第9章_4电磁感应中的能量与动力学问题
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v0 m gR 2B l
2 2
③
④
(2)金属棒刚进入水平导轨时加速度最大，此时 感应电动势 E′=Blv0cosθ ⑤ 安培力大小为
F I B l B ⑥ v 0 co s l
2 2
R 安培力方向与水平方向成θ角斜向右，此时金属 棒做减速运动，加速度大小为am，则 F′cosθ=mam ⑦ 由④⑥⑦解得
图9- 5 4-
错解：K闭合后，ab受到竖直向下的重力和 竖直向上的安培力作用．合力竖直向下，ab仍处 于竖直向下的加速运动状态．随着向下速度的增 大，安培力增大，ab受竖直向下的合力减小，直 至减为0时，ab处于匀速竖直下落状态．
错解分析：上述解法是受平常做题时总有安培 力小于重力的影响，没有对初速度和加速度之间的 关系做认真的分析．不善于采用定量计算的方法分 析问题． 正解：闭合K之前导体自由下落的末速度为 v0=gt=4m/s K闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产 生感应电流．ab立即受到一个竖直向上的安培力．
第九章
电磁感应
4 电磁感应中的能量与动力学问题
1.电磁感应中的动力学问题 (2010池州市七校模拟)一个质量为m、直径为d、 电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中 竖直向下下落，磁场的分布情况如图9- 1所 4示．已知磁感应强度竖直方向分量By的大小只 随高度y变化，其随高度y变化关系为 By=B0(1+ky)(此处k为比例常数，且k>0)，其 中沿圆环轴线的磁场方向始终向上．
( 2 ) 圆 环 下 落 高 度 为 y时 的 磁 通 量 为
F = B S = Bp d
2
4
= B0 (1 + ky ) p
d
2
4
设 收 尾 速 度 为 v m ， 以 此 速 度 运 动 D t时 间 内 磁 通 量 的 变 化 为 DF = DB S = B 0 k p d
2
4
v m Dt
根据法拉第电磁感应定律有E = 圆 环 中 感 应 电 流 的 电 功 率 为 PE = 重 力 做 功 的 功 率 为 PG = m g v m
如图9-4-2所示，一金属杆弯成如图所示形 状的固定导轨，左侧导轨处于水平面内，右侧导轨 处在倾角θ=30°的斜面上，导轨的间距处处都为l.质 量为m、电阻为R的金属棒ab水平放置在倾斜的导轨 上.整个装置处在方向垂直于斜面的匀强磁场中，磁 感应强度为B.给棒一定的初速度，可使棒恰好沿斜 面匀速下滑，然后再进入水平轨道滑行.不计整个导 轨的电阻和摩擦，重力加速度为g.求：
(1)线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度 v 2；
(2)线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1； (3)线框在上升阶 段通过磁场过程中产 生的焦耳热Q.
图9-4-3
与线圈有关的电磁感应问题是高考复习的 重点内容，其特点是：当线圈穿过有界磁场时， 线框在磁场中的运动是典型的非匀变速直线运动， 功能关系和能量守恒定律是解决此类问题的关键. (1)由于线框匀速进入磁场，则合力为零.有 解得：
a m g sin co s
2
3 8
g
2.电磁感应中的能量问题 如图9-4-3所示，将边长为a、质量为m、电阻为 R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、 磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸 面向里.线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁 场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段 高度，然后落下并匀速进入磁场.整个运动过程中 始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转 动.求：
F安 = B IL =
B L v0 R
2
2
= 0 .0 1 6 N ＞ m g = 0 .0 0 2 N
此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向 相反，加速度的表达式为a = F - mg m = B L v0 mR
2 2
- g
所 以 ， a b做 竖 直 向 下 的 加 速 度 逐 渐 减 小 的 变 减 速 运 动 ． 当 速 度 减 小 至 F安 = m g 时 ， a b 做 竖 直 向 下 的 匀 速 运 动 ．
(1)金属杆ab运动的最大速度；
(2)金属杆ab运动的加速度为 的电功率；
1 时，电阻R上 g sin 2
(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克 服安培力所做的功.
