni i X n X 11～.答案(0,1/)N n○64.设1210,,,X X X ⋅⋅⋅为总体(0,1)N 的简单样本,则22110X X ++～ .答案2(10)χ○★.设n X X X ,...,,21独立同分布),(2σμN ,,)(11,11221∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 则 1)X ~ ;2)22)1(σS n -~ ;3)X 与2S 是否独立 . 答案X ~),(2nN σμ;22)1(σS n -~)1(2-n χ;是.65.设123,,X X X 为总体(,4)N μ的简单样本,则μ的矩估计为 .○★.设n X X X ,,,21 为总体2(,)N μσ的简单样本,则2σ的无偏估计是 .答案2211()1ni i S X X n ==--∑ ○★.设n X X X ,,,21 为有限方差总体X 的简单样本,则DX 的无偏估计是 .答案2211()1ni i S X X n ==--∑ ★.称12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本,若满足(1) ;(2) .(1)12,,...,n X X X 和总体X 具有相同的分布;(2)12,,...,n X X X 相互独立.★.设1234,,,ξξξξ为总体(0,1)N 的一个样本,221234()(23),a b ξξξξξ=++-则当a = ,b = .时统计量ξ服从2(2)χ分布.答案11,213@.设1,,n X X ⋅⋅⋅和1,,m Y Y ⋅⋅⋅是依次是总体X ~)1,(μN 和Y ~)4,(μN 的样本,μ的一个无偏估计11n mi j i j T a X b Y ===+∑∑,则应满足条件 ;当a = ,b = 时,T 最有效.答案411,,44an bm a b n m n m +===++ ○★.设总体2(,)N μσ的独立样本是12,,...,n X X X ,在计算μ的置信区间时,若2σ已知,采用的统计量及服从的分布是 .答案)1,0(~/N n X U σμ-=★66.12,,...,n X X X 独立同分布2(,)N μσ,若2σ未知,计算μ的置信区间时,采用的统计量,服从的分布及参数是 ．答案)1(~/--=n t nS X T μ或X T =服从t -分布,维度（自由度）参数为 1.n -67.设总体),(~20σμN X ,20σ已知,n X X X ,,,21 为来自X 的一个样本,((1.96)Φ=0.975).则μ的置信度为95%的置信区间为 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u X n u X 02/02/,σσαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n u X n u X 0025.00025.0,σσ.X X ⎡=-+⎢⎣○★68.设n X X X ,,,21 为来自总体~(,4)X N μ的一个简单样本,X 是样本均值(/2()u αΦ=1α-).则μ 的置信度为1α-的置信区间为 ．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u X nu X σσαα2/2/,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n u X n u X 2,22/2/αα○★.设12,,...,n X X X 是正态总体2(,)N μσ的简单样本,若μ未知,则2σ的置信度为α-1的置信区间是 ．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ○★69.从正态总体2(,)N μσ中抽取容量为10的简单随机样本,样本均值45.75,X =样本标准差0.0253.522,(9) 2.262.S t ==则μ 的置信度为0.95的置信区间为 ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n S n t X n S n t X )1(,)1(2/2/αα⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=n S t X n S t X )9(,)9(025.0025.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=10522.3262.275.45,10522.3262.275.45[]52.275.45,52.275.45+-=[].27.48,52.223.43-=☆.设110,,X X 是总体2(,)N μσ的简单随机样本,2X S 与为样本均值和样本方差,若22{}0.95P S b σ≤=,则b =_ _;μ的置信度为95％的单侧置信下限为 .答案1.88;0.050.5787X t X S -=- 计算题○★71.从数字9,...,1,0中任选三个不同的数字,计算下列事件概率:1A ={不含3和7};2A ={含3或7};3A ={含3但不含7}.;157!3/8910!3/678)(310381=⨯⨯⨯⨯==C C A P ;1581571)(1)(12=-=-=A P A P.307!3/8910!2/78)(31028113=⨯⨯⨯==C C C A P 又法.记B ={含3};C ={含7}.;103)()(==C P B P ;151!3/89108)(31018=⨯⨯==C C BC P)(1)(1)(21C B P A P A P -=-=;1571511031031)()()(1=+--=+--=BC P C P B P;1581571)(1)(12=-=-=A P A P或 ;158151103103)()()()()(2=-+=-+==BC P C P B P C B P A P1287()1()1.1515P A P A =-=-=▲.在某城市共发行甲、乙、丙三种报纸,居民订甲报(记为A)的有45%,订乙报(记为B)的有35%,订丙报(记为C)的有30%,同时订甲、乙两报(记为D)的有10%,同时订甲、丙两报(记为E)的有8%,同时订乙、丙两报(记为F)的有5%,同时订三种报纸(记为G)的有3%.试表示下列事件,并求其百分比:(1)只订甲报的;(2)只订甲、乙两报的;(3)只订一种报纸的;(4)正好订两种报纸的;(5)至少订一种报纸的;(6)不订任何报纸的.72.从1～9九个数字中,任取3个排成一个三位数,求:(1)所得三位数为偶数的概率;(2)所得三位数为奇数的概率.73.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.★.从8双不同尺码鞋子随机取6只,计算以下事件的概率.A ={6只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.224143C C P A C ==≈,1414872616()80()0.559143C C C P B C ==≈,2212862616()30()0.210143C C C P C C ==≈. ★.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.答案(1)3263301300.6404.203C C == (2)12264330390.0384.1015C C C ==★.