微积分10无穷级数联系和习题解答
第十章 无穷级数 习题详细解答
解 若级数分别为
∑u
n =1 ∞
∞
n
= 1 − 1 + 1 − " + (−1) n −1 + " ；
∑v
n =1 ∞
n
= −1 + 1 − 1 + " + (−1) n + " ；
∞ ∞
则级数
∞
∑ (u n + vn ) 显 然 收 敛 ； 但 是 如 果 另 外 有 级 数 ∑ wn = ∑ u n ， 则 级 数
（3） （5） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) ;
n =1 ∞
（6）
1 1 1 1 + + 3 + 4 +"; 3 3 3 3
（7） ( − ) + (
1 1 1 1 1 1 − 2 ) + "" + ( n − n ) + " ; 2 3 2 3 2 3 2 1 3 5 7 2n − 1 +"; （8） + + + + " + 3 5 7 9 2n + 1
敛，由比较判别法,故级数
(sin 2n) 2 也收敛. ∑ 6n n =1
∞
（5）当 a > 1 时， u n =
∞ ∞ 1 1 1 1 ，而 收敛，故 收敛 < ∑ ∑ n n n n a 1+ a n =1 a n =1 1 + a
当 0 ≤ a ≤ 1 时， lim u n = lim
n→∞ ∞
（4）因为 S n = sin （5）因为
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数必考经典习题(附答案).pdf
无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。
无穷级数习题课及答案
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。
无穷级数(习题及解答).doc
第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。
无穷级数习题及详细解答
(1,5]
n1
(4) 设函数 f (x) x 1 ( x ) 的傅里叶级数的和函数为 S(x),则S(5 ) 等于 1
(5) 设 函 数 f (x) x2 (0 x ) 的 正 弦 函 数 bn sin nx 的 和 函 数 n1
S(x),则当x( , 2 )时，S(x)
( 2 x 2)
0
（1）证明 an
an2
1 (n n 1
3, 4,) ，并求级数
n3
1 n
(an
an2 )
的和；
（2）证明级数
an 收敛.
n1 n
证：（1） an
4 tan2 x tann2 xdx
0
4 sec2 x tann2 xdx
0
4 0
tan n2
xdx
1 n 1
an2 ,
即有
an
1
x cos
x2dx
1 sin
x2
1
sin1.
2 6 2! 10 4! 14 6!
0
2
02
13.
将函数
f
x
x 2 x x2
展开成 x 的幂级数.
f
x
2
x x x2
1 3
2 2
x
1 1
x
1 1
3
1
x
1 1
x
2
而
1
1n xn
1 x n0
x 1,1
1
1 x
n0
x n 2
2
x 2, 2
(x)
1
x2
a0 2
n1
an
cos nx
1
微积分10 无穷级数联系和习题解答
第10章 无穷级数练习和习题解答练 习 10.11.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111； 解：该级数一般项为1)1(--=n n u(2) +-+-97535432a a a a ； 解：该级数一般项为12)1(11+-=++n a u n n n (3)++++1741035221； 解：该级数一般项为12+=n nu n(4) +++++-635241021.解：该级数一般项为12+-=n n u n2.用定义判断下列级数的收敛性： (1)∑∞=-0)1(n n解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞→lim 不存在，故原级数发散.(2)∑∞=+11lnn nn 解：ln )1ln(1ln-+=+=n nn u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n∞=∞→n n S lim ，故原级数发散.(3)∑∞=⋅15199n n解：)511(49951)511(51995199519911nn n k k n k k n S -=--==⋅=∑∑== 499lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4)∑∞=-0)1(n nn x 解：x x x x x x S nn n k kn k kkn +--=----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(110 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x xx x S nn n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散.(5)∑∞=+-1)12)(12(1n n n 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-=)12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)12(1121n S n ，21lim =∞→n n S ，故原级数收敛.练 习 10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1)∑∞=-1212n n n ； 解：因为通项)(1212∞→→-=n nn u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(2)∑∞=16sinn n π； 解：因为6sinlim lim πn u n n n ∞→∞→=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(3)∑∞=⋅11sin n n n ;解：因为011sin lim lim ≠==∞→∞→nn u n n n ，故原级数发散. (4)∑∞=151n n;解：因为0151lim lim ≠==∞→∞→nn n n u ，故原级数发散. (5)∑∞=-1623n nnn ; 解：因为∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-11131216263623n n n n n n n n n nn n ，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n 和∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n 均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.(6)∑∑∞==+1011001212n n n n ; 解：因为级数∑∞=10121n n收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛. (7)∑∞=+1)2131(n n n 解：因为级数∑∞=131n n 为发散调和级数，而级数∑∞=121n n 为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散.2.若级数∑∞=1n nu收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.(1)∑∞=--21)(n n nu u;解：因为级数∑∞=1n nu收敛，所以级数∑∞=2n nu和∑∞=-21n n u也收敛，因此原级数也收敛.(2)∑∞=+1n kn u( k 为某一确定的自然数)解：因为级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=+1n kn u相当于级数∑∞=1n nu去除前k 项后的新级数也收敛.(3)∑∞=11n nu 解：因为级数∑∞=1n n u 收敛，所以0lim =∞→n n u ，故∞=∞→nn u 1lim ，即级数∑∞=11n n u 发散.练 习 10.31.用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；解：因为通项nnnn n n n n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21212，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+112n nn n 收敛.(2)21121n n∞=+∑；解：因为通项221121n n u n <+=，而级数∑∞=121n n为收敛的p -级数，根据比较判别法，级数21121n n∞=+∑收敛.(3)1n ∞=；解：因为通项21)2(1)2(12+=+>+=n n n n u n ，而级数∑∞=+121n n 相当于发散调和级数∑∞=31n n，根据比较判别法，级数1n ∞=发散.(4)11n na b∞=+∑ )0,0(>>b a ；解：因为通项)(11b a n b na u n +>+=，又调和级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=+1)(1n b a n 也发散，根据比较判别法，原级数∑∞=+11n bna 也发散. (5)311031n nn ∞=-∑； 解：令13103-=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而2311310limlim n n nv u n nn n -=∞→∞→3101310lim 33=-=∞→n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数311031n nn ∞=-∑也收敛. (6)2111n n n ∞=++∑； 解：令112++=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而111lim lim 22=++=∞→∞→nn n v u n nn n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数2111n n n ∞=++∑也收敛.(7)1n ∞=； 解：令1212-++=n n n u n ，2/31n v n =，显然参照级数∑∞=02/31n n为收敛的p -级数，而2/321121lim lim n n n n v u n nnn -++=∞→∞→1121lim 22/3=-++=∞→n n n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数1n ∞=也收敛.(8)n ∞=解：因为通项2/34411nn nn n u n =<+=，参照级数∑∞=02/31n n 为收敛的p -级数，根据比较判别法，原级数1n ∞=也收敛.2.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性： (1)∑∞=+112tann n n π；解：因为1212t a n 2t a n 1(l i m l i m 121<=+=++∞→+∞→n n n nn n n n u uππ），根据比值判别法，原级数∑∞=+112tann n n π收敛.(2)∑∞=⋅123n nnn ； 解：因为12323lim lim >=⋅=∞→∞→nn n n nn n n u ，根据根值判别法，原级数∑∞=⋅123n n nn 发散. (3)11nn n∞=∑；解：因为101lim 1lim lim <===∞→∞→∞→n n u n n n n nn n ，根据根值判别法，原级数11n n n∞=∑收敛.(4)2113n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑； 解：因为13311lim 31limlim 2<=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n n n n ，根据根值判别法，原级数2113n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.(5)211(1)n n n ∞=-∑； 解：因为1111lim 11lim lim 2<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→en n u nn n n n n n n ，根据根值判别法，原级数211(1)n n n ∞=-∑收敛. (6)[]11ln(1)nn n ∞=+∑.解：因为()10)1ln(1lim )1ln(1lim lim <=+=+=∞→∞→∞→n n u n nn n n n n ，根据根值判别法，原级数[]11ln(1)nn n ∞=+∑收敛.3. 判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)1(1)21nn n ∞=--∑；解：该级数为交错级数，令121-=n u n ，由于11)1(21121+=-+>-=n n u n n u ，且0121lim lim =-=∞→∞→n u n n n ，根据交错级数收敛判别法，该级数收敛.又由于∑∞=0n n u 是发散的调和级数，因此原级数1(1)21n n n ∞=--∑条件收敛.(2)11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑； 解：由于01111lim 1lim )1(lim lim ≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→∞→∞→e n n n n n u nn n n n n n n n ，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑发散. (3)11(1)2n n n n ∞+=-∑；解：该级数为交错级数，其对应的正项级数∑∞=12n nn收敛，因此该级数绝对收敛.