河南省天一大联考2017届高三阶段性测试五数学理Word版含答案
【精选高中试题】河南省天一大联考高三阶段性测试(五)数学(文)Word版含答案
天一大联考2016—2017学年高中毕业班阶段性测试（五）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 若集合{}|210A x R x =∈-=的子集个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知复数z ，则“0z z +=”事故“z 为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为ˆ9.49.1yx =+，则a 的值为A. 52B. 53C. 54D. 554.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.4+B. 4+C. (4π+D. (4π+5.执行如图所示的程序框图，若输入的3p =，则输出的n = A. 6 B. 7 C. 8 D. 9《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ==，则该阳马外接球的体积为A.92π B. 9π C. 272π D. 27π 7.在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，则ABC ∆是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.以上都不对 8.设函数()1xf x x=+，则使得()()31f x f x >-成立的x 取值范围是 A. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D. 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.将函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为 A. 8x π=B. 4x π=C. x π=D.32x π=10.已知函数()()()23,320f x x g x ax a a =-=+->，若对任意的[]11,1x ∈-总存在[]21,2x ∈使得()()12f x g x =成立，则实数a 的值为 A.14 B. 12 C. 45D.1 11.函数3x x y e=的图象大致为12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点（异于右顶点），12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点()2,0，过2F 的直线l 与双曲线交于A,B 两点，若使2AB b =的直线恰有三条，则暑期小的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D. ()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则实数m 的取值范围为 . 14.设实数,x y 满足100y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是,BC CD边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为 .16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +>，则C 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22.n S n n =+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3 5.2n T ≤<18.（本题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限度，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级，在35—75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.为了比较甲、乙两城市2016年的空气质量情况，省环保局从甲、乙两城市全年的检测数据中各随机抽取20天的数据作为样本，制成如图所示的茎叶图（十位为茎，个位为叶）. （1）求甲、乙两城市所抽取20天数据的中位数m 甲和m 乙；（2）从茎叶图里空气质量超标的数据中随机抽取2个，求这2个数据都来自甲城市的概率.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABC DEF -中，4,3,5,4,2,3A B A C B C A D B E CF ======,且BE ⊥平面ABC ，//AD 平面BEFC .（1）求证：//CF 平面ABED ；（2）求多面体ABC DEF -的体积.20.（本题满分12分）已知A,B,C 三点满足2,AB AC ==，以AB 的中点O 为原点，以向量AB 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系. （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈，直线y kx b =+被轨迹E 截得的弦长不小于k 的取值范围.21.（本题满分12分） 已知函数()l n .xf x e x =-（1）求曲线()y f x =在点处的切线方程； （2）证明：() 2.f x >请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
天一大联考2017届高考数学模拟试卷(理科)(五) 含解析
2017年河南省天一大联考高考数学模拟试卷（理科）（五）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x｜x2﹣3x+2≤0}，B={（x,y)|x∈A，y∈A}，则A∩B=（）A．A B．B C．A∪B D．∅2．已知i表示虚数单位，则=（）A．1 B．5 C．D．3．在区间[﹣3,3]上随机选取一个实数x,则事件“2x﹣3＜0”发生的概率是（）A．B． C． D．4．执行如图所示的程序框图,输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知点A（﹣1，﹣2）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M，N两点,则线段MN的长为（）A．4 B．C．2 D．16．设向量,满足，，则=( ）A．4 B．8 C．12 D．167．已知变量x，y满足则的最大值为（）A．B． C．2 D．18．已知a是大于0的常数，把函数y=a x和的图象画在同一坐标系中,选项中不可能出现的是（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A．B．C．4 D．710．函数f（x）=Asin（ωx+φ)+B（A＞0,ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．设{a n｝是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，则下列结论正确的是( ）A．a1008＞a1009B．a2016＜b2016C．∀n∈N*，1＜n＜2017，a n＞b n D．∃n∈N＊,1＜n＜2017，使得a n=b n12．已知f（x）=，若方程f2（x）+2a2=3a|f(x）｜有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为（）A．（0,) B．（，e） C．（0，e） D．（e,+∞)二、填空题《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问:五人各得几何？"其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．"这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是．14．（2a+b）4的展开式中，a2b3项的系数为．15．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠A=90°,侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AB=6，则该三棱锥的外接球半径为．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点向圆x2+y2=a2作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为．三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(12分）如图，在△ABC中,∠B=90°，∠BAD=∠DAE=∠EAC，BD=2，DE=3．。
【河南省】2017学年天一大联考高考模拟数学年(理科)试题(五)
．解：（Ⅰ）证明：A B ∠=∠PD PC 交PE 在平面（Ⅱ）设正方形易证CD ⊥CDEF F =，所以PCD ⊥平面22PE ==所以(1,EC =-，(0,EP =-设平面PCE 的法向量为(,,m x y =22m EC x y m EP ⎧=-⎪⎨-=+⎪⎩，得(23,m =的一个法向量为(0,0,1)n =CE D ﹣﹣的平面角为2211143)1+⨯=+221M x ba -=25．2333224aa abb =， 2314ab≤河南省天一市2017年大联考高考数学模拟理科试卷（五）解析1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，可知A是数集，集合B是点集，则A∩B是空集．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}={（x，y）|}，∵A为数集，B为点集，∴A∩B=∅．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化成a+bi（a、b∈R）的形式，再求其模即可．【解答】解：===﹣﹣i，∴=|﹣﹣i|=，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算和模的计算，是基础题．3．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，利用区间的长度比求概率即可．【解答】解：在区间[﹣3，3]上随机选取一个实数x，对应事件的为区间才6，而满足事件“2x﹣3＜0”发生的事件为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键．4．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，i的值，当i=3时，满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=，b=1，i=1，不满足条件i≥3，a=，b=，i=2，不满足条件i≥3，a=4，b=1，i=3，满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a，b，i的值是解题的关键，属于基础题．5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的准线方程，求得p的值，求得抛物线的方程及焦点坐标当x=1时，y=±2，即可求得M 和N点坐标，即可求得线段MN的长．【解答】解：由点A（﹣1，﹣2）在抛物线C：y2=2px的准线上，则﹣=﹣1，则p=2，则抛物线方程y2=4x，焦点F（1，0），当x=1时，y=±2，则M（1，2），N（1，﹣2），∴线段MN的长丨MN丨=4，故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单性质，抛物线的通径求法，考查计算能力，属于基础题．6．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】分别平方，再相减即可求出答案．【解答】解：∵，，∴||2+2+||2=25，||2﹣2+||2=9，∴4=16，∴=4，故选：A【点评】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题．7．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（﹣3，﹣2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得P（﹣2，0），故PA的斜率k==2．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．【考点】3O：函数的图象．【分析】0＜a＜1，x＞0，的最小值大于等于2，函数y=a x和的图象不可能有两个交点，可得结论．【解答】解：a＞0，是对勾函数，0＜a＜1，x＞0，的最小值大于等于2，函数y=a x和的图象不可能有两个交点，故选D．【点评】本题考查指数函数、对勾函数图象，考查了两个函数图象间的关系，是基础题．9．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，利用所给数据，即可求出体积．【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，体积为=，故选A．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．10.【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、B的值，再根据x=时f（x）取得最大值，x=2π时f（x）=0，列出方程组求出ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再计算f（）．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的部分图象知，2A=3﹣（﹣1）=4，解得A=2，∴B==1；又x=时，f（x）取得最大值3，∴ω+φ=①；x=2π时，f（x）=0，∴2πω+φ=②；由①②组成方程组，解得ω=，φ=；∴f（x）=2sin（x+）+1，∴f（）=2sin（×+）+1=2×（﹣）+1=0.故选：B．【点评】本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象与性质的应用问题，是基础题．11．【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式．【分析】由{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，推导出a n=n，b n=（）n﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，∴a2017=1+2016d=2017，解得d=1，∴a1018=1+2017=1018，a1019=1+1018=1019，∴a1018＜a1019，故A错误；b2017==2017，∴q=，a2016=1+2015=2016，，∴a2016＜b2016不一定成立，故B错误；∀n∈N*，1＜n＜2017，a n=n，，∴a n＞b n，故C正确；当a n=n=b n=（）n﹣1时，n=1或n=2017，∴不存在n∈N*，1＜n＜2017，使得a n=b n，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】画函数f（x）的图象，利用数形结合的思想探讨方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|的根的情况，即可得出结论．【解答】解：f（x）=的图象，如图所示，极小值点x=1，f（1）=e．f（x）＞0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=a或f（x）=2a；f（x）＜0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=﹣a或f（x）=﹣2a；∵方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，∴＜a＜e．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合、函数与方程的相互转化思想解题，属于高档题．二、13．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数．【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：，解得a1=6．∴得到橘子最少的人所得的橘子个数是6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】展开（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）[（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+4×2a×b3+b4]，即可得出a2b3项的系数．【解答】解：（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）[（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+4×2a×b3+b4]，∴a2b3项的系数=8+6×22=32．故答案为：32．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离，即可求出三棱锥的外接球半径．【解答】解：设球心O到平面ABC的距离为h，则由P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离为h=，∴该三棱锥的外接球半径为=，故答案为．【点评】本题考查三棱锥的外接球半径，考查面面垂直，比较基础．16．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出切线方程，与渐近线方程联立，利用该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，切线方程为y=（x+c），与y=x联立，可得（，），与y=﹣x联立，可得（﹣，），∵该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，∴（+）2+（﹣）2=3a2，化简求得e=2或．故答案为2或．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据tanθ=，tan2θ=，利用正切函数的二倍角公式，即可求得tanθ，即可求得AB的长；（Ⅱ）sinC=sin（﹣∠BAC）cos∠BAC=cos（θ+2θ），利用二倍角公式即可求得sinC．．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．18．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PE⊥PD，PE⊥PC．得PE⊥平面PCD，即可得平面PED⊥平面PCD．（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作PO⊥EF于点O，易证CD⊥PO，PE⊥PF，由EF=2PE=2，得∠PFE=30°且，，．以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），利用向量法求解【点评】本题考查了空间面面垂直，向量法求二面角，属于中档题．19．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出他加工的4个饰品中，废品的数量不超过1的概率．（Ⅱ）设X为加工出的成品数，则X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该金匠所获利润的数学期望．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题．20.【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意有，将其变形可得b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得，计算可得答案；（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+c），当k＞0时，表示出k和x M、y M，将直线l的方程和椭圆方程联立，解可得x M、y M的值，由斜率公式计算可得k的值，同理分析k＜0时可得k的值，综合可得答案．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是依据题意，求出椭圆的标准方程．21．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设出切点坐标，得到关于a的方程组，求出a的值即可；（Ⅱ）令，根据函数的单调性求出g（x）的表达式，令G（x）=g（x）﹣g（），根据函数的单调性得到，从而证明结论即可．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，即可求a的取值范围．【点评】本题考查三种方程的转化，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．23．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，由基本不等式可得，进而可得ab的最大值，由基本不等式分析可得≥，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，将变形可得1=+=++，由基本不等式分析可得答案．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件．。