将n 只相同的球,随机放入k 只不同的合子,共有多少种不同放法.k 只不同合子有1k -只壁,将n 只相同的球分成k 组,每组球数可为0.1k -个壁和n 个球排成一排有111k n n k n k C C -+-+-=种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法.▲.某班n 个男生m 个女生(1m n ≤+)随机排成一列,计算任意两女生均不相邻的概率.总数()!.m n +先排男生,共有!n 种排法,女生应排在男生之间的空位上或两头,共有1n +个位置,选出m 个排女生,从而有11!m m n n P C m ++=种排法,由乘法法则,基本事件容数为1!!mn n C m +,11!!.()!m mn n m m nn C m C P m n C +++==+○★.更列重合(匹配)问题．编号1至n 的球随机放入编号1至n 的合子,每合放1个球．若球和合子编号相同,则称为1个重合,求至少有1个重合的概率．记i A ={第i 号球放入第i 号合子},1,2,,.i n =11111()()()(1)()nnnn i i i j i i i j ni i P A P A P A A P A -=≤<≤===-++-∑∑21111(1)(1)!n n nnn C C n n n n -=⨯-++--11111(1)110.3680.732.2!!n e n --=-++--=-= ▲.某单位同时装有两种报警系统A 与B ,当报警系统A 单独使用时,其有效的概率为7.0;当报警系统B 单独使用时,其有效的概率为8.0.在报警系统A 有效的条件下,报警系统B 有效的概率为84.0.计算:(1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下,报警系统A 有效的概率;(3)两种报警系统都失灵的概率.(1)()()(|)0.700.840.588P AB P A P B A ==⨯=; (2)()()(|)0.700.840.588(|)0.735()()0.800.80P AB P A P B A P A B P B P B ⨯=====;(3)()()()()0.700.800.5880.912P AB P A P B P AB =+-=+-=;.088.0)(1)(=-=B A P B A P○★.设(|)(|)1P A B P A B +=，试证A 与B 独立．证明 (|)(|)1P A B P A B +=，因此(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=，即()()()()P AB P AB P B P B =，于是()(1())()()P AB P B P AB P B -=，因此()(()())()()()P AB P AB P AB P B P A P B =+=，从而A 与B 独立．○★94.第1,第2台车床加工的零件放在一起,产量比例为2:1,次品率依次为0.03,0.02.计算:(1)任取一零件是次品的概率;(2)若取出的零件是次品,它是第2台车床加工的概率. 记事件B ={取得次品},样本空间的划分i A ={零件由第i 台车床加工},1,2.i = (1) 全概率公式得1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2120.030.020.0267.121275=⨯+⨯==++ (2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P A P B ==10.021112.213140.030.021212⨯+===+⨯+⨯++又法.静态样本统计模型,古典概型.设总产量150n =件;第1,第2车床产量||()i i A nf A =依次为12||100,||50A A ==件;次品数||||(|)i i i A B A f B A =依次为12||3,||1A B A B ==件. (1)条件(局限)空间B 总数,总次品数12||||||314B A B A B =+=+=件,总次品率为||42()0.0267.15075B P B n ====(2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为22||1(|).||4A B P A B B == 95.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品,两车间产品的次品率分别为0.03和0.02,生产出来的产品放在一起,且甲车间产量比乙车间产量多一倍,计算该厂产品合格率.★.袋中有相同形状的3只白球,4只红球和若干只黑球,依次摸出所有球,计算红球比白球早出现的概率.答案P {红球比白球早出现}4/7.=96.已知袋中有10只白球3只黑球,无放回取二只球,求第二次取出的是黑球的概率.○★.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求确实知道正确答案的概率：(1)知道正确答案概率是0.5；(2)知道正确答案的概率是0.2．令B ={知道正确答案},A ={题目答对},则(1)()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯；(2)()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯． ○★.将信息编码为A ,B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为2.0,B 被误收作A 的概率为1.0,发出编码A ,B 的概率依次为4.0,6.0,计算:(1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯=(2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.07692.052452.01.04.0==⨯=★97.将信息编码为A 和B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为02.0;B 被误收作A 的概率为01.0,编码A 与B 传送频繁程度为1:2,计算:(1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=01.0211)02.01(212⨯++-⨯+=;6567.001.03198.032=⨯+⨯= (2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.00508.06567.001.031=⨯=○★.某公司第1,2,3车间生产同一产品,产量依次为60%,30%,10%;次品率依次为3%,4%,6%.计算:(1)总产品中任取一件产品是次品的概率;(2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率. 记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 车间生产},1,2,3.i =(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++= 60%3%30%4%10%6% 3.6%.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式得)()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==30%4%1.3.6%3⨯==又法.静态样本统计模型,古典概型..依据是频率渐进稳定于概率．