(4)11cos 4nn n ππ∞=∑； 解：令4cos 1ππn u n n =，由于n n n n u πππ14cos 1≤=，而级数∑∞=01n n π是收敛的p -级数，根据比较判别法级数∑∞=0n n u 收敛，因此原级数11cos4nn n ππ∞=∑绝对收敛. (5)11(1)n pn n -∞=-∑. 解：该级数为交错级数，令p n nu 1=，根据p -级数的收敛性质，我们知道，1>p 时，∑∞=01n pn收敛，因此原级数11(1)n pn n -∞=-∑绝对收敛；10≤<p 时，∑∞=01n pn发散，n p p n u n n u =<+=+1)1(11，且0lim =→∞n n u ，根据莱布尼茨判别法，原级数11(1)n p n n -∞=-∑收敛，且为条件收敛；0≤p 时，p n nu 1=单调递增，0lim ≠∞→n n u ，不满足级数收敛的必要条件，原级数11(1)n pn n -∞=-∑发散.练 习 10.41.求下列幂级数的收敛域： (1)11ln(1);1n n n x n ∞+=++∑ 解：令1)1ln(++=n n a n ，1)1ln(12)2ln(lim lim 1=++++=→∞+→∞n n n n a a n nn n ，收敛半径1=R ，收敛区间为)1,1(-，当1=x 时，级数∑∞=++11)1ln(n n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n 收敛，所以原级数的收敛域为)1,1[-.(2)1(2);!nn x n ∞=∑解：令!2n a n n =，012lim 2!)!1(2lim lim 11=+=⋅+=→∞+→∞+→∞n n n a a n n n n nn n ，所以收敛半径为+∞=R ，原级数的收敛域为),(+∞-∞.(3)1();nn nx ∞=∑解：令nn n a =，+∞=++=+=→∞+→∞+→∞)1()1(lim )1(lim lim 11n n n n n a a n nn n n n nn n ，所以收敛半径为0=R ，原级数只在0=x 处收敛.(4)21;n n n x ∞=∑解：令n n n n a 2)1(-+=，2x t =，原关于2x 的幂级数化为关于t 的幂级数∑∞=-+12)1(n n n t n n ，n n n nn n n n n n a a 2)1(2)12(lim lim 11-++-+=+→∞+→∞ 21212lim =+++++⋅=→∞n n nn n ，∑∞=-+12)1(n nn t n n 收敛半径211=R ，∑∞=-+122)1(n nn x n n 的收敛半径为222=R ，当22±=x 时，级数∑∑∞=∞=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+112)1(222)1(n n nnn n n n 发散，因此，原幂级数的收敛域为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22. (5) nn n x n)1(21-∑∞=解：设1-=x y ，na nn 2=，原关于1-x 的幂级数转化为关于y 的幂级数.22lim lim ==→∞→∞n n n n n n n a ,幂级数n n n y n∑∞=12的收敛半径为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫⎝⎛-21,21因此幂级数n n n x n)1(21-∑∞=的收敛半径也为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫⎝⎛23,21，当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-111)1()21(2n n n n n n n 收敛，当23=x 时，级数∑∑∞=∞==111)21(2n n n n n n 发散，因此，幂级数n n n x n)1(21-∑∞=的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,21.2.利用例10-33的结果，求级数12(1)!n n n +∞=+∑的和.解：根据例10-33，0,(,).!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑∑∞=++01)!1(2n n n ∑∞==1!2n n n 1!20-=∑∞=n nn 12-=e . 3.求幂级数21021n n x n +∞=+∑的和函数，并求级数21011212n n n ∞+=+∑的和. 解：设∑∞=++=01212)(n n n x x S ，两边同时对x 求导，得'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∞=+01212)(n n n x x S ∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=01212n n n x ∑∞==02n nx 211x -=，11<<-x 两边同时在],0[x 上积分，得='⎰xdx x S 0)(⎰-xdx x 0211xx S x S -+=-11ln 21)0()(，由0)0(=S ，得 xx x S -+=11ln 21)(，11<<-x ，即 21021n n x n +∞=+∑x x -+=11ln 21，11<<-x3ln 2121211ln21)21(2112121121120120=-+==⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞=+∞=∑∑S n n n n n n . 练 习 10.51. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式：(1))1ln()(x x f += 解：x x f +='11)(，2)1(1)(x x f +-=''，kk k x k x f )1()!1()1()(,1)(+--=- ， ,3,2=k ， 0)0(=f ，1)0(='f ，)!1()1()0(1)(--=-k f k k ， ,3,2=k)(!)0()1ln()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑= 1111)1)(1()1(1)1(++=-++-+-=∑n n n k nk k x n x k ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x (2).)1()(αx x f +=解：1≠α时，1-)1()(ααx x f +='，2-)1(1-)(αααx x f +=''）（，1)0(=f ，k k x k x f -++--=αααα)1)(1(1)()( ）（)1(1)0()(+--=k f k ααα ）（， )(!)0()1()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑=α)(!)1()1(!2)1(12x R x n n x x n n ++--++-++=αααααα其中11!)1)(()1()(+--+--=n n n x n x n x R αθααα ，10<<θ.2.将下列函数展开成x 的幂级数，并求收敛域： (1)22)(x e x x f =；解：由于 +++++=!!212n x x x e nx,+∞<<∞-x所以 +++++=!2!2221222n x x x e n nx ,+∞<<∞-x)!2!2221()(22222 +++++==n x x x x e x x f n nx+++++=+!2!22222432n x x x x n n∑∞=+=02!2n n n n x ,+∞<<∞-x (2)2cos)(2x x f =； 解: 2cos 12cos )(2x x x f +==x cos 2121+= 由于∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n x x ,+∞<<∞-x∑=-+=+=n n nn n x x x f 02)!2()1(2121cos 2121)(,+∞<<∞-x (3))1ln()(2x x x f ++=.解: 212222111122111)(-+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++='（x xx x x x x f 根据++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)12ααααααα（,11<<-x ,可知2121)(）（x x f +=' +-----++--+-=n x n n x x 242!)212()25)(23)(21(!2)23)(21(211+-⋅⋅⋅⋅-++⋅+-=n n n x n n x x 2422!2)12(5311!2231211）（ +-⋅⋅⋅⋅-+=∑∞=12!2)12(53111n nn nx n n ）（，11<<-x两边在],0[x 上积分∑∞=++-⋅⋅⋅⋅-+=-112)12(!2)12(5311)0()(n n nnx n n n x f x f ）（，11≤≤-x由于0)0(=f ，所以∑∞=++--+=++=1122)12(!)!2(!)!12(1)1ln()(n n nx n n n x x x x f ）（，11≤≤-x 3.将函数x x f ln )(=展开成1-x 的幂级数. 解：对)(x f 求导，得 x x f 1)(=')1(11-+=x 由于∑∞=-=+-++-+-=+032)1()1(111n n n nn x x x x x x ，11<<-x所以∑∞=--=-+='0)1()1()1(11)(n n n x x x f ，111<-<-x上式两边在区间],1[x 上积分，得∑∞=++--=-011)1()1()1()(n n nn x f x f ，111≤-<-x 由于0)1(=f ，因此∑∞=---==11)1()1(ln )(n nn nx x x f ，210≤-<x . 4.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： (1)e （精确到0.001）解：根据)(!0x R k x e n nk kx+=∑=，1)!1()(++=n n x n e x R ξ，ξ在0到x 之间21=x 时，只要 311021)!1()21(-+<⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n e R ξ，即只要 3111021)!1(221)!1()21(-++<⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n e R ξ当4=n 时，3414102!5121)!14(2-+<⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+，所以只要去展开式的前5项就可得到满足精度的近似值：648.121234121231212121121!14324021≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑=k k k e(2)5250（精确到0.001）解：515555243713737243250⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+= 根据)(!)1()1(!2)1(1)12x R x n n x x x n n++--++-++=+ααααααα （,11<<-x 取51=α，2437=x ，001.051!)51()251)(151(5151!)51)(()1()51(111<⎪⎭⎫ ⎝⎛---<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++--n n n n n n n n R αθααα当3=n ，003.000022.051!)51()251)(151(51)51(1<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+n n n n R0057.12437!3)251)(151(512437!2)151(512437511)243713251≈⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+（ 017.30057.13243713250515=⨯≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(3)3ln （精确到0.0001） 解：)31ln(1)31(ln ))3(ln(3ln eee e e e e -++=-+=-+= 根据1111)1)(1()1(1)1()1ln(++=-++-+-=+∑n n n k nk k x n x k x ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x 取eex -=3，1113)1(1)1)(1()1(+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-n n n n e e n x n ξ，当3=n 时，0001.00000288.03)1(1)1)(1()1(111<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-+++n n n n e e n x n ξ，取展开式的前3项即可得到近似值：0986.133********)1(1)31ln(13ln 32311≈⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-++=∑=-e e e e e e e e k e e k k k (4)。
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
高等数学第10章 无穷级数习题详解
1 ，故该级数收敛，且 3
1
(3n 2) (3n 1) 3 .
n 1
1
5．若级数
un 与 vn 都发散时，级数 (un vn ) 的收敛性如何？若其中一个收敛，一
n 1 n 1 n 1
个发散，那么，级数
(u
n 1
n
vn ) 收敛性又如何？
当 n 时， S n 1 ，故级数收敛 .