河南省天一大联考2017届高三上学期期末考试试题(理)
河南省天一大联考2017届高三上学期期末考试试题（理）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的） 1．已知集合 B={}4,3,2，则的元素个数是( )A.0个B.1个C. 2个D.3个 2．x x f -=4)(的定义域为( )A ．（4，+∞）B ．（﹣∞，4]C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，4） 3．直线的斜率是( )A.B. C. D. 4. 0.32，log 20.3，20.3这三个数之间的大小关系是（）．A. 0.32＜log 20.3＜20.3B. 0.32＜20.3＜log 20.3C. log 20.3＜0.32＜20.3D. log 20.3＜20.3＜0.325．已知,,a b c 表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（）A. B. C.D.6．下列函数在定义域上为增函数的是（）A ．3y x = B. 1y x =-C.12log y x = D.1()2xy = 7.已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．22(1)(1)25x y －＋＋＝ B ．()()221125x y ＋＋－＝ C ．22(1)(1)100x y －＋＋＝ D ．()()2211100x y ＋＋－＝ 8.函数f (x )满足2log (3)0()(2)0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则(3)f 的值为( )A. 1-B. 2-C.1D. 2 9．如图长方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD= D′D=5，二面角D′﹣AB ﹣D 的大小是（ ）A ． 30°B ．45°C ． 60°D ． 90°{1,2,3,4}A =A B 230x y ++=122-212-αa α⊥,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂,//a b b α⊥,,a b A b a b α=⊂⊥ //,a b b α⊥10．函数的零点所在的区间可能是 A. B. C. D. 11.函数的值域为（）A ．[-1,0]B ．[ 0, 8]C ．[-1,8]D ．[3,8] 12．一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其侧面积．．．为123，则a 是（）． A.2 B.3C.2 D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡中横线上 13.两平行直线4x+3y ﹣5=0与4x+3y=0的距离是. 14．2log 35lg2lg 222-+-=. 15．已知()f x 是偶函数，当0x <时，2()f x x x =+，则()2f ＝_______.16.已知正方形ABCD 的顶点都在半径为7的球O 的球面上，且AB=6，则棱锥O ﹣ABCD 的体积为.三、解答题：本大题共4小题，共36分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(8分)已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={x|2＜x ＜10}，求∁R （A∩B ），A ∪（∁R B ）18.(本小题满分8分) 已知直线1l 和2l 在y 轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若 直线1l 过点P （1，3），且点Q （2，2）到直线l 2的距离为5，求直线1l 和直线2l 的一般式 方程．1()2xf x x=-(1,)+∞11(,)4311(,)321(,1)2[]1,1,342-∈+-=x x xy19.如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，C C A =B ，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（1）求证：V //B 平面C MO ； （2）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；20.(本小题满分10分)圆C 过点A （6，4）,B （1,1-），且圆心在直线:570l x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点Q （7,0），求线段PQ 中点M 的轨迹方程．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBDCDABDBDBC二、填空题： 13. 1 14. 2315. 2 16. 4 三、解答题：17.解： A∩B {}73<≤=x x∁R （A∩B ）{}73≥<=x x x 或 （∁R B ）{}012≥≤=x x x 或A ∪（∁RB ）{}01732≥<≤≤=x x x x 或或18.解：设直线l 1：y=kx+b ，直线l 2：y=-kx+b----------2分∵l 1过P （1，3）点且Q （2，2）到l 2的距离为5，∴2302251k b k b k -+=⎧⎪+-⎨=⎪+⎩--------------------4分解之得122172k k b b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或 ----------------6分 故l 1：2x-y+1=0 l 2：2x+y ﹣1=0；或l 1：x+2y-7=0 l 2：x-2y+7=0----------8分 19.解：（1）,M O 为中点，MO ∥VB ,MO ⊂面MOC ,VB ⊄面MOC , 所以VB ∥面MOC …………5分 （2）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥.又因为平面V AB ⊥平面C AB ，且OC ⊂平面C AB ， 所以OC ⊥平面V AB .所以平面C MO ⊥平面V AB . ………10分 20.解：（1）解法1：直线AB 的斜率4(1)161k --==-，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1-．AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为617413,2222x y +-====． 因此，直线m 的方程为371(x )22y -=--．即50x y +-=．………2分 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点。
河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(三)(12月)数学(理) Word版含答案
天一大联考2016——2017学年毕业班阶段性测试（三）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|230,|03A x x x B x x =+-<=<<，则A B =A. ()0,1B. ()0,3C. ()1,1-D. ()1,3-2.定义()0a b dcad bc bc=≠.已知复数1017100032i i i i-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在菱形ABCD 中，E,F 分别是AD,CD 的中点，若60BAD ∠=，2AB =,则AF BE ⋅A.52 B. 52- C. 32 D.32-4. 已知正六边形中，P,Q,R 分别是边AB,EF,CD 的中点，则向正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点落在PQR ∆内的概率为A.13 B. 38 C.235.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆的周长和面积.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了直代曲，无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序图如图所示，则输出的S 的值为（参考数据：sin150.2588,sin7.50.1305==）A.2.598B. 3.1063C. 3.132D.3.142 6.已知1cos 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25cos 2sin 33x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为A. 19-B.19C. 53D. 53-7. 已知函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕϕϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中13,4,,0312A C ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A 是最高点，则下列说法错误的是 A.6πϕ=-B.若点B 的横坐标为23π，则其纵坐标为 2- C.函数()f x 在1023,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数4sin 2y x =的图象. 8.已知函数()22xx f x -=-，函数()g x 为偶函数，且0x ≤时，()()g x f x =-.现有如下命题：①()()(),,,m n R m n f m f n ∃∈≠=；②()()(),,,m n R m n f m g n ∃∈<->()()f n g n --.则上述两个命题：A. ①真②假B. ①假②真C. ①②都假D. ①②都真9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是12,n n S S ++的等差中项，且143,3a S ==-，则8S 的值为A.129B.129-C.83D.83- 10.如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=，则四面体P ABC -的外接球的体积为A. B. 24π C. D.48π11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为,M N ，过左顶点且斜率为1的直线1l 与双曲线C 交于M ，A 两点，过右顶点且与直线1l 平行的直线2l 与双曲线C 交于B,N 两点，其中A,B 分别在第一象限和第三象限.若四边形MANB 的面积为26b ，则双曲线C 的离心率为12.设()f x 是定义在区间()0,+∞上的函数，满足()()()20162017f x f x f x '<<，则A. ()()201820172016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. ()()201720162016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C.()()20182017222016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()20172016222016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.731x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 .14.已知抛物线()220y px p =>上的第四象限的点()02,M y 到焦点F 的距离为0y ，则点M到直线10x y --=的距离为 .15.已知实数,x y 满足260,1324120x y y x x y --≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪+-≤⎪⎩，则()()2281z x y =-++的取值范围为 .16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，且1342,1,1a a a -+成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0d >，数列{}n b 的通项公式为()22nn n b a n =++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图所示，在ADE ∆中，B,C 分别为AD,AE 上的点，若,4,16.3A AB AC π===，（1）求sin ABC ∠的值；（2）记ABC ∆的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S ，若121633S S =，求BD CE ⋅的最大值.19.（本题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 时直角三角形，四边形11ACC A 和四边形11ABB A 均为正方形，,E F 分别是1.C C BC 的中点， 1.AB =（1）若11112A D A B =，证明:DF ⊥平面ABE ；（2）若11174A D AB =，求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）为了了解居民对某公司网上超市的“商品评价”和“服务评价”是否相关，某研究人员随机抽取了200名消费者做调查，得到的数据如下表所示：（1）完成上述列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“商品评价”和“服务评价”有关；（2）将频率视为概率，某人在该公司网上超市进行了4次购物，设其对商品和服务全满意的次数为随机变量X ，求X 得分布列和数学期望.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>以椭圆C 的长轴长、短轴长分别为邻边的矩形的面积为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,,P Q M 是椭圆上的点，且圆M 与直线OP,OQ 相切，14OP OQ k k ⋅=-，求圆M 的半径r .22.（本题满分12分）已知函数()ln .x f x e ex x =+（1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）求证：()2.f x ex ≥。
河南省天一大联考2017届高三上学期段测数学试卷理科2
2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）段测数学试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域为（）A．R B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）2．在等差数列{a n}中，若a p=4，a q=2且p=4+q，则公差d=（）A．1 B．C．D．﹣13．已知a＞π＞b＞1＞c＞0，且x=a，y=logπb，z=log cπ，则（）A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x4．将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍后，所得函数为g（x），则g（π）=（）A．B．C．D．5．已知等比数列{a n}的公比q≠1，且a3+a5=8，a2a6=16，则数列{a n}的前2016项的和为（）A．8064 B．4 C．﹣4 D．06．已知△ABC中，，，则=（）A．B．C．D．7．已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，点P为圆C2：x2+y2﹣4x﹣12=0上且不在直线C1C2上的任意一点，则△PC1C2的面积的最大值为（）A．B． C． D．208．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣1，a n=3S n（n＞1），则S10=（）A．B．﹣C．D．9．已知向量=（cos（﹣x），sin（+x）），=（sin（+x），sinx），若x=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=2sin2x﹣sin2x，则函数f（x）的对称中心可以是（）A．B．C．D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2倾斜角为的直线与双曲线的左支交于M点，且满足（+）•=0，则双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D．12．已知函数在x=a，x=b处分别取得极大值与极小值，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则t的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知α∈[0，2π），直线l1：xcosα﹣y﹣1=0，l2：x+ysinα+1=0相互垂直，则α的值为．14．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，MQ垂直准线l于点Q，若△MQF是等边三角形，则的值为．15．已知函数（其中a＞0），若，则实数a 的值为．16．已知函数，若，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系xOy中，已知M（﹣1，1），N（0，2），Q（2，0）．（1）求过M，N，Q三点的圆C1的标准方程；（2）圆C1关于直线MN的对称圆为C2，求圆C2的标准方程．18．如图，已知D是△ABC边BC上一点．（1）若B=45°，且AB=DC=7，求△ADC的面积；（2）当∠BAC=90°时，若BD：DC：AC=2：1：，且AD=2，求DC的长．19．已知数列{a n}满足a n+1=a n+2，且a2=3，b n=ln（a n）+ln（a n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令，求数列{c n}的前n项和为T n．20．函数f（x）满足f（1+x）=﹣f（1﹣x），f（x）=f（6﹣x），当x∈[1，3]时，．（1）在网格中画出函数f（x）在[﹣5，11]上的图象；（2）若直线y=k（x+3）与函数f（x）的图象的交点个数为5，求实数k的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，抛物线y2=﹣8x的焦点是椭圆Ω的一个顶点．（1）求椭圆Ω的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆Ω相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且3x1x2+4y1y2=0，证明：△AOB的面积为定值．22．已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若a=1，b=﹣1，求证：．2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）段测数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域为（）A．R B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x＞0，故函数的定义域是（0，+∞），故选：D．