设总产量1000n =件;第i 车间产量||()i i A nf A =依次为600,300,100件;次品数||||(|)i i i A B A f B A =依次为6003%18,3004%12,1006%6⨯=⨯=⨯=件.(1)条件(局限)空间B 总数,总次品数||||||(|)1812636iiiiiB AB A f B A ===++=∑∑件,总次品率为||36() 3.6%.1000B P B n === (2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率为22||121(|).||363A B P A B B === ○★.n 件产品中有m 件次品,任取两件,计算:(1)在所取两件中至少有一件是次品的条件下,另一件也是次品的概率; (2)在所取两件中至少有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率. 答案(1)121m n m ---;(2)21mn m +-○★.市场上某商品由甲厂,乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%;乙厂产品占30%;丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%;乙厂产品合格率为70%;丙厂产品合格率为75%.计算:(1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率;(2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.记事件B ={任购一商品是合格品},1A ={商品是甲厂生产},2A ={商品是乙厂生产},3A ={商品是丙车间生产}.(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++=0.50.880.30.70.20.750.80.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式, 不合格品是乙车间生产的概率为2222()()(|)(|)1()()P A B P A P B A P A B P B P B ==-0.3(10.7)90.45.10.820⨯-===-○★.某公司产品部件由甲、乙和丙厂提供,各厂所占份额为2:3:8,次品率依次为8%,4%,3%.从产品中抽取检验出一件次品,则次品由哪厂生产的可能性最大.记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 厂生产},1,2,3.i = 甲、乙和丙厂次品贡献（分支）概率依次为()()(|),1,2,3.i i i P A B P A P B A i ==各厂次品贡献概率之比为123238():():()8%:4%:3%238238238P A B P A B P A B =⨯⨯⨯++++++28:34:8316:12:244:3:6.=⨯⨯⨯==因此次品由丙厂生产的可能性最大,概率为366(|).43613P A B ==++ 在无其他信息或依据的条件下,判断通常最可靠.★.全概率公式模型.设第i 类球有i n 个,其中有i a 个红球,总数,ii n n =∑红球总数,ii a a =∑任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类球},1,2,.i =()()(|)i i i P B P A P B A =∑.i i i i i i ii i n a a aw f n n n n====∑∑∑ ★.全概率公式模型.第i 省份人口i l 有劳动力i a 人,计算劳动力人口比例f .总人口,i i l l =∑总劳动力,i i a a =∑第i 省人口比重,iil w l=其劳动力比例.i i i a f l = i i a af l l ==∑(各省贡献率之和)i i i i i i il aw f l l ==∑∑(各省劳动力人口比例以其人口比重加权平均)()(|)i i i P A P B A =∑(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)().P B =以上步骤可倒.★.全概率公式扩展模型.第i 类盒子i n 个,每盒都有i l 只球,其中i a 只红球,盒子总数,ii n n =∑任取一盒子,再从盒子中任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类盒子},1,2,.i =()()(|).i ii i i iin a P B P A P B A n l ==∑∑参下题 ★.有三种盒子共5个,第一种盒子有2个,每个盒子中放有2个白球,1个黑球;第二种盒子有1个,其中放有10个黑球,第三种盒子有2个,每个盒子中放有3个白球,1个黑球.从这些盒子中任取一个盒子,再从取出的盒子中任取一球,求此球为白球的概率． 记事件B ={取到白球},i A ={取到第i 种盒子},1,2,3.i =31()()(|)i i i P B P A P B A ==∑222317.535430=⨯+⨯=@.甲乙网球比赛，每局甲胜率为α，乙胜率为1βα=-．进行到有一人比对方多得2局，求甲乙获胜概率．令B ={甲胜}，i A ={前两局甲胜i 局}22()()(|)2(),i i i P B P A P B A P B αβα===+∑解得2().12P B ααβ=- 又法．令n A ={甲恰好在第n 局获胜},n B ={乙恰好在第n 局获胜}（1,2,n =），A ={甲胜}，B ={乙胜}．则22n A +发生当且仅当第1,3,,21n -局可胜可负,第2,4,,2n 局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n -局的胜负情形相反,即双方交错取胜,而第21,22n n ++局连胜．因此2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==,所以222200()()(2)12nn n n P A P A αααβαβ∞∞+=====-∑∑,同理2(),12P B βαβ=- 或 2()1()12P B P A βαβ=-=-．@.甲乙轮流投篮,命中率分别为,,(1,1),p s q p t s =-=-甲先投,分别在以下规则下求甲获胜概率.(1)先投中者获胜;(2)若某轮平局重新开始(直至某轮一方投中另一方未投中)． (1)由全概率公式()(),P p qtP =+甲甲解得().1pP qt=-甲还可参考(2)列方程组求解． (2)对前两次应用全概率公式()()1,(),()P P P ptP qs+=⎧⎪⎨=⎪⎩甲乙甲乙解得().pt P pt qs =+甲 还可参考(1)列方程求解．@.甲乙丙三人网球赛,三人水平相同.甲乙先比,胜者与丙比,依次循环,直至一人连胜两局即获得冠军,计算各人获冠概率.比赛规则为擂台赛.首轮在甲乙中产生擂主和候补者,丙为挑战者,此后在未决出冠军的情况下,甲乙丙的地位按擂主→候补者→挑战者→擂主的次序轮换,依次循环. 记A ={获得冠军},B ={成为擂主},C ={成为候补者}. 由全概率公式11(|)(|),2211(|)(|),22P A B P A C P A C P A B ⎧=+⎪⎨⎪=⨯⎩解得4(|),71(|),7P A B P A C ⎧=⎪⎨⎪=⎩因此甲乙丙获冠概率分别为P (甲)P =(乙)()(|)()(|)P B P A B P C P A C =+14115272714=⨯+⨯=,P (丙)1P =-(甲)P -(乙)54121414=-⨯=.