2 3 n sin sin sin 6 6 6 6 1 2 3 n (2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin ) 12 6 12 6 12 6 12 6 2 sin 12 1 3 3 5 2n 1 2n 1 [(cos cos ) (cos cos ) (cos cos )] 12 12 12 12 12 12 2 sin 12 1 (2n 1) [cos cos ] 12 12 2 sin 12 2n 1 不存在，所以 lim S n 不存在，因而级数发散 . 由于 lim cos n n 12
sin
（ 5）由于 lim
n
sin n n 2 lim 2 ， n 1 2n 2n
而
1 收敛，故 sin n 也收敛. n 2 n 1 2 n 1
而级数
n
n 1
1
2
收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛 .
(sin 2n) 2 1 1 1 （4 ） u n ，而 为公比 q 1 的等比级数，该级数收敛，由比 n n n 6 6 6 n 1 6
多元函数微积分+无穷级数习题附带答案
1． 设则=（ ）2(,)f x y x y xy y +-=+(,)f x y A ．B ．()2x x y -2xy y +C ．D ．()2x x y +2x xy-2． = （ ）221cos lim 1x x y oe y x y →→++A ． 0 B ．1 C ． D ． 1e 2e 3．设在点处有偏导数存在，则=（ ）(,)f x y 00(,)x y 0000(2,)(,)limh o f x h y f x h y h →+--A ．0B ．'00(,)x f x yC ．D ．'002(,)x f x y '003(,)x f x y 4．偏导数存在是可微的（ ）(,)z f x y =(,)z f x y =A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．无关条件5．函数在点（1，1）的全微=（ ）xy z e =dz A ． B ．2()e dx dy +()xy e dx dy +C ． D ．()e dx dy +dx dy+6．已知且，则= （ ）22(,)()x y x y y x ϕ=++(,1)z x x =z x ∂∂A ．2 B ．12xy x +-22x y+C ．D ．21x x -+-212xy x++7． 的定义域是 )z r R =<<8．设在点（1，1，）取得极值，则 22(,)2f x y x ax xy by =+++a =b =9．方程确定则2221x y z ++=(,)z z x y === 2z x y ∂∂∂2z y x∂∂∂10．设2sin(23)23x y z x y z+-=+-则= 2222z z x y+11．方程确定，则= 0z e xyz -=(,)z z xy =z x ∂∂12．交换积分次序后，()110,I dx f x y dy =⎰I =13．计算，其中D 由22Dx dxdy y ⎰⎰所围闭区域1,2,xy x y x ===14．计算，D 由2Dy d σ⎰⎰所围闭区域21,0,0,1y x x y y =-===15．交换积分次序()()12330010,,y y I dy f x y dx dyf x y dx -=+⎰⎰⎰⎰16．计算10I dx =⎰17．计算10I dx=⎰18．计算2222000y R y x y x I dy e dx dy dx ----=+⎰19．求在条件下的极值22z x y =+2x y +=20．函数z=z(x,y),由方程F(xy,z)=x 所确定，其中F(0,0)有连续一阶偏导数，求2222z z x y+21．设 其中可微，22()x z x y ϕ=-ϕ证明211z z z x x y y x∂∂+=∂∂22．设，证明ln()x y z e e =+222222()z z z x y x y∂∂∂⋅=∂∂∂∂23．计算22201ln ln ln e e x x e y x x I dy dx dy dx e e=+⎰⎰⎰⎰24．由圆及直线所围成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量221x y +=0,0x y ==25．设为连续函数且(),f x y ，其中D ：()(),,Df x y xy f u v d σ=+⎰⎰所围闭区域，证明：20,,1y y x x ===()1,8D f x y dxdy =⎰⎰1、解： (,)()f x y x y x y y+-=+ []1()()()2x y x y x y =++--(,)()2x f x y x y ∴=-2、解：在点（1，0）连续22cos (,)1x e y f x y x y =++ '221cos cos 0lim 11102x x y oe y e e x y →→∴==++++3、解：原式=0000(2,)(,)lim 22h of x h y f x y h→+-⋅0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h→--+-='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=4、解：若可微，则存在，(,)z f x y =,z z x y∂∂∂∂反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5、解：在（1，1） ()xy dz e ydx xdy =+'()dz e dx dy =+6、解：（1）2(,1)1()z x x x x ϕ=++= 2()1x x x ϕ∴=--（2）222(,)1z x y x y y x x =++--（3）212z xy x x∂=+-∂7、解： 22222200R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ 定义域∴{}2222(,)R D x y r x y =<+<8、解：'2'4,2x y f x a y f xy b=++=+ 又，即 (1,1)0f ='(1,1)0y f =，410a ++=20b +=5,2a b ∴=-=-9、解：令222'1,2,x F x y z F x =++-=''2,2y z F y F z==（2），z x x z ∂=-∂z y y z ∂=-∂（3）22231(0z z xy z x x y z y z y x∂∂-∂=+==∂∂∂∂∂10、解：方程两边全微分：2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz+-+-=+-∴,,(23)[2cos(23)1]0dx dy dz x y z +-+--= 23dx dy dz +=2123z x =2223z y =故22122z z x y +=11、解：令'',,z z x z F e xyz F yz F e xy=-=-=-''2x z F z yz x F e xy∂=-=∂-12、解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式＝I=2100(,)y dy f x y dx⎰⎰13、解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y 分积分，后对x 积分原式＝221121()xdx x d y-⎰⎰=2211()1x x dx y x -⎰14、解：（1）画出积分区域D（2）为了不分片先对分积分，后对y 积分x 原式＝2111222000(1)y dy y dx y y dy +=+⎰⎰⎰＝11530011118535315y y +=+=⎰⎰15、解：（1）画出12D D D+=1:01,02D y x y≤≤≤≤2:13,03D y x y≤≤≤≤-（2）交换积分次序I ＝()2302x x dx f x y dy-⋅⋅⎰⎰16、解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I ＝21120sin sin yy o y y y dy dx x dy y y y =⋅⎰⎰⎰ ＝110sin cos o dy dy y +=⎰⎰111cos cos sin 000y y y y -+-1sin1=-17、解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算2cos 3204cos sin r r I d rdr rπθπθθθ=⎰⎰22cos 204sin cos 2r d πθπθθθ=⋅⎰324sin cos 2d ππθθθ=⋅⎰3242cos cos d ππθθ=-⎰42411cos 28ππθ=-=18、解：（1）画出12D D D+=（2）改用极坐标定限，计算2204R r I d e rdr ππθ-=⋅⎰⎰201242rR e ππ-⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111428R Re e ππ--=⋅-=-19、解：（1）化为无条件极值一元函数的极值22()z x z x =+-（2）， '22(2)0x z x x =--=440,1x x -==极小值''40xx z =>221(21)2z =+-=注：22'(2),20,x F x y x y F x λλ=+++-=+=代入约束条件'20y F y x y λ=+=→=得驻点。
无穷级数部分难题解答
级数部分难题参考答案1. （书中P364,第1题）研究下列级数的敛散性（说出收敛或发散的理由）： (1).)0(1>∑∞=a a n n；(2). 11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；(3).()()113231n n n ∞=-+∑；(4).1sinn n nπ∞=∑；(5).()1112n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑；(6).()111.n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 【解】(1).因为10n =≠，所以1n ∞=发散；(2). 记 ()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=(,...2,1=n )则()()()[]n n u u u s n n ln 1ln ..._2ln 3ln 1ln 2ln ...21-++-+-=+++= ()()1ln 1ln 1ln +=-+=n n因为 ()lim lim ln 1n n n s n →∞→∞=+=∞，所以11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.(3). 记⎪⎭⎫⎝⎛+--=13123131n n u n (,...2,1=n )则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=131231...714141131n n s n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=131131n (,...2,1=n )因为 1lim ,3n n s →∞=，所以()()113231n n n ∞=-+∑收敛，且和为13.(4).因为lim sin0n n nππ→∞=≠，所以∑∞=1sinn nn π发散；(5).因为112n n ∞=∑收敛，且()11nn n ∞=-∑也收敛，故()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+1121n n n n 收敛;(6). 因为11n n∞=∑发散，而()11nn n∞=-∑收敛，故()111n n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑发散.2. （书中P364,第2题）证明级数12nn n∞=∑收敛，并求出它的和. 