离散数学第1,2章习题答案

第一章习题

1．下列哪些语句是命题？

(1) 黄山是在安徽省。

(2) 你会做这道题目吗？

(3) 月球比地球大。

(4) 请关上窗户！

(5) 如果1+2=5，我就去游泳。

(6) 只有6是偶数，3才能被2整除。

解：(1)，(3) ，(5) ，(6) 是命题，(2)，(4)分别是疑问句和命令句，它们不是命题。

2．给出下面命题的否定命题。

(1) 上海是一座城市。

解：该句的否定命题为：上海不是一座城市。

(2) 1+2=5并且2×3=6。

解：该句的否定命题为：1+2≠5或2×3≠6。

(3) 2是素数或3是偶数。

解：该句的否定命题为：2不是素数并且3不是偶数。

3．将下列命题符号化。

(1) 灯泡有故障或开关有故障。

解：P表示：灯泡有故障，Q表示：开关有故障，命题符号化为：P∨Q

(2) 今天下大雨和3+3=6。

解：P表示：今天下大雨，Q表示：3+3=6，命题符号化为：P∧Q

(3) 虽然天气炎热，老师坚持给我们上课。

解：P表示：天气炎热，Q表示：老师坚持给我们上课，命题符号化为：

P∧Q

(4) 他一边走路，一边看书。

解：P表示：他走路，Q表示：他看书，命题符号化为：P∧Q

(5) 如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。

解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：P→Q

(6) 只有天下大雨，他才乘公共汽车上班。

解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：Q→P

(7) 2＋2＝4当且仅当雪是白色的。

解：P表示：2＋2＝4，Q表示：雪是白色的，命题符号化为：P↔Q

4．判断下列各蕴涵式是真是假。

(1) 若一周有八天，则3+2=5。

解：P表示：一周有八天，Q表示：3+2=5，命题符号化为：P→Q

由于P为假，Q为真，P→Q为真，故该命题为真命题。

(2) 若一周有七天，则3+2≠5。

解：P表示：一周有七天，Q表示：3+2≠5，命题符号化为：P→Q

由于P为真，Q为假，P→Q为假，故该命题为假命题。

(3) 若一周有八天，则3+2≠5。

解：P表示：一周有八天，Q表示：3+2≠5，命题符号化为：P→Q

由于P为假，Q为假，P→Q为真，故该命题为真命题。

(4) 若一周有七天，则3+2=5。

解：P表示：一周有七天，Q表示：3+2=5，命题符号化为：P→Q

由于P为真，Q为真，P→Q为真，故该命题为真命题。

5．给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、反命题和逆反命题。

(1) 如果明天上离散数学课，我今晚就预习。

解：P表示：明天上离散数学课，Q表示：我今晚预习，命题符号化为：P→Q，该命题的逆命题、反命题和逆反命题符号化分别为：Q→P，⎤P→⎤Q，⎤Q→⎤P，用文字描述如下：

逆命题：如果我今晚预习，那么明天上离散数学课。

反命题：如果明天不上离散数学课，我今晚就不预习。

逆反命题：如果我今晚不预习，那么明天不上离散数学课。

(2) 只有天气不好，才会取消运动会。

解：P表示：天气不好，Q表示：运动会取消，命题符号化为：Q→P，该命题的逆命题、反命题和逆反命题符号化分别为：P→Q，⎤Q→⎤P，⎤P→⎤Q，用文字描述如下：

逆命题：如果天气不好，运动会就取消。

反命题：只有天气好，才会不取消运动会。

逆反命题：如果天气好，运动会就不会取消。

6．构造下列公式的真值表，并由此判断它们是否是永真式、永假式和可满足式。

(1) (P∧⎤Q)→R

解：真值表如下：

(2) ⎤(P→Q)∧Q∧R 解：真值表如下：

(3) (⎤P→Q)→(Q→⎤P) 解：真值表如下：

(4) (P↔Q)∧(⎤P↔Q) 解：真值表如下：

7．用等价演算法证明下面的等价式。

(1) (P→Q)∧(P→R)⇔ P→(Q∧R) 证明: (P→Q)∧(P→R)