★.设人群中有37.5%的人血型为A 型,20.9%为B 型,33.7%为AB 型,7.9%为O 型.任选一人为供血者,任选一人为受血者,记C ={输血成功}.()P C P =( A 型B 型之间输血)+P ( O 型受血)20.3750.2090.337(10.337)0.38018;=⨯⨯+-=()1()10.380180.61982.P C P C =-=-=○★.从含4只红球和3只黑球的袋中任取3只球,计算:1)取出红球数X 的分布列;2)不少于2只红球的概率.1) ;351)0(3733===C C X P ;3512)1(372314===C C C X P ;3518)2(371324===C C C X P .354)3(3734===C C X P 2) .35223543518)3()2()2(=+==+==≥X P X P X P@★.甲、乙两人乒乓球比赛,每局甲胜概率为,1/2,p p ≥各局胜负相互独立．对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利．采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是：甲甲或乙甲甲或甲乙甲．而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲获胜的概率为2212(1)p p p p =+-．采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局,且最后一局甲胜,而前面甲需胜二局．如共赛4局,则甲的胜局情况是：甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲．甲获胜的概率为323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-,而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--．当1/2p >时21p p >；当1/2p =时211/2p p ==．故当1/2p >时,对甲来说采用五局三胜制为有利．@★.蒙提霍尔问题Monty Hall Problem 美国电视晚会.现有三扇门供选择：一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面依次是一头山羊和一只玩具熊.当然是希望选择到汽车，但并不能看到门后面情况.主持人让你作选择，在你选择一扇门后，主持人打开另一扇门给你看，发现不是汽车.主持人说还有一次改选机会.是否应改选以更可能选中汽车？记B ={选手选中汽车}，A ={主持人打开的窗后无车}.1.如果主持人知道窗后情况，有意打开无车的窗.()1P A =,()1(|).()3P AB P B A P A == 改选选中汽车的概率为21(|)3Q P B A =-=,因此选手应当改选第三窗.或解.设甲、乙、丙门后依次为车、羊、熊.第1次选甲门,甲、乙、丙门后依次为：情况1：车；羊；熊.情况2：熊；车；羊.情况3：羊；熊；车.3种情况中有2种情况改选得车,因此改选选中车的概率为2.32.如果主持人随机打开的窗后无车.11()(|)13(|).2()23P B P A B P B A P A ⨯===或由条件(局限)样本空间(减少一个样本点)直接得到1(|)2P B A =.此种情况是否改选第三窗无差异.○★.预订航班的顾客最终有5%未到,因此对于一个容纳50位乘客的航班售52张票,求每个到达的乘客都有座位的概率．未到达人数~(52,0.05),Y B n p ==近似为泊松分布( 2.6),P np λ=={}.A =都有座位2.6 2.6()(2)1(0)(1)1 2.6P A P Y P Y P Y e e --=≥=-=-=≈--10.0740.1930.733.=--=○★.已知某商场一天内来k 个顾客的概率为/!(0,1,2,)k e k k λλ-=,其中0λ>．又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的,其概率为p ．试求这个商场一天内有r 个顾客购买商品的概率． 令k B ={一天内k 个顾客到达}(0,1,2,)k =,r A ={一天内r 个顾客购买商品},则()()(|)(1)!kr r k rr k r k kk rk rP A P B P A B eC p p k λλ∞∞--====-∑∑0()((1))()!!!r k rp k p p p ee r k r λλλλλ∞--=-==∑． ○★.随机变量最大概率(密度)的位置称为众数.@★.贝努利分布(,)B n p 的众数.当(1)n p +不是整数时,众数[(1)]m n p =+(取整),当(1)n p +是整数时,众数(1)m n p =+或(1) 1.n p +-由(,;)(1)(1)1,(,;1)B n p k n k p n p k B n p k kq kq -++-==+-因此当(1)k n p <+时,(,;)1,(,;1)B n p k B n p k >-(,;)B n p k 单增;当(1)k n p >+时,(,;)1,(,;1)B n p k B n p k <-(,;)B n p k 单减. @★.贝努利分布的最大值估计:(,;[(1)])2B n p n p npqπ+ 由斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫⎪⎝⎭[][]!(,;[(1)])[]!([])!np n np n B n p np p q np n np -+- [][][][][][]2[]n np n np np n np n e p q np n np np e e π--⎫⎪⎝⎭-⎫⎫⎪⎪⎭⎭.2[]([])2n np n np npqππ-@★.抛100个硬币,求有50个正面的概率．2222221(2)!14(2/)12!!22(/)2n n nn nn n n n n e C n n n n e ππ==5010010010.08.250C π@★.泊松分布(,)B n p 的众数.当λ不是整数时,众数[]m λ=(取整);当λ是整数时,众数m λ=或1.λ-由1,,(;)1,.(;1)k P k k P k k λλλλλ≥≤⎧=⎨<>-⎩即得结论. @★.甲乙轮流投篮,命中率分别为,,(1,1),p s q p t s =-=-甲先投,直至某人投中,计算（1）甲投篮次数X 的分布列；（2）乙投篮次数Y 的分布列；（3）甲乙投篮次数之和Z X Y =+的分布列．答案（1）1()(1)(),1,2,k P X k qt qt k -==-=⋅⋅⋅.（2）1,0,()(1)(),1,2,.k s k P Y k q qt qt k -=⎧==⎨-=⋅⋅⋅⎩ Y 以概率p 服从单点分布(0)U ,以概率q 服从右漂移一个单位的几何分布(1)G qt -.Y 是两者的混合分布,即(0)(1)Y pU qG qt =+-.（3）11(),21,()(),2,1,2,.n n s qt m n P Z m qs qt m n n --⎧=-==⎨==⋅⋅⋅⎩91.设变量X 的分布()F x =31e ,0,0,0.x x x -⎧->⎨≤⎩求X 的密度;{1}P X >;{11}P X -<<.92.设变量X 的密度为2,01,()0,Ax x f x ⎧≤<=⎨⎩其它.(1)求常数A ;(2)计算概率1{}2P X >.@★.证明正态(Normal)分布密度积分22()21.z dz μσ-+∞--∞=⎰. 