【解】设 n n n n n n u u u s 221...232221...13221+-++++=+++=- ① 则 122221...232212--+-++++=n n n nn s ②②—①，得：n n n nn n n n n n s 22122211211221...21211112--=---=-++++=-- 因为 11l i m l i m 2 2.22n n n n n n s -→∞→∞⎛⎫=--=⎪⎝⎭所以12nn n∞=∑收敛，且和为2. 3. （书中P374,第1题）判别下列级数的敛散性（并为你的结论简要说明理由）：(1).121n n n ∞=+∑；(2).2111n nn∞=++∑；(3). 321645n n n n n ∞=++-+∑；(4). 211n n ∞=⎛ ⎝∑； (5).()∑∞=+1211n n n ；(6)∑∞=+-132sin 121n n n ；(7). ∑∞=12log n n n；(8). ∑∞=13sin2n nn π；(9). ∑∞=1!n n nn ；(10).()()21!2!n n n ∞=∑；(11).11n n -∞=-；(12).()11nn ∞=-∑；(13).()()()1121!!12!n nn n n -∞=--∑；(14). (1sin .n ∞=∑【解】(1). 因为1lim 0212n n n →∞=≠+，所以121n nn ∞=+∑发散；(2). 因为211lim11n nn n →∞+=+，且11n n ∞=∑发散，所以2111n n n ∞=++∑发散； (3).因为32261lim 145n n n n n n →∞+=+-+，且211n n ∞=∑收敛，所以321645n n n n n ∞=++-+∑收敛； (4).因为211n n∞=∑收敛，且1n ∞=211n n ∞=⎛ ⎝∑发散； (5)因为1n =，且3121n n∞=∑收敛，所以()∑∞=+1211n n n 收敛(6).2323232111lim lim lim 1.121sin 221sin 1.cos 2n nn n n n n nn n n →∞→∞→∞===-+-+- (6). 因为32261lim 1,45n n n n n n →∞+=+-+且211n n ∞=∑收敛，故∑∞=+-++123546n n n n n 收敛； (7).因为322log 1lim lim 0n n x nnn →∞===，且3121n n∞=∑收敛，故∑∞=12log n n n 收敛； (8).因为22lim 2sinlim 2.3333nn n n nnn n πππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且123nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故 ∑∞=13sin2n nnπ收敛；(9).记n n n n u !=(,...2,1=n )，因为()()111!11!lim lim lim 1,111n n n n n n n nn u n n u en n ++→∞→∞→∞+===<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以∑∞=1!n nnn 收敛； (10). 记()()!2!2n n u n =(,...2,1=n ) 因为()()()()()()()()()22211!1!1lim limlim 1,2!21!22214n n n n nn n n un n u n n +→∞→∞→∞++===<+++所以()()21!2!n n n ∞=∑收敛；（11).记()xn x u n +=1(,...2,1=n )则显然{}n u 单减；又，lim 0.n n n u→∞==所以，由莱布尼兹判别法知()111n n -∞=-∑收敛.另一方面，再考察()111|1|n n n -∞∞==-=∑的敛散性.因为lim 1,n n n n u →∞→∞===且1n ∞=所以，1n ∞=发散.总之，()111n n -∞=-∑条件收敛.(12).令1,....)n u n == 令()[)100,f x x =∈+∞. 则()()100,.100f x x x '==∈+∞+因此，当100x ≥时，()0.f x '<所以 ，当100n ≥时，有()()11(100)n n f n f n u u n +≥+⇒≥≥， 即当100n ≥时{}n u单减；又，lim 0.1100.n n n u n →∞→∞==+所以，由莱布尼兹判别法知()1001nn ∞=-∑收敛.再由收敛级数的性质，在级数前面加上有限多项不改变级数的敛散性，知原级数()11100nn n ∞=-+∑也收敛.另一方面，再考察()11|1|100100nn n n n ∞∞==-=++∑∑的敛散性.因为100lim lim 1,n n n n u →∞→∞+==且1n ∞=1100n n ∞=+∑发散.总之，()11nn ∞=-∑条件收敛.（13）.().a 该级数是交错级数. 记()()!2!!12n n u n n -=(,...2,1=n )注意 ()()()()()n n n n n n u n n 2...6.4.2)12...(5.3.1!!2!!12!2!!12-=-=-=(,...2,1=n )因为122121<++=+n n u u n n ，所以{}n u 单减； 又根据瓦里斯公式，有()()()()21!!21!!lim lim lim 0.2!2!n n n n n n n n u n n →∞→∞→∞⎧⎫⎡--⎪====⎨⎢⎪⎣⎩ 所以由莱布尼兹判别法知()()()1121!!12!n nn n n -∞=--∑收敛. ().b 再考察()()()()()11121!!21!!|1|2!2!n nn n n n n n n -∞∞==---=∑∑的敛散性. 仍由瓦里斯公式，有()()21!!lim lim 2!n n n n n u n →∞→∞⎡-==⎢⎣1n ∞=发散， 故()()121!!2!nn n n ∞=-∑发散.（或者因为()()()()()()21!!21!!21!!11.2!2!!22!!22n n n n n u n n n n n ---===≥-，故()()121!!2!nn n n ∞=-∑的发散）.总之，()()()1121!!12!n n n n n ∞-=--∑条件收敛.(14).(1sin .n ∞=∑(sin)sin n n ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦())()21sin 1nn n π⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦. 原级数可化为()211nn ∞=-∑因为2202n n a ππ==<，所以，,N ∃当n N >时，202π<<，故当N n >时20.>故原级数可看作交错级数.().a 记na n a u n ++=222sinπ(,...2,1=n )因为221.n n u u +=>=且2lim 0n n n u →∞→∞==，所以，()211nn ∞=-∑收敛.().b 再考察()2211|1|nn n ∞∞==-=∑∑.因为2222n n a nπ→∞==，所以，21n ∞=∑∑∞=11n n同敛、散，故()21|1|nn ∞=-∑发散；总之，(1sin n ∞=∑条件收敛.4．（书中P374,第2题）关于参数x ，讨论下列级数的敛、散性（收敛时，指出是绝对收敛还是条件收敛）(1).1nn x ∞=∑；(2). 21nn x n∞=∑；(3).1!nn x n ∞=∑；(4). ()1!nn n x∞=∑.【解】(1).记()n n x x u =(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛；（二）当0≠x 时，()()()11limlim ||||n n n n n nu x x x x u x x ρ++→∞→∞=== （1）当1||<x 时，原级数绝对收敛； （2）当1||>x 时，原级数发散；（3）当1||=x 时，又分两种小情况来讨论： （i ）1-=x 时，原级数变成()11nn ∞=-∑发散；（ii ）1=x 时，原级数变成11n ∞=∑发散.(2).记()2nx x u nn =(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛；（二）当0≠x 时，()()()1lim||n n nu x x x u x ρ+→∞== （1）当1||<x 时，原级数绝对收敛； （2）当1||>x 时，原级数发散；（3）当1||=x 时，又分两种小情况来讨论： （i ）1-=x 时，原级数变成()2111nn n∞=-∑绝对收敛； （ii ）1=x 时，原级数变成211n n ∞=∑绝对收敛. (3).记()!n x x u nn =(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛；（二）当0≠x 时，因为对于任何0≠x ，都有()()()1lim01n n n u x x u x ρ+→∞==<，故对于任何0≠x ，1!nn x n ∞=∑绝对收敛.(4).记()n n x n x u !=(,...2,1=n )（一）当0=x 时，级数显然收敛，且为绝对收敛； （二）当0≠x 时，因为对于任何0≠x ，都有()()()()1limlim 1n n n n u x x n x u x ρ+→∞→∞==+=+∞， 故对于任何0≠x ，()1!n n n x ∞=∑发散.5．（书中P374,第3题）若级数21nn a ∞=∑和21nn b ∞=∑都收敛，证明：级数1n n n a b ∞=∑和()21n n n a b ∞=+∑也都收敛.【证明】（一）因为()2212n n n n a b a b ≤+，而21n n a ∞=∑和21n n b ∞=∑都收敛，故1n n n a b ∞=∑绝对收敛.（二）因为21nn a ∞=∑和21nn b ∞=∑，及12n n n a b ∞=∑都收敛，故()2212n n n n n a a b b ∞=++∑也收敛，即()21n n n a b ∞=+∑也都收敛.6．（书中P374,第4题）证明：若有极限lim 0,n n nu l →∞=>则级数1n n u ∞=∑发散.【证明】根据极限的保号性，存在正整数N ，当n N ≥时，有 0,n nu >从而当n N ≥时，有 0,n u >故可视1n n u ∞=∑为正项级数.再由题设条件l i m l i m 01nn n n u nu l n→∞→∞==>及级数11n n ∞=∑发散，知1n n u ∞=∑发散.（在级数前面加上有限多项不改变级数的敛散性）7．（书中P374,第5题）研究下列级数的敛散性：(1).1sin p n n π∞=∑；(2). 11ln 1pn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；(3). ()21ln pn nn ∞=∑【解】（1）.因为1lim sin1pp n n n π→∞=，所以1sin p n n π∞=∑与11p n n∞=∑同敛散.故 当1p >时，1sinpn n π∞=∑收敛；而当1p ≤时，1sinpn n π∞=∑发散.（2）.因为11lim ln 11p p n n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以11ln 1p n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与11p n n∞=∑同敛散.故 当1p >时，1sinpn nπ∞=∑收敛；而当1p ≤时，1sinpn nπ∞=∑发散.（3）.记()()11,2,.ln n pu n n n == 显然1+>n n u u (,...2,1=n )且()()21111111122ln 2ln 22ln 2k kkppp pk k k k k k u k k ∞∞∞∞=======∑∑∑∑是p -级数. 由书中第365页例2（柯西定理）知，级数()21ln pn n n ∞=∑与p -级数111ln 2p pk k ∞=∑同敛散.