第2章(2)求解微分方程及拉氏变换

r(t) O t
L[r (t )] te
（4）单位抛物线函数
1 2 t xi (t ) 2 0
1 dt 2 s
t0 t0
xi(t) O t
L[ xi (t )]

0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
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6
（5）指数函数f(t)=
代入初始条件用部分分式法展开
X (s) 2 s 12 8 6 ( s 2 5 s 6) s 2 s 3
1
解： L变换:
2
x(t ) L [ X ( s)] （查表） 2t 3t (t 0) x(t ) x Z (t ) 8e 6e
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xs ( t )
x (t )
稳态响应 1
2 1.5
瞬态响应 5 e -2 t-4 e -3 t 稳态响应+1
瞬态响应 -3 e 2 t + 2 e - 3 t
1 0.5
t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0
1
2
3
4
t
4．总响应[复合运动]
总响应x(t)= 零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 前例:x(t ) x Z (t ) x S (t )
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F (s) L[ f (t )]

0
f (t )e st dt
4
2.典型输入函数的拉氏变换
（1）单位脉冲函数δ(t)
(t ) 0

(t)
0
t0 t0
，且 (t )dt 1
0
0 0
O
t
L[ (t )] (t )est dt (t )est dt es0 1
x(t ) 8e2t 6e3t
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3
二、拉氏变换
1.定义
讨论 （1） f(t)∶原函数，时间域。 F(s)∶象函数，复数域。S=σ+jω且σ>0。 拉氏变换将原函数变换成象函数 (2)拉氏逆变换将象函数变换成原函数 f(t)=L-1[F(s)] (3)s的量纲是时间的倒数[T]-1 (4)要求:会查表，会使用。 熟悉几个最简单函数的拉氏变换。
0
（2）单位阶跃函数u(t)
1 u (t ) 0
u(t) (t)
t 0 t 0
1
O
t
L[u(t )]

0
1 st 1 1 e dt e 0 s s
st
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5
（3）单位斜坡函数r(t)
t r (t ) 0
0
t0 t0
st
对应的齐次方程为
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t ) 0
则特征方程为
an an1
n
n1
a1 a0 0
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2
x (t ) 5 x (t ) 6 x(t ) 0 ， 例 2.7 求解 初始条件 x(0) 2 ， x (0) 2 。
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
列写系统微分方程的一般步骤：
（1）将系统划分环节，确定各环节的输入输出信号； （2）根据物理定律或通过实验等方法得到物理规律，列各环 节的原始方程，并考虑适当简化、线性化； （3）将各原始方程联立，消去中间变量，最后得到只含输入 变量、输出变量以及参量的系统方程式。
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特点：
（1）解的各项系数: 指数: （2）只有瞬态响应，稳态响应=0； 2.5 x Z (t) （3）初始条件变化 2 只改变各组成项的系数。 瞬态响应
1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
8 e -2 t - 6 e -3 t
3．零状态响应 [强迫运动]
稳态响应 0 t
注意∶在零初始条件下，
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d ps dt
8
（3）积分性质
零初始条件下 L[
（4）终值定理
t
0
F (s) f (t )dt ] s
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
（5）延迟性质
L[ f (t )] e
s
F ( s)
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输入=0，初始条件(状态)≠0， 齐次方程的解(微分方程的通解)
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x (t ) 5 x (t ) 6 x(t ) 0 ， 例 2.7 求解 初始条件 x(0) 2 ， x (0) 2 。
s X ( s) sx(0) x (0) 5sX ( s) 5x(0) 6 X ( s) 0
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
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x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x
t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
t0 0 (t ) (t )dt 1 0 t0 0 1 L 变换: sX ( s) 3 X ( s) 2 2 s 1 2 3 X ( s) 2 s ( s 1) s 1 s 1
L[ (t )] 1
0
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
x(t ) (e
t
t 1) (2e
t
3e ) = 6e
t
t
+
(t 1)
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特点：
(1)只有一个特征根， 只有一项瞬态响应6e-t； 两项稳态响应，t 和 -1; (2)系统的初值≠初始条件（状态）. δ(t)改变了系统的初始条件（状态）
8 x ( t) 7 1 6 5 瞬态响应 6 e - t 4 3 稳态响应 t -1 2 1 t 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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1
微分方程的解及系统的响应
一、线性微分方程的解
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t ) ( m) ( m1) m i m1 i 1 i 0 i
b x
(t ) b
x
(t ) b x (t ) b x (t )
则
（2）微分性质
dn L[ n dt
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
d L[ f (t )] sF ( s ) f (0) dt f (t )]
s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0)
6 3 2 1 X (s) 2 s ( s 5 s 6) s 2 s 3 s
2tБайду номын сангаас
u (t )
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
x (t ) x s (t ) 3e
2e
3 t
1 (t≥0)
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
t
1/s
coswt
2
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
at
e
1/(s+a)
e cos wt
at
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
3．最简单的性质：
（1）叠加性质
若
L[ f1 (t )] F1 ( s) ， L[ f 2 (t )] F2 ( s)
e
at

F ( s) e e dt e
at st 0 0


( a s ) t
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s)
w (s 2 w2 )
几个重要的拉氏变换
f(t) δ (t) F(s) 1 f(t) sinwt
1(t)
三、拉氏反变换
1.定义
1
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds 2j j
2.思路 ：若象函数为有理分式，则可先将其展开成
部分分式，再查表求拉氏反变换
四．微分方程的解与系统的响应
1．特征方程与特征根 2．零输入响应[自由运动]
(8e 2t 6e 3 t ) (3e 2t 2e 3t 1)
(5e 2t 4e 3t ) 1
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例 2.9 求解 x (t ) x(t ) t 2 (t )， 初始条件x(0) 3
(t )
解：单位脉冲函数δ(t)
解：该方程的特征方程为
5 6 0
2
对应的特征根为 2和 3 通解的形式为 根据初始条件有
x(t ) c1e2t c 2 e3t
x(0) c1 c2 2 x(0) 2c1 3c2 2
解之得C1=8,C2=-6 该方程的通解为
复习：线性系统微分方程的一般形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
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