证明222()2,z dz μσ-+∞--∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰令,z x μσ-=2222222y x x dx dx dy +∞+∞+∞----∞-∞-∞⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2()21,2x y e dxdy π++∞+∞--∞-∞=⎰⎰极坐标表示sin ,cos ,,x r y r dxdy rdrd θθθ===222001 1.2r d e rdr πθπ+∞-==⎰⎰因此,22()21.z dz μσ-+∞--∞=⎰ 或 证明2x e dx +∞--∞=⎰记222,),x u t J e dx u e dt x ut +∞+∞--∞-∞===⎰⎰（令两边乘2u e -,积分得22222u u u t J J edu eudu e dt +∞+∞+∞----∞-∞-∞==⎰⎰⎰22(1)2.1ut dtdt ue du t π+∞+∞+∞-+-∞-∞-∞===+⎰⎰⎰得2x e dx +∞--∞=⎰换元x dx ==22()2 1.z e dz μσ--+∞-∞= @★.设某放射性物质在时段t 内散逸出的粒子数()N t 服从泊松分布(),P t λ则第n 个粒子散出的时刻n S 服从伽玛分布(,1/).n λΓ(课本附表)事件{第n 个粒子到来时刻小于等于t }={时段t 内散出粒子数()N t 大于等于n },即{}{()},n S t N t n ≤=≥于是()(){}{()},!k tn k n t F t P S t P N t n e k λλ+∞-==≤=≥=∑1()()()()!(1)!!k k k t t k n k n d t t t f t e e dt k k k λλλλλλλ-+∞+∞--==⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑1.(1)!n n t t e n λλ--=- 因此~(,1/).n S n λΓ第1个粒子散出时刻及相邻两粒子时间间隔均服从指数分布().E λ★.定理 设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =。
中国矿业大学(北京)考研真题总汇
2008年一.名词解释1.矿山压力2.岩石的强度理论判断岩石试件在复杂应力状态下是否破坏的理论和准则。
（我自己写的，在书上没有找到标准答案）3.RQD指标p37钻孔中直接获取的岩心总长度，扣除破碎岩心和软弱夹泥的长度后的长度，与钻孔总进尺之比。
4.岩石的变形能5.原岩应力6.直接顶7.碎胀系数8.周期来压9.充分采动地表最大下沉值不再随采区尺寸增大而增加的开采状态。
（网上搜到的）10.冲击矿压二．论述岩体的基本特征有哪些？三．绘图说明结构面对岩体的强度影响。
见p35-36，绘图1-31答：结构面产状，即结构面与作用力之间的方位关系对岩体强度产生影响。
当岩体中存在一组结构面时，其强度随结构面与主应力之间夹角的不同而不同，即造成岩体强度明显的各项异性。
如图所示，层状岩体在单向压缩下，加载方向与层理面呈不同角度，极限强度会随夹角不同而有规律的变化，并且平行于层理加载的抗压强度和抗剪强度小于垂直于层理方向加载时的相应强度，抗拉强度则大于垂直于层理的抗拉强度。
但如果岩体中存在多组倾角不同的结构面，由于各组结构面影响范围的交叉重叠，反而会使岩体强度各向异性的程度减弱。
结构面密度，即单位岩体内发育的结构面数量。
其对岩体强度的影响主要有两方面：相同条件下，岩体内结构面数量越多，密度越大，变形也越大，但强度越低；岩体强度不会因结构面密度的增大而无限降低，而是存在一个临界值，大于此值时，结构面密度对岩体变形和强度的影响就很小。
四．假设岩体为各向性均质连续的弹性体，岩体的泊松比u=0.2，试估算埋深500m 处岩体的自重应力大小。
见p41/cug/soil_mechanics/COURSE/CHAPTER3/Chap3_2.ht m上面这个网址可供参考。
我感觉这道题少了一个条件：岩层平均体积力r，见p63，习题2。
竖直向自重应力σz=rH 水平向自重应力σx、σy=（u/1-u）rH五．绘图论述双向等压条件下圆形巷道的应力分布规律。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。
§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。
概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第一章
③事件的积
且 A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即：
当且仅当A与B同时发生时， 发生。 通常简记为AB。
A B
④事件的差
但 A与B的差事件 A- B 表示事件A发生但事件B不发生 ⑤互斥事件(互不相容) ，则称A,B为互不相容事件 即：A、B不能同时发生。 基本事件都互不相容。
⑥对立事件(逆事件) 且
荷兰数学家惠更斯（C．Huygens， 1629～1695）访
问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究，对这类 问题产生兴趣并著《论赌博中的计算 》 (1657） 探讨概率问题的原理。 这些数学家主要以代数方法计算概率，他们的著述 中出现了第一批概率论专门概念 （如数学期望）与 定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论作 为一门科学的诞生。
概率论与数理统计
概率论的起源
概率论的起源之一是博奕问题。15～16世纪意大利 数学家帕乔利( Pacioli )、塔尔塔利亚(Tartaglia)和 卡尔达诺的著述中曾讨论过 “如果两人赌博提前 结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右， 爱好赌博的法国人梅雷（A．G．C．de Mere）向帕斯 卡提出了类似的合理分配赌金问题，引发了帕斯卡 与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不 同的组合方法给出了这类问题的正确答案。
① P B A P B P A
证明
且 A 和 B－A互不相容
得①式成立；
A S
，0≤ P A ≤1
A S，P( A) 1 P( A)
(加法公式) P A B P A P B P AB
证明
A
B
推广：
，则称事件A与B互为逆事件 , =S -A。
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文
定义2 设 都是参数θ的无偏估计量，若有
则称
有效。
例：160页，例7、例8
定义3 设
为参数θ的估计量，
若对于任意θ∈Θ,当
则称
的一致估计量。
例：由大数定律知
一致性说明：对于大样本，由一次抽样得到的估 计量 的值可作θ的近似值
例5 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本,
⑴ 验证
试求θ的极大似然估计值。 解
极大似然估计的不变性
练习
1.设总体X在
上服从均匀分布，
X1 , X 2 ,L X n是来自X的样本，试求 q 的矩估计量
和最大似然估计.
2.设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
其中 >0, 求 的极大似然估计.