故当1p >时，()21ln pn n n ∞=∑收敛；当1p ≤时，()21ln pn n n ∞=∑发散.8. （书中P382,第1题）求下列各幂级数的收敛区间：(1).∑∞=12n n nn x ；(2).1nn ∞=；(3). ()()212!!n n n x n ∞=∑；(4). 11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ ； (5). ()nn x n n ∑∞=++111ln ；(6).()211!12n n n n n x ∞-=-∑；(7).()()123nnn x n∞=--∑；(8). ()()1321.nn nn x n ∞=+-+∑【解】(1). 记nn n a 21=(,...2,1=n )().a ()111121lim ||lim ,122n n n n n nn a a n ρ++→∞→∞+===所以，2R =； ().b 在端点()112,1nn x n∞==-⇒-∑收敛； 在端点112,n x n∞==⇒∑，发散.总之，∑∞=12n n nn x 的收敛区间为[)2,2.-(2). 记na n 1=(,...2,1=n )().a 1lim ||1,n n n na a ρ+→∞→∞===所以，1R =； ().b 在端点()11,1nn x ∞==-⇒-∑在端点11,n x ∞==⇒，发散.总之，1nn ∞=[)1,1.- (3). 记()()2!!2n n a n =(,...2,1=n ) ().a ()()()()()()()212222!1!2221lim ||lim lim 4,2!1!n n n n n n n n n a n a n n ρ+→∞→∞→∞++⎡⎤++⎣⎦====+ 所以，1.4R =().b 在端点()()()()()()2112!21!!11,11.442!!!nn n n n n n x n n ∞∞==-⎛⎫=-⇒-=- ⎪⎝⎭∑∑(其中()()()()()()()()()()()22222222!2!2!2!2!14!!.22!!!.22!nn n n n n n n n n n n n n ⎛⎫==== ⎪⎝⎭⎡⎤⎣⎦()()()()()()21!!2!!21!!.2!!2!!2!!n n nn n n --==) 记()()!!2!!12n n u n -=(,...2,1=n )因为()()()()121!!2!!21.122!!21!!22n n n n u n u n n n +++==<+-+， 所以{}n u 单减； 又根据瓦里斯公式，有()()()()21!!21!!lim lim lim 0.2!!2!n n n n n n n u n n →∞→∞→∞⎧⎫⎡--⎪====⎨⎢⎪⎣⎩ 在端点()()()()2112!21!!11,.442!!!nn n n n x n n ∞∞==-⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭∑∑仍根据瓦里斯公式，有()()21!!limlim 2!n n n n n u n →∞→∞⎡-==⎢⎣且1n ∞=发散，故()()121!!2!!n n n ∞=-∑发散. 总之，()()212!!n n n x n ∞=∑的收敛区间为11,.44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (4). 记na n 1...211+++=(,...2,1=n ) 根据等式 n n c n na ε++=+++=ln 1...211(,...2,1=n )得l i m n n a →∞=+∞，从而1lim0.n na →∞= ().a 因为1...211...211limlim1++++++++==∞→+∞→n n n a a n nn n ρ 11limlim11111001.11nn n n na a n n a →∞→∞====+⨯++++，所以， 1.R =().b 在端点()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⇒-=01...21111n n n x 因为+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→∞→n a n n n 1...211lim lim ，故()∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-∞→n n n 1...2111lim ，所以()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+++-01 (2)111n nn 发散； 同理，在端点∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇒=01 (21)11n n x 也发散.(5). ().a ()()1ln 22lim ||lim 1,ln 11n n n nn an n a n ρ+→∞→∞++===++所以，1R =；().b 在端点()()1ln 11,11nn n x n ∞=+=-⇒-+∑收敛； 在端点()1ln 11,1n n x n ∞=+=⇒+∑，发散. 总之，()nn x n n ∑∞=++111ln 的收敛区间为()1,1.- (6).记()22!11n n n n a --=(,...2,1=n )因为()()()()222112111!1!212lim ||lim lim .lim 0,!!222n n n n n n n n n nnn n a n n a n ρ++++→∞→∞→∞→∞+++===== （21112n n n ∞+=+∑收敛，所以，211lim 0.2n n n +→∞+=） 所以，R =+∞； 故()211!12n n nn n x ∞-=-∑的收敛区间为(),.-∞+∞(7).令3,t x =-则原级数变为：()12nn n t n∞=-∑因为()()()112lim ||lim 2,21n n n n n n n aa n ρ++→∞→∞-===-+所以，11.2R ρ== 又当12t =时，级数变为：()111n n n ∞=-∑，收敛；当12t =-时，级数变为：11n n ∞=∑，发散，因此，当1122t -<≤时，()12nn n t n ∞=-∑收敛.故当115732222x x -<-≤⇒<≤时原级数收敛，所以()()123nnn x n∞=--∑为57,.22⎛⎤ ⎥⎝⎦(8).()()1321.nn nn x n ∞=+-+∑令1,t x =+则原级数变为：()132.nn nn t n ∞=+-∑因为()()111232323213lim ||limlim .3,112113nn nn n n n n n n na n na n ρ+++→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭====+⎛⎫++- ⎪⎝⎭所以，11.3R ρ== 又当13t =-时，级数变为：()()1132112133n n n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑收敛； （两收敛级数之和仍然收敛.）而当13t =时，级数变为：()113211233n n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，发散； （一个收敛级数与另一个发散级数之和是发散的.）因此，当1133t -≤<时，()132nn n n t n ∞=+-∑收敛.故当114213333x x -≤+<⇒-≤< 时原级数收敛，所以()()1321nn nn x n ∞=+-+∑的收敛区间为42,.33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9. （书中P383,第2题）求下列级数的和： (1).∑∞=++11414n n n x ；(2).()11.nn n n x ∞=+∑【解】(1).∑∞=++11414n n n x ；().a 记()1414+=+n x x u n n (,...2,1=n )，()()()14lim ||.n n nu x x x u x ρ+→∞== 如果()41x x ρ=<时，即1||<x 时，则∑∞=++11414n n n x 收敛；如果()41x x ρ=>时，即1||>x 时，则∑∞=++11414n n n x 发散；所以，R=1.又在端点()111,141n x n ∞==-⇒-+∑发散；又在端点111,41n x n ∞==⇒+∑发散.所以，∑∞=++11414n n n x 的收敛区间为()1,1.-.().b 设()()411,1,1.41n n x s x x n +∞==∈-+∑ 逐项求导后，有：()4144411.411n n n n x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ 所以，()()()440001xxx s x s s x dx dx x '-==-⎰⎰111ln arctan .412x x x x +=+--故()s x 111ln arctan .412x x x x +=+--注意：其中()()().11ln lim lim 00=--==→→xx x s s x x (2). 记()()n n x n n x u 1+=(,...2,1=n )，()()()1lim||.n n n u x x x u x ρ+→∞==如果()1x x ρ=<时，即1||<x 时，则()11.n n n n x ∞=+∑收敛；如果()1x x ρ=>时，即1||>x 时，则()11.n n n n x ∞=+∑发散；所以，R=1.又在端点()()11,11nn x n n ∞==-⇒-+∑发散；又在端点()11,1n x n n ∞==⇒+∑发散.所以，()11.n n n n x ∞=+∑的收敛区间为()1,1.-.().b 设()()()11,1,1.n n s x n n x x ∞==+∈-∑逐项积分后，有：()()12111,1,1.xn n n n s x dx nxxnxx ∞∞+-====∈-∑∑⎰（1）记 ()()11,1,1.n n g x n x x ∞-==∈-∑ （2）则()()()2,1,1.xs x d x x g x x =∈-⎰（3） 又因为()01.1xnn xg x d x x x∞===-∑⎰（4） 所以，()()21.11x g x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- （5） 故()()220.1xx s x d x x =-⎰所以， ()()()2232.11x xs x x x '⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭()1,1.x ∈- 10．（书中P383,第5题）求下列广义幂级数的收敛域：(1).()121nn x n∞=+∑；(2).()1ln nn x ∞=∑；(3). 21n n n x∞=∑；(4).111.211nn x n x ∞=-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∑ 【解】(1).令21,t x =+则原级数变为：1nn t n ∞=∑因为1lim ||lim 1,1n n n na na n ρ+→∞→∞===+所以，1 1.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()111nn n∞=-∑收敛；而当1t =时，级数变为：11n n∞=∑，发散.因此，当11t -≤<时，1nn t n∞=∑收敛.故当121110x x -≤+<⇒-≤<时原级数收敛，所以()121nn x n∞=+∑的收敛域为[)1,0.-(2).令ln ,t x =则原级数变为：1n n t ∞=∑因为1lim ||lim 1,1n n n na na n ρ+→∞→∞===+所以，1 1.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()11n ∞=-∑发散；而当1t =时，级数变为：11n ∞=∑，发散.因此，当11t -<<时，1n n t ∞=∑收敛.