2．在等差数列{a n}中，若a p=4，a q=2且p=4+q，则公差d=（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，能求出公差．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a p=4，a q=2且p=4+q，∴，解得公差d=．故选：B．3．已知a＞π＞b＞1＞c＞0，且x=a，y=logπb，z=log cπ，则（）A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数，只要比较和0，1的关系即可．【解答】解：∵a＞π＞b＞1＞c＞0，∴x=＞a0=1，0=logπ1＜y=logπb＜logππ=1，z=log cπ＜0∴x＞y＞z，故选：A4．将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍后，所得函数为g（x），则g（π）=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为g（x）=sin（x+），则g（π）=sin=﹣．故选：C．5．已知等比数列{a n}的公比q≠1，且a3+a5=8，a2a6=16，则数列{a n}的前2016项的和为（）A．8064 B．4 C．﹣4 D．0【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知得a3，a5是x2﹣8x+16=0的两个根，从而a3=a5=4，进而q=﹣1，a1=4，由此能求出数列{a n}的前2016项的和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q≠1，且a3+a5=8，a2a6=16，∴a3•a5=a2a6=16，∴a3，a5是x2﹣8x+16=0的两个根，解得a3=a5=4，∴4q2=4，∵q≠1，∴q=﹣1，∴=，∴数列{a n}的前2016项的和为：S2016==0．故选：D．6．已知△ABC中，，，则=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据已知在△ABC中，，，结合向量加减法的三角形法则，可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，，，∴=﹣=+﹣=﹣=﹣=，故选：A．7．已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，点P为圆C2：x2+y2﹣4x﹣12=0上且不在直线C1C2上的任意一点，则△PC1C2的面积的最大值为（）A．B． C． D．20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣2）2=11，圆心为（﹣2，2），C2：x2+y2﹣4x﹣12=0，即（x﹣2）2+y2=16，圆心为（2，0），半径为4，求出|C1C2|，即可求出△PC1C2的面积的最大值．【解答】解：圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣2）2=11，圆心为（﹣2，2），C2：x2+y2﹣4x﹣12=0，即（x﹣2）2+y2=16，圆心为（2，0），半径为4，∴|C1C2|==2，∴△PC1C2的面积的最大值为=4，故选；B．8．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣1，a n=3S n（n＞1），则S10=（）A．B．﹣C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}是以﹣1为首项以﹣为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式计算即可．【解答】解：a1=﹣1，a n=3S n，∴a n﹣1=3S n﹣1，∴a n﹣a n﹣1=3a n，∴a n=﹣a n﹣1，∴数列{a n}是以﹣1为首项以﹣为公比的等比数列，∴S10=﹣=﹣，故选：B9．已知向量=（cos（﹣x），sin（+x）），=（sin（+x），sinx），若x=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行化简即可求出，根据即可求出，及的值，从而求出的值，从而得出向量的夹角．【解答】解：，且；∴=，；∴；∴向量与的夹角为．故选D．10．已知函数f（x）=2sin2x﹣sin2x，则函数f（x）的对称中心可以是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】首先将已知函数解析式化简，然后求其对称中心．【解答】解：函数f（x）=2sin2x﹣sin2x=1﹣cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+），令2x+=kπ，k∈Z，得到x=，所以函数f（x）的对称中心（，1），k∈Z；所以函数f（x）的对称中心可以是（﹣，1）；故选C．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2倾斜角为的直线与双曲线的左支交于M点，且满足（+）•=0，则双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知（+）•=0，则△MF1F2为等腰三角形，则丨MF1丨=丨F1F2丨=2c，由直线的倾斜角的对顶角相等，则∠F1F2D=，求得丨MF2丨，丨MF1丨，利用双曲线的定义，即可求得a和c的关系，求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：取MF2得中点D，连接MF1，由+=2，则由2•=0，则⊥，∴△MF1F2为等腰三角形，则丨MF1丨=丨F1F2丨=2c，∠F1F2D=，则丨F2D丨=丨F1F2丨cos=c，丨MF2丨=2丨F2D丨=2c，由双曲线的定义可知：丨MF2丨﹣丨MF1丨=2a，即a=（﹣1）c，双曲线的离心率e===，故选D．12．已知函数在x=a，x=b处分别取得极大值与极小值，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则t的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．1【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出b＞a＞0，可得：a，b，﹣2这三个数可适当排序为﹣2，a，b或b，a，﹣2后成等差数列，也可适当排序为a，﹣2，b或b，﹣2，a后成等比数列，即可得出．【解答】解：函数，f′（x）=x2﹣tx+k，若f（x）在x=a，x=b处分别取得极大值与极小值，则a，b是方程f′（x）=0的根，故a+b=t＞0，ab=k＞0，a＜b，故b＞a＞0，可得：a，b，﹣2这三个数可适当排序为﹣2，a，b或b，a，﹣2后成等差数列，也可适当排序为a，﹣2，b或b，﹣2，a后成等比数列，∴2a=b﹣2，（﹣2）2=ab，联立解得b=4，a=1，∴a+b=5=t，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知α∈[0，2π），直线l1：xcosα﹣y﹣1=0，l2：x+ysinα+1=0相互垂直，则α的值为或．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线l1：xcosα﹣y﹣1=0，l2：x+ysinα+1=0相互垂直，可得cosα﹣sinα=0，结合α∈[0，2π），求出α的值．【解答】解：∵直线l1：xcosα﹣y﹣1=0，l2：x+ys inα+1=0相互垂直，∴cosα﹣sinα=0，∵α∈[0，2π），∴α=或；故答案为或．14．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，MQ垂直准线l于点Q，若△MQF是等边三角形，则的值为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出F的坐标，设M（x，2），则Q（﹣1，2），（x＞0），根据△MQF是等边三角形，求出x的值，从而求出，的坐标，求出的值即可．【解答】解：y2=4x的焦点为F，故F（1，0），设M（x，2），则Q（﹣1，2），（x＞0），=（x+1，0），=（﹣2，2），=（x﹣1，2），若△MQF是等边三角形，则|MQ|=|FQ|=|MF|，故（x+1）2=4+4x，解得：x=3，x=﹣1（舍），故=（﹣2，2），=（2，2），故=﹣4+12=8，故答案为：8．15．已知函数（其中a＞0），若，则实数a的值为或．【考点】函数的值．【分析】根据x≥a≥1，x≥a＞1，a≤x＜1三种情况分类讨论，能求出a的值．【解答】解：∵函数（其中a＞0），，∴当x≥a≥1时，f（1）=1﹣2+2=1，f（﹣a）=1﹣（﹣a）=1+a，∴f（1）+f（﹣a）=1+1+a=，解得a=，不成立；当x≥a＞1时，f（1）=1﹣1=0，f（﹣a）=1﹣（﹣a）=1+a，∴f（1）+f（﹣a）=0+1+a=，解得a=．当a≤x＜1时，f（1）=1﹣2+2=1，f（﹣a）=1﹣（﹣a）=1+a，∴f（1）+f（﹣a）=1+1+a=，解得a=．综上，a的值为或．故答案为：或．16．已知函数，若，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由解析式求出函数的定义域，化简f（﹣x）后由偶函数的定义判断，由函数的单调性、偶函数的性质等价转化不等式，可求出实数a的取值范围．【解答】解：函数的定义域是R，∵==f（x），∴函数f（x）在R上是偶函数，∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式等价于：，则3a﹣1＜3﹣2，即a﹣1＜﹣2，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系xOy中，已知M（﹣1，1），N（0，2），Q（2，0）．（1）求过M，N，Q三点的圆C1的标准方程；（2）圆C1关于直线MN的对称圆为C2，求圆C2的标准方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）求出线段MN、NQ垂直平分线方程，可得圆心坐标、半径，即可求过M，N，Q三点的圆C1的标准方程；（2）圆C1关于直线MN的对称圆为C2，求出，即可求圆C2的标准方程．【解答】解：（1）线段MN的中点坐标为，其垂直平分线的斜率为k=﹣1，故线段MN垂直平分线方程为，即x+y﹣1=0．同理可得线段NQ的垂直平分线方程为x﹣y=0，联立得圆心坐标为（，），圆的半径为．∴所求圆的标准方程为．（2）直线MN的方程为x﹣y+2=0，由（1）知点，设点C2（a，b），则，解得．∴所求圆的标准方程为．18．如图，已知D是△ABC边BC上一点．（1）若B=45°，且AB=DC=7，求△ADC的面积；（2）当∠BAC=90°时，若BD：DC：AC=2：1：，且AD=2，求DC的长．【考点】余弦定理．【分析】（1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，由已知可求AE，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（2）设CD=x，则BD=2x，AC=x，可求BC=3x，AB=x，进而利用余弦定理，三角函数的定义建立方程即可解得DC的值．【解答】解：（1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，∵B=45°，且AB=DC=7，则AE=ABsinB=，可得：S△ADC=DC•AE==．（2）设CD=x，则BD=2x，AC=x，∴BC=CD+BD=3x，AB==x，∴cosC==，可得：==，解得：x=2．∴CD=2．19．已知数列{a n}满足a n+1=a n+2，且a2=3，b n=ln（a n）+ln（a n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令，求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{b n}的通项公式；（2）根据裂项求和即可求出数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）∵a n﹣a n=2，∴数列{a n}是等差数列，且公差为2，+1∵a2=3，∴a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴b n=ln（a n）+ln（a n+1）=ln（a n a n+1）=ln[（2n﹣1）（2n+1）]．（2），∴．20．函数f（x）满足f（1+x）=﹣f（1﹣x），f（x）=f（6﹣x），当x∈[1，3]时，．（1）在网格中画出函数f（x）在[﹣5，11]上的图象；（2）若直线y=k（x+3）与函数f（x）的图象的交点个数为5，求实数k的取值范围．【考点】函数的图象．【分析】（1）确定f（x）的图象关于（1，0）对称、关于x=3对称、周期为8，即可在网格中画出函数f（x）在[﹣5，11]上的图象；（2）若直线y=k（x+3）与函数f（x）的图象的交点个数为5，分类讨论，建立不等式组，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1+x）=﹣f（1﹣x），∴f（x）的图象关于（1，0）对称．又f（x）=f（6﹣x），∴f（x）的图象关于x=3对称．∴f（x）=f（6﹣x）=f（1+（5﹣x））=﹣f（1﹣（5﹣x））=﹣f（x﹣4），∴f（x）=f（x﹣8），∴函数f（x）的周期为8，故函数f（x）在[﹣5，11]上的大致图象如下：（2）∵f（x）与直线y=k（x+3）的图象均关于（﹣3，0）中心对称，则当k＞0时，，解得．当k＜0时，k（7+3）=﹣1，解得．∴实数k的取值范围为．21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，抛物线y2=﹣8x的焦点是椭圆Ω的一个顶点．（1）求椭圆Ω的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆Ω相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且3x1x2+4y1y2=0，证明：△AOB的面积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求出A、B的横坐标的和与积，结合已知可得m与k的关系，求出弦长，再由点到直线的距离公式求出O 到直线AB的距离，代入三角形面积公式即可证得△AOB的面积为定值．【解答】（1）解：抛物线y2=﹣8x的焦点为（﹣2，0），故a=2，又，故c=1，．∴椭圆Ω的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12=0．∵△=（8mk）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，∴，，∴．由3x1x2+4y1y2=0，得，∴2m2=3+4k2．∵=，又点O到直AB线的距离，∴．22．已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若a=1，b=﹣1，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）原不等式等价于令，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当时，，．令F'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，F'（x）＞0，此时F（x）单调递增；当x＞1时，F'（x）＜0，此时F（x）单调递减．∴函数F（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．（2）证明：若a=1，b=﹣1，原不等式等价于令，则．设，则．设h（x）=e x﹣x，则h'（x）=e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=1，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．又∵g（e﹣1）=e﹣e﹣1＞0，g（e﹣2）=e﹣e﹣2﹣1＜0，即g（e﹣1）g（e﹣2）＜0，∴g（x）恰有一个零点，即，即．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，G（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，G（x）单调递增．∴．设ϕ（x）=xlnx+lnx+1，∵x∈（e﹣2，e﹣1），∴，∴ϕ（x）在（e﹣2，e﹣1）上单调递增，∴ϕ（x）=xlnx+lnx+1，∴，综上可知，．2017年4月7日。
河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(三)(12月)数学(理) Word版含答案
天一大联考2016——2017学年毕业班阶段性测试（三）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|230,|03A x x x B x x =+-<=<<，则A B = A. ()0,1 B. ()0,3 C. ()1,1- D. ()1,3-2.定义()0ab dc ad bc bc =≠.已知复数1017100032i i i i -，则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在菱形ABCD 中，E,F 分别是AD,CD 的中点，若60BAD ∠=，2AB =,则AF BE ⋅ A.52 B. 52- C. 32 D.32-4. 已知正六边形中，P,Q,R 分别是边AB,EF,CD 的中点，则向正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点落在PQR ∆内的概率为A. 13B. 38C.235.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆的周长和面积.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了直代曲，无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序图如图所示，则输出的S 的值为（参考数据：sin150.2588,sin7.50.1305== ）A.2.598B. 3.1063C. 3.132D.3.1426.已知1cos 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25cos 2sin 33x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 A. 19- B.19 C. 53 D. 53-7. 已知函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕϕϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中13,4,,0312A C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A 是最高点，则下列说法错误的是 A.6πϕ=- B.若点B 的横坐标为23π，则其纵坐标为 2-C.函数()f x 在1023,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数4sin 2y x =的图象.8.已知函数()22x x f x -=-，函数()g x 为偶函数，且0x ≤时，()()g x f x =-.现有如下命题：①()()(),,,m n R m n f m f n ∃∈≠=；②()()(),,,m n R m n f m g n ∃∈<-> ()()f n g n --.则上述两个命题：A. ①真②假B. ①假②真C. ①②都假D. ①②都真9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是12,n n S S ++的等差中项，且143,3a S ==-，则8S 的值为A.129B.129-C.83D.83-10.如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=，则四面体P ABC -的外接球的体积为A. B. 24π C. D.48π11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为,M N ，过左顶点且斜率为1的直线1l 与双曲线C 交于M ，A 两点，过右顶点且与直线1l 平行的直线2l 与双曲线C 交于B,N 两点，其中A,B 分别在第一象限和第三象限.若四边形MANB 的面积为26b ，则双曲线C 的离心率为12.