课堂练习
P156：5，6
作业
P178：1，2，5，6
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子 是谁打中的？
例6 袋中放有白球和黑球共4个，今进行3次有放回 抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试 估计袋中白球个数。 解 设袋中白球个数为m，
X为3次抽样中抽得的白球数，则
当袋中白球数m分别为1,2,3时， p对应的值分别为1/4,2/4,3/4， X对应的分布律见下表
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文 .ppt
第七章 参数估计
§7.1 点估计 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 §7.4 单个正态总体参数的区间估计 §7.4 两个正态总体参数的区间估计
统计推断
矩估计 点估计 最大似然估计
参数估计
最小二乘估计
区间估计
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
中国矿业大学采矿考研复习题文库.doc
一：名词解释（10分）开采水平：阶段运输大巷及井底车场所在的水平位置及所服务的开采范围采煤工艺：采煤工作面各工序所用方法、设备及其在时间上、空间上的相互配合。
准备方式：准备巷道的布置方式（）准备巷道：为准备采（盘、带）区而掘进的巷道，称为准备巷道。
直接顶初次垮落距：接顶初次垮落时工作面煤壁至开切眼煤帮之间的距离。
周期来压:基本顶周期折断在采煤工作面引起的矿压显现。
（循环）放煤步距：在工作面推进方向上，两次放顶煤之间工作面推进的距离。
沿空留巷：在上区段工作面采过后，通过加强支护或采用巷旁支护等有效方法，将区段运输平巷保留下来，供下区段工作而开采时作I 口I风平巷使用。
沿空掘巷；在上一工作面区段运输平巷被废弃之后，经过一点时间，等待采空区上覆岩层移动基本稳定后，沿采空区边缘，掘进下一个工作面的区段回风平巷，称为沿空掘巷。
分为完全沿空掘巷和留小煤柱沿空掘巷。
关键层；将对岩体活动全部或局部起控制作用的岩层称为关键层。
关键层判别的主要依据是其变形和破断特征，即在关键层破断时，其上覆全部岩层或局部岩层的下沉变形是相互协调一致的，前者称为岩层活动的主关键层，后者称为亚关键层。
主关键层只有一个。
单轮，间隔，多口放煤：工作面一次将顶煤放空，隔架放煤，多支架同时放煤。
二：简答（20）1：简述区段斜长由几部分组成，各部分的长度范围，及区段斜长与阶段斜长的关系？区段斜长由采煤工作面长度，区段煤柱长度和区段上下两平巷宽度组成。
采煤工作面长度一般为80-200m,区段煤柱怛度一般为0-15m,薄煤层埋藏浅时可取小些。
区段上下两平巷宽度：普采,2.5-3. 0；综采,4. 0-4. 5；阶段斜长为本阶段内所有区段的斜长之和。
2：简述综采工作面对区段平巷的要求及综采面区段平巷的布置特点为了适应产量的需要均设置转载机和胶带运输机同时为了避免增加或减少支架的麻烦，要求工作面长度等长°区段上下两平巷尽量做到宜线或分段取宜且互相平行布置，区段平巷沿直线和折线布置时需注意采取措施解决局部地段的积水问题。
概率论经典试题.docx
【典型例题分析】• 概要• 提示①明确试验的条件、目的；②明确试验的所有可能的结果一事件，并区分出基本事件；③表示法不唯一，应根据问题的需要，给出其等价表示。
1T.(填空题)写出下列试验的样本空间：(1)&i：抛一枚硬币一次，观察正面、反面出现的情况；(2)&2：将一硬币抛三次，观察出现正面的次数；(3)马：将一硬币抛三次，观察正面、反面出现的情况；(4)&4：抛一颗骰子一次，观察出现的点数；(5)E5 ：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数；(6)&6 ：在一批灯泡中任意取一只，测试其寿命(以小时计)；样本空间为(7)E,:记录某地一昼夜的最高气温与最低气温(不超过土50 °C)；殊：某袋子中装有5个球，其中3个红球，编号A、B、C,有2个黄球，编号D、F,现从中任取_个球，观察颜色； _________________________________________________________________ ⑼ E g:某袋子中装有5个球，其中3个红球，编号A、B、C,有2个黄球，编号D、F,现从中任取_个球，观察编号； ________________________________________________________________________ （10）El。
：袋中有3张卡片编号为1,2,3,从中接连随意取两张，每取一张放回后再取下一张（有放回抽样，计次序）； _______________________________________________ （11）E H :袋中有3张卡片编号为1, 2, 3,从中接连随意取两张，每取一张不放回，再取下一张（无放回抽样，计次序）； _______________________________________________ （12）E12 :袋中有3张卡片编号为1, 2, 3,从中接连随意取两张（一次就取两张，不计次序）；【分析及答案】（1）该试验的条件：抛一枚硬币一次；该试验的目的：观察正面、反面出现的情况；该试验的结果：有关事件（分为：①基本事件一不能分解；②复合事件一可分解）;约定:该试验“抛一枚硬币一次（条件），观察正面、反面出现的情况（目的）”的基本事件“出现正面” 一对应样本点H（或1）“出现反面” 一对应样本点T（或0）故，该试验的样本空间为。
中国矿业大学 概率论与数理统计PPT课件
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③事件的积
且
A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即： 当且仅当A与B同时发生时， 发生。通常简记为AB。
A B
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④事件的差 但
A与B的差事件
A-B 表示事件A发生但事件B不发生
⑤互斥事件(互不相容) ，则称A,B为互不相容事件
即：A、B不能同时发生。
一门数学分支。
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第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算 二、频率与概率 三、等可能概型 四、条件概率 五、事件的相互独立性
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第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、随机事件与样本空间 三、事件间的关系及其运算（重点）
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一、随机试验
例：E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。 E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。
2. 性质： 0≤
≤1
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30 若
两两互不相容
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过 大量掷硬币的试验，所得结果如下：
试验者
次数 正面的次数 正面的频率
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；
②随机现象： 在一定条件下，可能出现这样的结果 也可能出现那样的结果；
例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上； （结果不可事先预言）
中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》-课件 频率与概率 ,等可能概型(古典概型)
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
2. 概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
25
处波动较小
0.50
247 0.494
2 0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
0.8
27 0.54 258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
P( A)
k n
A 包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
3.计算公式推导
设试验 E 的样本空间为S={e1,e2,...,en}，由于 在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1 P(S)
概率论与数理统计复习思虑及例题12
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
概率论与数理统计--核心题型1000题
131
精勤求学 自强不息
让有理想的人更加卓越！
0 , 1 20、设随机变量 X 的分布函数 F x , 2 x 1 e ,
（ ） （B） （A） 0
x 0, 0 x 1, x 1.
