机械振动与波 PPT课件

机械振动与机械波习题课
8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.
x
k
2
k 0,1, Amax 2 A
(2k 1)
4
k 0,1.2 Amin 0
波腹 波节
9、多普勒效应：
'
u u
vo vs
vo 观察者向波源运动 + ，远离 .
g
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2、已知：d=10cm，=0.25，
（1）求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期。
d
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解：力矩平衡NAd=Mg(d/2-x)
NBd=Mg(d/2+x)
F=fA-fB= NA-NB= - 2Mgx/d=Ma
y NA
fA O Mg
NB fB
A
动
y A cos[(t x ) ] A cos(t 2 x )
u
u T
与
1 A2 2
2
I u
波波
2
1
2
(r2
r1
)
2k (2k
1)
k 0,1,2,加强 k 0,1,2,减弱
A A1 A2 A A1 A2
x
k
2
k 0,1, Amax 2 A
(2k 1)
O
S1
d
S2
x
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2
(r2
r1 )
(2k
1)
k 1,2
由题中已知条件 r2 d x
r1 x
2 (d 2x) (2k 1) k 1,2
4
( x2
x1 )
2
6m
(2k 1) 2 (d 2x) (2k 5)
当k 2,3时位相最小
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B
d 2 x 2g
dt 2
d
x0
x
T 2 d 0.9s 2g
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3、一倔强系数为k的轻弹簧，其上端与一质量为m的平 板A相连，且板静止。今有一质量也为m的物体自距A 为h高处自由落下，与A发生完全非弹性碰撞。试证明 碰撞后系统作简谐振动并给出该振动的振动方程。
m
h
A
k
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4
k 0,1.2 Amin 0
波腹 波节
'
u u
vo vs
机械振动与机械波习题课 三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
所传播的距离称为波速
7、平均能量密度：能量密度的平均值。
1 2
A2 2
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8、平均能流密度：能流密度的平均值。 I u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x 2x 0
dt 2
d 2 2 0
dt 2
2、简谐振动的运动方程
x Acos(t ) 0 cos(t )
波密
u
O
P
x
3/4
分界面
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练习题4、在一根线密度=10-3kg/m和张力F=10N的弦线 上，有一列沿轴x正方向传播简谐波，其频率=50Hz，
振幅A=0.04m。已知弦上离坐标原点x1=0.5m处的质点在 t=0时刻的位移为+A/2，且沿轴负方向运动。当传播到 x2=10m处固定端时，被全部反射。试求：
3、由初始条件确定 A
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A
x02
v02
2
tan v0 x0
4、简谐振动的能量
E
Ek
EP
1 2
kA2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 ) tg A1 sin 1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos2
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证明：（1）由万有引力定律（马文蔚 万有引力场）
F G M m M 4 r 3
r2
3
F=ma得： d 2r 4 Gr 0
dt 2 3
（2） T 2 2 / 4 G
3
t T / 4 G 1.27103 s
42 3
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5、如图所示，两相干波源S1和S2的距离为d =30m，S1 和S2都在x 坐标轴上，S1位于坐标原点O,设由S1和S2分 别发出的两列波沿x轴传播时，强度保持不变.x1 = 9m 和x2 = 12m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点， 求两波的波长和两波源间最小位相差.。
6、 如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面， 波长是，AB为波的反射平面，反射时无半波损失。O 点位于A点的正上方，AO = h，Ox轴平行于AB，求Ox 轴上干涉加强点的坐标（限于x ≥0)
O
x
h
A
B
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解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反射来的波在坐标 x处相遇，两波的波程差为：
6、一维简谐波的波动方程：
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
u
T
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
2
1
2
(r2
r1
)
2k
(2k
1)
k 0,1,2,加强 k 0,1,2,减弱