设()f x 是定义在区间()0,+∞上的函数，满足()()()20162017f x f x f x '<<，则 A. ()()201820172016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()()201720162016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.()()20182017222016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.()()20172016222016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.731x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 . 14.已知抛物线()220y px p =>上的第四象限的点()02,M y 到焦点F 的距离为0y ，则点M 到直线10x y --=的距离为 .15.已知实数,x y 满足260,1324120x y y x x y --≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪+-≤⎪⎩，则()()2281z x y =-++的取值范围为 .16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，且1342,1,1a a a -+成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0d >，数列{}n b 的通项公式为()22n n n b a n =++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图所示，在ADE ∆中，B,C 分别为AD,AE 上的点，若,4,16.3A AB AC π===，（1）求sin ABC ∠的值；（2）记ABC ∆的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S ，若121633S S =，求BD CE ⋅的最大值.19.（本题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 时直角三角形，四边形11ACC A 和四边形11ABB A 均为正方形，,E F 分别是1.C C BC 的中点， 1.AB =（1）若11112A D A B = ，证明:DF ⊥平面ABE ； （2）若11174A D AB = ，求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）为了了解居民对某公司网上超市的“商品评价”和“服务评价”是否相关，某研究人员随机抽取了200名消费者做调查，得到的数据如下表所示：（1）完成上述列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“商品评价”和“服务评价”有关；（2）将频率视为概率，某人在该公司网上超市进行了4次购物，设其对商品和服务全满意的次数为随机变量X ，求X 得分布列和数学期望.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>以椭圆C 的长轴长、短轴长分别为邻边的矩形的面积为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,,P Q M 是椭圆上的点，且圆M 与直线OP,OQ 相切，14OP OQ k k ⋅=-，求圆M 的半径r .22.（本题满分12分）已知函数()ln .x f x e ex x =+（1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）求证：()2.f x ex ≥。
河南省天一大联考2017届高三上学期段考数学试卷(理科)(2) Word版含答案
2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）段考数学试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．（1，2） C．{﹣1，﹣2}D．[1，+∞）2．在等比数列{a n}中，若a4a5a6=27，则a1a9=（）A．3 B．6 C．27 D．93．已知命题，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+4x+6≥0 B．C．∀x∈R，x2+4x+6＞0 D．4．设函数f（x）=则的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．25．已知向量，的夹角为，且=（3，﹣4），||=2，则|2+|=（）A．2 B．2 C．2D．846．函数f（x）=|x﹣x|的图象大致是（）A．B．C．D．7．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移个单位长度得到函数y=sinx的图象，则ω，φ的值分别为（）A．，B．2，C．2，D．，﹣8．曲线y=axcosx+16在x=处的切线与直线y=x+1平行，则实数a的值为（）A．﹣B．C．D．﹣9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]10．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣log a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，）11．对于正整数k，记g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．设S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n）．给出下列四个结论：①g（3）+g（4）=10；②∀m∈N*，都有g（2m）=g（m）；③S1+S2+S3=30；=4n﹣1，n≥2，n∈N*．④S n﹣S n﹣1则其中所有正确结论的序号为（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知sinθ+cosθ=，则sin（π﹣2θ）=．14．过点C（3，4）作圆x2+y2=5的两条切线，切点分别为A、B，则点C到直线AB的距离为．15．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，且a2+a3=﹣12，则a n=．16．在△ABC中，若3sinC=2sinB，点E，F分别是AC，AB的中点，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣m．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）若x∈[，]时，函数f（x）的最大值为0，求实数m的值．18．已知圆（x﹣1）2+y2=25，直线ax﹣y+5=0与圆相交于不同的两点A、B．（1）求实数a的取值范围；（2）若弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），求实数a的值．19．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n）=2n（n+1）（n∈+1N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=log2g（x）+（k﹣1）x．（1）若g（log2x）=x+1，且f（x）为偶函数，求实数k的值；（2）当k=1，g（x）=ax2+（a+1）x+a时，若函数f（x）的值域为R，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，且椭圆C经过点P（2，3），过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A，B 两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求△PF1G的面积S的取值范围．22．已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求函数G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围．2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）段考数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解+析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．（1，2） C．{﹣1，﹣2}D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A=[1，+∞），∵B={﹣2，﹣1，1，2}，∴A∩B={1，2}，故选：A．2．在等比数列{a n}中，若a4a5a6=27，则a1a9=（）A．3 B．6 C．27 D．9【考点】等比数列的性质．【分析】直接根据等比数列中的：m+n=p+q⇒a m•a n=a p•a q这一结论即可得到答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，a4a5a6=27，∵a4a6=a5•a5，∴（a5）3=27，∴a5=3，∴a1a9=a5•a5=9，故选D．3．已知命题，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+4x+6≥0 B．C．∀x∈R，x2+4x+6＞0 D．【考点】命题的否定．【分析】运用特称命题的否定是全称命题，即可得到．【解答】解：命题，则￢p为∀x∈R，x2+4x+6≥0．故选：A．4．设函数f（x）=则的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．2【考点】函数的值．【分析】由已知先求出f（13）=f（9）=log39=2，f（）=log3=﹣1，由此能求出．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（13）=f（9）=log39=2，f（）=log3=﹣1，=2+2（﹣1）=0．故选：B．5．已知向量，的夹角为，且=（3，﹣4），||=2，则|2+|=（）A．2 B．2 C．2D．84【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积公式计算模长即可．【解答】解：向量，的夹角为，且=（3，﹣4），∴||==5，又||=2，∴=4+4•+=4×52+4×5×2×cos+22=84，∴|2+|==2．故选：C．6．函数f（x）=|x﹣x|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解+析式，分析函数零点的个数，利用排除法，可得答案．【解答】解：令f（x）=|x﹣x|=0，即x=x，解得：x=±1，或x=0，故函数f（x）=|x﹣x|有三个零点，故排除A，B，C，故选：D7．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移个单位长度得到函数y=sinx的图象，则ω，φ的值分别为（）A．，B．2，C．2，D．，﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据三角函数的图象平移变换关系进行逆推即可得到结论．【解答】解：将y=sinx的图象向左平移个单位长度定点y=sin（x+），然后图象上所有点的横坐标伸长为原来的2得y=sin（x+），∵f（x）=sin（ωx+φ），∴ω=，φ=，故选：A．8．曲线y=axcosx+16在x=处的切线与直线y=x+1平行，则实数a的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．【解答】解：y=axcosx+16的导数为y′=a（cosx﹣xsinx），可得在x=处的切线斜率为a（cos﹣sin）=﹣a，由切线与直线y=x+1平行，可得﹣a=1，解得a=﹣．故选：A．9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入﹣=1和y=±x，求出A，B，C，D的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB|≥|CD|，求得a和c的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围．【解答】解：当x=c时代入﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|∴≥×，即b≥c，则b2≥c2=c2﹣a2，即c2≥a2，则e2=，则e≥，故选：B．10．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣log a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数的图象，利用数形结合，推出不等式，即可得到结果．【解答】解：函数f（x）=，x在区间[﹣1，5]上的图象如图：关于x的方程f（x）﹣log a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，就是f（x）=log a（x+1）恰有5个不同的根，函数y=f（x）与函数y=log a（x+1）恰有5个不同的交点，由图象可得：，解得a．故选：C．11．对于正整数k，记g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．设S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n）．给出下列四个结论：①g（3）+g（4）=10；②∀m∈N*，都有g（2m）=g（m）；③S1+S2+S3=30；=4n﹣1，n≥2，n∈N*．④S n﹣S n﹣1则其中所有正确结论的序号为（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中g（k）表示k的最大奇数因数，S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n）．逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵g（k）表示k的最大奇数因数，S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g （2n）．∴①g（3）+g（4）=3+1=4≠10，故错误；②∀m∈N*，都有g（2m）=g（m），故正确；③S1+S2+S3=（1+1）+（1+1+3+1）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=30，故正确；④当n≥2时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n﹣1）+g（2n）=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n﹣1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2n﹣1）]=+[g（1）+g（2）+…+g（2n﹣1）]=4n﹣1+S n，﹣1=4n﹣1，n≥2，n∈N*．故正确；于是S n﹣S n﹣1故选：B12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB 可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y=k （x+1），代入y2=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为===，换元，利用基本不等式求得最大值．【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2．由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，与抛物线联立，解得或，故AB=4p，=×2p×4p=4p2．∴S△OAB∵△AOB的面积为16，∴p=2；焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M 到准线x=﹣的距离等于d，则===．令m﹣=t，t＞﹣，则m=t+，=≤（当且仅当t=时，等号成立）．故的最大值为，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知sinθ+cosθ=，则sin（π﹣2θ）=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】将sinθ+cosθ=平方求得2sinθcosθ=﹣，然后由诱导公式和二倍角公式进行求值．【解答】解：由sinθ+cosθ=，得（sinθ+cosθ）2=，则2sinθcosθ=﹣，∴sin（π﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故答案是：﹣．14．过点C（3，4）作圆x2+y2=5的两条切线，切点分别为A、B，则点C到直线AB的距离为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的切线性质以及直角三角形中的边角关系可得cos∠ACO=，CA=2，根据三角函数得出结论．【解答】解：如图所示：直角三角形CAO中，CO=5，半径OA=，∴cos∠ACO=，CA=2．设点C到直线AB的距离为h=CD，直角三角形ACD中，cos∠ACO=，∴CD=CA•cos∠ACO=2=2，故答案为2．15．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，且a2+a3=﹣12，则a n=﹣2n﹣1．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，且a2+a3=﹣12，∴，解得a1=﹣3，d=﹣2，a n=﹣3+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n﹣1．故答案为：﹣2n﹣1．16．在△ABC中，若3sinC=2sinB，点E，F分别是AC，AB的中点，则的取值范围为．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理得AC=AB，AE=AC，AF=，由余弦定理可求BE2=AB2﹣AB2cosA，CF2=AB2﹣AB2cosA，从而化简可得=，结合范围cosA ∈（﹣1，1），可求的取值范围．【解答】解：∵3sinC=2sinB ，可得：3AB=2AC ，即：AC=AB ， 又∵点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴AE=AC ，AF=，∴在△ABE 中，由余弦定理可得：BE 2=AB 2+AE 2﹣2AB•AEcosA=AB 2+（AB ）2﹣2AB•AB•cosA=AB 2﹣AB 2cosA ，在△ACF 中，由余弦定理可得：CF 2=AF 2+AC 2﹣2AF•ACcosA=（AB ）2+（AB ）2﹣2•AB•AB•cosA=AB 2﹣AB 2cosA ，∴==，∵A ∈（0，π），∴cosA ∈（﹣1，1），可得：∈（，），∴可得： =∈．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f （x ）=sin2x ﹣cos 2x ﹣m ．（1）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间；（2）若x∈[，]时，函数f（x）的最大值为0，求实数m的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）化简f（x），求出f（x）在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣m=sin2x﹣cos2x﹣﹣m=sin（2x﹣）﹣m﹣，则函数f（x）的最小正周期T=π，根据﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z；（2）因为x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，则当2x﹣=，即x=时，函数取得最大值0，即1﹣m﹣=0，解得：m=．18．已知圆（x﹣1）2+y2=25，直线ax﹣y+5=0与圆相交于不同的两点A、B．（1）求实数a的取值范围；（2）若弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），求实数a的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题设知＜5，即可求实数a的取值范围；（2）若弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），P（﹣2，4）代入ax﹣y+5=0可求实数a的值．