1 1 e 2
1 （D） 1 e
，则 P X 1
让有理想的人更加卓越！
概率论与数理统计
一、选择题
1、在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控 器 显 示 的 温 度 不 低 于 临 界 温 度 t0 ， 电 炉 就 断 电 . 以 E 表 示 事 件 “ 电 炉 断 电 ” ，而
T(1) T(2) T(3) T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（ ）
16、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p 0 p 1 ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ( （A） 3 p 1 p
2
) （B） 6 p 1 p
2
2
（C） 3 p 1 p
2
（D） 6 p (1 p )
2
2
17、下列四个函数中，哪个是分布函数（ ）
让有理想的人更加卓越！ （B） F x f x 1 （D） F x F x 0
33 、 设 f1 x 为 标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 ， f 2 x 为 1,3 上 均 匀 分 布 的 概 率 密 度 . 若
1 2
（C）
21、设随机变量 X 的概率密度是 f x ，则可以作为概率密度函数的是（ （A） f 2 x （B） 2 f x （C） f x
概率统计试题库及答案
7、设事件A、B、C，将下列事件用A、B、C间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为：_____________；（2）三个事件不都发生表示为：_____________；（3）三个事件中至少有一个事件发生表示为：___________。（ ， ， ）
54、5人排成一排照相，其中a.,b两人不能相邻照相的概率为_________。（ ）
55、4.3个人选等可能地选择五条不同的道路，则至少有两人选择同一条道路的概率为：_________。（ ）
56、两人在1到10个号码中允许重复地各选取一个,则最大号码为5的概率为_________。（ ）
57、甲乙两人赌博约定五局三胜,设两人每局的胜率相等.在甲已胜二场,乙已胜一场的情况下,乙最终获胜的概率为_________。（ ）
63、已知P（A）=0﹒6，P（B）=0﹒4，P（A︱B）=0﹒45，则P（A B）=。（0.82）
64、某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为p，若至少有3台设备同时开工生产才能正常进行,则生产能正常进行的概率为_________。（只写算式）（ ）
65、设试验 的样本空间为 ， 为 的事件， 为 的一个划分，且 ，则 ____________。（ ）
28、已知 ， ， ，则 ____________。（0．60）
29、计算下列算式：（1） =_________；（2） =_________；（3）若A,B独立,P(A)=0.3, P(B)=0.2,则P(B-A)=_________。（ ， ，0.14）
30、设Ａ、Ｂ是两个事件，若 ，则有 _______________。（ ）
中国矿业大学运筹学(64学时)复习题与答案
部分习题一、 （该题已经讲过了）某公司制造三种产品A 、B 、C ，需要两种资源（劳动力和原材料），现要确定总利润最大的生产计划，列出下述线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤=0305434553653max 321321321321x x x x x x x x x x x x z ，，（原材料）＋＋（劳动力）＋＋＋＋ 求：（1）线性规划问题的最优解； 首先将问题标准化：⎪⎩⎪⎨⎧≥=+=+=0,,305434553653max 5432153214321321x x x x x x x x x x x x x x x x z ，，＋＋＋＋＋＋12345（2）求对偶问题的数学模型及其最优解；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥++=0,05551433363045min 2121212121y y y y y y y y y y wy 1*=0,y 2*=1(3) 最优解不变的情况下，求产品A 的利润允许变化围；最优解不变的情况下，3,011≤≤∆c c（4）假定能以10元的价格购进15单位的材料，这样做是否有利，为什么？ 有利单位材料的影子价格是1元，10元钱购进15单位的材料的单位价格为2/3元，低于影子价格。
同时，在保持最优基不变的情况下15302<≤-b购进15吨的原材料，最优基不变。
该材料的影子价格仍为1元。
（5）当可利用的资源增加到60单位时，求最优解。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-12156045510111'bB b12345（6）当产品B 的原材料消耗减少为2个单位时，是否影响当前的最优解，为什么？x 2在最有表是非基变量，该产品的原材料消耗只影响x 2的检验数。
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-521235101121'2P B P()所以最优解不变015215012'2122≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-σσP B C c B（7）增加约束条件2x 1+x 2+3x 3≤20，对原最优解有何影响，对对偶解有何影响？ 增加的约束条件，相当于增加了一个约束方程20326321=+++x x x x二、考虑下列线性规划 MaxZ=2X 1+3X 2 2X 1+ 2X 2+X 3=12 X 1+2X 2 +X 4=84X 1 +X 5=16 4X 2 +X 6=12 Xj ≥0（j=1,2,…6） 其最优单纯形表如下： 1） 当C2=5时，求新的最优解 2） 当b3=4时，求新的最优解3）当增加一个约束条件2X1+X2≤12，问最优解是否发生变化，如果发生变化求新解？解当C2=5时σ4=－5/2σ5=1/8＞0所以最优解发生变化2）当b3=4时3)增加一个约束条件三、用对偶单纯形法求下面问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,753802 ..64)(min 21212121x x x x x x t s x x x f解：1 2四、A 、B 两个煤矿负责供应甲、乙、丙三个城市煤炭。
大学概率论与数理统计试题库及答案
<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。
则P(B)A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。
第三章概率论与数理统计——矿大版
解 ⑴ 由性质
A dx
0 1
f ( x, y )dxdy 1 可得
y yx
G 0
x
xy dy 1 A 15
2
0
1 x
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所以
15 xy , f ( x, y ) , 0
2
0 y x 1, others.