故当11ln 1x e x e --<<⇒<<时原级数收敛，所以()121nn x n∞=+∑的收敛域为()1,.e e -(3). 21n n n x∞=∑；令1t x =则原级数变为：21n n n t ∞=∑因为()2121lim ||lim 1,n n n n n a a n ρ+→∞→∞+===所以，11.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()211n n ∞=-∑收敛；而当1t =时，级数变为：21n n ∞=∑，发散.因此，当11t -<<时，21n n n t ∞=∑收敛.故当1111x x-<<⇒-∞<<-或1.x <<+∞时原级数收敛，所以21n n n x∞=∑的收敛域为()(),11,.-∞-⋃+∞(4). 111.211nn x n x ∞=-⎛⎫⎪++⎝⎭∑令11x t x -=+则原级数变为：11.21nn t n ∞=+∑因为121lim ||lim 1,23n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+所以，1 1.R ρ== 又当1t =-时，级数变为：()11121nn n ∞=-+∑收敛； 而当1t =时，级数变为：1121n n ∞=+∑，发散.因此，当11t -≤<时，1121nn t n ∞=+∑收敛.故当11101x x x --≤<⇒>+ 时原级数收敛，所以111.211nn x n x ∞=-⎛⎫⎪++⎝⎭∑的收敛域为()0,.+∞11．（书中P389,第1题）利用基本展开式将下列函数展开成简单幂级数，并确定展开式成立的区间：(1).()()1112x x +-；(2). 2x x e e shx --=；(3). x 2sin ；(4). ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 11ln ；(5).(6).(7). arctan x ； (8). arcsin .x 【解】(1) ()()11212111...112312131231x x x x x x⎛⎫=+=+ ⎪+--+-+⎝⎭ .其中()100212111.22,.3123322n n n n n x x x x ∞∞+==⎛⎫==-<< ⎪-⎝⎭∑∑ ()()()001111.1,11.3133n n n n n x x x x ∞∞===-=--<<+∑∑ 所以()()()10111121,.112322nn n n x x x x ∞+=⎛⎫⎡⎤=+--<< ⎪⎣⎦+-⎝⎭∑ (2). 2xx e e shx --=；由 ()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑ 得 ()()01,,.!nnxn x ex n ∞-==-∈-∞+∞∑ 故 ()()1111.112222!x x nx x n n e e shx e e x n -∞-=-==-=--∑()()2101,,.21!k k x x k ∞+==∈-∞+∞+∑ ()()()()()2123.2sin .cos sin 2121!n nn x f x x x x n +∞='===-⇒+∑()()()()()()()()()21222100002011221!2221!n n xx n n n n n x x f x f f x dx dx n n n ++∞∞+==⎡⎤'=+=-=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰()()()222112,.22!n nn n x x n +∞+==--∞<<+∞+∑.(4).因为()()(]10ln 11,1,11n nn x x x n +∞=+=-∈-+∑，()()()()[)1100ln 111,1,111n n nn n x x x x n n ++∞∞==--=-=-∈-++∑∑. 故 ()()()()11001ln ln 1ln 111111n n n n n x x x x x x n n ++∞∞==-⎛⎫=--+=--- ⎪+++⎝⎭∑∑ ()()()12100112,11.121n k nn n x xx n k ++∞∞==⎡⎤=---=--<<⎣⎦++∑∑（5）()3221!322112121!212121!21111x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+=+...!121...12121...+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n x n n ...232...232121!1...232121!312121!2121132+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n x n n x x x ()()()()...212!!32!11...2!!3!31121!211211133222+⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-++=-n n n x n n x x x ()()()()1223!!11.1122!!n nn n x x x n ∞-=-=++--≤≤∑（上述级数在端点处的敛散性请参考第3（13）题） （6）()3221!322112121!212121!211111x x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+-...!121...12121...+⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n x n n ...212...2321!1...252321!312321!2121132+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n x n n x x x ()()()()...212!!12!11...2!!5!3112!!3!2112111333222+⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-+-=-n n n x n n x x x ()()n n nnx n n ∑∞=--+=12!!12!111()()()()11!!2!!12111≤<---+=∑∞=x x n n n n n . （上述级数在端点处的敛散性请参考第3（13）题）()()()2217.11n nn f x x x ∞='==-⇒+∑()()()()[]()()()()dx x f dx x f f f x f f x f xn n n x ⎰∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='+=-+=∞=002010000 =()()[].1,1,121120-∈+-+∞=∑x n x n n n.(8). ()()()()122222111122211!2!f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤'==+-=+-+-⎣⎦()()...!121...12121...!3221 (121212)32+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+nx n n x()()nn nx n n 21!212...3.11∑∞=-+=()()n n x n n 21!!2!!121∑∞=-+=所以()()()()()()20121!!0012!!xx n n n f x f f x dx f x dx n ∞=⎡⎤-'=+=++⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰()()21121!!,1 1.2!!21n n n x x x n n +∞=-=+-≤≤+∑12. （书中P390,第2题）将函数()()2ln 12f x x x =--： 展开成简单幂级数，并确定展开式成立的区间.【解】()()()()()()2ln 12ln 112ln 1ln 12.f x x x x x x x =--=+-=++-⎡⎤⎣⎦ 注意到()()(]10l n 11,1,11n nn x x x n +∞=+=-∈-+∑；()()()()111211ln 12112,,1122n n n n n n x x x x n n ++∞∞+==-⎡⎫-=-=-∈-⎪⎢++⎣⎭∑∑. 所以有()()()()1111100012112111nn n n nn n n n n x xf x x n n n +++∞∞∞++===--=-+-=+++∑∑∑，11,.22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭13．（书中P390,第3题）按下面的要求，将函数()2132f x x x =++： （1） 展开成 简单幂级数（并指出收敛区间）；（2） 在点04x =-展开成泰勒级数（并指出收敛区间）. 【解】（1）.()()()21111321212f x x x x x x x ===-++++++其中 ()()011,1,1.1n n n x x x ∞==-∈-+∑ ()()()10011111.11,2,2.2222212n n n n n n n x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-∈- ⎪+⎝⎭+∑∑ 所以()()()()1100011111122n n n n n n n n n n n f x x x x ∞∞∞++===⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭∑∑∑，()1,1.x ∈- （2）.()()()1111123424f x x x x x =-=-++-++-++ 又因为()()()1001111414,7,1.434333313n n n n n x x x x x ∞∞+==+⎛⎫=-=-=-+∈-- ⎪+-++⎝⎭-∑∑ ，()()()1001111414,6,2.24222212n n n n n x x x x ∞∞+==+⎛⎫=-=-=-+∈-- ⎪-++⎝⎭-∑∑ 所以，()()()110114,6,2.23n n n n f x x x ∞++=⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭∑ 14．（书中P390,第4题）把⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x e dx d x 1展开成简单幂级数，并由此证明等式求()0 1.1!n n n ∞==+∑ 【解】（一）因为(),,!11∞+∞-∈=-∑∞=x n x e n nx()∑∑∞=∞=-+==-011!1!1n nn n x n x n x x e . =()()().,!1!11110∞+∞-∈+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∞=-∞=x n nx n x x e dx d n n n n x （二）将1=x 代入（20）式，得：()().1111!1||1210=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x e x x e dx d n n。