【解答】解：（1）由题设知＜5，故12a2﹣5a＞0，所以，a＜0，或a＞．故实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，+∞）；（2）P（﹣2，4）代入ax﹣y+5=0可得﹣2a﹣4+5=0，∴a=．19．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n）=2n（n+1）（n∈+1N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式求出公差d，即可求出数列{a n}的通项公式，（2）根据错位相减法即可求出前n项和．）=2n（n+1），①【解答】解：∵（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1+a n）=2n（n﹣1），②∴（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n﹣1=4n，③，由①﹣②可得，a n+a n+1=4（n﹣1），④，令n=n﹣1，可得a n+a n﹣1由③﹣④可得2d=4，∴d=2，∵a1+a2=4，∴a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，（2）=（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n=1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n=1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n，∴S n=1+2•（）1+2•（）2+2•（）3+…+2•（）n﹣1﹣（2n﹣1）•（）n=1+2﹣（2n﹣1）•（）n=3﹣（2n+3）•（）n，∴S n=6﹣（2n+3）•（）n﹣1．20．已知函数f（x）=log2g（x）+（k﹣1）x．（1）若g（log2x）=x+1，且f（x）为偶函数，求实数k的值；（2）当k=1，g（x）=ax2+（a+1）x+a时，若函数f（x）的值域为R，求实数a 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）令t=log2x，则x=2t，代入g（log2x）=x+1，求得函数f（x）的解+析式，由f（﹣x）=f（x），代入即可求得k的取值范围；（2）k=1，f（x）=log2[ax2+（a+1）x+a]，当a≠0时，，求得0＜a≤1，当a=0时，f（x）=log2x，函数f（x）的值域为R，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）令t=log2x，则x=2t，代入g（log2x）=x+1，∴g（t）=2t+1，∴f（x）=log2（2x+1）+（k﹣1）x，由函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴log2（2x+1）+（k﹣1）x=log2（2﹣x+1）﹣（k﹣1）x，∴x=﹣2（k﹣1）x，对一切x∈R恒成立，∴2（k﹣1）=﹣1，∴k=，（2）k=1，f（x）=log2[ax2+（a+1）x+a]，当a≠0时，要使函数f（x）的值域为R，要求一元二次方程：ax2+（a+1）x+a=0，∴，即，解得：0＜a ≤1，当a=0时，f （x ）=log 2x ，函数f （x ）的值域为R ， 综合可知：实数a 的取值范围[0，1]．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e=，且椭圆C 经过点P （2，3），过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求△PF 1G 的面积S 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆的标准方程为：（a ＞b ＞0），e==，即a=2c ，b 2=a 2﹣c 2=3c 2，将点P （2，3），代入即可求得a 和b 的值，求得椭圆C 的方程；（2）设直线AB 方程为y=k （x +2），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M （﹣，），求得MG 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣x 0），由x G ∈（﹣，0），=丨F 1G 丨•丨y P 丨=丨x G +2丨，即可求得△PF 1G 的面积S 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为：（a ＞b ＞0），由椭圆的离心率e==，即a=2c ， b 2=a 2﹣c 2=3c 2，将P （2，3）代入椭圆方程：，解得：c 2=4，∴a 2=16，b 2=12， ∴椭圆的标准方程为：；（2）设直线AB 方程为y=k （x +2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点M （x 0，y0），∴，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16（k2﹣3）=0，由△＞0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，则x0==﹣，y0=k（x0+2）=，M（﹣，），线段AB的垂直平分线MG的方程为y﹣=﹣（x﹣x0），令y=0，得x G=x0+ky0=﹣+=﹣，由k≠0，∴﹣＜x G＜0，由=丨F1G丨•丨y P丨=丨x G+2丨，x G∈（﹣，0），∴S求△PF1G的面积的取值范围是（，3）．22．已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求函数G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数G（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值和最小值即可；（2）设．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零，通过讨论b的范围，求出h（x）的单调区间，从而进一步确定b 的范围即可．【解答】解：（1）当b=1时，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），，令G'（x）=0，得x=1，当x变化时，G（x），G'（x）的变化情况如下表：因为，G（1）=0，G（e）=e2﹣e﹣1=e（e﹣1）﹣1＞1，所以G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，G（x）min=G（1）=0．（2）设．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．又=，令h'（x）=0，得x=﹣1（舍去）或x=1+b．①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得．因为，所以．②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（1），由h（1）=1+1+b＜0，可得b＜﹣2（满足b≤0）．③当1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1时，h（x）在（1，1+b）上单调递减，在（1+b，e）上单调递增，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（1+b）=2+b﹣bln（1+b）．因为0＜ln（1+b）＜1，所以0＜bln（1+b）＜b，所以2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．综上可得b＜﹣2或，所以实数b的取值范围为．2017年2月14日21。
河南省天一大联考高考模拟数学(理科)试卷(五)有答案
河南省2017年天一大联考高考模拟数学(理科)试卷（五）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|320}A x x x -=+≤，{(|),}B x y x A y A =∈∈，，则=AB （ ）A ．AB ．BC ．A BD ．∅2．已知i 表示虚数单位，则i||2i 1=+（ ） A ．1B ．5CD3．在区间[]3,3-上随机选取一个实数x ，则事件“230x -＜”发生的概率是（ ）A ．45B ．34C ．23D ．124．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点(1,2)A --在抛物线22C y px =：的准线上，记C 的焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（ ） A ．4B．C ．2D ．16．设向量a ，b 满足||5a b +=，||3a b -=，则a b ==（ ） A ．4B ．8C ．12D ．167．已知变量x ，y 满足220x y x y x -≥-⎧⎪+≥-⎨⎪≤⎩则23y x ++的最大值为（ ）A ．43B ．32C ．2D ．18．已知a 是大于0的常数，把函数xy a =和1y x ax=+的图像画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．203B ．163C ．4D ．710．函数π()()(0,0,0)2f x Asin x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图像如图所示，则10π()3f 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．211．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，201720172017a b ==，则下列结论正确的是（ ） A ．10081009a a >B ．20162016a b <C ．*12017,,n n n n a b ∀∈<<>ND ．*12017,,n n n n a b ∃∈<<=N 使得12．已知e ()x f x x=，若方程22)23()||(f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．e (0,)2B ．e(,e)2C ．(0,e)D ．(e,)+∞二、填空题13．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是___________． 14．4(2)a b +的展开式中，23a b 项的系数为___________．15．三棱锥P ABC ﹣的底面ABC 是等腰直角三角形，90A ∠=︒，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，6AB =，则该三棱锥的外接球半径为___________．16．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点向圆222x y a +=作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近，则该双曲线的离心率为___________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）如图，在ABC △中，90B ∠=︒，BAD DAE EAC ∠=∠=∠，2BD =，3DE =． （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求sin C ．18．（12分）如图1，2，E 是正方形ABCD 的AB 边的中点，将AED BEC △与△分别沿ED 、EC 折起，使得点A 与点B 重合，记为点P ，得到三棱锥PCDE ﹣． （Ⅰ）求证：平面PED PCD ⊥平面；（Ⅱ）求二面角PCE D ﹣﹣的余弦值．19．（12分）某金匠以黄金为原材料加工一种饰品，由于加工难度大，该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品，每个成品可获利3万元，每个废品损失1万元，假设该金匠加工每件饰品互不影响． （Ⅰ）若该金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率？（Ⅱ）若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望．（两小问的计算结果都用分数表示）20．（12分）已知椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F ，A ，B ，坐标原点为O ，且线段FO ，OA ，AB 的长度成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若过点F 的一条直线l 交椭圆于点M ，N ，交y 轴于点P ，使得线段MN 被点F ，P 三等分，求直线l 的斜率．21．（12分）已知函数322()ln 3f x ax x =--的图像的一条切线为x 轴． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）令(x)|()()|g f x f x '=+，若不相等的两个实数1x ，2x 满足12()()g x g x =，求证：121x x <． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线1C 和2C 共有四个不同交点，求a 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >1=．（Ⅰ）求11a b +的最小值；（Ⅱ）求2a b 的最大值．．解：（Ⅰ）证明：A B ∠=∠PD PC PC PD 交，在平面PE PED ∴在平面内，平面（Ⅱ）设正方形易证CD ⊥CDEF F =，所以PCD ⊥平面22PE ==所以(1,EC =-，(0,EP =-的法向量为(,,m x y =22m EC x y m EP ⎧=-⎪⎨-=+⎪，得(23,3,1)m =的一个法向量为(0,0,1)n =221M x ba -=252333224aa abb =， 2314ab≤变形可得2a b ≤河南省天一市2017年大联考高考数学模拟理科试卷（五）解析1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，可知A是数集，集合B是点集，则A∩B是空集．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}={（x，y）|}，∵A为数集，B为点集，∴A∩B=∅．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化成a+bi（a、b∈R）的形式，再求其模即可．【解答】解：===﹣﹣i，∴=|﹣﹣i|=，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算和模的计算，是基础题．3．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，利用区间的长度比求概率即可．【解答】解：在区间[﹣3，3]上随机选取一个实数x，对应事件的为区间才6，而满足事件“2x﹣3＜0”发生的事件为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键．4．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，i的值，当i=3时，满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=，b=1，i=1，不满足条件i≥3，a=，b=，i=2，不满足条件i≥3，a=4，b=1，i=3，满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a，b，i的值是解题的关键，属于基础题．5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的准线方程，求得p的值，求得抛物线的方程及焦点坐标当x=1时，y=±2，即可求得M 和N点坐标，即可求得线段MN的长．【解答】解：由点A（﹣1，﹣2）在抛物线C：y2=2px的准线上，则﹣=﹣1，则p=2，则抛物线方程y2=4x，焦点F（1，0），当x=1时，y=±2，则M（1，2），N（1，﹣2），∴线段MN的长丨MN丨=4，故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单性质，抛物线的通径求法，考查计算能力，属于基础题．6．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】分别平方，再相减即可求出答案．【解答】解：∵，，∴||2+2+||2=25，||2﹣2+||2=9，∴4=16，∴=4，故选：A【点评】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题．7．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（﹣3，﹣2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得P（﹣2，0），故PA的斜率k==2．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．【考点】3O：函数的图象．【分析】0＜a＜1，x＞0，的最小值大于等于2，函数y=a x和的图象不可能有两个交点，可得结论．【解答】解：a＞0，是对勾函数，0＜a＜1，x＞0，的最小值大于等于2，函数y=a x和的图象不可能有两个交点，故选D．【点评】本题考查指数函数、对勾函数图象，考查了两个函数图象间的关系，是基础题．9．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，利用所给数据，即可求出体积．【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，体积为=，故选A．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．10.【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、B的值，再根据x=时f（x）取得最大值，x=2π时f（x）=0，列出方程组求出ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再计算f（）．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的部分图象知，2A=3﹣（﹣1）=4，解得A=2，∴B==1；又x=时，f（x）取得最大值3，∴ω+φ=①；x=2π时，f（x）=0，∴2πω+φ=②；由①②组成方程组，解得ω=，φ=；∴f（x）=2sin（x+）+1，∴f（）=2sin（×+）+1=2×（﹣）+1=0.故选：B．【点评】本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象与性质的应用问题，是基础题．11．【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式．【分析】由{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，推导出a n=n，b n=（）n﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=1，a2017=b2017=2017，∴a2017=1+2016d=2017，解得d=1，∴a1018=1+2017=1018，a1019=1+1018=1019，∴a1018＜a1019，故A错误；b2017==2017，∴q=，a2016=1+2015=2016，，∴a2016＜b2016不一定成立，故B错误；∀n∈N*，1＜n＜2017，a n=n，，∴a n＞b n，故C正确；当a n=n=b n=（）n﹣1时，n=1或n=2017，∴不存在n∈N*，1＜n＜2017，使得a n=b n，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】画函数f（x）的图象，利用数形结合的思想探讨方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|的根的情况，即可得出结论．【解答】解：f（x）=的图象，如图所示，极小值点x=1，f（1）=e．