⑵ 由于 F ( x, y )
则 FX (x) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x,)
同理可得 FY ( y) F (, y )
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
例1: 已知 ( X , Y )的分布函数为
(1 e F ( x, y )
P{ X xi , Y y j } pi j
(i , j 1 , 2 , )
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律。 性质：1)
pi j 0
2)
p
i 1 j 1
ij
1
机动
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结束
将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， 例1、 Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： X 1 2 3 4 5 6 Y 1 2 3 4 5 6
2 2
f ( x, y )dydx
12 dydx
பைடு நூலகம்
0
3
4
( x 9)( y 16)
2
.
例6 已知 ( X , Y ) 的概率密度为
Axy , f ( x, y ) , 0
2021完整版大学必修概率论复习题及答案
2021完整版大学必修概率论复习题及答案一、单选题1、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 【答案】B2、若X ～211(,)μσ，Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为A ） 二维正态，且0=ρB ）二维正态，且ρ不定C ） 未必是二维正态D ）以上都不对 【答案】C 3、若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -= 【答案】D 4、1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A ）21X X = Ｂ）1}{21==X X P C ）21}{21==X X P Ｄ）以上都不正确【答案】C 5、1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A ）21X X = Ｂ）1}{21==X X P C ）21}{21==X X P Ｄ）以上都不正确【答案】C6、对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
【答案】D7、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A ）21()1F x x =+B ） xx F arctan 121)(π+=C ）=)(x F 1(1),020,0xe x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩ D ） ()()x F xf t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰【答案】B8、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
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全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H0 : 0 70 H1 : 70
拒绝域为
|t
|
| x -0 |
s/ n
t / 2 (n
1)
计算 | t | 2.6
2010年7月P33
t0.025 (35) 2.0301 | t | 2.6
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。
⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
(x
s n
t
/
2
(n
1))
(63.5
15 36
t0.025
(35))
(58.425,68.575)
重点2、方差与均值的检验
• 2010.01 P32
重点3、均值的单边检验 重点4、方差的单边检验
例5 某零件的长度 X ~ N(, 2 ), , 2未知，实测
其中10个零件的长度量为：8.1，7.9，8.2，8.0，
8.2，7.8，7.9，8.2，8.1，8.0，问是否有理由认
为零件的长度大于8.0？ （=0.05)
解 先提出假设 H0 : 0 8.0 H1 : 8.0
拒绝域为
t
x -0
s/ n
t
(n
1)
计算 t 1.0284
查表得 t (n 1) t0.05 (9) 1.8331 所以 t t0.05 (9)
f
Z
(
z)
3 2
(1
z
2
),
0 z 1,
0,
others.
作业
• P88 4 • 十年考题： • 2007年7月第三题
2e(x2 y) , f (x, y)
0, 1)求P{X+Y<1}
x 0, y 0 else
2)求Z=X+2Y的概率密度
祝同学们取得好成绩！
E-mail : cumtsyz@ 密码:feichengwurao
x y z
FZ (z) 3xdxdy
G
G x
z1
z
x
1
x
dx 3xdy dx 3xdy
0
0
z
xz
3 z 1 z3 22
③ z 1 时 FZ (z) 1
所以
0,
FZ
(
z)
3 2
z
1 2
z3,
1,
z 0, 0 z 1,
z 1.
故 Z = X -Y 的概率密度为
f
(x,
y)
3x,
0,
0 x 1,0 y x, others.
试求随机变量 Z X Y 的概率密度。
解 FZ (z) P{X Y z}
f (x, y)dxdy x yz
结合概率密度的非零区域可得
y x y
x y z
G x
z1
① z 0 时 FZ (z) 0
y x y
② 0 z 1时
检验其折断力大小有无差别。 （ =0.05）
⑵ 求μ的置信水平为0.95的置信区间。
解 此问题就是已知方差 2 82
检验假设 H0 : 570 H1 : 570
检验统计量 X -0 ~ N (0,1)
拒绝域为
/ n
| z | | x -0 | z / 2
由已知可得 x 575.2 , n 10 计算 | z | | x-0 | 5.2 10 2.055
故没有落在拒绝域之内，拒绝 H1 ，接受H0 不能认为零件的标准长度大于8.0。
例7 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化 时间为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71. 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等
于80 ? (=0.05) , 熔化时间 X ~ N(, 2 )
解 提出假设 H0： 2 80；H1： 2 80
2
(n
1) s 2
2 0
~ 2(n 1)
拒绝域为
2
(n 1)s2
2 0
2 (n 1)
其中
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
六、其它
• 2009.05 P30 四 • 2007.07 P22 三 • 2013.01 第 五题
2013.01 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
重点1：单总体均值双边检验（方差已知、未知）
2013.01 某车间生产铜丝铜，丝的主要质量指标是折断力 X 的大小。由资料可认为 X ~ N(570,82 )今换了一批原料， 从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，现抽出10 个样品，测得其折断力（斤）为
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
/ n 8
查表 z 2 1.96 | z | z 2 1.96 所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为折断力大小有差别。
例6 某次考试的考生成绩 X ~ N(, 2 ), , 2未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
2010.07 三 P33
参考答案与评分标准Βιβλιοθήκη 2011.01 三 P35
答案与评分标准
三、中心极限定理
2011.07 独立同分布
答案与评分标准
2011.01 （二项分布相关的中心极限定理）
四、极大似然估计、矩估计
2011.07
答案与评分标准
2009.01 P28（六）较难
五、假设检验与区间估计
概率论与数理统计 总复习---典型考题
2013.06.27
一、全概率公式与贝叶斯公式
2010.07二P33（典型题、简单）
答案及评分标准
2011.01 P34（非典型题、难度中等）
答案及评分标准
2012.01（难度中等—结合其它公式）
答案及评分标准
二、联合概率密度、边缘概率密度、 独立性判别