微积分10无穷级数联系和习题解答

第10章 无穷级数练习和习题解答

练 习 10.1

1.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111；

解：该级数一般项为1

)1(--=n n u

(2) +-+-9

7535

432a a a a ； 解：该级数一般项为1

2)1(1

1

+-=++n a u n n n (3)

++++17

4

1035221； 解：该级数一般项为1

2+=n n

u n

(4) +++++-6

3

5241021.

解：该级数一般项为1

2

+-=n n u n

2.用定义判断下列级数的收敛性： (1)

∑∞

=-0

)

1(n n

解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞

→lim 不存在，故原级数发散.

(2)

∑∞

=+1

1

ln

n n

n 解：ln )1ln(1

ln

-+=+=n n

n u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n

∞=∞

→n n S lim ，故原级数发散.

(3)

∑∞

=⋅

1

5

199n n

解：)511(4995

11)511(51995199519911n

n n k k n k k n S -=--==⋅=∑∑== 4

99

lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4)

∑∞

=-0)1(n n

n x 解：x x x x x x S n

n n k k

n k k

k

n +--=

----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(1

1

0 ⎪⎩⎪

⎨⎧≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时

或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x x

x x S n n n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散.

(5)

∑∞

=+-1

)12)(12(1

n n n 解：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+--=+-=

)12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=

)12(1121n S n ，21

lim =∞→n n S ，故原级数收敛.

练 习 10.2

1.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1)

∑∞

=-1

21

2n n n ； 解：因为通项)(121

2∞→→-=n n

n u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.

(2)

∑∞

=1

6

sin

n n π； 解：因为6

sin

lim lim π

n u n n n ∞

→∞

→=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.

(3)

∑∞

=⋅1

1

sin n n n ;

解：因为011

sin

lim lim ≠==∞

→∞

→n

n u n n n ，故原级数发散. (4)

∑

∞

=1

5

1

n n

;

解：因为015

1

lim

lim ≠==∞→∞

→n n n n u ，故原级数发散.

(5)∑∞

=-1

623n n

n

n ; 解：因为∑∑∑∞=∞=∞

=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-11131216263623n n n n n n n n n n

n n ，而级数∑∞=⎪⎭⎫

⎝⎛121n n 和∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n 均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.

(6)

∑∑∞

==+

101

100

1

21

2n n n n ; 解：因为级数

∑∞

=1012

1

n n

收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛. (7)

∑∞

=+1

)2

131(

n n n 解：因为级数∑∞

=131n n 为发散调和级数，而级数∑∞

=12

1

n n 为收敛的几何级数，收敛级数和发

散级数之和发散.

2.若级数

∑∞

=1n n

u

收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.

(1)

∑∞

=--2

1)(n n n

u u

;

解：因为级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，所以级数

∑∞

=2

n n

u

和

∑∞

=-2

1

n n u

也收敛，因此原级数也收敛.