f（x）＞0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=a或f（x）=2a；f（x）＜0，方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|化为f（x）=﹣a或f（x）=﹣2a；∵方程f2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，∴＜a＜e．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合、函数与方程的相互转化思想解题，属于高档题．二、13．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数．【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：，解得a1=6．∴得到橘子最少的人所得的橘子个数是6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】展开（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）[（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+4×2a×b3+b4]，即可得出a2b3项的系数．【解答】解：（a+2b）（2a+b）4=（a+2b）[（2a）4+4（2a）3b+6（2a）2b2+4×2a×b3+b4]，∴a2b3项的系数=8+6×22=32．故答案为：32．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离，即可求出三棱锥的外接球半径．【解答】解：设球心O到平面ABC的距离为h，则由P到平面ABC的距离为3，可得球心O到平面ABC的距离为h=，∴该三棱锥的外接球半径为=，故答案为．【点评】本题考查三棱锥的外接球半径，考查面面垂直，比较基础．16．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出切线方程，与渐近线方程联立，利用该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，切线方程为y=（x+c），与y=x联立，可得（，），与y=﹣x联立，可得（﹣，），∵该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，∴（+）2+（﹣）2=3a2，化简求得e=2或．故答案为2或．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据tanθ=，tan2θ=，利用正切函数的二倍角公式，即可求得tanθ，即可求得AB的长；（Ⅱ）sinC=sin（﹣∠BAC）cos∠BAC=cos（θ+2θ），利用二倍角公式即可求得sinC．．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．18．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PE⊥PD，PE⊥PC．得PE⊥平面PCD，即可得平面PED⊥平面PCD．（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2，取DC中点F，连接PF，EF，过点P作PO⊥EF于点O，易证CD⊥PO，PE⊥PF，由EF=2PE=2，得∠PFE=30°且，，．以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，C（1，0，0），E（0，2，0），利用向量法求解【点评】本题考查了空间面面垂直，向量法求二面角，属于中档题．19．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）依题意，该金匠加工饰品的废品率为，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率计算公式能求出他加工的4个饰品中，废品的数量不超过1的概率．（Ⅱ）设X为加工出的成品数，则X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该金匠所获利润的数学期望．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题．20.【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意有，将其变形可得b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得，计算可得答案；（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+c），当k＞0时，表示出k和x M、y M，将直线l的方程和椭圆方程联立，解可得x M、y M的值，由斜率公式计算可得k的值，同理分析k＜0时可得k的值，综合可得答案．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是依据题意，求出椭圆的标准方程．21．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设出切点坐标，得到关于a的方程组，求出a的值即可；（Ⅱ）令，根据函数的单调性求出g（x）的表达式，令G（x）=g（x）﹣g（），根据函数的单调性得到，从而证明结论即可．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，即可求a的取值范围．【点评】本题考查三种方程的转化，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．23．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，由基本不等式可得，进而可得ab的最大值，由基本不等式分析可得≥，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，将变形可得1=+=++，由基本不等式分析可得答案．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件．。
河南省天一大联考2017届高三下学期段测数学试卷(理科)
2016-2017学年河南省天一大联考高三（下）段测数学试卷（理科）（A卷）（6）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，B={x|﹣1＜x＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，1]D．（1，2）2．已知复数z满足•z=3+4i，则z的共轭复数为（）A．4+3i B．﹣4+3i C．﹣4﹣3i D．4﹣3i3．“2a＞2b＞1“是“＞“的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．高三学生小李计划在2017年高考结束后，和其他小伙伴一块儿进行旅游，有3个自然风光景点A，B，C和3个人文历史景点a，b，c可供选择，由于时间和距离原因，只能从中任取4个景点进行参观，其中景点A不能第一个参观，且最后参观的是人文历史景点，则不同的旅游顺序有（）A．54种B．72种C．120种D．144种5．函数f（x）=•sin（cosx）的图象大致为（）A．B ．C ．D ．6．若a=sin3，b=sin1.5，c=cos8.5，执行如图所示的程序框图，输出的是（ ）A ．cB ．bC ．aD ．7．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）与椭圆+=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．328．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，某几何体τ的三视图如图所示，将该几何体分别沿棱和表面的对角线截开可得到到一个鳖臑和一个阳马，设V 表示体积，则V τ的外接球：V 阳马：V 鳖臑=（ ）A．9π：2：1 B．3π：3：1 C．3π：2：1 D．3π：1：19．若将函数f（x）=的正零点从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*，则数列{（﹣1）n+1a n}的前2017项和为（）A．4032 B．2016 C．4034 D．201710．在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|﹣|=|﹣|，则•=（）A．16 B．12 C．8 D．611．已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，抛物线C 上存在点P与x轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则P=（）A．B．1 C．2 D．412．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（﹣，﹣），且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图将边长为1的正六边形ABCDEF绕着直线l旋转180°，则旋转所形成的几何体的表面积为14．在（x+1）（x3+）n的展开式中，各项系数的和为256，则x项的系数是（用数字作答）15．已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3…a n 的最大值为．16．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知角A，B，C为等腰△ABC的内角，设向量=（2sinA﹣sinC，sinB），=（cosC，cosB），且∥，BC=（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧上取一点D，使得AD=1，求sin∠DAC及四边形ABCD的面积．18．某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：（Ⅰ）由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的线性回归方程=x+，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为多少；（Ⅱ）若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A，B购买此商品的概率，而客户C，D购买此商品的概率均为，设这4位客户中购买此商品的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：x i y i=3050，x=271．参考公式：==，=﹣．19．如图，在几何体A1B1C1﹣ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，BB1：CC1：AA1=3：2：1，且AA1=1．（Ⅰ）求证：平面A1B1C1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求平面ABC与平面A1BC1所成锐角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为点P，△PF1F2内切圆的半径为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（1）求椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx，F（x）=x++af′（x）（Ⅰ）当a=1时，求M（x）=F（x）﹣f（x）的极值；（Ⅱ）当a=0时，对任意x＞0，≤恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），A，B在曲线C上，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B两点的极坐标分别为A（ρ1，），B（ρ2，）（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C的中心为M，求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+a|+|2x﹣2b|+3（Ⅰ）若a=1，b=1，求不等式f（x）＞8的解集；（Ⅱ）当a＞0，b＞0时，若f（x）的最小值为5，求+的最小值．2016-2017学年河南省天一大联考高三（下）段测数学试卷（理科）（A卷）（6）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，B={x|﹣1＜x＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，1]D．（1，2）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】直接求解对数函数化简集合A，然后求出∁R A，再由交集的运算性质计算得答案．【解答】解：∵A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），∴∁R A=（﹣∞，1]，∵B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），∴（∁R A）∩B=（﹣∞，1]∩（﹣1，2）=（﹣1，1]．故选：C．2．已知复数z满足•z=3+4i，则z的共轭复数为（）A．4+3i B．﹣4+3i C．﹣4﹣3i D．4﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：•z=3+4i，∴z====4﹣3i，∴=4+3i，故选：A3．“2a＞2b＞1“是“＞“的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“2a＞2b＞1“⇒a＞b＞0，但是由“＞“⇒a＞b，不一定大于0．即可得出结论．【解答】解：由“2a＞2b＞1“⇒a＞b＞0，但是由“＞“⇒a＞b，不一定大于0．∴“2a＞2b＞1“是“＞“的充分不必要条件．故选：C．4．高三学生小李计划在2017年高考结束后，和其他小伙伴一块儿进行旅游，有3个自然风光景点A，B，C和3个人文历史景点a，b，c可供选择，由于时间和距离原因，只能从中任取4个景点进行参观，其中景点A不能第一个参观，且最后参观的是人文历史景点，则不同的旅游顺序有（）A．54种B．72种C．120种D．144种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、当选择的4个景点不含A时，②、当选择的4个景点含A时，分别求出每一种情况的旅游顺序，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、当选择的4个景点不含A时，先在3个人文历史景点中选1个在最后参观，有C31种情况，在剩下的4个景点中任选3个，放在前三个参观，有C31A43=72种不同的旅游顺序，②、当选择的4个景点含A时，先在3个人文历史景点中选1个在最后参观，有C31种情况，A可以在第二个或第三个参观，有A21种情况，在剩下的4个景点中任选2个，放在剩余的位置进行参观，有A42种情况，此时有C31×A21×A42=72种不同的旅游顺序，则不同的旅游顺序有72+72=144种；故选：D．5．函数f（x）=•sin（cosx）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】确定函数为奇函数，再利用排除法，可得结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）==﹣•sin（cosx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．6．若a=sin3，b=sin1.5，c=cos8.5，执行如图所示的程序框图，输出的是（）A．c B．b C．a D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析该程序框图的功能是求三个数中的最大值，比较a、b、c的大小即可．【解答】解：根据题意，该程序框图的功能是求三个数中的最大值，因为a=sin3＞0，又a=sin（π﹣3）＜b=sin1.5，c=cos8.5=sin（﹣8.5）＜0，所以c＜a＜b，即最大值是b．故选：B．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）与椭圆+=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆+=1，可得：焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率为．双曲线的离心率e=2=，解得a=．设|PF 2|=t ． ===t ++2，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得：焦点F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为．∴双曲线的离心率e=2=，解得a=．设|PF 2|=t ．∴===t ++2≥+2=4，当且仅当t=|PF 2|=1时取等号． ∴的最小值为4． 故选：A ．8．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，某几何体τ的三视图如图所示，将该几何体分别沿棱和表面的对角线截开可得到到一个鳖臑和一个阳马，设V 表示体积，则V τ的外接球：V 阳马：V 鳖臑=（ ）A ．9π：2：1B ．3π：3：1C ．3π：2：1D ．3π：1：1【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为三棱柱，根据数学文化得到一个鳖臑和一个阳马几何体以及计算体积．【解答】解：由已知得到几何体是以边长为2的等腰三角形为底面，高为2的三棱柱，其外接球的体积为=4，由题意，得到一个鳖臑的体积为，一个阳马的体积为，所以V τ的外接球：V 阳马：V 鳖臑=4：： =3：2：1；故选C ．9．若将函数f （x ）=的正零点从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N*，则数列{（﹣1）n +1a n }的前2017项和为（ ） A ．4032B ．2016C ．4034D ．2017【考点】8E ：数列的求和；52：函数零点的判定定理．【分析】由题意知，函数f （x ）的最小正周期T=2，且f （x ）=0时，x=2k +2，k ∈Z ，得到数列{a n }，的通项公式，再求出b n =（﹣1）n +1（2n ﹣1），求出数列的前2017项和即可【解答】解：由题意知，函数f （x ）的最小正周期T=2，且f （x ）=0时，x=2k +2，k ∈Z ， 又∵x ＞0，∴a n =2n ﹣1，（n ∈N*），设b n =（﹣1）n +1（2n ﹣1），则数列{b n }的前n 项和为T n ， ∴b n +b n +1=（﹣1）n +2•2，∴T 2017=T 2016+2×2017﹣1=﹣1008×2+2×2017﹣1=2017， 故选：D10．在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，∠A=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD内一点，若|﹣|=|﹣|，则•=（）A．16 B．12 C．8 D．6【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出||=||，再根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：由|﹣|=|﹣|，可得||=||，取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，又=+，所以•==（+）2=（++•）=（4+×16+2×4×）=6，故选：D．11．已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，抛物线C 上存在点P与x轴上一点Q（5，0）关于直线l对称，则P=（）A．B．1 C．2 D．4【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设P（x0，y0），直线PQ的方程为y=﹣（x﹣5），由，结合抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，F（，0），设P（x0，y0），直线PQ的方程为y=﹣（x﹣5），∴，∴3=2px0，又=5﹣，联立解得x 0=3，p=2， 故选C ．12．已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点B （0，﹣1），且在（，）上单调，同时f （x ）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x 1，x 2∈（﹣，﹣），且x 1≠x 2时，f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A ．