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第10章 无穷级数练习和习题解答练 习 10.11.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111；解：该级数一般项为1)1(--=n n u(2) +-+-97535432a a a a ； 解：该级数一般项为12)1(11+-=++n a u n n n (3)++++1741035221； 解：该级数一般项为12+=n nu n(4) +++++-635241021.解：该级数一般项为12+-=n n u n2.用定义判断下列级数的收敛性： (1)∑∞=-0)1(n n解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞→lim 不存在，故原级数发散.(2)∑∞=+11lnn nn 解：ln )1ln(1ln-+=+=n nn u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n∞=∞→n n S lim ，故原级数发散.(3)∑∞=⋅15199n n解：)511(499511)511(51995199519911nn n k k n k k n S -=--==⋅=∑∑== 499lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4)∑∞=-0)1(n nn x 解：x x x x x x S nn n k kn k kkn +--=----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(110 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x xx x S n n n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散.(5)∑∞=+-1)12)(12(1n n n 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-=)12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)12(1121n S n ，21lim =∞→n n S ，故原级数收敛.练 习 10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1)∑∞=-1212n n n ； 解：因为通项)(1212∞→→-=n nn u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(2)∑∞=16sinn n π； 解：因为6sinlim lim πn u n n n ∞→∞→=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(3)∑∞=⋅11sin n n n ;解：因为011sinlim lim ≠==∞→∞→nn u n n n ，故原级数发散. (4)∑∞=151n n;解：因为0151limlim ≠==∞→∞→n n n n u ，故原级数发散.(5)∑∞=-1623n nnn ; 解：因为∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-11131216263623n n n n n n n n n nn n ，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n 和∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n 均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.(6)∑∑∞==+1011001212n n n n ; 解：因为级数∑∞=10121n n收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛. (7)∑∞=+1)2131(n n n 解：因为级数∑∞=131n n 为发散调和级数，而级数∑∞=121n n 为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散.2.若级数∑∞=1n nu收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.(1)∑∞=--21)(n n nu u;解：因为级数∑∞=1n nu收敛，所以级数∑∞=2n nu和∑∞=-21n n u也收敛，因此原级数也收敛.(2)∑∞=+1n kn u( k 为某一确定的自然数)解：因为级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=+1n kn u相当于级数∑∞=1n nu去除前k 项后的新级数也收敛.(3)∑∞=11n nu 解：因为级数∑∞=1n n u 收敛，所以0lim =∞→n n u ，故∞=∞→nn u 1lim ，即级数∑∞=11n n u 发散. 练 习 10.31.用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；解：因为通项nnnn n n n n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21212，而级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛121n n为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n 收敛.(2)21121n n∞=+∑；解：因为通项221121n n u n <+=，而级数∑∞=121n n为收敛的p -级数，根据比较判别法，级数21121n n∞=+∑收敛.(3)1n ∞=；解：因为通项21)2(1)2(12+=+>+=n n n n u n ，而级数∑∞=+121n n 相当于发散调和级数∑∞=31n n，根据比较判别法，级数1n ∞=发散.(4)11n na b ∞=+∑ )0,0(>>b a ；解：因为通项)(11b a n b na u n +>+=，又调和级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=+1)(1n b a n 也发散，根据比较判别法，原级数∑∞=+11n b na 也发散.(5)311031n nn ∞=-∑； 解：令13103-=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而2311310limlim nn nv u n nn n -=∞→∞→3101310lim 33=-=∞→n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数311031n nn ∞=-∑也收敛. (6)2111n n n ∞=++∑； 解：令112++=n n u n ，21n v n =，显然参照级数∑∞=021n n为收敛的p -级数，而1111lim lim 22=++=∞→∞→nn n v u n nn n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数2111n n n ∞=++∑也收敛.(7)1n ∞=； 解：令1212-++=n n n u n ，2/31n v n =，显然参照级数∑∞=02/31n n为收敛的p -级数，而2/321121limlim n n n n v u n nn n -++=∞→∞→1121lim 22/3=-++=∞→n n n n n ，根据比较判别法的极限形式，可知原级数1n ∞=也收敛.(8)1n ∞=.解：因为通项2/34411nn nn n u n =<+=，参照级数∑∞=02/31n n 为收敛的p -级数，根据比较判别法，原级数1n ∞=也收敛.2.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性： (1)∑∞=+112tan n n n π；解：因为1212tan 2tan1(limlim 121<=+=++∞→+∞→n n n nn n n n u uππ），根据比值判别法，原级数∑∞=+112tann n n π收敛.(2)∑∞=⋅123n nnn ； 解：因为12323lim lim >=⋅=∞→∞→nnn n n n n n u ，根据根值判别法，原级数∑∞=⋅123n n n n 发散. (3)11n n n ∞=∑； 解：因为101lim 1lim lim<===∞→∞→∞→n n u n nn n nn n ，根据根值判别法，原级数11n n n ∞=∑收敛. (4)2113n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑； 解：因为13311lim 31lim lim 2<=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n n n n ，根据根值判别法，原级数2113n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. (5)211(1)n n n ∞=-∑； 解：因为1111lim 11lim lim 2<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→en n u nn n n n n n n ，根据根值判别法，原级数211(1)n n n ∞=-∑收敛. (6)[]11ln(1)nn n ∞=+∑.解：因为()10)1ln(1lim )1ln(1lim lim <=+=+=∞→∞→∞→n n u n nn n n n n ，根据根值判别法，原级数[]11ln(1)nn n ∞=+∑收敛.3. 判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)1(1)21nn n ∞=--∑；解：该级数为交错级数，令121-=n u n ，由于11)1(21121+=-+>-=n n u n n u ，且0121lim lim =-=∞→∞→n u n n n ，根据交错级数收敛判别法，该级数收敛.又由于∑∞=0n n u 是发散的调和级数，因此原级数1(1)21n n n ∞=--∑条件收敛.(2)11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑； 解：由于01111lim 1lim )1(lim lim ≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→∞→∞→en n n n n u nn n n n n n n n ，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数11(1)(1)n nnn n n -∞=-+∑发散.(3)11(1)2n n n n ∞+=-∑； 解：该级数为交错级数，其对应的正项级数∑∞=12n n n收敛，因此该级数绝对收敛. (4)11cos4nn n ππ∞=∑； 解：令4cos 1ππn u n n =，由于n n n n u πππ14cos1≤=，而级数∑∞=01n n π是收敛的p -级数，根据比较判别法级数∑∞=0n n u 收敛，因此原级数11cos4nn n ππ∞=∑绝对收敛. (5)11(1)n pn n -∞=-∑. 解：该级数为交错级数，令pn n u 1=，根据p -级数的收敛性质，我们知道，1>p 时，∑∞=01n p n 收敛，因此原级数11(1)n pn n -∞=-∑绝对收敛；10≤<p 时，∑∞=01n p n 发散，n p p n u n n u =<+=+1)1(11，且0lim =→∞n n u ，根据莱布尼茨判别法，原级数11(1)n p n n -∞=-∑收敛，且为条件收敛；0≤p 时，pn n u 1=单调递增，0lim ≠∞→n n u ，不满足级数收敛的必要条件，原级数11(1)n pn n -∞=-∑发散.练 习 10.41.求下列幂级数的收敛域： (1)11ln(1);1n n n x n ∞+=++∑ 解：令1)1ln(++=n n a n ，1)1ln(12)2ln(limlim 1=++++=→∞+→∞n n n n a a n nn n ，收敛半径1=R ，收敛区间为)1,1(-，当1=x 时，级数∑∞=++11)1ln(n n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n 收敛，所以原级数的收敛域为)1,1[-.(2)1(2);!nn x n ∞=∑ 解：令!2n a n n =，012lim 2!)