⇔(⎤P∨Q)∧(⎤P∨R)

⇔⎤P∨(Q∧R)

⇔ P→(Q∧R)

(2) ⎤(P↔Q) ⇔ (P∨Q)∧⎤(P∧Q) 证明: ⎤(P↔Q)

⇔⎤((P∧Q) ∨ (⎤P∧⎤Q))

⇔⎤(P∧Q) ∧⎤(⎤P∧⎤Q))

⇔ (P∨Q)∧⎤(P∧Q)

(3) (⎤P→Q)→(Q→⎤P)⇔⎤P∨⎤Q

证明: (⎤P→Q)→(Q→⎤P)

⇔(P∨Q)→(⎤Q∨⎤P)

⇔⎤(P∨Q)∨(⎤Q∨⎤P)

⇔ (⎤P∧⎤Q)∨(⎤Q∨⎤P)

⇔ (⎤P∧⎤Q)∨⎤P∨⎤Q

⇔⎤P∨⎤Q

(4) P→（Q→R）⇔ P∧Q→R

证明: P→（Q→R）

⇔⎤P∨(⎤Q∨R)

⇔⎤(P∧Q)∨R

⇔P∧Q→R

8．将下列公式化简。

(1) Q∧⎤(P→Q)

解：Q∧⎤(P→Q)

⇔ Q∧⎤(⎤P∨Q)

⇔ Q∧(P∧⎤Q)

⇔ Q∧⎤Q∧P

⇔ F∧P

⇔ F

(2) (P→Q)↔(⎤Q→⎤P)

解：(P→Q)↔(⎤Q→⎤P)

⇔(P→Q)↔( P→Q)

⇔T

(3) ((P∧Q)∨(P∧⎤Q))∧R

解：((P∧Q)∨(P∧⎤Q))∧R

⇔P∧(Q∨⎤Q)∧R

⇔P∧T∧R

⇔P∧R

(4) ((P→Q)∧P)→Q

解：((P→Q)∧P)→Q

⇔((⎤P∨Q)∧P)→Q

⇔((⎤P∧P)∨(Q∧P))→Q

⇔ (Q∧P)→Q

⇔⎤(Q∧P)∨Q

⇔ (⎤Q∨⎤P)∨Q

⇔ T∨⎤P

⇔ T

9．不构造真值表证明下面的蕴含式。

(1) ⎤P∧(P∨Q) ⇒ Q

证明:假设⎤P∧(P∨Q)为T,则⎤P为T, P∨Q为T, 由⎤P为T, P∨Q为T,知P为F, Q为T,所以⎤P∧(P∨Q) → Q为永真式，根据永真蕴涵定义有：⎤P∧(P ∨Q) ⇒ Q

(2) （P→P）∧⎤P ⇒⎤P

证明:假设（P→P）∧⎤P为T,则P→P为T, ⎤P为T,所以（P→P）∧⎤P →⎤P 为永真式，根据永真蕴涵定义有：（P→P）∧⎤P ⇒⎤P

(3) （P→Q）∧（Q→R）⇒ P→R

证明:假设（P→Q）∧（Q→R）为T,则P→Q为T, Q→R为T, 若P为T,则Q，R都为真，P→R也为T,所以（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）为永真式，根据永真蕴涵定义有：（P→Q）∧（Q→R）⇒ P→R

(4) ⎤(P→Q)⇒ P

证明:假设P为F,则P→Q为T, ⎤(P→Q)为F,所以⎤(P→Q) →P为永真式，根据永真蕴涵定义有：⎤(P→Q)⇒ P

10．求下列公式的对偶式。

(1) P→(Q→R)

解：P→(Q→R)