﹣B ．﹣1C ．1D ．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值．【解答】解：由函数f （x ）=2sin （ωx +φ）的图象过点B （0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f （x ）=2sin （ωx ﹣）；又f （x ）的图象向左平移π个单位之后为g （x ）=2sin [ω（x +π）﹣]=2sin （ωx +ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k ，k ∈Z ；又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2；∴f （x ）=2sin （2x ﹣），其图象的对称轴为x=+，k ∈Z ；当x 1，x 2∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x 1+x 2=2×（﹣）=﹣，∴f （x 1+x 2）=f （﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1．应选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图将边长为1的正六边形ABCDEF绕着直线l旋转180°，则旋转所形成的几何体的表面积为2【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，所得几何体的表面积为一个圆柱和两个圆锥的侧面积的和，即可得出结论．【解答】解：由题意，所得几何体的表面积为一个圆柱和两个圆锥的侧面积的和，所以S=+2×=2．故答案为：2．14．在（x+1）（x3+）n的展开式中，各项系数的和为256，则x项的系数是7（用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令x=1，则2×2n=256，解得n=7.的通项公式：T r+1=（x3）7﹣r=．令21﹣=0，解得r，令21﹣=1，解得r．即可得出．【解答】解：令x=1，则2×2n=256，解得n=7．=（x3）7﹣r=．的通项公式：T r+1令21﹣=0，解得r=6，令21﹣=1，无解．∴x项的系数=1×=7．故答案为：7．15．已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3…a n 的最大值为1024．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组，求出首项和公比，从而得到，进而a1a2a3…a n=24+3+2+1+…+（5﹣n）=，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a2a5=2a3，且a4，，2a7成等差数列，∴，解得，∴，∴a1a2a3…a n=24+3+2+1+…+（5﹣n）=，∴当n=4或n=5时，a1a2a3…a n取最大值，且最大值为210=1024．故答案为：1024．16．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则的取值范围为[0，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后代入三角形面积公式求得实数k的值，再根据的几何意义为点N（﹣1，0）与P（x，y）两点连线的斜率，即可求出答案．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可知k＞0，可行域的三个顶点为A（0，0），B（，），C（，），∵AB⊥BC，|AB|=，点C到直线AB的距离为，=AB•BC=××=，∴S△ABC解得k=4，则B（2，2），C（，），又的几何意义为点N（﹣1，0）与P（x，y）两点连线的斜率，∴k NA≤k≤k NC，∵k NA=0，k≤k NC=，∴的取值范围为[0，]，故答案为：[0，]．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知角A，B，C为等腰△ABC的内角，设向量=（2sinA﹣sinC，sinB），=（cosC，cosB），且∥，BC=（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧上取一点D，使得AD=1，求sin∠DAC及四边形ABCD的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（Ⅰ）利用向量共线的条件，即可求角B；（Ⅱ）求出CD，∠ADC=，由正弦定理可得sin∠DAC，即可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2sinA﹣sinC，sinB），=（cosC，cosB），且∥，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）根据题意及（Ⅰ）可得△ABC是等边三角形，∠ADC=△ADC中，由余弦定理可得，∴CD2+CD﹣6=0，∴CD=2，由正弦定理可得sin∠DAC==，∴四边形ABCD的面积．S=+=．18．某商家在网上销售一种商品，从该商家的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：（Ⅰ）由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的线性回归方程=x+，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为多少；（Ⅱ）若以从这6天中随机抽取2天，至少有1天的价格高于700元的概率作为客户A，B购买此商品的概率，而客户C，D购买此商品的概率均为，设这4位客户中购买此商品的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：x i y i=3050，x=271．参考公式：==，=﹣．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程=x+，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为多少；（Ⅱ）由题意可知：X=0，1，2，3，4．求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=6.5，=80，===﹣4，=﹣=80﹣（﹣4）×6.5=106，∴=﹣4x+106，x=10时，=﹣40+106+66，即预测当价格为1000元时，每天的商品的销量为66件；（Ⅱ）从6天中随机抽取2天的选法有=15种，至少有1天的价格高于700元的选法有=9种，∴概率为=．由题意，X=0.1.2.3.4．P（X=0）=（1﹣0.6）2×（1﹣0.5）2=0.04，P（X=1）=×（1﹣0.6）×（1﹣0.5）2+×（1﹣0.6）2×0.5×（1﹣0.5）=0.2，P（X=2）=×0.6××0.5×（1﹣0.5）+0.62×（1﹣0.5）2+（1﹣0.6）2×0.52=0.37，P（X=3）=×0.6×（1﹣0.6）×0.52+×0.62×0.5×（1﹣0.5）=0.3，P（X=4）=0.62×0.52=0.09．X的分布列故E（X）=0×0.04+1×0.2+2×0.37+3×0.3+4×0.09=2.2．19．如图，在几何体A1B1C1﹣ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，BB1：CC1：AA1=3：2：1，且AA1=1．（Ⅰ）求证：平面A1B1C1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求平面ABC与平面A1BC1所成锐角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A1B1C1⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）求出平面ABC的法向量和平面A1B1C1的法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面A1BC1所成锐角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵几何体A1B1C1﹣ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，BB1：CC1：AA1=3：2：1，且AA1=1．∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），B1（0，2，3），C1（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），=（2，0，﹣1），=（0，2，1），=（0，0，1），=（﹣2，2，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面A1ABB1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，0），∵=1﹣1+0=0，∴平面A1B1C1⊥平面A1ABB1．解：（Ⅱ）平面ABC的法向量=（0，0，1），平面A1B1C1的法向量=（1，﹣1，2），则cos＜＞===．∴平面ABC与平面A1BC1所成锐角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为点P，△PF1F2内切圆的半径为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（1）求椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由内切圆性质得，将x=c代入+=1，得y=±，由此求出a=2，b=，从而得到椭圆C的标准方程．（2）当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足TS与TR所在直线关于x轴对称，当直线l不垂直于x轴时，假设存在T（t，0）满足条件，设l的方程为y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根与系数的关系、根的判别式、直线关于x轴对称，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．【解答】解：（1）由内切圆性质得，解得，将x=c代入+=1，得y=±，∴，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，∴椭圆C的标准方程为．（2）当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足TS与TR所在直线关于x轴对称，当直线l不垂直于x轴时，假设存在T（t，0）满足条件，设l的方程为y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由根与系数的关系得，①，其中△＞0，∵TS与TR所在直线关于x轴对称，∴=0，②∵R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，∴y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②，得：==0，∴2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，③将①代入③，得==0，④要使得④与k的取值无关，则t=4，综上所述，存在T（4，0），使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．21．已知函数f（x）=lnx，F（x）=x++af′（x）（Ⅰ）当a=1时，求M（x）=F（x）﹣f（x）的极值；（Ⅱ）当a=0时，对任意x＞0，≤恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求得M（x）=x﹣lnx+，求导，根据导数与函数单调性的应用，即可求得M（x）的极值；（Ⅱ）由题意可知：对任意的x＞0，≤恒成立，则x+﹣2﹣m （lnx）2≥0对任意x＞0恒成立，构造辅助函数，求导，根据函数单调性及最值的关系，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=x++af′（x）=x+，（x＞0）当a=1时，求M（x）=F（x）﹣f（x）=x﹣lnx+，（x＞0）则M′（x）=1﹣﹣==，（x＞0）令M′（x）=0，解得：x=2，则x∈（0，2）时，M′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，M′（x）＞0，则M（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，当x=2时，M（x）有极小值，极小值M（2）=3﹣ln2，无极大值；（Ⅱ）当a=0时，对任意x＞0，≤恒成立，即对任意的x＞0，≤恒成立，则＞0，则2+m（lnx）2＞0，对任意的x＞0恒成立，故m≥0，故x+﹣2﹣m（lnx）2≥0对任意x＞0恒成立，设g（x）=x+﹣2﹣m（lnx）2，x＞0，求导，g′（x）=1﹣﹣，g″（x）=，令h（x）=2﹣2mx（1﹣lnx），（x＞0），求导h′（x）=2mxlnx，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）=2（1﹣m），则①当m≤1时，h（x）≥0，∴g″（x）≥0，即g′（x）递增，当x∈（0，1），g′（x）＜g′（1）=0，g（x）递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞g′（1）=0，g（x）递增，g（x）≥g（1）=0，即x+﹣2﹣mln2x≥0恒成立，②当m＞1时，存在x0∈（1，+∞），使得h（x0）=0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，g″（x）＜0，∴g′（x）单调递减，g′（x）＜g′（1）=0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）=0，此时g（x）≥0，不恒成立，故m的取值范围[0，1]．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），A，B在曲线C上，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B两点的极坐标分别为A（ρ1，），B（ρ2，）（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C的中心为M，求△MAB的面积．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求出A，B的坐标，可得|AB|，设曲线C的中心为M，求出M到AB的距离，即可求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为，（α为参数），得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，即x2+y2﹣6x﹣8y=0，∴曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ；（Ⅱ）A，B两点的极坐标分别为A（ρ1，），B（ρ2，），可得A（4+3，），B（8，），∴|AB|==5设曲线C的中心为M，M到AB的距离d==，∴△MAB的面积S==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+a|+|2x﹣2b|+3（Ⅰ）若a=1，b=1，求不等式f（x）＞8的解集；（Ⅱ）当a＞0，b＞0时，若f（x）的最小值为5，求+的最小值．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若a=1，b=1，不等式f（x）＞8为|2x+1|+|2x﹣2|＞5，分类讨论求不等式f（x）＞8的解集；（Ⅱ）f（x）的最小值为a+2b+3，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，b=1，不等式f（x）＞8为|2x+1|+|2x﹣2|＞5x≥1，不等式可化为4x﹣1＞5，∴x＞1.5，﹣0.5＜x＜1，不等式可化为3＞5，不成立，x≤﹣0.5，不等式可化为1﹣4x＞5，∴x＜﹣1，综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞1.5}；（Ⅱ）f（x）=|2x+a|+|2x﹣2b|+3≥|2x+a﹣2x+2b|+3=|a+2b|+3，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最小值为a+2b+3，∴a+2b+3=5，∴a+2b=2，∴+=（+）（a+2b）=（3++）≥，∴+的最小值为．2017年6月12日。
2017-2018学年河南省天一大联考高三(上)10月段考数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省天一大联考高三（上）10月段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知向量，若，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．32．（5分）函数f（x）=x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=3，S6=28S3，则a3=（）A．B．C．3 D．94．（5分）将函数f（x）=3sin（5x+φ）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值可以是（）A． B．C． D．5．（5分）已知m＞n＞0，则下列说法错误的是（）A． B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6=4a2，a3=3，则a10=（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．67．（5分）已知函数，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣k（x+2）=0有3个实数根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，1） D．（0，）9．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣10．（5分）已知实数x，y满足，若z=mx+y的最大值为10，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=|1﹣a n|+2a n+1，其前n项和为S n，则下列说法正确的个数为（）①数列{a n}是等差数列；②a n=3n﹣2；③S n=．A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）已知m，n∈（0，+∞）．若m=+2．则当+2n2﹣﹣取得最小值时，m+n=（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）不等式2x2﹣9x+9＞0的解集为．14．（5分）已知实数a∈（﹣3，1），b∈（，），则的取值范围是．15．（5分）若函数在（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，记h为AC边上的高，则h的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；（2）若，且c=12，求CD的长．19．（12分）已知向量．（1）若m=4，求函数f（x）=的单调递减区间；（2）若向量满足，求m的值．20．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为，等差数列{b n}的前5项和为30，b7=14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知点M（1，0），曲线Y=f（x）在点P（x0，y0）（﹣1≤x0≤1）处的切线l与直线x=1交于点N，求△OMN（O为坐标原点）的面积最小时x0的值，并求出面积的最小值．22．（12分）已知函数．（1）若m=1，求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）探究函数F（x）=xf（x）的极值点的情况，并说明理由．