!1(2lim lim 11=+=⋅+=→∞+→∞+→∞n n n a a n n n n nn n ，所以收敛半径为+∞=R ，原级数的收敛域为),(+∞-∞.(3)1();nn nx ∞=∑解：令nn n a =，+∞=++=+=→∞+→∞+→∞)1()1(lim )1(lim lim 11n n n n n a a n nn n n n nn n ，所以收敛半径为0=R ，原级数只在0=x 处收敛.(4)21;n n n x ∞=∑解：令n n n n a 2)1(-+=，2x t =，原关于2x 的幂级数化为关于t 的幂级数∑∞=-+12)1(n n n t n n ，n n n nn n n n n n a a 2)1(2)12(lim lim 11-++-+=+→∞+→∞ 21212lim =+++++⋅=→∞n n nn n ，∑∞=-+12)1(n nn t n n 收敛半径211=R ，∑∞=-+122)1(n nn x n n 的收敛半径为222=R ，当22±=x 时，级数∑∑∞=∞=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+112)1(222)1(n n nnn n n n 发散，因此，原幂级数的收敛域为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22. (5) nn n x n)1(21-∑∞=解：设1-=x y ，na nn 2=，原关于1-x 的幂级数转化为关于y 的幂级数.22lim lim ==→∞→∞n nn nn n n a ,幂级数nn n y n ∑∞=12的收敛半径为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21因此幂级数nn n x n)1(21-∑∞=的收敛半径也为21=R ，收敛区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21，当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-111)1()21(2n n n n n n n 收敛，当23=x 时，级数∑∑∞=∞==111)21(2n n n n n n 发散，因此，幂级数nn n x n)1(21-∑∞=的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,21.2.利用例10-33的结果，求级数102(1)!n n n +∞=+∑的和.解：根据例10-33，0,(,).!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑ ∑∞=++01)!1(2n n n ∑∞==1!2n n n 1!20-=∑∞=n nn 12-=e . 3.求幂级数21021n n x n +∞=+∑的和函数，并求级数2111212n n n ∞+=+∑的和. 解：设∑∞=++=01212)(n n n x x S ，两边同时对x 求导，得'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∞=+01212)(n n n x x S ∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=01212n n n x ∑∞==02n nx 211x -=，11<<-x 两边同时在],0[x 上积分，得='⎰xdx x S 0)(⎰-xdx x 0211x xS x S -+=-11ln 21)0()(，由0)0(=S ，得xx x S -+=11ln 21)(，11<<-x ，即21021n n x n +∞=+∑x x-+=11ln 21，11<<-x 3ln 21211211ln21)21(2112121121120120=-+==⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞=+∞=∑∑S n n n n n n . 练 习 10.51. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式： (1))1ln()(x x f += 解：xx f +='11)(，2)1(1)(x x f +-=''，k k k x k x f )1()!1()1()(,1)(+--=- ， ,3,2=k ， 0)0(=f ，1)0(='f ，)!1()1()0(1)(--=-k f k k ， ,3,2=k )(!)0()1ln()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑= 1111)1)(1()1(1)1(++=-++-+-=∑n n n k n k k x n x k ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x (2).)1()(αx x f +=解：1≠α时，1-)1()(ααx x f +='，2-)1(1-)(αααx x f +=''）（， 1)0(=f ，k k x k x f-++--=αααα)1)(1(1)()( ）（)1(1)0()(+--=k f k ααα ）（，)(!)0()1()(0)(x R x k f x x f n knk k +=+=∑=α)(!)1()1(!2)1(12x R x n n x x n n ++--++-++=αααααα其中11!)1)(()1()(+--+--=n n n x n x n x R αθααα ，10<<θ.2.将下列函数展开成x 的幂级数，并求收敛域：(1)22)(x e x x f =；解：由于 +++++=!!212n x x x e nx,+∞<<∞-x 所以 +++++=!2!2221222n x x x e n nx ,+∞<<∞-x)!2!2221()(22222 +++++==n x x x x e x x f n nx+++++=+!2!22222432n x x x x n n∑∞=+=02!2n n n n x ,+∞<<∞-x (2)2cos)(2x x f =； 解: 2cos 12cos )(2x x x f +==x cos 2121+= 由于∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n x x ,+∞<<∞-x∑=-+=+=n n nn n x x x f 02)!2()1(2121cos 2121)(,+∞<<∞-x(3))1ln()(2x x x f ++=.解: 212222111122111)(-+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++='）（x xx x x x x f 根据 ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)12ααααααα（,11<<-x ,可知2121)(）（x x f +=' +-----++--+-=n x n n x x 242!)212()25)(23)(21(!2)23)(21(211+-⋅⋅⋅⋅-++⋅+-=n n n x n n x x 2422!2)12(5311!2231211）（ +-⋅⋅⋅⋅-+=∑∞=12!2)12(53111n nnnx n n ）（，11<<-x两边在],0[x 上积分∑∞=++-⋅⋅⋅⋅-+=-112)12(!2)12(5311)0()(n n n nx n n n x f x f ）（，11≤≤-x由于0)0(=f ，所以∑∞=++--+=++=1122)12(!)!2(!)!12(1)1ln()(n n nx n n n x x x x f ）（，11≤≤-x3.将函数x x f ln )(=展开成1-x 的幂级数. 解：对)(x f 求导，得 x x f 1)(=')1(11-+=x 由于∑∞=-=+-++-+-=+032)1()1(111n n n nn x x x x x x ，11<<-x 所以∑∞=--=-+='0)1()1()1(11)(n n n x x x f ，111<-<-x 上式两边在区间],1[x 上积分，得∑∞=++--=-011)1()1()1()(n n nn x f x f ，111≤-<-x由于0)1(=f ，因此∑∞=---==11)1()1(ln )(n nn nx x x f ，210≤-<x . 4.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： (1)e （精确到0.001）解：根据)(!0x R k x e n nk k x+=∑=，1)!1()(++=n n x n e x R ξ，ξ在0到x 之间21=x 时，只要 311021)!1()21(-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n e R ξ，即只要 3111021)!1(221)!1()21(-++<⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n e R ξ当4=n 时，3414102!5121)!14(2-+<⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+，所以只要去展开式的前5项就可得到满足精度的近似值：648.121234121231212121121!14324021≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑=k kk e(2)5250（精确到0.001）解：515555243713737243250⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+= 根据)(!)1()1(!2)1(1)12x R x n n x x x n n ++--++-++=+ααααααα（,11<<-x取51=α，2437=x ， 001.051!)51()251)(151(5151!)51)(()1()51(111<⎪⎭⎫ ⎝⎛---<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++--n n n n n n n n R αθααα当3=n ，003.000022.051!)51()251)(151(51)51(1<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+n n n n R0057.12437!3)251)(151(512437!2)151(512437511)243713251≈⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+（ 017.30057.13243713250515=⨯≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(3)3ln （精确到0.0001） 解：)31ln(1)31(ln ))3(ln(3ln eee e e e e -++=-+=-+= 根据1111)1)(1()1(1)1()1ln(++=-++-+-=+∑n n nk nk k x n x k x ξ，ξ在0到x 之间，]1,1(-∈x 取eex -=3，1113)1(1)1)(1()1(+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-n n n n e e n x n ξ，当3=n 时，0001.00000288.03)1(1)1)(1()1(111<≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤++-+++n n n n e e n x n ξ，取展开式的前3项即可得到近似值：0986.133********)1(1)31ln(13ln 32311≈⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-++=∑=-e e e e e e e e k e e kk k (4)。