图9-4-4
(1)当杆达到最大速度时F=mgsinθ 安培力F=Bid
感应电流 I 解得最大速度
E Rr
感应电动势E=Bdvm
m g b a f (a b )
点评:用法拉第电磁感应定律和楞次定律 确定感应电动势的大小和方向；画出等效电 路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；分 析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到 机械功率的改变与回路中电功率的变化所满 足的方程．
如图9-4-4所示，MN、PQ两条平 行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨距为 d.空间存在匀强磁场.磁场方向垂直于轨道平面 向上，磁感应强度为B，P、M间接阻值为R的电 阻.质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其 有效电阻为r.现从静止释放ab，当它沿轨道下滑 距离x时，达到最大速度.若轨道足够长且电阻不 计，重力加速度为g.求：
2
mg
f
2
mg
2
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B a
(3)在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程 中，根据能量守恒定律可得
1 2 m 2 v1
2
1 2
m v1 m g b a Q f ( b a )
2
解得：
Q
3m m g f
mg f R
4 4
2
2B a
金属圆环在下落过程中的环面始终保持水 平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称 为收尾速度．不计空气阻力，求： (1)圆环中感应电流的方向； (2)圆环收尾速度的大小．
图9- 1 4-
解 析 ：1) 根 据 楞 次 定 律 可 知 ， 感 应 电 流 的 方 向 为 ( 顺 时 针 ( 俯 视 观 察 )．
(1)金属棒沿斜面匀速下滑的速度v0. (2)金属棒在水平导轨滑行过程加速度的最大 值.(设棒从倾斜导轨进入水平导轨过程速度大小 保持不变)
图9-4-2
①
(1)金属棒下滑产生的感应电动势E=Blv0
I E R
回路中产生的感应电流
②
棒匀速下滑，安培力等于重力沿斜面的分力 F=IBl=mgsinθ 可解得棒匀速下滑的速度
mg f B a v2 R
2 2
v2
mg
f R
2 2
B a
(2)设线框离开磁场能上升的最大高度为h，则 从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中
解得：
2 1 m g f h m v22 2 R mg f 2 v1 v2 mg f
mg
f h
1
m v1
点评：本题的最大的特点是电磁学知识与力 学知识相结合．这类综合题本质上是一道力学题， 只不过在受力上多了一个感应电流受到的安培 力．分析问题的基本思路和力学问题一致．在运用 牛顿第二定律与运动学结合解题时，分析加速度与 初速度的关系是解题的最关键的第一步．因为加速 度与初速度的关系决定了物体的运动．
2
解得：
W F m gx· sin
m g
3
2
R r
2B d
4
2
sin
2
4
易错题：如图9-4-5所示，竖直平面内有足够 长的金属导轨，轨距0.2m，金属导体ab可在导轨上 无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4w，导轨电阻不 计，导轨ab的质量为0.2g，垂直纸面向里的匀强磁 场的磁感应强度为0.2T，且磁场区域足够大，当ab 导体自由下落0.4s时，突然接通电键K，试说出K接 通后，ab导体的运动情况．(g取10m/s2)
B d (2)当ab运动的加速度为 1 vm m g R r sin
2 2
g sin
根据牛顿第二定律
m g sin B I d m 1 2 g sin
2
电阻R上的电功率P=I′2R
解得
P (
m g sin 2Bd
) R
2
(3)根据动能定理
m gx· W F sin 1 2 m vm 0
DF Dt E
2
= B0 kp
d
2
4
vm
R
根 据 能 的 转 化 和 守 恒 定 律 有 PE = PG 解 得 vm = 16m gR p k B0 d
2 2 2 4
点评：E=DF/Dt是求整个回路的总电动 势，并且求出的是Dt时间内的平均感应电动 势，而公式E=BLv求出的只是切割磁感线的 那部分导体中的感应电动势，不一定是回路 中的总感应电动势，并且它一般用于求某一 时刻的瞬时感应电动势．
2 2
③
④
(2)金属棒刚进入水平导轨时加速度最大，此时 感应电动势 E′=Blv0cosθ ⑤ 安培力大小为