2017-2018学年河南省天一大联考高三（上）10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知向量，若，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【解答】解：根据题意，向量，若，则•=2×（﹣6）+（﹣3）m=0，解可得m=﹣4，故选：A．2．（5分）函数f（x）=x+lnx﹣3的零点位于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=x+lnx﹣3，（x＞0）∴f′（x）=1+，可得f′（x）＞0，f（x）为增函数，f（1）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（2）=2+ln2﹣3=ln2﹣1＜0，f（3）=3+ln3﹣3=ln3＞0，∵f（2）f（3）＜0，所以f（x）的零点所在区间为（2，3），故选B；3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=3，S6=28S3，则a3=（）A．B．C．3 D．9【解答】解：若q=1时，a5=3，∴a1=3，∴6a1=28a1，显然不成立，∴q≠1，由a5=3，S6=28S3，可得，解得q=3，a1=，∴a3=×9=，故选：B4．（5分）将函数f（x）=3sin（5x+φ）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值可以是（）A． B．C． D．【解答】解：将函数f（x）=3sin（5x+φ）的图象向右平移个单位，得到：y=3sin[5（x﹣）+φ]=3sin（5x﹣+φ），得到的图象关于y轴对称，则：φ﹣=k（k∈Z），解得：φ=k（k∈Z），当k=﹣2时，φ=﹣．故选：D．5．（5分）已知m＞n＞0，则下列说法错误的是（）A． B．C．D．【解答】解：根据对数函数的单调性可得A正确，∵m＞n＞0，∴m+1＞n+1∴m（m+1）＞n（n+1），∴＞，故B正确，根据幂函数的单调性可得C正确，对于D，﹣==，∵1﹣mn与0无法比较大小，故D错误，故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6=4a2，a3=3，则a10=（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6=4a2，a3=3，∴6a1+d=4（a1+d），a1+2d=3，解得a1=，d=﹣．则a10=﹣×9=﹣3．故选：A．7．（5分）已知函数，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2|x|﹣4＞0，解得x＞2或x＜﹣2，关于原点对称．又f（﹣x）=f（x）．可得函数f（x）在定义域内为偶函数．x＞2时，f（x）=5x﹣在（2，+∞）上单调递增．∴a+b＜0⇔2＜b＜﹣a⇔f（b）＜f（﹣a）=f（a），∴“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的充要条件．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣k（x+2）=0有3个实数根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，1） D．（0，）【解答】解：在同一坐标系中画出分段函数y=f（x）的图象与y=k（x+2）的图象，由图可知：当k∈（0，k AQ）时，分段函数f（x）的图象与y=k（x+2）的图象有三个交点，A（0，1），Q（﹣2，0），k AQ==，实数k的取值范围是（0，）．故选：D．9．（5分）已知sinα=﹣（α∈[，2π]），若=2，则tan（α+β）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=﹣（α∈[，2π]），∴cosα==，∴tanα==﹣，∵==sinα+cosα•tanβ═﹣+tanβ=2，∴tanβ=，则tan（α+β）===，故选：A．10．（5分）已知实数x，y满足，若z=mx+y的最大值为10，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，易知A（3，1），B（3，4），C（0，1）．化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z，当直线z=mx+y经过B点时，取得最大值10；∴10=3m+4，解得m=2．故选：B．11．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=|1﹣a n|+2a n+1，其前n项和为S n，则下列说法正确的个数为（）①数列{a n}是等差数列；②a n=3n﹣2；③S n=．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1=|1﹣a n|+2a n+1，可得a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3，a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9，则a4﹣a3=6，a3﹣a2=2，即有a4﹣a3≠a3﹣a2，则数列{a n}不是等差数列，故①不正确；a n=3n﹣2，不满足a1=﹣1，故②不正确；若S n=满足n=1时，a1=S1=﹣1，但n=2时，a2=S2﹣S1=﹣（﹣1）=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，n≥2，n∈N*．=|1﹣a n|+2a n+1，代入a n+1左边=3n﹣1，右边=3n﹣2﹣1+2•3n﹣2+1=3n﹣1，=|1﹣a n|+2a n+1恒成立．则a n+1故③正确．故选：B．12．（5分）已知m，n∈（0，+∞）．若m=+2．则当+2n2﹣﹣取得最小值时，m+n=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：m，n∈（0，+∞）．若m=+2．则m=＞0，解得n＞1．则+2n2﹣﹣=+2n2﹣﹣=+2n2=f（n）．f′（n）==，令f′（n）≥0，解得n≥2，可得n=2，m=4时，f（n）取得最小值时，m+n=6．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）不等式2x2﹣9x+9＞0的解集为（﹣∞，）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2x2﹣9x+9＞0，即为（x﹣3）（2x﹣3）＞0，解得x＞3或x＜，解集为（﹣∞，）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，）∪（3，+∞）．14．（5分）已知实数a∈（﹣3，1），b∈（，），则的取值范围是（﹣12，8）．【解答】解：∵b∈（，），∴∈（4，8），∵a∈（﹣3，1），∴∈（﹣12，8）．故答案为：（﹣12，8）．15．（5分）若函数在（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵函数在（1，+∞）上单调递增，∴≥0在（1，+∞）上恒成立，即m≥在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，当x∈（1，）时，g′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，故当x=时，g（x）取最大值，故实数m的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，记h为AC边上的高，则h的取值范围为（0，] ．【解答】解：∵，∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，∴cosB=，∴B=．=acsinB=bh，∵S△ABC∴h=，由余弦定理可得cosB==，∴a2+c2=ac+3≥2ac，∴0＜ac≤3．∴0＜h≤．故答案为：（0，]．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的首项为a1=1，且a n+1=2（a n+1）（n∈N*）．+2=2（a n+2），则：a n+1所以：{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列．则：，解得：．（2）由于=n，则：=，所以：+…+，解得：．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；（2）若，且c=12，求CD的长．【解答】解：（1）由S=•BD•BC•=24，△BCD解得：BD=12，在△BCD中，CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos45°，即CD2=32+BD2﹣8BD，故CD2=32+144﹣8×12，解得：CD=4；（2）∵tanA=，且A∈（0，π），故sinA=，cosA=，由题意得=，即=，解得：sinC=，∵C∈（0，），∴cosC=，∴sin∠BDC=sin（C+）=，在△BCD中，由正弦定理得=，解得：CD=2．19．（12分）已知向量．（1）若m=4，求函数f（x）=的单调递减区间；（2）若向量满足，求m的值．【解答】解：（1）向量．∴函数f（x）==4sinxcosx+msin2x=2sin2x﹣当m=4时，可得f（x）=2sin2x﹣2cos2x+2=2sin（2x﹣）+2．由≤2x﹣，得：≤x≤+kπ．∴函数f（x）=的单调递减区间为[，]，k∈Z．（2）由=（），即，∵x∈（0，）由sin2x+cos2x=1可得sinx=，cosx=．那么m=sin2x=．20．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为，等差数列{b n}的前5项和为30，b7=14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为，∴n≥2时，a n=S n﹣S n=﹣=3n﹣1，﹣1n=1时，a1=S1=1对于上式也成立．∴a n=3n﹣1．设等差数列{b n}的公差为d，∵前5项和为30，b7=14．∴5b1+=30，b1+6d=14，联立解得：b1=d=2．∴b n=2+2（n﹣1）=2n．（2）a n b n=2n•3n﹣1．∴T n=2（1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1），3T n=2[3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n]，﹣2T n=2（1+3+32+…+3n﹣1）﹣2n•3n=﹣2n•3n，解得：T n=+．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知点M（1，0），曲线Y=f（x）在点P（x0，y0）（﹣1≤x0≤1）处的切线l与直线x=1交于点N，求△OMN（O为坐标原点）的面积最小时x0的值，并求出面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=e x﹣x，令m（x）=e x﹣x，故m′（x）=e x﹣1，令m′（x）=0，解得：x=0，故m（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故[m（x）]min=m（0）=1，故e x﹣x＞0，即f′（x）＞0，故函数f（x）在R递增；（2）由题意，切线l的斜率为f′（x0）=﹣x0，由此得切线l的方程为y=（﹣）=（﹣x0）（x﹣x0），令x=1，得y=（2﹣x0）（﹣x0），=|OM|•|y|=|（1﹣x0）（﹣x0）|，x0∈[﹣1，1]，∴S△MON设g（x）=（1﹣x）（e x﹣x），x∈[﹣1，1]，则g′（x）=﹣（x﹣1）（e x﹣1），令g′（x）=0，解得：x=0或x=1，故g（x）在（﹣1，0）递减，在（0，1）递增，故g（x）min=g（0）=1，即x0=1时，△MON的面积有最小值1．22．（12分）已知函数．（1）若m=1，求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）探究函数F（x）=xf（x）的极值点的情况，并说明理由．【解答】解：（1）由题意，f′（x）=+1，故f′（2）=2，由f（2）=3，故所求切线方程为：y﹣3=2（x﹣2），即2x﹣y﹣1=0，∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程2x﹣y﹣1=0；（2）F（x）=xf（x）=xln（x﹣1）+x2+mx，F′（x）=ln（x﹣1）++2x+m，记g（x）=F′（x）﹣m，g′（x）=﹣+2=，令g′（x）=0，则x=，当x∈（1+，）时，g′（x）＜0，当x∈（，e+1）时，g′（x）＞0，∴当x=时，g（x）取的极小值6﹣ln2，由g（+1）=e++2，g（e+1）=2e++4，F′（x）=0，则g（x）=﹣m，①当﹣m≤6﹣ln2，即m≥ln2﹣6，F′（x）≥0恒成立，函数F（x）在（+1，e+1）上无极值点，②当6﹣ln2＜﹣m＜e++2，即﹣e﹣﹣2＜m＜ln2﹣6，F′（x）有两个不同解，函数F（x）在区间（+1，e+1）有两个极值点；③当e++2≤﹣m＜2e++4，即﹣2e﹣﹣4＜m＜﹣e﹣﹣2时，F′（x）有一个解，函数F（x）在区间（+1，e+1）有一个极值点；④当﹣m≥2e++4，即m≤﹣2e﹣﹣4，F′（x）≤0，函数F（x）在区间（+1，e+1）上无极值点．。
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天一大联考2016—2017学年高中毕业班阶段性测试（五）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知复数z ，则“0z z +=”事故“z 为纯虚数”的
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若集合{}
2|,210A x R mx x =∈-+=恰有两个子集，则实数m 的取值范围是
A. (],1-∞
B.(),1-∞
C. {}0,1
D.{}1 3.已知之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为ˆ9.49.1y
x =+，则a 的值为 A. 52 B. 53 C. 54 D. 55
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何
体的表面积为 A.42π B. 422π+ C. (42π+ D. (422π+
5.执行如图所示的程序框图，若输入的3p =，则输出的n =
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9 6.已知向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，若
2,3,6a b a b ==⋅=r r r r ，则1122
x y x y ++的值为 A.
23 B. 56 C. 23- D.56
- 7.在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，则ABC ∆是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三
角形 D.以上都不对
8.《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ==，则异面直线PC 与BD 所成角的正弦值为 15151010
9.已知函数()2cos2f x x =
，要得到2cos 2y x x =-的图象，只需要将函数()y f x =的图象
A. 向左平移6π个单位
B.向右平移6
π个单位 C.向左平移3π个单位 D. 向右平移3
π个单位 10.函数3
x x y e
=的图象大致为 11.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点（异于右顶点），12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点()2,0，过2F 的直线l 与双曲线交于A,B 两点，若使2AB b =的直线恰有三条，则暑期小的离心率的取值范围是
A. (
B. ()1,2
C.
)+∞ D. ()2,+∞ 12.若函数()()21x f x e x ax a =--+有两个不同的零点，则a 的取值范围是
A. ()0,1
B. 324,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C. ()320,11,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭U
D.()320,14,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
U
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若方程22
113x y m m
+=--表示椭圆，则实数m 的取值范围为 . 14.设实数,x y 满足100y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 .
15.在电视节目《爸爸去哪儿》中，5个爸爸各带一个孩子体验乡村生活.一天村长安排一个爸爸带3个小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3个男孩，两个女孩）.其中Kimi （男）说我爸去我就去，我爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸去我就不去，我爸不去我就去.若其他人都没有意见且Kimi 和石头的要求都能满足，那么可选的方案有为 种.
16.在凸四边形ABCD 中，1,3,,60,AB BC AC CD ADC ==⊥∠=o
当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和22.n S n n =+
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：3 5.2n T ≤< 18.（本题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限度，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级，在35—75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.为了比较甲、乙两城市2016年的空气质量情况，省环保局从甲、乙两城市全年的检测数据中各随机抽取20天的数据作为样本，制成如图所示的茎叶图（十位为茎，个位为叶）.
（1）求甲、乙两城市所抽取20天数据的中位数m 甲和m 乙；
（2）从甲、乙两城市的20天样本数据中各选一个数据，记随机变量X 为一共抽到甲、乙两城市PM2.5超标的天数，求X 的分布列与数学期望.
19.（本题满分12分）
如图，在多面体ABC DEF -中，
4,3,5,4,2,3AB AC BC AD BE CF ======,且BE ⊥平面ABC ，//AD 平面BEFC .
（1）求多面体ABC DEF -的体积；
（2）求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.
20.（本题满分12分）
设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，满足4MF =，以MF 为直径的圆过点（0,2）.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设A,B 为抛物线C 上的两点，且以AB 为直径的圆过点F ，求ABF ∆面积的最大值.
21.（本题满分12分）
已知函数()()ln .x
f x e x m =-+
（1）当1m =时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当2m ≤时，证明：()1.6
f x >
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为201721008x t y t
=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程为ρ=
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设M 是曲线C 上一动点，试求点M 到直线l 的距离的取值范围.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知正数,x y ，记2233
,,.A x y B x y C x y =+=+=+
（1）求证：22AB C A +≥;
（2）若mC AB ≥对任意的正数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围.。