r1
r2
k
(2k
1)
2
k 0,1,2加强 k 0,1,2减弱
)
(m)
答案二：
y 2Acos( 2π x 1 π )cos(t 1 π )
2
2
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答案三：
y1
a cos[ 2t 2x
u
]
2
y2
a cos[ 2t
2 x
u
2
]
x 0;
2
x ; 3
44
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答案四：
1)
y1
0.04cos[100( t
x 100
(2) 求此波的波动表达式；
yP (m)
(3) 若图中d=/2 ，求坐 标原点O处质点的振动 方程．
01 -A
d
t (s) O P x
练习题2、在绳上传播的入射波表达式为
y Acos(t 2 x)
入射波在x = 0处反射，反射端为固定端．设反射波不衰 减，求：驻波表达式．
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1）入射波和反射波的方程；
2）入射波和反射波迭加波在取间内波腹和波节处各点的 坐标；
3）合成波的平均能流。
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答案一：
1
yP Acos[( 2t / 4 ) ]
Acos( t ) 2
(m)
y Acos[ 2( t x d ) ]
4
(m)
y0
Acos(
1 2
t
练习题3、一平面简谐波沿x正向传播，如图所示。振幅 为A，频率为，传播速度为u。（1）t=0时，在原点O处 的质元由平衡位置向y 轴正方向运动，试写出该波的波 动方程；（2）若经界面反射的波的振幅和入射波的振 幅相等，试写出反射波的波动方程，并求出在x轴上因 入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。
波蔬
)
5
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
]
m
y2
0.04cos[100( t
x 100
) 11
6
]
m
2) y 0.08cos(x )cos(100t 4 ) m
2
3
xk1 2
k 0,110
xk
k 0,110
3) P 0
解：
m作加速直线运动
物理过程 m与A作完全非弹性碰撞
2m作简谐振动
（1）机械能守恒 v 2gh
（2）动量守恒 V v 1 2gh 22
（3）证明：
确定坐标及坐标原点
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2m A
ok
2mg
k(x
x0
)
2m
d2x dt 2
其中： 2mg k x0
d2x kx 2m dt2
d2x dt 2
2
x
0
x
k
2m
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2m A
ok
mg
2gh
t 0, x0 k , v0 2
利用初始条件：
A mg 1 kh , tg1 kh
k mg
mg
x mg 1 kh cos( k t tg1 kh )
k
mg
2m
mg
x
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4、假想沿地球的南北极直径开凿一条贯通地球的隧 道,且将地球当作一密度ρ=5.5g/cm3的均匀球体。 (1)若不计阻力,试证明一物体由地面落入此隧道后作 简谐振动； (2)求此物体由地球表面落至地心的时间。 (万有引力常数G=6.67×10-11N.m.kg-2)
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典型例题
1、一木板在水平面上作简谐振动,振幅是 12cm,在距平衡位置6cm处速度是24m/s。 如果一小物块置于振动木板上,由于静磨擦力 的作用,小物块和木板一起运动(振动频率不 变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始 在木板上滑动,问物块与木板之间的静摩擦系 数μ为多少?
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一、基本概念
1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离
是一个波长
6、波速：单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)
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解： x Acos( t ) v A sin( t )
在x 6cm, v 24cm / s有：
解以上二式得 4
3
a A 2 cost, M在最大位移处有 a A 2
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若mA 2稍稍大于mg，则m开始
在M上滑动, 取 :
mg mA 2 A 2 0.0653
2 ( x )2 h2 x k
2
k 1,2
O
h
A
P
x x 4h2 k 22 2k
k 1,2 2h
B
（当x=0时由4h2-k22=0可得 k=2h/..)
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练习题1、一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长
为，P处质点的振动规律如图所示．
(1) 求P处质点的振动方程；
vs波源向观察者运动 ，远离 + .
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d2x 2x 0
dt 2
x Acos(t ) 旋转矢量法
2 T
1 T
A
x 02
v
2 0
2
tan( v0 ) x0
振
振动
A
A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2