离散数学答案

2015春课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ⊆ A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。

否［错］1-4 设集合 B = {4，3} ∩Ø， C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ]A. C;B. D;C. E;D. F.1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ]A. N;B. Z;C. Q;D. Z+1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)按照所研究的问题来确定集合的元素。

而我们所要研究的问题当然是随意的。

所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。

第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题）求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。

所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。

有的书上称其为抽象原则。

反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下：R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}；(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}；(3)R 的性质:自反,对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，试给出 dom（R 。

R）。

（选择题） [ B ]A. 3；B. {3}；C. 〈3，3〉；D.{〈3，3〉}。

2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；以及函数的性质。

最后指出 f：A→B 中的双射函数。

（选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。

（2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。

（3）A = B = R， f = x 。

（4）A = B = N， f = x2。

（5）A = B = N， f = x + 1 。

A.（1）和（2）；B.（2）和（3）；C.（3）和（4）；D.（4）和（5）2-4 设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。

ｇ＝[ C ] A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。

2-5 关系型数据库与《关系与函数》一章内容有何联系？（简答题）关系与函数一章的内容是关系型数据库的理论基础第三章结构代数(群论初步) (3-1)，(3-2)为选择题3-1 给出集合及二元运算，判断是否代数系统，何种代数系统？（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 * 是普通乘法。

[ A ] A．不构成代数系统；B．只是代数系统。

；C．半群；D．群。

（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；二元运算。

定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai 。

aj = ai 。

[ C ]A．不构成代数系统；B．只是代数系统。

；C．半群；D．群。

（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。

[ C ] A．不能构成代数系统；B．半群；C．独异点；D．群。

3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的［ A ］A．x*y = max(x,y) ；B．x*y = 2x+y ；C．x*y = x2+y2；D．x*y =︱x-y︱..3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。

，对于所有 x，y ∈Z 都有x 。

y = x - y试问？在 Z 上二元运算。

能否构成代数系统，何种代数系统？为什麽？（综合题）判别一个代数系统是否是群，当然要满足群的定义条件。

然而，判别过程要分步走。

第一步封闭性问题判断.第二步，针对结合律进行讨论。

第三步，要讨论特殊元素及其对代数结构的作用。

本题中，自然数上的减法运算不满足封闭性，不能构成代数系统。

接下来的问题，就不必讨论了。

最后，结论是：自然数上的减法运算不构成代数系统。

第二部分图论方法第四章图以下三题分别为：选择题是非题填空题4-1 10 个顶点的简单图G中有4个奇度顶点，问 G 的补图中有 r 个偶数度顶点。

[ C ] A．r =10 ；B．r = 6；C．r = 4；D．r = 9。

4-2 是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点。

[ 是 ]4-3 填空补缺：1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为 2 。

握手定理是普适定理．任何无向图中，所有顶点的度数之和都是边的两倍．第五章树5-1 概述无向图与无向树的关系。

（简答题）（1）生成树的定义---生成子图概念；（2）生成子图与母图的关系----顶点数相同；（3）何种图才有生成树----连通图；（4）连通图中的那种边永远不会进入任何一颗生成树中---环。

（5）连通图中的那种边必然会进入其生成树中---桥。

5-2 握手定理的应用（指无向树）（计算题）（1）在一棵树中有 7 片树叶，3个3 度顶点，其余都是4 度顶点，共几个顶点 [ 11 ] （2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有几片叶 [ 9 ]5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。

试问：T 的权 W（T）= ( 61 )；树高 ( 4 ) 层。

（填空题）5-4 以下给出的符号串集合中，那些是前缀码（是非题）B1 = {0，10，110，1111}； [ 是 ] B2 = {1，01，001，000}； [ 是 ] B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc} [ 非 ] B4 = {1，11，101，001，0011} [ 非 ]5-5 11 阶无向连通图 G 中有 17 条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [ 非 ] 5-6 二元正则树有奇数个顶点。

[ 是 ]5-7 通信中 a，b，c，d，e，f,g,h 出现的频率分别为 25%;20%;20%.15%,10%,5%,4%,1%;试完成下列要求。

（综合题）1、最优二元树 T；2、二元树的权 W（T）= ；3、每个字母的码字；1、最优二元树 T；2、二元树的权W（T）=260；3、每个字母的码字；。

10060。

25。

a 。

4010。

c5。

20 。

b。

f 。

g h d e编码如下：g（00000），h（00001），f（0001），d（100），e（101）,c(001),b(11),a(01)。

第三部分逻辑推理理论第六章命题逻辑6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。

（填空题）（1）2月 17 号新学期开始。

（是简单）命题（2）离散数学很重要。

（是简单）命题（3）离散数学难学吗？（不是）命题（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性（是复合）命题（5）x + 5 > 2 。

（不是）命题（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。

（是复合）命题6-2 将下列命题符号化. （填空题）（1）2 是偶素数。

（2）小李不是不聪明，而是不好学。

（3）明天考试英语或考数学。

（兼容或）命题的符号化必须把握住一个概念：一个符号不能对一个复合命题符号化，而只能对一个简单命题符号化。

而复合命题的符号化要借助于联结词的帮助。

小王不好学，自然 q 的真值为 0，而﹃q 为 1。

总结果如下：（1）符号化为： p ∧ q。

（2）符号化为：p ∧﹃q。

（3）符号化为：p ∨ q。

6-3 用等值演算法求下列命题公式的主析取范式，并由此指出该公式的类型（1）﹃（p→q）∧ q （计算题）（2）（（p→q）∧ p）→q （计算题）（3）（p→q）∧ q （计算题）该题为用主析取范式法判断公式类型。

所以，必须先求主析取范式，然后回答公式类型。

结果如下：此题应为（计算题）（1）0，永假式；（2）Σ（0，1，2，3），永真式；（3）Σ（1，3），可满足式。

6-4 令p：经一堑；q：长一智。

命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[ B ] A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p6-5p：天气好；q：我去游玩．命题”如果天气好，则我去游玩”符号化为［ A ］A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p6-6 将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。

（综合题）如果今天不下雨，则明天上体育课。

今天没有下雨。

所以，明天上体育课。

题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。

再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。

公式是重言式，所以，推理正确。

方法 1：等值演算法(略)方法 2: 主范式法(略);方法 3: 真值表法(略);方法 4：构造证明法,如下:（1）将原子命题符号化：（2）按题意构成前提：（3）按题意构成结论：（4）证明：如果今天下雨，则明天不上体育课。

今天下雨了。

所以，明天没有上体育课。

题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。

再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。

公式是重言式，所以，推理正确。

方法 1：等值演算法（（p→﹃q）∧p）→﹃q ﹤＝﹥1；方法 2: 主范式法(略);方法 3: 真值表法(略);方法 4：构造证明法,如下:将公式分成前提及结论。

前提：（p→﹃q），p；结论：﹃q；证明：（1）（p→﹃q）前提引入（2） p 前提引入（3）（p→﹃q）∧p （1）（2）假言推理（4）﹃q扣题：要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确。

第七章谓词逻辑7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化（填空题）（1）这台机器不能用。