F I B l B ⑥ v 0 co s l
2 2
R 安培力方向与水平方向成θ角斜向右，此时金属 棒做减速运动，加速度大小为am，则 F′cosθ=mam ⑦ 由④⑥⑦解得
图9- 5 4-
错解：K闭合后，ab受到竖直向下的重力和 竖直向上的安培力作用．合力竖直向下，ab仍处 于竖直向下的加速运动状态．随着向下速度的增 大，安培力增大，ab受竖直向下的合力减小，直 至减为0时，ab处于匀速竖直下落状态．
错解分析：上述解法是受平常做题时总有安培 力小于重力的影响，没有对初速度和加速度之间的 关系做认真的分析．不善于采用定量计算的方法分 析问题． 正解：闭合K之前导体自由下落的末速度为 v0=gt=4m/s K闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产 生感应电流．ab立即受到一个竖直向上的安培力．
第九章
电磁感应
4 电磁感应中的能量与动力学问题
1.电磁感应中的动力学问题 (2010池州市七校模拟)一个质量为m、直径为d、 电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中 竖直向下下落，磁场的分布情况如图9- 1所 4示．已知磁感应强度竖直方向分量By的大小只 随高度y变化，其随高度y变化关系为 By=B0(1+ky)(此处k为比例常数，且k>0)，其 中沿圆环轴线的磁场方向始终向上．
( 2 ) 圆 环 下 落 高 度 为 y时 的 磁 通 量 为
F = B S = Bp d
2
4
= B0 (1 + ky ) p
d
2
4
设 收 尾 速 度 为 v m ， 以 此 速 度 运 动 D t时 间 内 磁 通 量 的 变 化 为 DF = DB S = B 0 k p d
2
4
v m Dt
根据法拉第电磁感应定律有E = 圆 环 中 感 应 电 流 的 电 功 率 为 PE = 重 力 做 功 的 功 率 为 PG = m g v m
如图9-4-2所示，一金属杆弯成如图所示形 状的固定导轨，左侧导轨处于水平面内，右侧导轨 处在倾角θ=30°的斜面上，导轨的间距处处都为l.质 量为m、电阻为R的金属棒ab水平放置在倾斜的导轨 上.整个装置处在方向垂直于斜面的匀强磁场中，磁 感应强度为B.给棒一定的初速度，可使棒恰好沿斜 面匀速下滑，然后再进入水平轨道滑行.不计整个导 轨的电阻和摩擦，重力加速度为g.求：
(1)线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度 v 2；
(2)线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1； (3)线框在上升阶 段通过磁场过程中产 生的焦耳热Q.
图9-4-3
与线圈有关的电磁感应问题是高考复习的 重点内容，其特点是：当线圈穿过有界磁场时， 线框在磁场中的运动是典型的非匀变速直线运动， 功能关系和能量守恒定律是解决此类问题的关键. (1)由于线框匀速进入磁场，则合力为零.有 解得：
a m g sin co s
2
3 8
g
2.电磁感应中的能量问题 如图9-4-3所示，将边长为a、质量为m、电阻为 R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、 磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸 面向里.线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁 场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段 高度，然后落下并匀速进入磁场.整个运动过程中 始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转 动.求：
F安 = B IL =
B L v0 R
2
2
= 0 .0 1 6 N ＞ m g = 0 .0 0 2 N
此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向 相反，加速度的表达式为a = F - mg m = B L v0 mR
2 2
- g
所 以 ， a b做 竖 直 向 下 的 加 速 度 逐 渐 减 小 的 变 减 速 运 动 ． 当 速 度 减 小 至 F安 = m g 时 ， a b 做 竖 直 向 下 的 匀 速 运 动 ．
(1)金属杆ab运动的最大速度；
(2)金属杆ab运动的加速度为 的电功率；
1 时，电阻R上 g sin 2
(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克 服安培力所做的功.
图9-4-4
(1)当杆达到最大速度时F=mgsinθ 安培力F=Bid
感应电流 I 解得最大速度
E Rr
感应电动势E=Bdvm
m g b a f (a b )
点评:用法拉第电磁感应定律和楞次定律 确定感应电动势的大小和方向；画出等效电 路，求出回路中电阻消耗电功率表达式；分 析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到 机械功率的改变与回路中电功率的变化所满 足的方程．
如图9-4-4所示，MN、PQ两条平 行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨距为 d.空间存在匀强磁场.磁场方向垂直于轨道平面 向上，磁感应强度为B，P、M间接阻值为R的电 阻.质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其 有效电阻为r.现从静止释放ab，当它沿轨道下滑 距离x时，达到最大速度.若轨道足够长且电阻不 计，重力加速度为g.求：
2
mg
f
2
mg
2
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B a
(3)在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程 中，根据能量守恒定律可得
1 2 m 2 v1
2
1 2
m v1 m g b a Q f ( b a )
2
解得：
Q
3m m g f
mg f R
4 4
2
2B a
金属圆环在下落过程中的环面始终保持水 平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称 为收尾速度．不计空气阻力，求： (1)圆环中感应电流的方向； (2)圆环收尾速度的大小．
图9- 1 4-
解 析 ：1) 根 据 楞 次 定 律 可 知 ， 感 应 电 流 的 方 向 为 ( 顺 时 针 ( 俯 视 观 察 )．
(1)金属棒沿斜面匀速下滑的速度v0. (2)金属棒在水平导轨滑行过程加速度的最大 值.(设棒从倾斜导轨进入水平导轨过程速度大小 保持不变)
图9-4-2
①
(1)金属棒下滑产生的感应电动势E=Blv0
I E R
回路中产生的感应电流
②
棒匀速下滑，安培力等于重力沿斜面的分力 F=IBl=mgsinθ 可解得棒匀速下滑的速度
mg f B a v2 R
2 2
v2
mg
f R
2 2
B a
(2)设线框离开磁场能上升的最大高度为h，则 从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中
解得：
2 1 m g f h m v22 2 R mg f 2 v1 v2 mg f
mg
f h
1
m v1
点评：本题的最大的特点是电磁学知识与力 学知识相结合．这类综合题本质上是一道力学题， 只不过在受力上多了一个感应电流受到的安培 力．分析问题的基本思路和力学问题一致．在运用 牛顿第二定律与运动学结合解题时，分析加速度与 初速度的关系是解题的最关键的第一步．因为加速 度与初速度的关系决定了物体的运动．
2
解得：
W F m gx· sin
m g
3
2
R r
2B d
4
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sin
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易错题：如图9-4-5所示，竖直平面内有足够 长的金属导轨，轨距0.2m，金属导体ab可在导轨上 无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4w，导轨电阻不 计，导轨ab的质量为0.2g，垂直纸面向里的匀强磁 场的磁感应强度为0.2T，且磁场区域足够大，当ab 导体自由下落0.4s时，突然接通电键K，试说出K接 通后，ab导体的运动情况．(g取10m/s2)
B d (2)当ab运动的加速度为 1 vm m g R r sin
2 2
g sin
根据牛顿第二定律
m g sin B I d m 1 2 g sin
2
电阻R上的电功率P=I′2R
解得
P (
m g sin 2Bd
) R
2
(3)根据动能定理
m gx· W F sin 1 2 m vm 0
DF Dt E
2
= B0 kp
d
2
4
vm
R
根 据 能 的 转 化 和 守 恒 定 律 有 PE = PG 解 得 vm = 16m gR p k B0 d
2 2 2 4
点评：E=DF/Dt是求整个回路的总电动 势，并且求出的是Dt时间内的平均感应电动 势，而公式E=BLv求出的只是切割磁感线的 那部分导体中的感应电动势，不一定是回路 中的总感应电动势，并且它一般用于求某一 时刻的瞬时感应电动势．